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5.2 课时2小船过河与绳——杆关联速度问题
1.能理解和分析小船渡河问题。
2.学会解决渡河时间最短问题和渡河位移最小问题。
3. 学会分析常见“关联”速度问题。
一、最短时间、最短位移渡河问题
船的实际运动 v（相对于河岸的运动）可看成是随水以速度 v水 漂流的运动和以速度 v船 相对于静水的划行运动的合运动。这两个分运动互不干扰具有等时性。
当v船 垂直于河岸时，渡河时间最短：
v船
v水
tmin=
v船
d
v
θ
tanθ=
v水
v船
v船
v水
v沿河岸的分速度
v垂直河岸的分速度
v船
v沿河岸的分速度
v垂直河岸的分速度
当船与河岸方向有夹角时，垂直于河岸的分速度减小。
1.渡河的最短时间
2.渡河的最短位移
d
当合速度v 方向垂直于河岸时，渡河位移最短，且为河宽d 。
v船
θ
v水
渡河时间：
t = =
v
d
v船 sinθ
d
cosθ=
v船
v水
v
v船>v水
当v船方向与合速度v 方向垂直时，有最短渡河位移lmin 。
v船最短位移：
t =
v
lmin
cosθ=
v水
v船
v水
lmin
lmin=
cosθ
d
B
C
D
E
A
v船
θ
θ
θ
渡河时间：
v
v船
例题：小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s.
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(sin 37°＝0.6)
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
解：(1)因为小船垂直于河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸．
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝ ＝4 m/s，经历时间＝ s＝50 s.
又cos θ＝＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游所成角度为53°.
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，应使v合的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船头指向与岸的上游成60°角．
二、关联速度问题
绳、杆关联问题是指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题的原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．
【对点训练】 质量为m的物体P置于倾
角为θ1的固定光滑斜面上,轻细绳跨过
理想定滑轮分别连接着P与小车,P与滑轮间的细绳平行于斜面,小车以速率v水平向右做匀速直线运动。如图,当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时,下列判断正确的是(　　)
A.P的速率为v B.P的速率为vcos θ2
C.绳的拉力等于mgsin θ1 D.绳的拉力小于mgsin θ1
解析:将小车的速度v进行分解,如图所示,则有vP=vcos θ2,故A错误,B正确。小车向右运动,θ2减小,v不变,则vP逐渐增大,说明物体P沿斜面向上做加速运动,由牛顿第二定律有FT-mgsin θ1=ma,可知绳对P的拉力FT>mgsin θ1,故C、D错误。
【对点训练】图中套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则 (　　)
A．v2＝v1 B．v2>v1
C．v2≠0 D．v2＝0
解析：环上升过程的速度v1可分解为两个分速度v∥和v⊥，如图所示，其中v∥为沿绳方向的速度，其大小等于重物B的速度v2；v⊥为绕定滑轮转动的速度．关系式为v2＝v1cos θ，θ为v1与v∥间的夹角．当A上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，θ＝90°，cos θ＝0，即此时v2＝0，D项正确．
分析“关联”速度的基本步骤
1.关于轮船渡河，下列说法正确的是(　　)
A．水流的速度越大，渡河的时间越长
B．欲使渡河时间最短，船头的指向应垂直河岸
C．欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸
D．轮船相对水的速度越大，渡河的时间一定越短
BC
2.如图所示,小船过河时,船头偏向上游,与水流方向成α角,船相对于静水的速度为v,其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有减小,为保持航线不变,且准时到达对岸,下列措施中可行的是(　 　)
A.增大α角,增大v
B.减小α角,减小v
C.减小α角,保持v不变
D.增大α角,保持v不变
B
3.如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2　　　　　　B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
C
4.如图所示，汽车通过滑轮拉重物A，汽车沿水平方向向右匀速运动，滑轮与绳的摩擦不计，则物体的运动情况是(　　)
A．匀速上升　　　　 B．加速上升
C．先加速后减速 D．减速上升
B

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