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2.1认识一元二次方程
如图，矩形的对角线、交于点，的平分线交于点，连接，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，然后求出，再根据等腰三角形两底角相等的性质列式计算即可得解．
【解答】解：矩形中，，
，
是等边三角形，
，，
是的平分线，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
．
故选：．
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴正半轴上，则另一个顶点的坐标为　　
A． B． C． D．
【分析】连接交于，由菱形的性质得，，再由点的坐标得，，则，即可得出结论．
【解答】解：连接交于，如图所示：
四边形是菱形，顶点在轴正半轴上，
，，
点的坐标为，
，，
，
点的坐标为，
故选：．
如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于，连接，，则的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】由四边形是菱形，可得，，又由，，可求得的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得，继而求得的度数，然后求得的度数．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，在菱形中，对角线，，则的面积为　　
A． B．5 C． D．6
【分析】根据菱形对角线互相垂直且平分求出，的长，然后利用直角三角形面积的求法直接计算即可．
【解答】解：四边形是菱形．
，，且．
．
在中，
．
故选：．
如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，，，则的长为　　
A． B．8 C． D．6
【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据矩形的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式求出，即，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再利用勾股定理列式计算即可求出．
【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，
．
故选：．
6．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、，当时是一元二次方程，故A不正确；
B、是分式方程，不是一元二次方程，故B不正确；
C、是一元三次方程，故C不正确；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
7．方程的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，15 B．，15 C．6， D．，
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
【详解】解：方程的一次项系数和常数项分别是，．
故选D．
8.如图，在中，过点作于点，于点，且．
（1）求证：是菱形；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）由“”可证，可得，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
．
，
是菱形．
（2），
，
，，
，
，
，
，
．
知识点一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
1．下列方程中，关于的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【详解】解：A．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B．，当时不是一元二次方程，不符合题意；
C． ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D．，整理可得，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2.下列方程中，一元二次方程共有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x24；④x2﹣3x＝4；⑤x23＝0．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：①3x2+x＝20，④x2﹣3x＝4，⑤x23＝0符合一元二次方程的定义；
②2x2﹣3xy+4＝0中含有两个未知数，不是一元二次方程；
③x24不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
综上所述，一元二次方程共有3个．
故选：B．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3.（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选D．
4．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
5．已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，，
，
解得：，
即，
故答案为：．
6．若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入一元一次方程得，然后解一次方程即可．解题的关键是理解和掌握：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元一次方程．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴，
解得：．
故选：D．
7．根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ）
x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可．
【详解】解：由表中数据得：
当时，，
当时，，
使方程成立的一个解应该在与之间，
．
故选C
8.（23-24九年级上·福建泉州·期末）关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．为任意实数
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴．
故选：B．
9.（23-24·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．每一支队伍都要和另外的支队伍进行比赛，于是比赛总场数每支队的比赛场数参赛队伍重复的场数，即可解答．
【详解】解：共有n支队伍参加比赛，根据题意，
可列方程为；
故选：B．
10.（23-24九年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案．
【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为：
这两个数的平方和为：，
两数相差4，
．
故选：C．
11.（23-24九年级下·山东淄博·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【答案】D
【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2021．
【详解】由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于x的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：D．
【总结】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．
已知为方程的根，那么的值为（ ）
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可．
【详解】∵为方程的根，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案为：．
13.（23-24九年级·上海·假期作业）已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值．
【答案】
【分析】首先把关于方程化为一般形式，根据各项系数与常数项之和等于2，求出m的值即可．
【详解】解：整理方程得，
化为一般形式即为，
方程的各项分别为，，，其中未知项系数分别为1，，
依题意即有，
解得：．
【总结】此题考查一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．
14（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是
【答案】x1=3，x2=-8
【分析】将方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2+m）2+b=0，对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，解之可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，
∴关于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+ 2）+ m]2+b=0，
∴a[（x+ 2）+ m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6，
解得x1=3，x2=-8，
故答案为：x1=3，x2=-8
【总结】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解，注意由两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．
1．若a，b，c满足，则关于x的方程的两个根的平方和是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的根，根据题意，得到方程的两个根为和，进而求出两个根的平方和即可．
【详解】解：∵a，b，c满足，
∴关于x的方程的两个根分别为和，
∴；
故选C．
2．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解．
【详解】解：设，则一元二次方程可化为，
，
关于x的一元二次方程有一根为，
一元二次方程有一个根为，
则，即，
一元二次方程必有一根为2025．
故选：B．
3.（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
【详解】解：∵，
∴，
设，
∴，
而关于的一元二次方程有一根为，
∴有一个根为，
则，
解得，
∴一元二次方程必有一根为．
故选：D．
【总结】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.（23-24九年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A． B．3 C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【详解】解：由关于的方程是一元二次方程，得
且．
解得．
故选：C．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
5．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键．
设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论．
【详解】解：线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下：
设，则，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
线段的长是一元二次方程的一个正根．
故选：A．
6.（23-24九年级上·山西长治·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】B
【分析】此题考查一元二次方程，整体代入法：根据方程变形得到，，仿照已知整体代入化简即可得到答案，正确理解整体代入法达到降次解方程的目的是解题的关键．
【详解】∵，
∴，，
∴
故选：B．
7.（23-24九年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2020的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【分析】先利用m是方程x2+x-1=0的根得到m2=-m+1，则可表示出m3=2m-1，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∴m是方程x2+x-1=0的根，
∴m2+m-1=0，
∴m2=-m+1，
∴m3=m（-m+1）=-m2+m=m-1+m=2m-1
∴m3+2m2+2020=2m-1+2（-m+1）+2020=2m-1-2m+2+2020=2021．
故选：D．
【总结】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8.（23-24·山西晋中·二模）某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出件，每件获利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低元，那么平均每天可多售出件．商场要想平均每天获利元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价元，根据题意列出方程即可，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这款文创产品每件降价元，
根据题意可列方程为：，
故选：．
9.（23-24九年级下·重庆·期末）如果关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且关于y的方程是一元二次方程，则符合条件的所有整数m之和为 ．
【答案】8
【分析】先表示出不等式组的解集，由不等式组有且仅有三个整数解确定出m的取值，再由关于y的方程是一元二次方程，求出满足题意整数m的值，进而求出和．
【详解】，
由①得，
由②得，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴，
即x可取，
∴，
∴，
∵关于y的方程是一元二次方程，
∴，解得，
∴且，
，
，
故答案为：8．
【总结】本题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及一元二次方程的定义是解题的关键．
10．已知m是方程（n为常数）的一个根，代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，根据m是方程（n为常数）的一个根，得，可得，即可得，进行计算即可得，掌握方程的根，能得出是解题的关键．
【详解】解：∵m是方程（n为常数）的一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
11．已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可．
【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解，
，
，
，
故答案为：
1.（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
2.（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A. ，整理可得，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B. ，分母中含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意；
C. ，仅当时，原方程为一元二次方程，故此选项不符合题意；
D. ，最高次项的次数为3，故此选项不符合题意；
故选：A．
3.（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．据此对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程；
④是一元二次方程．
故选：D．
4.（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．-3
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的一般形式，将一元二次方程化为一般式，根据不含一次项可得一次项系数为0，求解即可．
【详解】解：方程化为一般形式为：
由题意可得：
解得
故选：C
5．若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：，
则，
∴，
由题意得：，，
解得：，，
故选：B．
6．若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，
，
解得：，
，
则该方程中的一次项系数为5，
故选A．
7．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键．
由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴方程一个解的取值范围为，
故选：C．
8.（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约亿元、第三天票房约亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：第一天票房约5亿元，增长率为x，
第二天票房约亿元，第三天票房约亿元．
依题意得：．
故选：D．
9.（23-24九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查多形式乘以多项式，一元二次方程的一般形式，根据多项式乘以多项式化简得出一元二次方程为：，得出，求解即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程为：，
根据题意可得：，
解得：，
故答案为：．
10.（23-24九年级下·河北保定·期末）关于x的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义解题即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案为：．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
11．若一元二次方程的一个根为，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义；根据方程的解代入方程满足等式关系，再整体代入计算求值即可；
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，即
∴
故答案为：．
12.（23-24九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程的一个根，则代数式的值 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后再对多项式进行去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
当时，原式．
故答案为：3．
13.（23-24·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可．
【详解】解：根据题意得：，
．
故答案为：9．
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2.1认识一元二次方程
如图，矩形的对角线、交于点，的平分线交于点，连接，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴正半轴上，则另一个顶点的坐标为　　
A． B． C． D．
如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于，连接，，则的度数是　　
A． B． C． D．
如图，在菱形中，对角线，，则的面积为　　
A． B．5 C． D．6
如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，，，则的长为　　
A． B．8 C． D．6
6．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
7．方程的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，15 B．，15 C．6， D．，
8.如图，在中，过点作于点，于点，且．
（1）求证：是菱形；
（2）若，，求的长．
知识点一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
知识点二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
知识点三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
1．下列方程中，关于的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
2.下列方程中，一元二次方程共有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x24；④x2﹣3x＝4；⑤x23＝0．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3.（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
5．已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ．
6．若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ）
x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
A． B． C． D．
8.（23-24九年级上·福建泉州·期末）关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．为任意实数
9.（23-24·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10.（23-24九年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　）
A． B．
C． D．
11.（23-24九年级下·山东淄博·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
已知为方程的根，那么的值为（ ）
13.（23-24九年级·上海·假期作业）已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值．
14（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是
1．若a，b，c满足，则关于x的方程的两个根的平方和是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
2．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
3.（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24九年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A． B．3 C． D．不能确定
5．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根（ ）
A． B． C． D．
6.（23-24九年级上·山西长治·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
7.（23-24九年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2020的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
8.（23-24·山西晋中·二模）某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出件，每件获利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低元，那么平均每天可多售出件．商场要想平均每天获利元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9.（23-24九年级下·重庆·期末）如果关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且关于y的方程是一元二次方程，则符合条件的所有整数m之和为 ．
10．已知m是方程（n为常数）的一个根，代数式的值是 ．
11．已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ．
1.（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2.（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A． B． C． D．
4.（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．-3
5．若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　）
A． B． C． D．
6．若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（ ）
A．5 B．3 C． D．
7．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　）
x
A． B． C． D．
8（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
9.（23-24九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ．
10.（23-24九年级下·河北保定·期末）关于x的方程是一元二次方程，则 ．
11．若一元二次方程的一个根为，则代数式的值为 ．
12.（23-24九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程的一个根，则代数式的值 ．
13.（23-24·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ．
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