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人教版七年级上册数学专题突破训练：数轴上的动点问题
1．如图，数轴上有两点，，原点O是线段上的一点，．

(1)写出两点所表示的有理数；
(2)若点C是线段上一点，且满足，求点C所表示的有理数；
(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，两点停止运动．直接写出当t为何值时，．
2．如图，已知数轴上点表示的数为6，点原点左侧，且点与点距个单位长度，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；
(1)当点运动8秒时，正好运动到点，请直接写出点点的距离为______.
(2)动点从点出发，运动时间为秒，若点到点距离相等的点，点为到两点的距离相等的点，点在运动的过程中，当点和点间距离为3时，求值.
(3)在（1）（2）的条件下，动点从点出发1秒后，动点和分别从点和点出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点与间的距离为2时，求点点间的距离？
3．已知：如图数轴上有、、三点，点和点间距20个单位长度且点、表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点从点出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒．

(1)点表示的有理数是 　　，点表示的有理数是 　　，点表示的数是 　　（用含的式子表示）；
(2)当　　秒时，、两点之间相距10个单位长度？
(3)若点、点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
4．如图，点A，B在数轴上表示的数分别是，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．设点P的运动时间为t（）秒．
(1)点P到达点B用时____________秒，点Q到达点A用时___________秒；
(2)点B与点Q之间的距离为_____________，点Q表示的数为_____________；（用含t的代数式表示）
(3)当点P与点Q之间的距离为14个单位长度时，求t的值．
5．对于数轴上的A，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点A，的“联盟点”．
(1)若点A表示数，点表示数2，则下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，的“联盟点”的是________；
(2)点A表示数，点表示数30，点为数轴上的一个动点，
①若点在点的左侧，且点是点A，的“联盟点”，求此时点所表示的数；
②若点在点的右侧，点，A，中有一个点恰好是其他两个点的“联盟点”，请直接写出此时点所表示的数为________.
6．如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点．
(1)点表示的数为 ，点表示的数为 ，线段的长为 ．
(2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ．
(3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度
7．已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有，则称点C为点A，B的“5和距离点” ．
(1)已知点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为，那么m的值是__________；
(2)如果点D是数轴上点A，B的“7和距离点”，那么点D表示的数为__________；
(3)动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动，当P点运动多少时间时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“6和距离”？
8．如图，数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且、两点之间的距离为20．
(1)写出数轴上点表示的数______；
(2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，试探索：若，则______；
(3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，求当为多少时，两点之间的距离为2；
(4)动点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时，从点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，请直接写出当为多少时，到点的距离等于点到点距离的2倍．
9．已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，动点从出发，以每秒1个单位的速度向点移动（到达点停止运动），设移动时间为秒．

(1)用含的代数式表示到点A和点的距离（其中表示点到点A的距离，表示点到点的距离）：_______；_______；
(2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点到达点后点停止运动．在点开始运动到，都停止．、两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由．
10．已知两点A、B在数轴上，，点A表示的数是a，且a与互为相反数．
(1)写出点B表示的数；
(2)如图1，当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达点A时，运动停止．在整个运动过程中，当时，求点P、Q所表示的数；
(3)如图2，当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当时，求动点P、Q运动的速度．
11．如图，图一已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，动点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线方向向右运动，运动时间为t秒．
(1)线段___________，当点P运动到线段的延长线上时___________．（用含t的代数式表示）
(2)如图二，当时，点M是的中点，点N是的中点，求此时的长．
(3)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，存在这样的t值，使三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请求出满足条件的t值．
12．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为（a为定值，且），C为数轴上异于点A的一点，且到原点O的距离与点A到原点O的距离相等．
(1)请在图中标出原点O与点C．

(2)点A到点C的距离为 ．（用含a的式子表示）
(3)P为数轴上一动点，其对应的数为x．
①当P是B，C之间的一动点时，点P到点B、点C的距离之和是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
②设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A这一运动过程中，若S的最大值为m，最小值为n，求的值．
13．如图，数轴上A、B、C三点对应的有理数分别是，和3，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向右匀速运动，设运动时间为秒．
(1)当时， ；当时， ；
(2)求当为何值时，；
(3)若动点Q一直沿数轴向右运动，动点P到达点C后，立即改变运动方向，沿数轴向左运动，到达点A后停止，在这个运动过程中，是否存在值，使得，若存在，请直接写出的值，若不存在，说明理由．
14．如图所示，在数轴上A点表示数，B点表示数，且、满足．

(1)点A表示的数为_____， 点B表示的数为_____；
(2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在点A、点B之间的数轴上找一点C，使，则C点表示的数为_____；
(3)在（2）的条件下，若一动点P从点A出发，以3个单位长度／秒速度由A向B运动；同一时刻，另一动点Q从点C出发，以1个单位长度／秒速度由C向B运动，终点都为B点．当一点到达终点时，这点就停止运动，而另一点则继续运动，直至两点都到达终点时才结束整个运动过程．设点Q运动时间为t秒．
①用含t的代数式表示：点P到点A的距离____，点Q到点B的距离_____；
②当t为何值时，点P与点Q之间的距离为1个单位长度．
15．如图，数轴上点、两点相距12个单位长度，点在点的右边，点对应的数是10．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴正方向匀速运动．
(1)线段中点表示的数是多少？
(2)当，时，经过多少秒，点恰好追上点？
(3)设为线段的中点，为线段的中点，若，运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出线段的长．
16．已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
(1)点A表示的数为______，点B表示的数为______，点C表示的数为______，
(2)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：______，______．
(3)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒点3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．
①在点Q向点C运动过程中，能否追上点P 若能，请求出点Q运动几秒追上．
②在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位 如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
17．如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是：，，．

(1)填空：______，______；
(2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．试探索：的值是否随着时间t的变化而改变 请说明理由；
(3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动．设点移动的时间为秒，试用含的代数式表示、两点间的距离．
18．如图，数轴上点、对应的数分别是、，并且．

(1)求、两点之间距离．
(2)若两动点、同时从原点出发，点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点到点的距离是点到点距离的倍？
(3)点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点从点出发沿数轴向右运动，当点运动秒时，点与点在点相遇，此时点和点的距离为个单位长度，点和点的距离为个单位长度，求点的速度．
19．已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，对应的数为．
(1)若点到点，点的距离相等，请求出的值；
(2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为20 若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；
(3)一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点的运动的时间为秒．请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时的值．
20．已知数轴上两点、对应的数分别为、，点是数轴上一动点，所对应的数为

(1)若点到点，点的距离相等，则点对应的数为 ；
(2)当 时，点到的距离等于点到的距离的倍
(3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为，若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由？
21．已知点O是数轴的原点，点A、B、M分别是数轴上的三个动点（点A在点B的左侧），且，将点A，B，M表示的数分别记作a，b，m．
(1)当，时，直接写出m的值；
(2)当时，计算的值；
(3)若，求a的值．
22．如图，已知数轴上点A表示的数为．点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时出发，设运动时间为秒，解答下列问题：

(1)数轴上两点间的距离为______；
(2)当点表示的数和点表示的数互为相反数时，求的值；
(3)当点追上点时，求的值．
23．如图，数轴上三点A，B，C表示的数分别为，5，15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．

(1)点B到点C的距离为______，点A到点C的距离为______；
(2)数轴上是否存在点P，使得P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)设点P到A，B，C三点的距离之和为S，在动点P从A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．
24．如图，已知数轴上三点A，B，C对应的数分别为，3，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
(1)若点P是线段的中点，则 ， ；
(2)若，求x的值；
(3)若点P，点Q两个动点分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时从点A，点B出发，沿数轴的正方向运动，运动时间为t秒．当t的值是多少时．
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参考答案：
1．(1)A点所表示的有理数为，B点所表示的有理数为4
(2)点C所表示的有理数是
(3)1.6秒或8秒
【分析】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值；
（1）由可知，将12平均分成三份，占两份为占一份为4，由图可知，在原点的左边，在原点的右边，从而得出结论；
（2）分两种情况：①点在原点的左边，即在线段上时，②点在原点的右边，即在线段上时，分别根据列式即可；
（3）分两种情况：点在原点的左侧和右侧时，表示的代数式不同，，分别代入列式即可求出的值
【详解】（1）解：∵，
∴点所表示的实数为点所表示的实数为4；
（2）设点所表示的实数为，
分两种情况：①点在线段上时，则，如图1，

②点在线段上时，则，如图2，

(不符合题意，舍)；
综上所述，点所表示的实数是；
（3）当时，如图3，

当点与点重合时，如图4，

当时，如图5，

则，
综上所述，当为1.6秒或8秒时，．
2．(1)6；
(2)的值为2或8；
(3)点和点间的距离是或；
【分析】（1）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值结合运动求解即可得到答案；
（2）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据数轴上两点间距离等于两坐标之差结合点和点间距离为3列式求解即可得到答案；
（3）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，
【详解】（1）解：由题意可得，，，
点点的距离为：，
故答案为：6；
（2）解：数轴上点表示的数为6，点在原点左侧，且点与点相距个单位长度，
点为，
又为到两点的距离相等的点，
点为：，
又点距离为3，
为4或
点为到两点距离相等的点，为6，
当为4时，为2，运动了个单位长度，
秒，
当为时，为，运动了个单位长度，
秒，
所以的值为2或8；
（3）
解：由题意可得，
由（1）知点为
设经过时间为时，点与点间的距离为2。
则在数轴上的点是，在数轴上的点是，点是，
距离表示为，
，
解得或，
当时点是，点是，
点和点间的距离是，
当时点是，点是，
点和点间的距离是，
答：点和点间的距离是或．
3．(1)，30，
(2)5或15
(3)存在常数，使得为一个定值；，这个定值为
【分析】（1）设点表示的数为，则点表示的数为，由数轴可知，求出，根据算出点表示的数，再由点的运动速度和时间求出点表示的数即可；
（2）分点在点左边和点在点右边两种情况列方程求解进行解答即可；
（3）根据题意先将点、点和点表示的数算出来，再算出、、并代入中，合并同类项，由存在性问题的解法列方程求解即可解答．
【详解】（1）解：设点表示的数为，则点表示的数为，
点和点间距20个单位长度，
，解得，
点表示的有理数是；点表示的有理数是，
，
点表示的有理数是，
动点从点出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，
点表示的数是，
故答案为：，30，；
（2）解：当点在点左边时，，
、两点之间相距10个单位长度，
，解得，
当点在点右边时，，
、两点之间相距10个单位长度，
，解得，
当或15秒时，、两点之间相距10个单位长度，
故答案为：5或15；
（3）解：存在常数，使得为一个定值，
理由如下：
由题意可知，点表示的数为；点表示的数为；点表示的数为，
；；，
，
要使得为一个定值，
，解得，
，
，这个定值为．
【点睛】本题考查的是数轴的知识、一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键．
4．(1)9，6
(2)，
(3)或
【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间的距离，一元一次方程的实际应用．
（1）由点A，B在数轴上表示的数分别是，，得，即得点P到达点B用时9秒，点Q到达点A用时6秒；
（2）由已知直接可得点B与点Q之间的距离为，点Q表示的数为；
（3）P表示的数为，点Q表示的数为，①点P与点Q相遇之前，，可得；②点P与点Q相遇之后，Q用6秒到达A，只需P运动14个单位即秒．
【详解】（1）解：∵点A，B在数轴上表示的数分别是，，
，
∴点P到达点B用时（秒），点Q到达点A用时（秒），
故答案为：9，6；
（2）解：由已知得：点B与点Q之间的距离为，点Q表示的数为，
故答案为：，；
（3）解：由已知得，P表示的数为，点Q表示的数为，
①点P与点Q相遇之前，，
∴；
②点P与点Q相遇之后，
∵Q运动到A需要的时间为6秒，当Q到达A时，P运动的距离为，
∴时，点P与点Q之间的距离为12，
∴P再运动2个单位，即再用1秒，P运动的距离为14，
∴，
综上所述，t的值为或7．
5．(1)、；
(2)①当点P在点B的左侧时，点P表示的数为或或；②70或50或110．
【分析】（1）根据联盟点的定义进行判断即可；
（2）（2）①根据点所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可；
②分三种情况进行解答，即点A是点，点的“联盟点”，点是点A、点的“联盟点”，点是点A、点的“联盟点”进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴点是A，的“联盟点”；
∵，，
∴点不是A，的“联盟点”；
∵，，
∴点不是A，的“联盟点”；
∵，，
∴点是A，的“联盟点”；
故答案为：、；
（2）解：① 设点P表示的数为x，
如图，当点在点A左侧时，，
则，
解得：，
所以点表示的数为；
如图，当点在线段上且时，
则，
解得：，
所以点表示的数为；
如图，当点在线段上且时，
则，
解得，
所以点表示的数为；
综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为或或；
②若点在点的右侧，
当点A是点，点的“联盟点”时，有，即，
解得；
当点是点A、点的“联盟点”时，有或，
即或，解得或；
当点是点A、点的“联盟点”时，有，即，
解得；
故答案为：70或50或110．
【点睛】本题考查数轴与有理数，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解（2）的关键．
6．(1)30，，36
(2)6或
(3)当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度
【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可．
（2）分点C在点B的左侧和右侧两种情形计算即可．
（3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，分类列方程求解即可得出答案．
【详解】（1），
，，
解得，，
．
故点表示的数为30，点表示的数为，线段的长为36．
（2）点在线段上，
，
，
点在数轴上表示的数为；
点在射线上，
，
，
点在数轴上表示的数为．
故点在数轴上表示的数为6或．
解法2 设点C表示的数为，点表示的数为30，点表示的数为，
当点在点的右侧时，则，，
，
∴，
解得；
当点在点的左侧时，则，，
，
∴，
解得；
故点在数轴上表示的数为6或．
（3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为
当时，点还在点处，
；
当时，点在点的右侧，
，
解得：；
当时，点在点的左侧，
，
解得：．
综上所述：当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度．
【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键.
7．(1)
(2)或3
(3)或2或或3秒
【分析】（1）根据，计算求解即可；
（2）设点D表示的数为，由，可知当在点左侧，则，计算求解即可；当在点右侧，则，计算求解即可；
（3）设P点运动秒，由题意知，分点在之间，点在点左侧两种情况求解；①当点在之间，即时，，，，此时分当点是点、的“6和距离”时；当点是点、的“6和距离”时；当点是点、的“6和距离”时；分别列一元一次方程，计算求出满足要求的解即可；②当在点左侧，即时，，，，然后同理①，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：；
（2）解：设点D表示的数为，
∵，
∴当在点左侧，则，
解得，；
当在点右侧，则，
解得，；
综上所述，点D表示的数为或3，
故答案为：或3；
（3）解：设当P点运动秒时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“6和距离”；
由题意知，分点在之间，点在点左侧两种情况求解；
①当点在之间，即时，，，，
当点是点、的“6和距离”时，则，即，
解得，；
当点是点、的“6和距离”时，即，即，无解；
当点是点、的“6和距离”时，即，即，
解得，；
②当在点左侧，即时，，，，
当点是点、的“6和距离”时，则，即，
解得，；
当点是点、的“6和距离”时，即，即，
解得，；
当点是点、的“6和距离”时，即，即，
解得，（舍去）；
综上所述，时间为或2或或3秒．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题．熟练掌握数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，一元一次方程的应用是解题的关键．
8．(1)
(2)5或11
(3)2或5
(4)或．
【分析】本题考查了数轴一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离．
（1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数；
（2）①根据绝对值的性质即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解；
（3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，可知，求解即可；
（4）由题意可知，到点的距离为，点到点A距离为由题意可知，求解即可．
【详解】（1）解：数轴上B表示的数为：
，
故答案为：；
（2）解：由题意可知的几何意义，表示数轴上与8两点之间的距离为3，
因为数轴上与8的距离为3的点是5或11，
故答案为：5或11；
（3）解：依题意得：表示的数为，
，
，
解得：或，
故答案为：2或5；
（4）解：由题意可知，
到点的距离为：
点到点A距离为：
由题意可知
即或，
解得：或．
9．(1)，
(2)能，点表示的数为2或6或8
【分析】（1）根据点的运动速度和方向即可得到答案，准确列式是解题的关键；
（2）根据题意分三种情况进行讨论求解即可，方程思想和分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）∵动点从A出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒，
∴到点A的距离为：，到点的距离为：；
故答案为：，；
（2）当点在点右侧，且点还没有追上点时，
，
解得：，
∴此时点表示的数为2，
当点在点左侧，且点追上点后，相距2个单位，
解得：，
∴此时点表示的数为6，
当点到达点后，，相距2个单位，
此时点表示的数为8，
综上所述：点表示的数为2或6或8.
10．(1)点B所表示的数为10或
(2)点P表示的数为，点Q表示的数为或点P表示的数为，点Q表示的数为
(3)点P的速度为或，点Q的运动速度为
【分析】本题考查数轴、一元一次方程的应用，理解题意是解答的关键．
（1）先求得a值，再根据数轴上两点间的距离求解即可；
（2）先根据相遇时间和速度关系求得点P、Q的速度，然后分相遇前和相遇后列方程求得运动时间，进而可求解；
（3）根据题意先求出点Q的速度，设点P的速度为v，根据得到关于v的方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵a与互为相反数，
∴，
∵，
∴①当点A、点B在原点的同侧时，点B所表示的数为，如图1所示，
②当点A、点B在原点的异侧时，点B所表示的数为，如图2所示，
故点B所表示的数为10或；
（2）解：当点A、B位于原点O的同侧时，点B表示的数是10
设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x
∵3秒后两动点相遇
∴
解得：
∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2
运动t秒后有两种情形：
①相遇前，由题意有：
解得：；
∴点P表示的数为：，点Q表示的数为：；
②相遇后，再运动y秒，P、Q两点相距2，由题意有：
解得：
∴点P表示的数为：，点Q表示的数为：；
（3）解：根据题意得，点P和点Q在点A处相遇，此时点Q运动5秒，运动9个单位长度
∴点Q的运动速度为：
设点P的速度为v，
∵
∴
解得：或
∴点P的速度为或．
11．(1)；
(2)7
(3)或或14
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离计算，与线段中点有关的线段和差计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离可直接求出的长；先求出，则；
（2）先求出，再由线段中点的定义求出，再求出的长即可；
（3）根据点的运动可直接得出点和点所表示的数，再根据中点的定义分情况讨论可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意可知，；
由点的运动可知，，
，
当点运动到的延长线时；
故答案为：；；
（2）解：∵，，
∴
点是的中点，点是的中点，
∴，
．
（3）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为，
当点为的中点时，，
，
；
当点为的中点时，，
，
；
当点为的中点时，，
，
；
综上所述，当t的值为 或或14时，B，P，Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点．
12．(1)见解析
(2)
(3)①当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值，定值是；②
【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点间的距离及数轴上动点问题：
（1）依据题干要求画出图形即可；
（2）利用点A对应的数字减去点C对应的数字解答即可；
（3）①利用点P，A，B对应的数字求得P到点 B、点C的距离之和即可得出结论；
②利用点P，A，B，C对应的数字求得点P到A、B、C三点的距离之和为S，结合图形求得S的最大值，最小值，再代入运算即可．
利用数轴上是点对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键．
【详解】（1）解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，
∴点C对应的数字为，
∴在图中标出原点O与点C的位置如图：
（2）点A到点C的距离为．
故答案为：．
（3）①当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值．
理由：
∵P是B，C之间的一动点，
，
，，
．
∴当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值；
②∵动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A，
，
∵A，B两点表示的数分别为，点C对应的数字为，
，，
∵点P到A、B、C三点的距离之和为S，
．
∵动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A，
∴当点P与点B重合时，，
．
当点P与点A重合时，，
，
．
13．(1)0；8
(2)5或3
(3)存在合适的t，使得，此时t的值为2或．
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解绝对值方程．
（1）分别求出当及时，P、Q对应的数，再利用数轴上两点距离公式求解即可；
（2）分别求出运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据数轴上两点距离公式列出方程求解即可；
（3）分当时，同（2）即可求解；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，点P表示的数为；点Q表示的数为，
当时，点P表示的数为：0；点Q表示的数为：0，
∴；
当时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：，
∴；
故答案为：0；8；
（2）解：∵点P表示的数为；点Q表示的数为，
由题意得，，
∴或，
解得或，
答：当为5或3时，；
（3）解：由题意得，
∵，
∴点P从A运动到点C需要5秒，从点C运动到A也需要5秒，
∴当时，点P表示的数为；点Q表示的数为，
由题意得，，
∴或，
解得（舍去）或；
∴当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，
由题意得，，
∴或，
解得（舍去）或；
综上所述，存在合适的t，使得，此时t的值为2或．
14．(1)，9
(2)1
(3)①，；②当秒或秒或秒时，点P与点Q之间的距离为1个单位长度．
【分析】此题考查了数轴上的动点问题，列代数式的实际应用，一元一次方程的应用．
（1）由结合“任何一个代数式的绝对值都是非负数”和“两个非负数的和为0，则这两个数都为0”即可求出a、b的值；
（2）由（1）中的结果可知，，结合即可解得，再结合即可得到，且点C在原点的右边，由此即可得到点C表示的数为1；
（3）由题意结合可知，点P的运动时间为4秒，点Q的运动时间为8秒；由此可得点P到A的距离需分和两种情况讨论：点Q到B的距离为：；由于在第2秒时，点P与点Q重合，第4秒时，点P得到达终点，因此点P到点Q的距离需分，及三种情况讨论．
【详解】（1）解：∵，
∴，解得，
∴点A表示的数为，点B表示的数为9，
故答案为：，9；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴C点表示的数为1；
故答案为：1；
（3）解：①由题意可得：点P到点A的距离；
点Q到点B的距离；
故答案为：，；
②当时，点P与点Q之间的距离，
解得；
当时，点P与点Q之间的距离，
解得；
当时，点P与点Q之间的距离，
解得．
综上，当秒或秒或秒时，点P与点Q之间的距离为1个单位长度．
15．(1)4；
(2)12；
(3)不变，．
【分析】（1）本题由点、两点的位置关系，找出点对应的数，再结合中点的性质，即可解题．
（2）本题设运动时间为秒，则点对应的数是，点对应的数是，根据点恰好追上点，列出方程，再解方程，即可解题．
（3）本题设运动时间为秒，则点对应的数是，点对应的数是，根据中点的性质表示点对应的数和点对应的数，得出，再结合，即可解题．
【详解】（1）解：数轴上点、两点相距12个单位长度，点在点的右边，点对应的数是10，
点对应的数是，
线段中点表示的数是．
（2）解：设当运动时间为秒时，点恰好追上点，
则点对应的数是，点对应的数是，
根据题意得，，解得：，
经过12秒，点恰好追上点．
（3）解：设运动时间为秒，
则点对应的数是，点对应的数是，
为线段的中点，为线段的中点，
点对应的数是，
点对应的数是，
，
，
，
，
运动的过程中，线段的长度不变，线段的长是12．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、中点的性质、一元一次方程的运用、列代数式、数轴上的动点问题，解题的关键在于能从点的运动过程中，抽象出线段之间的关系．
16．(1)，，10
(2)t，
(3)①8；②能，点P表示的数分别是，0，3，5，理由见解析．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
（1）由点在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，可知点表示的数为，根据点在点的右侧，点与点的距离为16个单位长度，得出点表示的数为，由点表示的数与点表示的数互为相反数，得到点表示的数为10；
（2）根据列出速度时间，可得，由可得；
（3）①在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据点追上点时，点运动的路程点运动的路程，列出方程，解方程即可；
②分两种情况：点从点向点运动时，又分点在点的后面与点在点的前面；点从点返回到点时，又分点在点的后面与点在点的前面．
【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为10；
故答案为：，，10；
（2）解：，
；
故答案为：t，；
（3）解：①在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据题意得
，
解得．
答：在点向点运动过程中，能追上点，点运动8秒追上；
②分两种情况：
Ⅰ）点从点向点运动时，
如果点在点的后面，那么，解得，此时点表示的数是；
如果点在点的前面，那么，解得，此时点表示的数是；
Ⅱ）点从点返回到点时，
如果点在点的后面，那么，解得，此时点表示的数是；
如果点在点的前面，那么，解得，此时点表示的数是．
答：在点开始运动后，、两点之间的距离能为2个单位，此时点表示的数分别是，，，．
17．(1)，；
(2)不变，理由见解析；
(3)当时，，当时，；当时，．
【分析】（）根据数轴上任意两点间的距离公式等于这两点所表示的数的差的绝对值而得出结论；
（）先分别求出秒后、、三点所对应的数，就可以表示出，的值，从而求出的值而得出结论；
（）先求出经过秒后，、两点所对应的数，分类讨论当时，点还在点处，当时，点在点的右边，当时，点在点的右边，从而得出结论；
本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【详解】（1），，
故答案为：，；
（2）不变，理由：
∵经过秒后，、、三点所对应的数分别是，，，
∴，，
∴，
∴的值不会随着时间的变化而改变；
（3）经过秒后，、两点所对应的数分别是，，
由解得，
当时，点还在点处，
∴，
当时，点在点的右边，
∴，
当时，点在点的右边，
∴．
18．(1)
(2)秒或秒
(3)点的速度为或
【分析】（1）根据平方数，绝对值的非负性可求出的值，再根据两点之间的距离的计算方法即可求解；
（2）根据点，点的运动，设运动时间为秒，用含的式子表示点到点的距离，点到点距离，根据题意列式求解即可；
（3）根据点的运动关系可以求出点对应的数字，及的值，根据动点运动的规律分别求出点所对应的数字，并表示它们的距离，根据行程问题的数量关系的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：中，，，
∴，解得，；，解得，，
∴、两点之间距离为．
（2）解：点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒，点对应的数是，点对应的数是，
∴点到点的距离为，点到点距离为，
∴①时，则，
∴，解得，；
②，且，即时，
∴，解得，
③，时，
∴，解得，；
综上所述，点到点的距离是点到点距离的倍时，运动时间为秒或秒．
（3）解：点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，设点对应的数是，
∴①点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，
∴，解得，，
∴点到点的距离为，点到点的距离为，
∵点从点到点的速度为个单位长度/秒，
∴，
∵、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、，
∴点对应的数字是，点对应的数字是，
此时，点从点向右运动，点从点向左运动，且点从点向右运动，
∴①当点运动秒时，点运动的路程为，则此时点对应的数字为，
∵此时点和点的距离为个单位长度，
∴，则或（不符合题意，舍去），
∴点与点的距离为，
∴点的速度为；
②当点运动秒时，点运动的路程为，则点对应的点的数字是，
∴点从点运动到的路程为，
∴点的速度为；
综上所述，点的速度为或．
【点睛】本题主要考查数轴上动点与距离的综合，掌握数轴上两点之间的距离的表示，动点的运动与数字的对应关系，行程问题的数量关系是解题的关键．
19．(1)
(2)存在；或13
(3)秒或62秒
【分析】（1）根据点到点，点的距离相等，则可得，进而可求解．
（2）依题意得，分类讨论：当时，当时，当时，化简绝对值即可求解．
（3）分类讨论：当甲，乙两小球到原点的距离第一次相等时和当甲，乙两小球到原点的距离第二次相等时，利用距离相等为等量关系列出式子即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：．
（2）存在，理由如下：
由题意得：，
当时，，
解得：，
当时，，
即：，不符合题意，舍去，
当时，，
解得：，
综上所述：或13．
（3）当甲，乙两小球到原点的距离第一次相等时，
依题意得：，
解得：（秒）；
当甲，乙两小球到原点的距离第二次相等时，
甲、乙两小球相遇时，时间为：
，
解得：（秒），
此时甲、乙两小球与原点的距离为：，
则：，
解得：秒，
综上所述：甲，乙两小球到原点的距离相等时的值为：秒或62秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及化简绝对值，比较复杂，读题是难点，所以解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，利用分类讨论的思想解决问题．
20．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）若点对应的数与、差的绝对值相等，则点到点，点的距离相等；
（2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别列出方程求出即可；
（3）根据当在的左侧以及当在的右侧分别列出方程求出即可．
【详解】（1）
，
不符合，
，
，
，
点对应的数为：
（2）解：依题意，
当时，
解得：（舍去）；
当时，
解得：
当时，
解得：
综上所述，或
故答案为：或．
（3），
当时，，
，
，
当时，，不符合题意，
当时，
，
，
，
综上所述：或．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，利用数轴，结合行程问题找出等量关系，列出方程解决问题．
21．(1)1
(2)4
(3)或
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识和线段的和差，线段中点的定义．
（1）利用数轴知识，已知A、B两点表示的数，求线段中点M表示的数；
（2）已知中点表示的数，根据线段中点的定义，求出的值；
（3）根据线段的和差，线段中点的定义求出a的值．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
，
，
，
或，
或，
或，
或，
综上所述，a的值为或．
22．(1)12
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键．
（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（2）由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，再根据相反数的定义可得方程，解方程即可得到答案；
（3）根据点追上点时，点P和点Q表示的数相同，则可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为．点B表示的数为2，
∴数轴上两点间的距离为，
故答案为：；
（2）解：由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵点表示的数和点表示的数互为相反数
∴．
解得．
（3）解：由题意得，，
解得，．
23．(1)10，25
(2)存在，当或10，使得点到点、点的距离之和为25单位长度
(3)最大值为40，最小值为25
【分析】（1）利用两点间距离公式即可求解；
（2）当点在点的左侧（含点）时：得方程；当点在点和点的之间（含点）时：；当点在点的右侧时：，解方程即可；
（3）设点表示的数为，则点到、、的距离和等于，得，分析出的最值即可．
【详解】（1）解：∵A，B，C表示的数分别为，5，15，
∴，，
∴点B到点C的距离为10，点A到点C的距离为25；
（2）解：设点表示的数为，
当点在点的左侧（含点）时：
，
解得：，
当点在点和点的之间（含点）时：
，
解得：无解；
当点在点的右侧时：
，
解得：，
数轴上存在点，使得点到点、点的距离之和为25个单位长度，当或10，使得点到点、点的距离之和为25单位长度；
（3）解：设点表示的数为，
则点到、、的距离和等于，
点在点、之间，
，
当点与点重合时，最大，此时，
的最大值为，
当点与点重合时，最小，此时，
的最小值为25，
的最大值为40，最小值为25．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值．
24．(1)2，1
(2)或6
(3)当t的值是2或6时
【分析】本题考查数轴和一元一次方程;
（1）根据中点和长度的计算方法计算即可；
（2）分别根据点P在点A和点C之间，点P在点A左侧和点P在点C右侧，三种情况建立方程即可得到答案；
（3）根据运行速度计算出P和Q的值，再根据点P在点Q左侧和右侧两种情况建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵P是线段的中点，
∴，
∴，
故答案为：2，1；
（2）解：当点P在点A和点C之间时，，，
又∵，
∴，
化简得（不符合实际，舍去），
当点P在点A左侧时，
得，，
又∵，
∴，
解方程得：；
当点P在点C右侧时，
得，，
又∵，
∴，
解方程得：；
∴x的值是或6；
（3）解：由题意可得：点P为，点Q为，
当点P在点Q的左侧时，
∵，
∴，
∴；
当点P在点Q右侧时，
得；
解得；
由上可得，当t的值是2或6时，．
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