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第01讲 导数的概念与运算
【课程标准】
1、理解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2、通过函数图像直观理解导数的几何意义.
3、能够用导数公式和导数的运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数.
【知识梳理】
知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【解题方法总结】
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
题型一：导数的概念
1．下列结论中，正确的有（ ）．
A．是函数在附近的平均变化率
B．函数与在处的切线相同
C．求时，可先求，再求
D．曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点
2 一般地，若函数的平均变化率在趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在 处的瞬时变化率．
3．如图，从数学的角度刻画气温“陡升”，用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？

题型二：导数的运算
1．已知，则 ．
2．函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的导数 .
3．已知函数，则
4．已知函数，则 ．
5．已知，则 ．
6．的导函数 ．
7．已知，则 ．
8．已知，
则 ．（用数字作答）
9．已知，，，，，，例如，则，，，．若，则 ．
10．对于且这类函数的求导、可以使用下面的方式进行：
第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：
根据框内的信息.则函数的导数 .
题型三：导数的几何意义
角度1 利用导数求直线的倾斜角或倾斜角的范围
1．函数在点处的切线倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
角度2 切线 ~~ “在型” 和“过型”
4．已知函数，则函数在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
角度3 利用导数求参数值
9．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
10．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
11．已知分别是曲线和直线上的点，则的最小值为 ．
12．若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 .
13．设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)证明：.
14．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值；
(2)若函数无零点，求的取值范围.第01讲 导数的概念与运算
参考答案：
题型一
1．BD
【详解】对于A，表示在处的瞬时变化率，所以A错误；
对于B，由，得，则切线的斜率为0，所以在处的切线为，
由，得，则切线的斜率为0，所以在处的切线为，
所以B正确；
对于C，因为是常数，所以再给求导，其值为零，
而先求，再代入求值，其值不一定为零，所以C错误；
对于D，如下图，曲线在点处的切线与曲线有两个公共点，所以D正确
故选：BD
2．
3．
【详解】陡峭程度反映了气温变化的快与慢；两点相差31天，气温增加了，
则有；而两点相差2天，气温增加了，
则有，我们用此值刻画了变量变化的快慢程度．
题型二
1．
【详解】设，，
则.
则.
故答案为：
2．
【详解】两边取对数可得：，
两边求导可得：，
所以.
故答案为：.
3．
【详解】因为，，
所以，由可得，
故答案为: .
4．
【详解】因为，所以.
故答案为：
5．
【详解】由，
故答案为：
6．
【详解】由题意得，
故答案为：
7．
【详解】解：由题知
故答案为：
8．
【详解】因为，
两边求导可得，
令，得到，即，
故答案为：.
9．0
【详解】令，则，，
可知，的周期为2，
令，则，
可知，的周期为4，
由题意可得：，
，
，
注意到，
所以.
故答案为：0.
10．
【详解】因为，故可得，所以，即
，所以.
故答案为：
题型三：导数的几何意义
1．A
【详解】，，
设在点处的切线倾斜角为，
则有，由，则.
故答案为：A.
2．A
【详解】，．
设，则曲线在点P处的切线的斜率为，，
，．
故选：A.
3．B
【详解】

如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为,
则直线的斜率依次为，
由图知直线的倾斜角满足，，
因函数在上递增，故，
即.
故选：B.
4．B
【详解】，令，可得，
，
所以在处的切线方程为.
故选：B
5．C
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
6．D
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
7．A
【详解】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
8．
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
9．D
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
10．D
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
11．/
【详解】平移直线与曲线相切，设切点坐标为，
由，求导得，依题意，即，
而，解得，因此切点坐标为，
所以的最小值为.
故答案为：
12．
【详解】对于：，可得，
当，则，
可知曲线在处的切线是；
对于：，可得，
令得，
由切点在曲线上得.
故答案为：.
13．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为.
将代入，解得，即，
由切线方程，则切线斜率.
故，解得.
（2）证明：由（1）知，
从而等价于.
设函数，则.
所以当时，，当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为.
设函数，
从而在上的最大值为.
故，即.
14．(1)，
(2)
【详解】（1）因为，所以，
又，则，
又曲线在点处的切线方程为，
所以，解得.
（2）令，即，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，且当时，
依题意与无交点，所以，
所以要使函数无零点，则的取值范围为.

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