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2024年全国高中数学联赛
山东赛区预赛试卷
一填空题（本题共10道小题，每题6分，共60分）
得分
1.使函数fx)=+2+k3的定义域为(0，】的所有实数k值是
2.设椭因号+片1左焦点为R,动点P在)轴上，直线PF交梢圆于M,从.向
M
量PM=2MF,P=2NF(,∈R),则入+入2
3.正四棱锥P-ABCD中，M,N分别是PA,PB的中点，且侧
面与底面所成二面角的正切是V2,则直线DM,AW夹
2题图
角的余弦值是；
4设数列a4多a.≥2则a一
3
5.设△4BC垂心H,外心O,外接圆半径为3,1OH=1.记
3题图
BC=a,CA=b,AB=c a2+b2+c2=
6.设B∈R满足cosB为有理数.则使得cosne也是有理数的所有正整数n的集合
是
7.口袋中有大小相同的6个红球，2个白球，从中一个一个摸球（不放回），直到2个
白球都摸出，即停止摸球则停止摸球后袋内剩红球个数的期望值是；
8复数，，在复平面上对应的点分别为R,B且满足-2是纯虚数，
21+2
3z2-2z2+2z2=0.则△20P的面积等于；
9.满足+2+3+…+x=y2的所有正整数对(，y)=
10.设x,y,z≥0，x+y+z=2.则∫=x2y2+y2:2+z2x2+x最大最小值之和
二解答题（本题共4道小题，每题15分，共60分）
得分
11.设A,B为函数y=1-x2的图象上在y轴两侧的动点.求过A,B的切线与x轴
围成三角形面积的最小值，
12.已知数列a}满足：a,=1和8a=a,2+bmeN)试求使1≤a.所有n∈N~恒成立的最小正整数b.
得分
13设双曲线C:x-兰-1R 3在C上，按如下规则构造点列a≥2过
P作斜率为1的直线交C左支于2,2关于y轴对称点
得分
为P,记P.(x.,y).求证：(1)数列2x。-y}是等比数列：
(2)△PP1P2的面积为常数，
14.给定正整数n(1).且x,x2,…,x,e[a,a+1(a∈R).
得分
求证2-容s分
15.附加题(10分，可计入总分)如图，在四边形ABCD中，已知AB≠AC,△ABC的
内切圆⊙I与边BC切于E,如果∠LAC=∠EDC,∠IAD=∠CED.证明：∠ADI=90°
2024年全国高中数学联赛
山东赛区预赛试题参考答案
一填空题（本题共10道小题，每小题6分，共60分）
1.使函数f(x)=1*+2+k3*的定义域为(-0，】的所有实数k值是；
解：因r+2+20台2+写)g(对，且（在(-o为增函数，所
以g(x)≤g(①)=-1，故使1+2+k3*≥0的解为(-∞，1]的k=-1.
2.设椭圆苦+兰1的左焦点为，动点P在)抽上，直线P交椭园于M,N,向
M
量Pd=M家，PW=2N派，则实数元+2=
解：设Mx,),N0,p),则F(2,0),由PM=1MF一O-
0p+0F
1+是
之x=22P代入椭圆得平+4银+2-p2=0→3+名
1+2
3.正四棱雏P-ABCD中，M,N分别是PA,PB的中点，且侧面与底面所成二面角
的正切是√2，则直线DM,AN夹角的余弦值是
解：取AB=2,则OP=OB=V2,PB=2,∠APB=60°，
DM.AN=(DA+AM)(AB+BN)=DA.BN+AM.AB+AM.BN
=d丽.=.由余弦定理得1
A6-4c0s∠AP8)=3故co8DMP
6
=3mam16a≥2).则[aml=
4设数列a,}满足a-4+A与
解1=1。
3&x-1
&1
3
Γ3-11
1

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