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专题31 复数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】复数的概念 4
【考点2】复数的四则运算 5
【考点3】复数的几何意义 5
【考点4】复数与方程 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 8
【培优篇】 9
考试要求：
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.能进行复数代数形式的四则运算.
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．10 D．
3．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
4．（2023·全国·高考真题）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
5．（2023·全国·高考真题）（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点1】复数的概念
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．i B． C． D．
2．（2024·河北衡水·模拟预测）若为纯虚数，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
3．（2024·河南驻马店·二模）已知，则（ ）
A．的虚部为
B．是纯虚数
C．在复平面内所对应的点位于第一象限
D．
4．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是虚数单位，复数，，则（ ）
A．任意，均有 B．任意，均有
C．存在，使得 D．存在，使得
三、填空题
5．（2024·天津武清·模拟预测）已知，且，则 ．
6．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
反思提升：
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，则＝z.
【考点2】复数的四则运算
一、单选题
1．（2024·四川·一模）已知为虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知是关于x的方程的一个根（其中，），则（ ）
A．38 B．36 C．28 D．14
二、多选题
3．（2025·广东·一模）设 是非零复数，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则的最小值为3
D．若，则的最小值为.
4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程的两个复数根分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·海南·模拟预测）已知复数满足，则
6．（2025·广东深圳·模拟预测）已知i为虚数单位，复数z，满足，在复平面中的第一象限，且实部为3，则为
反思提升：
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
【考点3】复数的几何意义
一、单选题
1．（2024·四川达州·二模）复数满足，则在复平面内表示复数的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·海南海口·二模）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
3．（2021·全国·模拟预测）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点不在实轴上 D．的最大值为
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数是方程的两根，则（ ）
A． B．
C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限
三、填空题
5．（21-22高三上·北京西城·期中）在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则 .
6．（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 .
反思提升：
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
【考点4】复数与方程
一、单选题
1．（2021·辽宁沈阳·三模）虚数单位的平方根是（ ）
A． B． C． D．或
2．（2021·江苏·一模）已知是关于x的方程的根，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2021·湖南衡阳·模拟预测）已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
4．（2023·河南·模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
二、多选题
5．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（ ）
A．可能为纯虚数
B．，，的虚部之积为
C．
D．，，的实部之和为2
三、填空题
6．（2021·上海徐汇·二模）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝ ．
反思提升：
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【基础篇】
一、单选题
1．（2025·黑龙江大庆·一模）若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·云南·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·安徽·一模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025·安徽·模拟预测）已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知复数满足且，则可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数是方程的两根，则（ ）
A． B．
C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限
7．（2024·河北衡水·三模）复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．对任意，点均在第一象限 D．存在，使得点在第二象限
三、填空题
8．（2024·全国·模拟预测）若复数和在复平面中分别对应点Z1，Z2，则这两点的距离为 ．
9．（2024·天津河西·模拟预测）已知是关于的方程的一个根，则 ．
10．（2024·山东青岛·二模）已知复数满足，则复数 .
四、解答题
11．（22-23高一下·福建三明·阶段练习）已知复数.
(1)若，求的值；
(2)，，求.
12．（22-23高三·全国·对口高考）已知复数（a，），存在实数t，使成立.
(1)求证：为定值；
(2)若，求a的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
2．（2024·广西桂林·模拟预测）已知，是纯虚数，为的共轭复数，且（i为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．是方程的一个根
三、填空题
3．（2023·河南安阳·模拟预测）若为虚数单位，则计算 ．
四、解答题
4．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于得二次方程：.
(1)当方程有实数根时，求点的轨迹方程；
(2)求方程实数根的取值范围.
【培优篇】
一、单选题
1．（2020·上海闵行·二模）关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·湖北襄阳·二模）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为4
C．当时，则 D．当时，则
三、填空题
3．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为 .
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专题31 复数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 5
【考点1】复数的概念 5
【考点2】复数的四则运算 8
【考点3】复数的几何意义 11
【考点4】复数与方程 14
【分层检测】 16
【基础篇】 16
【能力篇】 22
【培优篇】 24
考试要求：
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.能进行复数代数形式的四则运算.
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．10 D．
3．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
4．（2023·全国·高考真题）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
5．（2023·全国·高考真题）（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C C C B A
1．D
【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，，故.
故选：D
2．A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.
故选：A
3．C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.
故选：C.
4．C
【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
5．C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
6．C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
7．B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
8．A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
【考点1】复数的概念
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．i B． C． D．
2．（2024·河北衡水·模拟预测）若为纯虚数，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
3．（2024·河南驻马店·二模）已知，则（ ）
A．的虚部为
B．是纯虚数
C．在复平面内所对应的点位于第一象限
D．
4．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是虚数单位，复数，，则（ ）
A．任意，均有 B．任意，均有
C．存在，使得 D．存在，使得
三、填空题
5．（2024·天津武清·模拟预测）已知，且，则 ．
6．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A A BC AD
1．A
【分析】运用复数的代数形式的乘除运算法则求得，代入所求式计算即得.
【详解】因为，
所以．
故选：A．
2．A
【分析】先化简复数，再根据纯虚数的定义列式子求，然后代入求模长即可.
【详解】，
因为为纯虚数，所以，所以，，
所以.
故选：A.
3．BC
【分析】根据复数的加减法运算，结合虚部以及纯虚数的定义即可求解AB，根据复数的乘除法运算，结合模长公式以及复数几何意义，即可求解CD.
【详解】的虚部为1，故A项错误；
为纯虚数，故B项正确；
，其在复平面内所对应的点位于第一象限，故C项正确；
，，，故D项错误.
故选：BC.
4．AD
【分析】利用复数的概念、相等的条件、模长公式一一判定即可.
【详解】根据复数的概念可知不能与实数比大小，故B错误；
由复数的模长公式可得，
易知，且不能同时取得等号，故，即A正确；
即动点E到动点F的距离，显然E在抛物线上，F在单位圆上，如图所示，

当时，，故D正确；
若存在，使得，则，
由上知，即上述方程组无解，故C错误；
故选：AD
5．1
【分析】根据题意结合复数的除法运算分析求解.
【详解】由题意可得：，所以.
故答案为：1.
6．2
【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设，且.
则，
，，解得，
故答案为：2.
反思提升：
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，则＝z.
【考点2】复数的四则运算
一、单选题
1．（2024·四川·一模）已知为虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知是关于x的方程的一个根（其中，），则（ ）
A．38 B．36 C．28 D．14
二、多选题
3．（2025·广东·一模）设 是非零复数，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则的最小值为3
D．若，则的最小值为.
4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程的两个复数根分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·海南·模拟预测）已知复数满足，则
6．（2025·广东深圳·模拟预测）已知i为虚数单位，复数z，满足，在复平面中的第一象限，且实部为3，则为
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B A CD ACD
1．B
【分析】根据条件，利用复数运算法则及虚数单位的性质，即可求解.
【详解】因为
故选：B.
2．A
【分析】由题意可得方程的另一个根为，然后利用根与系数的关系可求出的值，从而可求出.
【详解】因为是关于x的方程的一个根，
所以是方程的另一个根，
所以，解得，所以.
故选：A.
3．CD
【分析】利用共轭复数的概念和加减运算性质判断A，举反例判断B，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合圆的性质判断C，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合椭圆的性质判断D即可.
【详解】对于A.，设，则，
所以，
，
当有1个为0或全为0时，，
当均不为0时，无法比较大小，故错误，
对于B，当，时，，
此时，，
故不成立，故错误，
对于C，设，因为，所以，
故有，可得,
所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
而，
故表示点到定点的距离，
由圆的性质可知，，故C正确，
对于D，设，所以，
，
而，故，
所以得到点到两定点，的距离之和为4，
故的轨迹是以，为焦点的椭圆，
故轨迹方程为，而表示到原点的距离，
由椭圆的几何性质可得当点在椭圆的左右顶点时，
取得最小值，此时，故，则D正确.
故选：.
4．ACD
【分析】解方程求出，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可各个选项.
【详解】方程可转化为，解得或，
不妨设，，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，故B 错误；
对于C，由，则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
5．
【分析】利用复数的除法求出，再结合共轭复数及复数模的意义求解即得.
【详解】由，得，，
所以.
故答案为：
6．
【分析】根据复数的几何意义以及模长公式即可求解.
【详解】由于复数的实部为3，故设，根据，所以，解得，
所以，故，
故答案为：
反思提升：
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
【考点3】复数的几何意义
一、单选题
1．（2024·四川达州·二模）复数满足，则在复平面内表示复数的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·海南海口·二模）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
3．（2021·全国·模拟预测）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点不在实轴上 D．的最大值为
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数是方程的两根，则（ ）
A． B．
C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限
三、填空题
5．（21-22高三上·北京西城·期中）在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则 .
6．（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B D ABC AC
1．B
【分析】根据复数的除法运算求得，再结合复数的几何意义分析求解．
【详解】由得，，
所以对应点的坐标是，
故选：B．
2．D
【分析】利用复数的模长公式、除法运算法则及几何意义计算即可.
【详解】易知，所以，
即对应的点为，位于第四象限.
故选：D
3．ABC
【分析】先设，代入中并化简，根据为纯虚数得到的关系可判断A，C；计算判断B；由复数模的几何意义得到的最大值为判断D．
【详解】由题意设，则．因为为纯虚数，所以，且，因此，在复平面内对应的点不在实轴上，所以A，C正确；，所以B正确；表示圆上的点到点的距离，且最大距离为，所以D不正确．
故选：ABC．
【点睛】方法点睛：本题考查复数的运算与几何意义，对于复数的模，共轭复数，复数的分类包括方程的复数解或实数解等问题可以设，代入运算后利用复数相等或复数的定义得出实数的关系，达到求解的目的．
4．AC
【分析】解实系数一元二次方程得，通过计算逐一验证选项即可.
【详解】复数是方程的两根，则有，，
，A选项正确；
，B选项错误；
，，C选项正确；
，在复平面内所对应的点位于第一象限，D选项错误.
故选：AC.
5．
【分析】由已知求得，进一步得到，再根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得．
【详解】解：由题意，，
，
．
故答案为：2．
6．
【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.
【详解】由题意得，，解得，
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
反思提升：
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
【考点4】复数与方程
一、单选题
1．（2021·辽宁沈阳·三模）虚数单位的平方根是（ ）
A． B． C． D．或
2．（2021·江苏·一模）已知是关于x的方程的根，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2021·湖南衡阳·模拟预测）已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
4．（2023·河南·模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
二、多选题
5．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（ ）
A．可能为纯虚数
B．，，的虚部之积为
C．
D．，，的实部之和为2
三、填空题
6．（2021·上海徐汇·二模）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝ ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5
答案 D B C D ABD
1．D
【分析】设平方根为，然后由平方根定义列式，由复数相等的定义计算．
【详解】设的平方根为，则，
所以，解得或．
所以的平方根为或．
故选：D．
2．B
【解析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.
【详解】因为是关于x的方程的根，则另一根为
由韦达定理得，所以
故选：B
3．C
【分析】将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求.
【详解】因为复数是关于的方程的一个根，
所以，所以，
所以，所以，
则，
故选：C.
4．D
【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可.
【详解】由是关于的方程的一个根，
则是关于的方程的一个根，
则，，
即，，则，
故选：D.
5．ABD
【分析】根据复数的基本概念，复数的模等知识容易求解.
【详解】因为，其三个不同的复数根为：，，
当时，此时为纯虚数，故A正确；
因为三个根的虚部分别为1，，，三个虚部乘积为，故B正确；
根据模长定义，，故C不正确；
因为三个根的实部分别为0，1，1，三个实部之和为2，故D正确.
故选：ABD.
6．
【分析】因为，设，则，根据根与系数关系及模求解.
【详解】因为，此时方程两根为共轭虚根，
设，则，
，
.
故答案为：.
反思提升：
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【基础篇】
一、单选题
1．（2025·黑龙江大庆·一模）若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·云南·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·安徽·一模）已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025·安徽·模拟预测）已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知复数满足且，则可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数是方程的两根，则（ ）
A． B．
C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限
7．（2024·河北衡水·三模）复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．对任意，点均在第一象限 D．存在，使得点在第二象限
三、填空题
8．（2024·全国·模拟预测）若复数和在复平面中分别对应点Z1，Z2，则这两点的距离为 ．
9．（2024·天津河西·模拟预测）已知是关于的方程的一个根，则 ．
10．（2024·山东青岛·二模）已知复数满足，则复数 .
四、解答题
11．（22-23高一下·福建三明·阶段练习）已知复数.
(1)若，求的值；
(2)，，求.
12．（22-23高三·全国·对口高考）已知复数（a，），存在实数t，使成立.
(1)求证：为定值；
(2)若，求a的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D D C A AD AC AC
1．D
【分析】设，根据复数代数形式的加减运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，即可求出、，最后根据复数的几何意义判断即可.
【详解】设，则，
所以，又，
所以，解得，
所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.
故选：D
2．D
【分析】先化简复数，再由复数的几何意义求解即可.
【详解】，
其对应的点坐标为，位于第四象限，
故选：D．
3．C
【分析】利用复数的四则运算法则可求，进而可得共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】由，可得，
所以，所以.
所以复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故选：C.
4．A
【分析】根据共轭复数的概念，复数的加减法，复数相等的概念求解即可.
【详解】设，
因为，
所以，
所以，即.
故选：A
5．AD
【分析】求出、、，逐项判断可得答案.
【详解】对于A，若，则，
，
，故A正确；
对于B，若，则，
，故B错误；
对于C，若，则，
，故C错误；
对于D，，则，
，且，故D正确.
故选：AD.
6．AC
【分析】解实系数一元二次方程得，通过计算逐一验证选项即可.
【详解】复数是方程的两根，则有，，
，A选项正确；
，B选项错误；
，，C选项正确；
，在复平面内所对应的点位于第一象限，D选项错误.
故选：AC.
7．AC
【分析】当时，代入计算可判断A、B；由判断的实部和虚部范围可判断C、D.
【详解】当时，，故，故选项正确；
，B选项错误；
当时，，，
故对任意，点均在第一象限，故C选项正确；
不存在，使得点在第二象限，D选项错误．
故选：AC．
8．/
【分析】由复数的几何意义和复数的模长公式即可求解.
【详解】由题可得Z1，Z2两点的距离为
.
故答案为：.
9．38
【分析】代入方程结合复数的概念及运算法则待定系数计算即可.
【详解】将代入方程
得，
所以，所以.
故答案为：38
10．
【分析】利用复数的除法运算求解.
【详解】易知，所以.
故答案为：.
11．(1)，
(2)
【分析】（1）根据复数相等的概念，即可求得答案；
（2）根据复数的除法运算，可求得答案.
【详解】（1）由题意复数，
则由可得；
（2）当,时，，
故.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）对化简整理可得，结合复数的相等分析运算；（2）根据复数模长的定义和公式，结合运算求解.
【详解】（1）∵，则，
由复数相等，消去t得，
故为定值.
（2）
∵，且
∴，
又∵，即，则，整理得，
∴原不等式组即为，解得，
故a的取值范围为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
2．（2024·广西桂林·模拟预测）已知，是纯虚数，为的共轭复数，且（i为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．是方程的一个根
三、填空题
3．（2023·河南安阳·模拟预测）若为虚数单位，则计算 ．
四、解答题
4．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于得二次方程：.
(1)当方程有实数根时，求点的轨迹方程；
(2)求方程实数根的取值范围.
参考答案：
题号 1 2
答案 B ACD
1．B
【分析】先根据复数的除法和乘法计算化简，再根据实部和虚部确定复数对应点的象限.
【详解】，
若，则，∴复数z可能在第一象限；
若，无解，即复数z不可能在第二象限，故应选B；
若，则，∴复数z可能在第三象限；
若，则，∴复数z可能在第四象限．
故选：B.
2．ACD
【分析】先由求出纯虚数，然后利用复数的四则运算及模的运算判断AC，利用共轭的概念判断B，利用复数相等验证方程的根判断D.
【详解】由题意设，因为，所以，所以，
所以，，故A正确；
对于B，，所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C正确；
对于D，因为，
所以是方程的一个根，故D正确.
故选：ACD
3．
【分析】设，两边乘以相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和．
【详解】设，
，
上面两式相减可得，
，
则．
故答案为：．
4．(1)；
(2).
【分析】（1）根据复数相等结合条件可列出关于的方程，整理即可求得点的轨迹方程；
（2）由题可得，然后根据判别式大于等于零即得．
【详解】（1）设方程的实数根为，则有
，
即，
所以，
两式消去可得，
整理可得，
即点的轨迹方程是；
（2）由可得，
整理得，
，
，
解得，
方程的实数根的取值范围是.
【培优篇】
一、单选题
1．（2020·上海闵行·二模）关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·湖北襄阳·二模）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为4
C．当时，则 D．当时，则
三、填空题
3．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为 .
参考答案：
题号 1 2
答案 D AD
1．D
【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.
【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为，设对应的两点分别为A，B，
得A（2，1），B（2，﹣1），
设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2），
（1）当△＜0，即0＜m＜1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆；
（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，
故此圆的圆心为（﹣m，0），
半径，
又圆心O1到A的距离O1A＝，
解得m＝﹣1，
综上：m∈（0，1）∪{﹣1}.
故选：D.
【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.
2．AD
【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项.
【详解】设在复平面内的对应点分别为，
由得，所以在直线上.
由得，所以在圆上.
如图所示：
对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故A正确；
对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故B错误；
对于CD：因为是方程在复数范围内的两根，
所以.
若，即或，此时，
由得或，
∴当或时，；
当时，，故C错误；
若，即，此时，为一对共轭虚根，
，故D正确.
故选：AD.
【点睛】思路点睛：
（1）在遇到此类问题是利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，进而转化为直线与圆的位置关系，即转化为圆上的点到定直线（图形）上的最值问题.
（2）复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值.
3．8
【分析】
因为具有周期性，分别计算n取1,2,3,4时x的值，根据集合元素的个数，写出子集个数.
【详解】周期为4，当时，；当时，；
当时，；当时，，所以集合的子集个数为个.
故答案为：8个.
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