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专题30 平面向量的数量积及其应用（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 9
【考点1】数量积的计算 9
【考点2】数量积的应用 13
【考点3】平面向量的综合应用 16
【分层检测】 20
【基础篇】 20
【能力篇】 28
【培优篇】 31
考试要求：
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
2．（2024·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
4．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B B B D A D
1．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
3．B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
4．B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
5．D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
6．A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
7．D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
8．
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
【考点1】数量积的计算
一、单选题
1．（2025·安徽·一模）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东·一模）已知和的夹角为，且，则（ ）
A． B． C．3 D．9
二、多选题
3．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ）
A． B．
C． D．在的方向上的投影向量为
4．（2024·江西鹰潭·三模）已知向量，，，则（ ）
A．若，则
B．在方向上的投影向量为
C．存在，使得在方向上投影向量的模为1
D．的取值范围为
三、填空题
5．（2024·天津河西·模拟预测）在梯形中，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 ．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B C AB ACD
1．B
【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解.
【详解】因为，与的夹角为，
所以，
则，
所以在上的投影向量为．
故选：B.
2．C
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】
故选：C
3．AB
【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可．
【详解】，，故A正确；
，所以，故B正确；
，所以，
又因为，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故D错误；
故选：AB．
4．ACD
【分析】由垂直向量的数量积表示可判断A；由投影向量的计算公式可判断B，C；由向量的模长公式结合三角函数的性质可判断D.
【详解】对于A，若，则，
则，即，所以，故 A正确；
对于B，在方向上的投影向量为，故B错误；
对于C，在方向上的投影向量的模为，
若，则，
即，其中，，
所以，
所以存在，使得在方向上的投影向量的模为1，故C正确.
对于D，,
因为所以，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
5．
【分析】结合图形，利用向量的加减运算和数量积的定义化简计算即可求得；接着根据条件建立平面直角坐标系，设运用向量数量积的坐标运算式,将化成关于的二次函数，利用其图象特征即得的最小值.
【详解】
由图知，,
解得，，因，则；
如图建立平面直角坐标系，因，易得正.
则,直线的方程为：，
直线的方程为：,两直线联立解得，即，
因N为线段AC延长线上的动点，故可设则，
于是，
，
因，故当时，取得最小值，为.
故答案为：；.
6．/
【分析】借助投影向量定义与向量数量积公式计算即可得.
【详解】由题意可得，即，
即.
故答案为：.
反思提升：
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【考点2】数量积的应用
一、单选题
1．（2024·四川资阳·二模）已知向量，的夹角为150°，且，，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024·广东·一模）已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·重庆·三模）已知，，是平面上的三个非零向量，那么（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则，在方向上的投影向量相同
4．（2023·山东聊城·三模）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ．
6．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知向量满足，则
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D D ABD AB
1．D
【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.
【详解】因为，
所以.
故选：D
2．D
【分析】利用向量垂直则数量积为零，可求出t，再由利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可.
【详解】由，，得，
由，得，解得，则，
则，，，
因此，而，
所以.
故选：D
3．ABD
【分析】根据平面向量数量积的概念和向量的共线定理即可判断A；对等式两边同时平方可得，即可判断判断B；如图，根据向量的线性运算即可判断C；根据投影向量的概念即可判断D.
【详解】A项，若，则，其中，，
若，则，，故；
若，不同时为零，则，根据向量共线定理得，，故A正确；
B项，若，两边平方得，，故B正确；
C项，利用向量线性运算的平行四边形法则，作平行四边形，如图，
，则，
由知平行四边形为荾形，为等边三角形，
所以与的夹角为，故C错误；
D项，，在方向上的投影向量分别是，
又，，故D正确.
故选：ABD.
4．AB
【分析】根据题意，将式子两边同时平方，然后相减即可得到，，然后结合向量夹角公式即可得到，从而得到结果.
【详解】因为，则，且，则，
所以，即，则，又因为，
即，设与的夹角为，则，即，
且，则，所以，则与的夹角可以为，.
故选：AB
5．1或
【分析】结合平面向量的相关知识，将两边平方，计算即可.
【详解】将两边平方，得，
得，即，解得或．
故答案为：或.
6．
【分析】根据模长公式可得，即可由模长求解
【详解】可得，
故，
故答案为：
反思提升：
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cos θ＝(夹角公式)，a⊥b a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【考点3】平面向量的综合应用
一、单选题
1．（2024·山西太原·一模）在中，，，，设点为的中点，在上，且，则（ ）
A．16 B．12 C．8 D．
2．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点，，若以为直径的圆过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ）
A．在上的投影向量为
B．
C．
D．若，则
4．（2024·广东·模拟预测）已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（ ）
A．
B．的外接圆周长为
C．的最大值为
D．若为线段的中点，且，则
三、填空题
5．（2024·湖南邵阳·三模）已知分别为三个内角的对边，且，则 ；若，，，，则的取值范围是 ．
6．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A C BD AC
1．A
【分析】以为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可.
【详解】因为在中，，，，以为原点，建立如图坐标系，
则，，，，设，则，，
由题意可知.即，即，所以.
所以，.所以.
故选：A.
2．C
【分析】根据给定条件，结合圆的性质及数量积的运算律列式，化简可得，进而求出离心率.
【详解】由以为直径的圆过椭圆的右焦点，得，即，
而，则，又，
由，得，
则，即，因此，
整理得，解得，所以椭圆的离心率为.
故选：C
3．BD
【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解．
【详解】对于选项A，在上的投影向量为，故选项A错误，
对于选项B，，故选项B正确，
对于选项C，，
显然时，不成立，故选项C错误，
对于选项D，由，所以，则，即，故选项D正确，
故选：BD．
【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的运算和向量的平行等进行推理运算即可.
4．AC
【分析】由三角形面积公式和向量数量积定义可判断A正确，由正弦定理可得B错误；利用基本不等式可求得的最大值为，可得C正确；根据C中的结论可知当时面积，可得D错误.
【详解】依题意，，故A正确；
记外接圆的半径为，则，则的外接圆周长为，故B错误；
由余弦定理，，则，
故，当且仅当时等号成立，故C正确；
由C可知，当时，为等边三角形，此时，故D错误.
故选：AC.
5． //
【分析】第一空是由正弦定理角化边，再由余弦定理求角即可；第二空是利用先向量的线性运算，再计算数量积，从而求出取值范围.
【详解】由及正弦定理，得，由余弦定理可知，
又，．
，，由余弦定理得，，
与的夹角的余弦值为．
又，，
且，
，，
，
故答案为：，
6． 2 2
【分析】根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案.
【详解】由题意可知O为的中点，且，
则；
设，作，交的延长线于E，
在中，
故，则，
，又，故，
则，
故，
当时，取到最大值2，
故答案为：2；2
反思提升：
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·二模）若向量满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2024·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
二、多选题
5．（2023·浙江·一模）已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（ ）
A．直线过定点 B．当时，线段长的最小值为
C．半径的取值范围是 D．当时，有最小值为
6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．若复数，满足，则
B．若复数，满足，则
C．若向量，满足，则
D．若复数满足，则
7．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在上的投影向量为
三、填空题
8．（2023·天津津南·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则 ；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 .

9．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知平面向量，若，则 ．
10．（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，若，则的值为 .
四、解答题
11．（2024·全国·模拟预测）在中，分别是角所对的边，为边上一点．
(1)试利用“”证明：“”；
(2)若，求的面积．
12．（2024·湖北恩施·二模）在中，角所对的边分别为，设向量，，，.
(1)求函数的最大值；
(2)若，，，求的面积.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A A A ABD CD ABD
1．A
【分析】现依据条件设定点P的坐标，接着根据投影向量概念公式直接计算即可求解.
【详解】由题可设，则，
所以，又，
故在上的投影向量为
，
故选：A.
2．A
【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解．
【详解】因为向量，满足，，，
所以，即，
所以，则．
故选：A．
3．A
【分析】利用给定条件，利用数量积的运算律求得，再利用数量积的坐标表示计算即得.
【详解】由，得，则，
因此，所以.
故选：A
4．A
【分析】先判断外接圆圆心是的中点，将化简为，再将分解整理得，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得的最大值.
【详解】
如图，设的外心为，则点是的中点，
由，
因，故,而，
故当且仅当与同向时取等号.
故选：A.
5．ABD
【分析】
化简直线为，进而可判定A正确；利用弦长公式，求得的最小值，可判定B正确；根据直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部，可判定C不正确；结合向量的数量积的公式，以及直线与圆的位置关系，可判定D正确.
【详解】由直线，可化为，
由方程组，解得，即直线过定点，所以A正确；
当时，圆的方程为，可得圆心，
则，可得线段长的最小值为，所以B正确；
因为直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部，
所以，解得，所以C不正确；
当时，圆的方程为，
则，
当直线过圆心，此时，可得的最小值，
所以有最小值为，所以D正确.
故选：ABD.
6．CD
【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据模长结合数量积的运算律分析求解；对于D：由整理可得，即可得结果.
【详解】对于选项AB：例如，，
则，但，不能比较大小，即不成立，故A错误；
且，满足，
但，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，整理得，故C正确；
对于选项D：因为，则，整理得，
依此类推可得，故D正确；
故选：CD.
7．ABD
【分析】A选项，根据得到垂直关系；B选项，求出，根据模长公式求出答案；C选项，根据得到答案；D选项，利用得到D正确.
【详解】A选项，因为，．
所以．则．所以．故A正确：
B选项，因为．所以．故B正确；
C选项，因为．且．
所以．故C错误；
在上的投影向量为．故D正确．
故选：ABD．
8． /5.25
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，结合平面向量的数量积公式和二次函数的性质即可求出.
【详解】因为，，所以为等边三角形，
因为，，所以在和中，，，
则，得，，
因为在中，，则，得，又，所以，
以为原点，以 所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，，，，
则；
设，，，
则，
因为，所以时，的最小值为.
故答案为：；.

9．
【分析】根据向量坐标运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】，因为，所以，
即，解得.
故答案为：.
10．或
【分析】由可得，展开代入数据计算即可.
【详解】由题意可得，
因为，所以，
所以，
解得或.
故答案为：或
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，两边同时点乘，化简得到，进而证得结论；
（2）设，得到且，，结合两角和的正切公式，列出方程，求得，结合的面积公式，即可求解.
【详解】（1）在中，由向量的线性运算法则，可得，
两边同时点乘，可得，
所以，
两边同时约去，可得，即证毕．
（2）如图所示，设，
因为，所以，又因为，所以，，
所以，
化简得，解得或（舍去），所以，
所以的面积．

12．(1)
(2)
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算得，利用降幂公式和辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求最大值；
（2）解得，由利用正弦定理边化角得，再结合余弦定理求得，面积公式求的面积．
【详解】（1）
.
因为，所以，
所以当，即时，有最大值；
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，
由正弦定理，所以，，
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，即，所以，
所以．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·山东·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
三、填空题
3．（2024·上海·三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题
4．（2024·河北张家口·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若为内角A的平分线，且，求．
参考答案：
题号 1 2
答案 A CD
1．A
【分析】
根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值．
【详解】
由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为，
则，故，
又，设，
则
，
当且仅当时等号成立，
由可知，，
故的最大值为．
故选：A．
2．CD
【分析】利用向量的坐标运算即可，其中在上的投影向量公式为.
【详解】对于A，由向量，，则，故A是错误的；
对于B，由向量的夹角公式得：，所以与的夹角为，故B是错误的；
对于C，由，所以，即，故C是正确的；
对于D，由，则在上的投影向量为：
，故D是正确的；
故选：CD.
3．
【分析】函数在内有且只有一个零点，等价于其对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值.
【详解】，
因为函数在内有且只有一个零点，
所以在内有且只有一个实根，
得，即，
即函数在上的图象与直线只有一个交点，
当时，，
画出在上的图象如下，
结合函数图象可知，函数在区间上的图象与直线只有一个交点时，
所以，即的取值范围是．
故答案为：
4．(1)证明见详解；
(2).
【分析】（1）记的中点为，利用向量运算证明即可；
（2）先根据向量关系得，再由角平分线定理可得，分别在使用余弦定理可得，再在中利用余弦定理求，然后由平方关系可得.
【详解】（1）记的中点为，则，
因为，所以，
所以为的垂直平分线，所以.
（2）记，
因为，所以，
所以，，
又为内角A的平分线，所以，，
在中，分别由余弦定理得：
，
联立可得，
在中，由余弦定理得，
所以.
【培优篇】
一、单选题
1．（23-24高三下·新疆·阶段练习）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
二、多选题
2．（2024·江苏宿迁·三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（ ）
A． B．的取值范围为
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
三、填空题
3．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ．
参考答案：
题号 1 2
答案 B AB
1．B
【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.
【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，

所以，，设，
则
，
又是的外心，所以
，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出.
2．AB
【分析】对A，将条件利用三角恒等变换结合正弦定理化简求得角；对B，利用向量，运算结合基本不等式求解；对C，由B选项结合三角形面积公式求解；对D，由题可得，令，由，得，解得，所以三角形周长，利用导数求解判断.
【详解】对于A，由，所以,
所以，由正弦定理可得
，因为，,
可得，化简得，又，
.故A正确；
对于B，设，，，根据题意，，，
，化简得，则，
，当且仅当时等号成立，又，，
，，即，故B正确；
对于C，由B，可得，故C错误；
对于D，由前面选项，可得，且，，
，即，令，由，得，解得，
所以三角形周长，
则，令，解得，又，所以在
上单调递减，所以，故D错误.
故选：AB.
3．
【分析】第一空：作EF于F，根据几何关系求出DF和AD的比例关系即可；第二空：可以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，设，利用函数方法求最值．
【详解】作EF于F．
∵，且四边形为平行四边形，故，
则，
那么，
，∴，
又，故，∴，
故，
∴，即，
则在向量上的投影向量为；
，，
如图以A为原点建立平面直角坐标系，
作轴于Q，则，则
，则．
设，则，
又，∴，
，，∴．
作轴于P，则，
，
则．
故，
故，
令，
∵在单调递减，在单调递增，
故，
即的最小值为．
故答案为：；．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用建系法，从而构建出关于的表达式，最后利用二次函数的性质即可求出最值.
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专题30 平面向量的数量积及其应用（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】数量积的计算 4
【考点2】数量积的应用 5
【考点3】平面向量的综合应用 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 9
【培优篇】 10
考试要求：
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
2．（2024·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
4．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【考点1】数量积的计算
一、单选题
1．（2025·安徽·一模）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东·一模）已知和的夹角为，且，则（ ）
A． B． C．3 D．9
二、多选题
3．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ）
A． B．
C． D．在的方向上的投影向量为
4．（2024·江西鹰潭·三模）已知向量，，，则（ ）
A．若，则
B．在方向上的投影向量为
C．存在，使得在方向上投影向量的模为1
D．的取值范围为
三、填空题
5．（2024·天津河西·模拟预测）在梯形中，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 ．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 .
反思提升：
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【考点2】数量积的应用
一、单选题
1．（2024·四川资阳·二模）已知向量，的夹角为150°，且，，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024·广东·一模）已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·重庆·三模）已知，，是平面上的三个非零向量，那么（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则，在方向上的投影向量相同
4．（2023·山东聊城·三模）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ．
6．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知向量满足，则
反思提升：
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cos θ＝(夹角公式)，a⊥b a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【考点3】平面向量的综合应用
一、单选题
1．（2024·山西太原·一模）在中，，，，设点为的中点，在上，且，则（ ）
A．16 B．12 C．8 D．
2．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：，点，，若以为直径的圆过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ）
A．在上的投影向量为
B．
C．
D．若，则
4．（2024·广东·模拟预测）已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（ ）
A．
B．的外接圆周长为
C．的最大值为
D．若为线段的中点，且，则
三、填空题
5．（2024·湖南邵阳·三模）已知分别为三个内角的对边，且，则 ；若，，，，则的取值范围是 ．
6．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ．
反思提升：
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·二模）若向量满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2024·四川成都·模拟预测）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2024·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
二、多选题
5．（2023·浙江·一模）已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（ ）
A．直线过定点 B．当时，线段长的最小值为
C．半径的取值范围是 D．当时，有最小值为
6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．若复数，满足，则
B．若复数，满足，则
C．若向量，满足，则
D．若复数满足，则
7．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在上的投影向量为
三、填空题
8．（2023·天津津南·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则 ；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 .

9．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知平面向量，若，则 ．
10．（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，若，则的值为 .
四、解答题
11．（2024·全国·模拟预测）在中，分别是角所对的边，为边上一点．
(1)试利用“”证明：“”；
(2)若，求的面积．
12．（2024·湖北恩施·二模）在中，角所对的边分别为，设向量，，，.
(1)求函数的最大值；
(2)若，，，求的面积.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·山东·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
三、填空题
3．（2024·上海·三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题
4．（2024·河北张家口·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若为内角A的平分线，且，求．
【培优篇】
一、单选题
1．（23-24高三下·新疆·阶段练习）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
二、多选题
2．（2024·江苏宿迁·三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（ ）
A． B．的取值范围为
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
三、填空题
3．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ．
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