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2024年武汉市中考模拟试题
数学试卷（五）
亲爱的同学：
在你答题前，请认真阅读下面的注意事项．
1．本卷共8页，24题，满分120分．考试用时120分钟．
2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息．
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．
4．认真阅读答题卡上的注意事项．
预祝你取得优异成绩！
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．实数2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
3．不透明袋子中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他区别，从袋子中随机取出1个球，下列说法正确的是（ ）
A．可以事先确定取出的小球是哪种颜色
B．取出每种颜色小球的概率相等
C．取出红球的概率是，取出绿球的概率是，取出蓝球的概率是
D．将其中1个蓝球换成红球，则取出每种颜色小球的概率相等
4．下列计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是水平放置的正三棱柱，关于它的三视图的描述正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三视图都不相同
6．如图，，，则（ ）
A．72° B．80° C．82° D．108°
7．两次掷一枚质地均匀的骰子，第二次掷出的点数能够被第一次掷出的点数整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔2min相遇一次；如果同向而行，每隔6min相遇一次．则（ ）
A．甲每分跑圈，乙每分跑圈
B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈
C．甲每分跑圈，乙每分跑圈
D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈
9．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，与相等，连接OC，CA，OD．过点B作，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为，△OBE的面积为，若，则tan∠ACO的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，，动点N从A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形NABM沿MN翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与CD的中点重合，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11．2023年全球人数约为80.86亿，数80.86亿用科学记数法表示是______．
12．反比例函数图象经过三点，和（1，k），若，则，写出一个满足条件的k的值是______．
13．计算的结果是______．
14．如图，在Rt△ABC中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为______．
15．四边形ABCD中，，，，，E为AD的中点，若，则BC的长度为______．
16．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；
②一元二次方程的解为，；
③；
④．
其中，正确的是______．
三、解答题（共8 小题，共 72分）
下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（本小题满分8分）
求满足不等式组的整数解．
18．（本小题满分8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：；
（2）直接写出BD与AC满足什么数量关系时，四边形DEBF为矩形．
19．（本小题满分8分）某校为响应进一步深化全民阅读号召，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段/分钟
组中值 75 105 135
频数/人 6 20 4
请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中，120~150分钟时间段对应的扇形的圆心角度数为______，______；
（2）样本数据的中位数位于______~______分钟时间段；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．
20．（本小题满分8分）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，AB是⊙O的切线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）：
证明：如图1所示，连接BD，连接BO并延长交⊙O与点E，连接CE，BC．
图1 图2
∵AB是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，．
∵BE是⊙O的直径，（____________）．
．∴____________，
（____________），∴____________，
，，．．
任务：（1）请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；
（2）如图2，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，割线CF交AB于点E，且满足，，求AB的长．
21．（本小题满分8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
（1）线段AC的长等于______；
（2）半圆O以AB为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图：
①画∠BAC的角平分线AE；
②在线段AB上画点P，使．
22．（本小题满分10分）某园林专业户计划投资种植花卉和树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润与投资量x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：
投资量x（万元） 2
种植树木的利润（万元） 4
种植花卉的利润（万元） 2
（1）分别求出利润与关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉的金额为m万元，种植花卉和树木共获利润W万元，求出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
（3）若该专业户想获利不利于22万元，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的取值范围．
23．（本小题满分10分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮忙解答：
背景图 图1
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，如图1，还能得到吗？如果能，请给出证明，如果不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，如图2，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足什么关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由；
图2 图3
（3）把背景中的正方形改为矩形AEFG和矩形ABCD，且，，，将矩形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，如图3，连接DE，BG，小组发现，在旋转过程中是定值，请求出这个定值．
24．（本小题满分12分）已知：抛物线与直线相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点A在x轴的负半轴上．
图1 图2
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一动点P，过点P作于点H，求垂线段PH的最大值；
（3）如图2，当点P运动到抛物线对称轴右侧时，连接AP，交抛物线的对称轴于点M，当最小时，直接写出此时线段AP的长度．
2024武汉市中考模拟数学试题（五）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D D A C B A B
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11． 12．1（答案不唯一） 13．
14．16 15． 16．①②④
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解：解不等式①，得．
解不等式②，．
∴不等式组的解集为．∴满足不等式组的整数解为．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，，，
又∵E，F分别是OA，OC的中点，，，
，∴四边形DEBF是平行四边形，．
（2） 答案不唯一．
19．（1）36°，25． （2）60，90
（3）（分钟）
答：估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟．
20．（1）直径所对的圆周角是直角
同弧所对的圆周角相等，
（2），设，则，，
由切割线定理得，即，，，
，，，，
∵AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，
，在Rt△ACE中，，
连接AD，BF，，，
，即，，
．
21．解：（1）；
（2）①如图
②如图
22．解：（1）由题意得：设，
将，与，分别代入上述关系式中，得：，，
，，，．
（2）由题意得：
∴当时，W有最小值14，
∴当时，W有最大值32．
答：他至少获得14万元利润，能获得的最大利润为32万元．
（3）当时，，解得，，
，∴当时，获利不低于22万元．
23．（1）还能得到，理由如下：
，，，
，，，；
（2）当时，，理由如下：
，，
又，，，；
（3），，，
，，
连接EG，BD，令EB与GD相交于点N，
，，
又，，，
又，，，
，，
，
又，，
．
24．（1）∵点A在直线上，且在x轴的负半轴上，
，解得，，
把代入得，解得，
∴抛物线解析式为，
又，∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）设直线AB和y轴相交于点E，过点P作轴交AB于点Q
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∵点P在直线AB上方，
，
令，则，，，，
，，
在RtΔPHQ中，，
∵PH随PQ增大而增大，∴PH的最大值为．
（3）．

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