资源简介

2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．的相反数为（　　）
A． B． C． D．
2．剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达10909m．将10909用科学记数法表示为（　　）
A．1.0909×104 B．10.909×103
C．109.09×102 D．0.10909×105
4．三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
5．方程的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝1
6．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
7．如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（　　）
A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（　　）
A．6 B．3 C．5 D．9
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝（　　）
A．20° B．50° C．30° D．80°
10．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x＝9min时，y＝（　　）
A．36L B．38L C．40L D．42L
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．在函数y中，自变量x的取值范围是 　 　．
12．把多项式2a2﹣18分解因式的结果是 　 　．
13．如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝　 　度．
14．一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 　 　．
15．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U＝　 　V．
16．不等式组的解集是 　 　．
17．若90°圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是 　 　．
18．定义新运算：a※b＝ab+b2，则（2m）※m的运算结果是 　 　．
19．△ABC是直角三角形，AB，∠ABC＝30°，则AC的长为 　 　．
20．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE，则DF的长为 　 　．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣tan45°．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC；
（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值．
23．（8分）威杰中学开展以“我最喜欢的研学地点”为主题的调查活动，围绕“在科技馆、规划馆、博物馆、航天馆四个研学地点中，你最喜欢哪一个地点？（必选且只选一个地点）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢航天馆的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若威杰中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢科技馆的学生共有多少名．
24．（8分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
25．（10分）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？
26．（10分）在⊙O中弦AB，CD相交于点E，AE＝CE，连接AC，BD．
（1）如图1，求证：AC∥BD；
（2）如图2，连接EO并延长交BD于点F，求证：∠BEF＝∠DEF；
（3）如图3，在（2）的条件下，作OM⊥CD于点M，连接AD，点G在BF上，连接EG，点H在弧AD上，连接BH交AD于点T，交EG于点Q，连接TE，若DE﹣CMOE，，∠DGE＝2∠BAD，FG＝2，AC＝8，求TQ的长．
27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）．
（1）求b．c的值；
（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF＝CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CMRB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT＝2DH，求直线CT的解析式．
2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．B 2．D 3．A 4．D 5．C
6．D 7．B 8．A 9．C 10．B
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．x≠5 12．2（a+3）（a﹣3） 13．50 14． 15．36
16．1＜x＜3 17．6cm 18．3m2 19．2或 20．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）解：由题意，原式
．
又x＝2cos30°﹣tan45°
＝21
1，
∴原式．
22．（7分）解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
得到．
∵每个小正方形的边长均为1个单位长度，
∴等腰直角三角形EAD中，
AD，
∵O是平行四边形ABDC对角线的交点，
∴DO，
在Rt△EOD中，ED，
∴EO，
∴．
23．（8分）解：（1）8÷20%＝40（名），
答：在这次调查中，一共抽取了40名学生；
（2）喜欢规划馆的人数为：40﹣14﹣10﹣8＝8（名），补全条形统计图如下：
（3）800280（名），
答：估计该中学最喜欢科技馆的学生共有280名．
24．（8分）（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，AG，CF．理由：
由（1）知：四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC和△ADC为等边三角形，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
即CH为AD的垂直平分线，
∴AE＝DE．
同理：CE＝AE，
∴AE＝DE＝EC．
∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD，
∴∠ACH∠ACD＝30°，
∵∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝∠FEC，
∴CF＝CE．
∵△ABC和△ADC为等边三角形，
∴∠BAC＝CAD＝60°，
∵CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120，
∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，
∴△AGE为等腰直角三角形，
AE＝AG，
∴AG＝EC．
25．（10分）解：（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，
由题意得：，
解得：，
答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米；
（2）该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，
由题意得：4m+3（50﹣m）≤165，
解得：m≤15，
答：该中学最多编织15个大号中国结．
26．（10分）（1）证明：∵AE＝CE，
∴∠A＝∠C，
∵，
∴∠C＝∠B，
∴∠A＝∠B，
∴AC∥BD；
（2）证明：如图1，
连接OD，OB，
由（1）知，
AC∥BD，∠C＝∠EBD，
∴∠EDB＝∠C＝∠EBD，
∴DE＝BE，
∵OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SSS），
∴∠BEF＝∠DEF；
（3）解：如图2，
作AD的垂直平分线，交AB于W，连接AH，作BV⊥CD于V，作QS⊥BD于S，
∴AW＝DW，
∴∠BAD＝∠ADW，
∴∠BWD＝∠BAD+∠ADW＝2∠BAD，
∵∠DGE＝2∠BAD，
∴∠DWB＝∠DGE，
∵OM⊥CD，
∴DM＝CM，
∵DE﹣CMOE，
∴DE﹣CM＝DE﹣DM＝EMOE，
∴∠DEF＝30°，
由（2）知，
∠BEF＝∠DEF＝30°，DE＝BE，
∴∠DEB＝60°，
∴△BED是等边三角形，
∴DE＝BD，∠BDE＝∠EBD＝60°，
∴△BDW≌△BEG（AAS），
∴DW＝EG，BW＝DG，
∴EW＝BG，
同理可得，
△ACE是等边三角形，
∴AE＝AC＝8，
设EW＝BG＝a，则AW＝a+8，BF＝BG+FG＝a+2，
∴BE＝BD＝2BF＝2a+4，
∴EFBE（a+2），
∴DW2＝EG2＝EF2+FG2＝3（a+2）2+4，
由DW＝AW得，
3（a+2）2+4＝（a+8）2，
∴a1＝6，a2＝﹣4（舍去），
∴BD＝2a+4＝16，
∵，
∴∠ABH＝∠ADC，∠ADC＝∠ADH，
∴点E、T、D、B共圆，
∴∠BTD＝∠DEB＝60°，∠BTE＝∠BDE＝60°，∠AET＝∠ADB，∠ATE＝∠EBD＝60°，
∵，
∴∠ADB＝∠AHB，
∴∠AHB＝∠AET，
∵∠ATH＝∠BTD＝60°，
∴∠ATH＝∠ATE，
∵AT＝AT，
∴△AHT≌△AET（AAS），
∴∠HAT＝∠EAT，
∵AD＝AD，
∴△ADH≌△ADE（ASA），
∴DH＝DE＝BD＝16，
在Rt△BDV中，BD＝16，∠BDE＝60°，
∴DV＝16 cos60°＝8，BV＝16 sin60°＝8，
∴CV＝CD﹣DV＝24﹣8＝16，
∴tan∠BCD，
∴sin∠BCD，
cos∠BCD，
在Rt△EFG中，
tan∠EGF，
设QS＝4m，SG＝m，则BS＝BG+SG＝6+m，QG，
在Rt△QBS中，
tan∠DBH＝tan∠BHD＝tan∠BCD，
∴，
∴m，
∴QG＝7m＝6，
∴BG＝QG＝6，
∴∠DBH＝∠BQG，
∵∠EQT＝∠BQG，∠DBH＝∠BHD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠EQT，
∵∠ATE＝∠BTE＝60°，ET＝ET，
∴△ATE≌△QTE（ASA），
∴AT＝QT，
在Rt△AEN中，
EN＝AE sin∠BAD＝8，
AN＝AE cos∠BAD＝8，
在Rt△ETN中，EN，∠TEN＝90°﹣∠ATE＝30°，
∴NT，
∴QT＝AT＝AN+NT．
27．（10分）解：（1）将点O（0，0）和点A（3，0）代入抛物线yx2+bx+c得，
，
∴，
∴；
（2）SyP；
（3）如图1，
作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q，
则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，
把t＝﹣2代入y得，y，
∵AJ＝3﹣（﹣2）＝5，
∴AJ＝PJ，
∴∠PAJ＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠PAJ＝45°，
∴∠PAJ＝∠ACD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴可得四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠DBC＝45°，∠FCB＝∠BCD＝90°，
∵CF＝CD＝BC，
∴∠CFB＝∠CBF＝45°，
∵FG∥AC，
∴∠CFG＝∠ACD＝45°，
∴点F、G、B共线，
∵∠FBD＝∠FBC+∠DBC＝90°，∠GED＝90°，
∴∠FBD+∠DEG＝180°，
∴点G、E、D、B共圆，
∴∠EGD＝∠DBC＝45°，∠EDG＝∠FBC＝45°，
∴∠EGD＝∠EDG，
∴EG＝ED，
∵∠EVG＝∠DCE＝90°，
∴∠EGV+∠VEG＝90°，
∵∠DEG＝90°，
∴∠DCE+∠VEG＝90°，
∴∠DEC＝∠EGV，
∴△EGV≌△DEG（AAS），
∴EV＝CD，CE＝GV，
设CMx，WI＝a，
∴∠ACB＝45°，CMRB，
∴WM＝CW＝x，RB＝3x，
∵MW∥BR，
∴△MWI∽△RBI，
∴，
∴BI＝3WI＝3a，
∴AB＝BC＝CW+WI+BI＝x+4a，
∵BC∥AD，
∴△RBI∽△RAD，
∴，
∴，
∴x＝2a，
∴BC＝AB＝x+4a＝6a，RB＝3x＝6a，
∴BFBC＝6a，DF＝2CD＝12a，
∵DF∥RB，
∴△GFD∽△GBR，
∴，
∴BGBF＝2，
∴GV＝BVBG＝2a，
∴CE＝GV＝2a，
∵BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a，
∴ER，
∵RN＝RA＝12a，
∴EN＝RN﹣RE＝2a，
∴CE＝EN＝2a，
作IK⊥RN于K，
由S△RBE＝S△RBI+S△RIE得，
∴，
∴IK＝3a，
∴∠NRD＝∠ARD，
∵RD＝RD，
∴△ARD≌△NRD（SAS），
∴∠RND＝∠RAD＝90°，
∴∠RND＝∠ECD＝90°，
∵DE＝DE，
∴Rt△DCE≌Rt△DNE（HL），
∴DN＝CD＝6a，
∵∠Q＝∠NSO＝90°，
∴∠QEN+∠QNE＝90°，
∵∠EDN＝90°，
∴∠QNE+∠DNS＝90°，
∴∠DNS＝∠QEN，
∴△EQN∽△NEO，
∴，
∴NS＝3EQ，QNDS，
设N（x，y），
∵E（3﹣8a，6a），D（3﹣6a，0），
∴EQ＝3﹣8a﹣x，DS＝3﹣6a﹣x，
∴NS＝3（3﹣8a﹣x），NQ（3﹣6a﹣x），
∵NQ+NS＝QS＝CD＝6a，
∴3（3﹣8a﹣x）（3﹣6a﹣x）＝6a，
∴x＝3，
∴y＝NS＝3（3﹣8a﹣x）a，
∴a，
∴a，
∴6a，
∴C（，），
如图2，
延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y，
∵∠DHT＝90°，∠ATC＝135°，
∴∠XHT＝90°，∠XTH＝45°，
∴∠TXH＝45°，
∴∠XDL＝90°﹣∠TXH＝45°，
∴∠HZD＝90°﹣∠XDL＝45°，
∴DH＝HZ，
设HZ＝DH＝m，则XH＝DH＝2m，DZDH，
∵∠XDL＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠CDX+∠ADZ＝45°，
∵∠CDX+∠DCX＝∠DXL＝45°，
∴∠ADZ＝∠DCX，
∵∠DXC＝∠AZD＝135°，AD＝CD，
∴△ADZ≌△CDX（AAS），
∴CX＝DZ，
∵DX＝DH+XH＝m+2m＝3m，
∴DL＝XL，
∴CL＝CX+XL，
∴tan∠DCL，
∴DY，
∴Y（2，0），
设直线CT的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y．
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