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1.1探索勾股定理
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么_______________.
2.勾股定理的证明
方法 图形 证明
“赵爽弦图” 因为大正方形的边长为，所以大正方形的面积为.又大正方形的面积________________________， 所以.
刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为，则________.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得___________，所以
加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为， 则___________________________________.因为 ____________________________，所以
毕达哥拉斯拼图 由图（1）得大正方形的面积_______________，由图（2）得大正方形的面积_________________，比较两式易得
二、题目速练
1.在中，，，的对边分别是a，b，c，若，则下列等式中成立的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，分别以AC，BC，AB为边在三角形外部作正方形.若以AC和BC为边的正方形面积分别为5和3，则以AB为边的正方形面积S的值为( )
A.4 B.8 C.16 D.34
3.已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边长的平方为( )
A.16 B.4或34 C.16或34 D.4或24
4.如图所示，的顶点A，B，C在边长为1的正方形组成的网格的格点上，于点D，则BD的长为__________.
5.“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是(用含有a、b、c的式子表示)______________，______________.
答案及解析
一、知识详解
1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；；
2.
方法 图形 证明
“赵爽弦图” 因为大正方形的边长为，所以大正方形的面积为.又大正方形的面积，所以.
刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为，则.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得，所以
加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为，则.因为，所以
毕达哥拉斯拼图 由图（1）得大正方形的面积由图（2）得大正方形的面积 ，比较两式易得
二、题目速练
1.答案：B
解析：因为在中，，所以，所以是直角三角形，a为斜边，则，故选B.
2.答案：B
解析：因为，所以，所以，故选B.
3.答案：C
解析：因为一个直角三角形的两条边长分别为3和5，所以①当5是此直角三角形的斜边长时，设另一条直角边长为x，则由勾股定理，得；②当5是此直角三角形的直角边长时，设斜边长为y，则由勾股定理，得.故选C.
4.答案：3
解析：由题图可知，，边上的高为3，所以的面积为.由勾股定理，得，所以，则，解得，故答案为3.
5.答案：；
解析：如图所示：
①，
②.
故答案为：；.1.2一定是直角三角形吗
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在中，. 在中，.
结论 ________________________ _______________
区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数” 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系
二、题目速练
1.中，，，的对边分别记为a，b，c，则无法判断为直角三角形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组数：
①12，16，20；
②13，5，12；
③2，2，3；
④7，24，25.
其中勾股数有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
3.在中，已知，，，则的面积为( )
A.136 B.68 C.120 D.60
4.如图所示，在的正方形方格图中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是___________三角形.
5.如图，在中，，，点D是线段AB上一点，连接，，.
(1)试说明：；
(2)求AC的长.
答案及解析
一、知识详解
1.勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在中，. 在中，.
结论
区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数” 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系
二、题目速练
1.答案：D
解析：A.因为，所以，所以为直角三角形；
B.因为，，所以，所以，所以为直角三角形；
C.因为，所以设，则，，所以，所以为直角三角形；
D.因为，所以设，则，，因为，所以不能组成三角形.
2.答案：C
解析：①，能构成直角三角形，是勾股数；②，能构成直角三角形，是勾股数；③，不能构成直角三角形，不是勾股数；④，能构成直角三角形，是勾股数.所以勾股数有①②④，共3组.故选C.
3.答案：D
解析：因为，，，所以，，所以，所以，所以的面积为.故选D.
4.答案：直角
解析：因为，，，所以，所以为直角三角形.
5.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)在中，，，，
因为，
所以是直角三角形，且，即.
(2)设，则.
由(1)可知，所以.
在中，，
所以，所以，所以.1.3勾股定理的应用
——八年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.确定圆柱侧面上的最短路线长
图示 转化方法 原理 思想方法
①将圆柱的侧面展开为长方形；②确定相应点的位置；③连接，，构造，；④利用勾股定理求， 两点之间，线段最短 转化思想：化曲为直
2.确定长方体表面上的最短路线长
求长方体表面上相对两点之间的距离，可将长方体相邻两个面展开，有三种方式.
长方体
展开方式 右侧面向前展开 上底面向前展开 上底面向左展开
图示
的求法 ___________________ ____________________ _________________
结论 比较各展开方式中求得的的值，确定最短路径
原理 两点之间线段最短
二、题目速练
1.如图所示，有一个圆柱形玻璃容器，高，底面周长为，在外侧下底面点S处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕获苍蝇充饥，则蜘蛛所走的最短路程是( )
A. B. C. D.
2.如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是___________.
3.如图，将一根长为的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为点A、点B，然后将中点C向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了________.
4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少
答案及解析
一、知识详解
2.；；
二、题目速练
1.答案：B
解析：将圆柱形容器的侧面展开，如图所示，作点F关于直线AB的对称点，连接，则的长度即为蜘蛛所走的最短路程.由题可知，所以，即蜘蛛所走的最短路程是，故选B.
2.答案：10
解析：如图所示，因为，，所以，所以，所以.所以蚂蚁爬行的最短路程是10.故答案为10.
3.答案：
解析：由题意知，.在中，根据勾股定理，得，所以，则.故橡皮筋被拉长了.故答案为.
4.答案：最短路程是
解析：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长.
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为.
由勾股定理得，所以(负值已舍去).
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是.

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