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专题29 平面向量基本定理及坐标表示（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】平面向量基本定理的应用 4
【考点2】平面向量的坐标运算 5
【考点3】平面向量共线的坐标表示 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 9
【培优篇】 10
考试要求：
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量的基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
4．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
二、填空题
6．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
7．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
8．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【考点1】平面向量基本定理的应用
一、单选题
1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
2．（2024·河南周口·模拟预测）已知中，，，AD为BC上的高，垂足为，点为AB上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
4．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．一定可以作为一个基底
B．一定有最小值
C．一定存在一个实数使得
D．的夹角的取值范围是
三、填空题
5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 .
6．（2024·天津·模拟预测）如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则 ；若点P满足与共线，，则的值为 .
反思提升：
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【考点2】平面向量的坐标运算
一、单选题
1．（2024·贵州贵阳·二模）已知向量，若，则实数（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知平面向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
3．（2020·山东临沂·二模）设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
4．（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，点在直线上，且，则的坐标为；
B．若是的外接圆圆心，则
C．若，且，则
D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心.
三、填空题
5．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ．
6．（21-22高三下·重庆·阶段练习）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1．设，则 ；是平面图形边上的动点，则的取值范围是 ．
反思提升：
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【考点3】平面向量共线的坐标表示
一、单选题
1．（2024·新疆喀什·三模）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知向量，，其中，若，则（ ）
A．40 B．48 C．51 D．62
二、多选题
3．（21-22高一·江苏·课后作业）（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）
A．－2 B． C．1 D．－1
4．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知向量 满足，，， .则下列说法正确的是（ ）
A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为
B．若点P在直线AB上运动， 在上的投影的数量的取值范围是
C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3
D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是
三、填空题
5．（2024·江西南昌·模拟预测）已知，若，则的取值为 .
6．（2023·江西上饶·一模）已知向量，，若三点共线，则 .
反思提升：
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系内，已知点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西榆林·一模）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．1
4．（2024·内蒙古包头·三模）已知向量，，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
5．（2022·海南·模拟预测）用下列，能表示向量的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A．若，，则
B．已知向量，，则
C．若，则和在上的投影向量相等
D．已知，，，则点A，B，D一定共线
三、填空题
8．（2024·四川·三模）若向量与向量是共线向量，则实数= ．
9．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.

10．（22-23高三上·天津南开·期末）在四边形ABCD中，，，，，点E在线段CB的延长线上，且，则 .
四、解答题
11．（2020·四川绵阳·模拟预测）已知向量，,.
（1）若，求实数,的值；
（2）若，求实数的值.
12．（21-22高三上·河北邢台·阶段练习）如图，在梯形中，.
（1）用，表示，，；
（2）若，且，求的大小.
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·四川·模拟预测）设向量，，若对任意的正数，，向量始终具有固定的方向，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·河南·模拟预测）设向量，，当且仅当，且时，则称；当且仅当，且时，则称，则下列结论正确的有（ ）
A．若且，则
B．若，，则
C．若，则对于任意向量，都有
D．若，则对于任意向量，都有
三、填空题
3．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.现将双曲线：上的每个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线，则曲线的方程为 ．
四、解答题
4．（2025·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，．
(1)证明：当取最小值时，；
(2)设，求的取值范围．
【培优篇】
一、单选题
1．（22-23高三上·贵州毕节·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（O为坐标原点）.下列四个结论正确的是（ ）
①；
②若，则双曲线的离心率；
③；
④.
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
二、多选题
2．（22-23高一上·辽宁营口·期末）在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点在上时，则
B．的取值范围为
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
三、填空题
3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数z满足，且，则的最大值为 .
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专题29 平面向量基本定理及坐标表示（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 8
【考点1】平面向量基本定理的应用 8
【考点2】平面向量的坐标运算 14
【考点3】平面向量共线的坐标表示 19
【分层检测】 23
【基础篇】 23
【能力篇】 30
【培优篇】 32
考试要求：
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量的基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
4．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
二、填空题
6．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
7．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
8．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3．B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
4．D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
5．C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
6．15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，，解得．
故答案为：15．
7．
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
8．
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，即，即.
于是.记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

【考点1】平面向量基本定理的应用
一、单选题
1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
2．（2024·河南周口·模拟预测）已知中，，，AD为BC上的高，垂足为，点为AB上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
4．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（ ）
A．一定可以作为一个基底
B．一定有最小值
C．一定存在一个实数使得
D．的夹角的取值范围是
三、填空题
5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 .
6．（2024·天津·模拟预测）如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则 ；若点P满足与共线，，则的值为 .
参考答案：
1．C
【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.
【详解】对A：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对B：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量，
且存在实数，使得，
故和共线，不可作基底；
对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.
故选：C.
2．A
【分析】利用向量的线性关系及数量积的运算律得可得答案.
【详解】如图所示，
由题意可知，，，，故，
因为，
所以，
则
.
故选：A.
3．ABD
【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；

对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误；

对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
4．BC
【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得.
【详解】对A：若，即，即，此时不能作基底，故A错误；
对B：，
故有最小值，故B正确；
对C：若，则有
即，即，即，
解得，即当时，，故C正确；
对D：由A知，若，则，即只能同向不能反向，
故的夹角不可能为，故D错误.
故选：BC.
5．
【分析】由，得到，从而有，再根据三点共线，得到，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：因为在中，，
所以，
又因为，则，
因为三点共线，则，结合题意知，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
6． / 或
【分析】把两边用表示即可得解；利用共线向量建立，之间的数乘关系，进而结合第一空把用表示，利用垂直向量点积为零可得解．
【详解】，
∴，
∴，
则
，
又，∴，
所以；
∵与共线，
∴可设，，
∵，
∴，
∴
=，
=，
∴=，①
∵，
∴，，，②
把②代入①并整理得：
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴或，
故的值为或．
故答案为：；或．
反思提升：
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【考点2】平面向量的坐标运算
一、单选题
1．（2024·贵州贵阳·二模）已知向量，若，则实数（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知平面向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
3．（2020·山东临沂·二模）设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
4．（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，点在直线上，且，则的坐标为；
B．若是的外接圆圆心，则
C．若，且，则
D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心.
三、填空题
5．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ．
6．（21-22高三下·重庆·阶段练习）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1．设，则 ；是平面图形边上的动点，则的取值范围是 ．
参考答案：
1．D
【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.
【详解】，，
由，则有，
解得.
故选：D.
2．D
【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.
【详解】因为，，且，所以，
解得，所以D正确.
故选：D.
3．CD
【分析】求出可判断A；求出的坐标，利用向量共线的坐标运算可判断B；由向量垂直的坐标运算可判断C；利用向量夹角公式计算可判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，，因为，
所以与的夹角为，故D正确.
故选：CD.
4．BD
【分析】对于A，设，由题意可得或，再根据平面向量的坐标表示计算即可；对于B，如图，设为的中点，根据数量积的定义即可得解；对于C，当时，再根据数量积的运算律即可判断；根据数量积的运算律即可判断D.
【详解】对于A，设，则，
因为点在直线上，且，
所以或，
则或，
所以或，解得或，
所以或，故A错误；
对于B，如图，设为的中点，则，
则，故B正确；
对于C，当时，，
满足，则与不一定相等，故C错误；
对于D，因为，
所以，所以，
同理可得，
所以是的垂心，故D正确.
故选：BD.
5．
【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：
则，所以，
当时，有，即，此时的取值范围为，
当时，有，即，此时的取值范围为，
当时，有，即，此时的取值范围为，
当时，有，即，此时的取值范围为，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
6． 1
【分析】建立平面直角坐标系，利用相等向量的坐标相等，列式求解；设，求出，通过直线平移即可求解的取值范围.
【详解】
建立以为原点，如图所示的平面直角坐标系，连接，
因为六边形为正六边形，
所以，，
作于，
所以，，
所以，，，
所以，，
设，，，
所以，
所以
如图所示，在平面直角坐标系中，其中，
作直线，平移使之经过多边形内每一个点，当直线经过线段时，取得最大值，当当直线经过线段时，取得最小值.
故答案为：；
反思提升：
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【考点3】平面向量共线的坐标表示
一、单选题
1．（2024·新疆喀什·三模）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知向量，，其中，若，则（ ）
A．40 B．48 C．51 D．62
二、多选题
3．（21-22高一·江苏·课后作业）（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）
A．－2 B． C．1 D．－1
4．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知向量 满足，，， .则下列说法正确的是（ ）
A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为
B．若点P在直线AB上运动， 在上的投影的数量的取值范围是
C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3
D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是
三、填空题
5．（2024·江西南昌·模拟预测）已知，若，则的取值为 .
6．（2023·江西上饶·一模）已知向量，，若三点共线，则 .
参考答案：
1．D
【分析】首先求出， ，再根据向量共线的坐标表示及数量积的坐标运算判断即可.
【详解】因为，，
所以， ，
因为，所以与不共线，故A错误；
因为，所以与不共线，故B错误；
因为，所以与不垂直，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D
2．C
【分析】依据题意以及向量平行的坐标表示列式可求出，进而可求出和，再根据坐标表示的向量加法和数量积定义即可求解.
【详解】因为，，且，
所以，解得或，
又，所以，此时，，
所以，所以.
故选：C.
3．ABD
【分析】先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可．
【详解】因为，
．
假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.
故选：ABD．
4．BD
【分析】根据给定条件，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出点的坐标，逐项分析点的轨迹并推理计算、判断作答.
【详解】因为，即有，则以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立平面直角坐标系，

则，由，得，
点确定的直线方程为：，即，
当点在直线上时，，即，，
因此当时，取得最大值，此时，，A错误；
在上的投影的数量，
当时，，当时，，当且仅当时取等号，即，
当时，，因为恒成立，则，
所以，即在上的投影的数量的取值范围是，B正确；
当点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上时，因为与直线AB相切，
且半径为的圆的圆心轨迹是与直线平行，到直线距离为的两条平行直线，
设这两条与平行的直线方程为，则，解得或，
因此动圆圆心的轨迹为直线或直线，
设圆心为，则点在圆上，其中或，
于是令，
，显然点是直线或上任意一点，
即，从而无最大值，即无最大值，C错误；
，其中锐角满足，
显然，当圆心在直线时，，则，
当圆心在直线时，，则，
所以的范围是，D正确.
故选：BD
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
5．
【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.
【详解】因为，所以，，
由，则有，解得.
故答案为：
6．
【分析】由三点共线得向量共线，然后利用向量共线的坐标运算得答案．
【详解】三点共线，
与共线，
，解得．
故答案为：．
反思提升：
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系内，已知点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西榆林·一模）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．1
4．（2024·内蒙古包头·三模）已知向量，，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
5．（2022·海南·模拟预测）用下列，能表示向量的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A．若，，则
B．已知向量，，则
C．若，则和在上的投影向量相等
D．已知，，，则点A，B，D一定共线
三、填空题
8．（2024·四川·三模）若向量与向量是共线向量，则实数= ．
9．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.

10．（22-23高三上·天津南开·期末）在四边形ABCD中，，，，，点E在线段CB的延长线上，且，则 .
四、解答题
11．（2020·四川绵阳·模拟预测）已知向量，,.
（1）若，求实数,的值；
（2）若，求实数的值.
12．（21-22高三上·河北邢台·阶段练习）如图，在梯形中，.
（1）用，表示，，；
（2）若，且，求的大小.
参考答案：
1．B
【分析】利用平面向量的线性运算求出即可求出.
【详解】由题意如图所示：
因为
，
所以，
所以，
故选：B.
2．B
【分析】根据题意，结合向量的坐标表示与运算，即可求解.
【详解】因为点，则，
可得.
故选：B．
3．D
【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，，
所以，
因为，所以，解得.
故选：D
4．D
【分析】结合向量的坐标运算与向量平行定义计算即可得.
【详解】由，，
则，，
由，则有，
即，故.
故选：D.
5．AB
【分析】
根据题意，设，利用向量的坐标运算，得到关于的方程组，结合方程组的解，即可求解.
【详解】对于A中，设，可得，
则，方程组有无数组解，例如时，，所以A成立；
对于B中，设，可得，
则，解得时，，所以B成立；
对于C中，设，可得，
则，此时方程组无解，所以不能表示，所以C不成立；
对于D中，设，可得，
则，此时方程组无解，所以不能表示，所以D不成立.
故选：AB.
6．ABC
【解析】以向量、方向为x，y轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量，可计算取值范围，即得结果.
【详解】依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，
因为，，，，
所以，故，，
故，故可以是选项中的0，1，.
故选：ABC.
7．CD
【分析】根据向量的线性运算、投影向量的意义和向量共线定理即可判断出正确答案.
【详解】对于A，若，，则与可能平行，故A错误；
对于B，设，则，解得，所以，故B错误；
对于C，若，则，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正确；
对于D，因为，，所以,所以点A，B，D一定共线，故D正确.
故选：CD.
8．
【分析】根据向量共线的坐标表示，列式计算，即得答案.
【详解】因为与共线，所以，解得．
故答案为：
9．
【分析】先利用平行线的性质求出，进而利用向量的线性运算求解即可.
【详解】由已知，
则，
所以，
所以.
故答案为：.
10．1
【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
因为，，，
则，
又则，
因为，所以，
所以直线的斜率为，
其方程为，
直线的斜率为，
其方程为,
由得，，
所以,
由，，
所以，
故答案为：1.
11．（1）；（2）.
【分析】(1)根据向量相等的条件，建立方程组，解之可得答案.
(2)由向量垂直的坐标表示，可求得答案.
【详解】(1)因为向量，,，又，
所以，即有，
解得.
(2)因为向量，,，所以，又，
所以，即，解得.
【点睛】本题考查向量的线性坐标运算，向量相等，向量垂直的条件，属于基础题.
12．（1），，；（2）.
【分析】（1）利用向量的线性运算直接求解即可；
（2）根据，结合向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，由此求得.
【详解】（1），，
；
（2），，.
，且，，解得：，
，.
【能力篇】
一、单选题
1．（2023·四川·模拟预测）设向量，，若对任意的正数，，向量始终具有固定的方向，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·河南·模拟预测）设向量，，当且仅当，且时，则称；当且仅当，且时，则称，则下列结论正确的有（ ）
A．若且，则
B．若，，则
C．若，则对于任意向量，都有
D．若，则对于任意向量，都有
三、填空题
3．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.现将双曲线：上的每个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线，则曲线的方程为 ．
四、解答题
4．（2025·浙江·模拟预测）在正四面体ABCD中，P是内部或边界上一点，满足，．
(1)证明：当取最小值时，；
(2)设，求的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】向量始终具有固定的方向，则向量与共线，即可求解.
【详解】仅当与共线时，向量始终具有固定的方向，
结合题设，两向量必同向共线，则，所以.
故选：.
2．BC
【分析】通过举反例判断AD错误，利用定义证明判断出BC正确.
【详解】对于A，取，，满足，取，，则，，满足，但，A错误；
对于B，因为，，根据新定义可知，，B正确；
对于C，设向量，，，由，得，且，则，且，所以，C正确；
对于D，根据，取向量，，，则，，，D错误.
故选：BC.
3．
【分析】根据定义，在双曲线上设点,求出旋转后点的坐标，然后反求出的坐标，再代入双曲线方程，化简即得.
【详解】在双曲线：上任取一点，将其绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到点
，即，在曲线上设点，
则有反求出，得：
因点在双曲线：上，故得：
，整理得：，故曲线的方程为
故答案为：
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据条件确定点的位置，再证明线线垂直.
（2）先探究与的关系，再利用二次函数的性质求范围.
【详解】（1）如图：取中点，中点，连接，
则，.
因为，，
所以三点共线.
又四面体为正四面体，所以，当为中点时，，此时取得最小值.
又，所以.
（2）易知，
.
所以，，，
故（）.
根据二次函数的性质，当时，有最小值，为；
当或时，有最大值，为.
故的取值范围为：
【培优篇】
一、单选题
1．（22-23高三上·贵州毕节·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于点A，与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，且（O为坐标原点）.下列四个结论正确的是（ ）
①；
②若，则双曲线的离心率；
③；
④.
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
二、多选题
2．（22-23高一上·辽宁营口·期末）在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点在上时，则
B．的取值范围为
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
三、填空题
3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数z满足，且，则的最大值为 .
参考答案：
1．C
【分析】对于①：根据可得，根据勾股定理分析判断；对于②：根据向量共线可得，代入双曲线方程可得离心率；对于③：根据双曲线的定义及三角形的三边关系分析判断；对于④：根据两点间距离以及A的横坐标的范围分析判断.
【详解】对于①：因为，且为的中点，则，
所以，故①正确；
对于②：由题意可知：直线，
设，则，可得，
即，
设，由，可得，
因为，则，解得，
即，由点A在双曲线上可得，
整理得，解得或（舍去），故②正确；
对于③：设直线与双曲线的右支交于点，
由双曲线的定义可得：，
在中可得，即，
所以，
即，故③错误；
对于④：设，则，可得，
则，
因为，则，可得，
所以，即，故④正确；
故选：C.
【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
2．AD
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，
因为，
所以，所以，
对于A，由题意可得线段的方程为，，
因为点在上，所以，
因为，所以，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
因为，，
所以，
若，则，得，
因为，所以不满足，
所以不成立，所以C错误，
对于D，
，当且仅当时取等号，
所以当在线段上时，的最小值为，所以D正确，
故选：AD
3．
【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件进行变形，得到，由此可以证明. 之后再使用向量的坐标运算将表示为关于的表达式，利用即可证明，最后给出一个的例子即可说明的最大值是.
【详解】由，，，，知，，，，从而，，.
由于，，故条件即为，展开得到，再化简得，所以，故我们有，从而.
由于，，，，故，从而.
经验证，当，时，条件满足. 此时.
所以的最大值是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将复数坐标化为平面直角坐标系中的坐标，并将复数之差的模长表示为平面直角坐标系中的线段长度. 另外，本题还具有“阿波罗尼斯圆”的背景：平面上到两个不同定点的距离之比恒为常数的点的轨迹是一个圆，该圆称为关于的阿波罗尼斯圆. 使用解析几何方法结合距离公式，很容易证明此结论.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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