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专题32 数列的概念与简单表示法（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 4
【考点1】由an与Sn的关系求通项 4
【考点2】由数列的递推关系式求通项公式 5
【考点3】数列的性质 7
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 10
【培优篇】 11
考试要求：
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
5．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
【考点1】由an与Sn的关系求通项
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）若数列的前项和，则等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．（2025·浙江·模拟预测）若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·安徽·一模）已知数列满足，则（ ）
A． B．的前n项和为
C．的前100项和为100 D．的前30项和为357
4．（2023·广东佛山·模拟预测）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
三、填空题
5．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为 ．
6．（2024·山西阳泉·三模）已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和 ．
反思提升：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
【考点2】由数列的递推关系式求通项公式
一、单选题
1．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
2．（2024·山西·三模）已知数列对任意均有.若，则（ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
二、多选题
3．（2024·黑龙江·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列为等比数列
D．图②中第2023行的黑心圈的个数是
4．（2023·重庆·三模）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·四川·三模）在数列中，已知，，则数列的前2024项和 ．
6．（2022·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 .
反思提升：
(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项.
(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【考点3】数列的性质
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，，若对，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（ ）
（参考数据：，，）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、多选题
3．（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列中的最大项为
C． D．
4．（2024·安徽黄山·二模）已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．当时，数列是递增数列
C．当时，若数列是递增数列，则
D．当时，
三、填空题
5．（2024·北京西城·一模）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 .
6．（2024·河南驻马店·二模）定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为 .
反思提升：
1.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
2.求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）已知首项为2的数列满足，当的前项和时，则的最小值为（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
2．（2023·北京·模拟预测）已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（ ）
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
3．（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
4．（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
二、多选题
5．（2023·江苏宿迁·模拟预测）设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A．
B．数列是公差为的等差数列
C．数列的前5项和最大
D．
6．（2021·山东潍坊·一模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏盐城·三模）已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．数列可以是等差数列
D．数列可以是等比数列
三、填空题
8．（2022·四川·二模）已知数列满足，且前8项和为761，则 ．
9．（22-23高二下·安徽淮北·阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为 ．
10．（2019·河北保定·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为总量的，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的,第5关收税金为剩余的,5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？假设原本持金斤，则 斤．
四、解答题
11．（2023·广西柳州·二模）在数列中，，它的最大项和最小项的值分别是等比数列中的和的值.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，求数列的前n项和.
12．（2023·河南·模拟预测）已知正项数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，且．求数列的通项公式．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
二、多选题
2．（2024·山西太原·二模）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是等比数列
C．当n是偶数时， D．，，使得
三、填空题
3．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为 ．
四、解答题
4．（2024·广西柳州·模拟预测）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…．
(1)写出一个递推公式，表示与之间的关系；
(2)求的值．（其中，，）
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）已知且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·山东烟台·一模）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，总存在，使得
D．对任意，总存在，使得
三、填空题
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为 .
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专题32 数列的概念与简单表示法（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 13
【考点1】由an与Sn的关系求通项 13
【考点2】由数列的递推关系式求通项公式 18
【考点3】数列的性质 23
【分层检测】 29
【基础篇】 29
【能力篇】 37
【培优篇】 41
考试要求：
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
5．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B B B D
1．B
【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.
法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.
【详解】法1：因为，故，
对于A ，若，可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立，
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，
故为减数列，注意
故，结合，
所以，故，故，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，故恒成立仅对部分成立，
故A不成立.
对于B，若可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，
，，故，故，故为增数列，
若，则恒成立，故B正确.
对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立即
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为减数列，
又，结合可得：，所以，
若，若存在常数，使得恒成立，
则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即，
证明：当时，，此时不等关系成立；
设当时，成立，
则，故成立
由数学归纳法可得成立.
而，故，故为增数列，
又，结合可得：，所以，
若存在常数，使得恒成立，则，
故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为，
令，则，
令，得或；
令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
令，则，即，解得或或，
注意到，，
所以结合的单调性可知在和上，在和上，
对于A，因为，则，
当时，，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，即，
因为在上，所以，则为递减数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故，
所以在上单调递增，故，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为，
当时，，，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
又当时，，即，
假设当时，，
当时，因为，所以，则，
所以，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
此时，取，满足题意，故B正确；
对于C，因为，则，
注意到当时，，，
猜想当时，，
当与时，与满足，
假设当时，，
当时，所以，
综上：，
易知，则，故，
所以，
因为在上，所以，则为递减数列，
假设存在常数，使得恒成立，
记，取，其中，
则，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C错误；
对于D，因为，
当时，，则，
假设当时，，
当时，，则，
综上：，
因为在上，所以，所以为递增数列，
因为，
令，则，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
所以，
故，即，
假设存在常数，使得恒成立，
取，其中，且，
因为，所以，
上式相加得，，
则，与恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.
2．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
3．B
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

4．D
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
5．(1)
(2)①证明见详解；②
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得.
【考点1】由an与Sn的关系求通项
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）若数列的前项和，则等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．（2025·浙江·模拟预测）若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·安徽·一模）已知数列满足，则（ ）
A． B．的前n项和为
C．的前100项和为100 D．的前30项和为357
4．（2023·广东佛山·模拟预测）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
三、填空题
5．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为 ．
6．（2024·山西阳泉·三模）已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C D AD ABD
1．C
【分析】根据与关系求解即可.
【详解】.
故选：C.
2．D
【分析】由等差数列的性质和与的关系，推得，再由互为交错数列的定义，对各个选项分析，可得结论．
【详解】由1，，成等差数列，可得，，
当时，，解得，
当时，由，可得，
上面两式相减可得，
化为，
由，即有，
是3为首项，2为公差的等差数列，可得，
对A，，
，
与数列不互为交错数列，故A选项错误；
对B，由，可得，
与数列不互为交错数列，故B选项错误；
对C，由，
，
与数列不互为交错数列，故C选项错误；
对D，由可得
，
与数列互为交错数列，故D正确．
故选：D．
3．AD
【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D.
【详解】当时，，
当时，，
两式相减可得：，
所以，
显然当时，满足，故，故A正确；
由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误；
令，的前100项和为：
，故C错误；
令，
所以的前30项和为：
，故D正确.
故选：AD.
4．ABD
【分析】A.利用累加法求和，即可判断；B.利用构造法，构造为等比数列，求通项公式，即可判断;C.利用公式，即可求解通项公式，判断选项；D.根据等差数列前项和公式，结合等差数列的定义，即可判断选项.
【详解】对于选项A，由，得，
则
，故A项正确；
对于选项B，由得，
所以为等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，故B项正确；
对于选项C，因为，
当时，，
当时，，
将代入，得，
所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前项和公式可得，
所以与n无关，
所以数列为等差数列，故D项正确.
故选：ABD
5．
【分析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步计算即可推导出数列的通项公式，再根据数列的通项公式及等比数列的求和公式推导出前项和的表达式，最后根据不等式的性质即可计算出实数的最小值．
【详解】由题意，当时，，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
解得，
当时，不满足上式，
，
则当时，，
当时，
，
当时，也满足上式，
，，
，且对任意恒成立，
，即实数的最小值为．
故答案为：.
6．
【分析】由与的关系求得，用裂项求和法求得.
【详解】因为，
所以，
故时，两式相减得，
即，
因为，即，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，


故答案为:.
反思提升：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
【考点2】由数列的递推关系式求通项公式
一、单选题
1．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
2．（2024·山西·三模）已知数列对任意均有.若，则（ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
二、多选题
3．（2024·黑龙江·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列为等比数列
D．图②中第2023行的黑心圈的个数是
4．（2023·重庆·三模）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·四川·三模）在数列中，已知，，则数列的前2024项和 ．
6．（2022·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D C ACD ABD
1．D
【分析】由题意总结规律得，再利用累加法求得的通项公式，然后再进分组求和，建立一个关于的方程，解方程可得.
【详解】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，
记第n层球的个数为，则，
得，
其中也适合上式，则，
在第n堆中，
，
当时，，解得.
故选：D.
2．C
【分析】根据等差数列可得，再利用累加法求.
【详解】因为，可知数列是以首项，公差的等差数列，
所以，
又因为，即，
可得，
累加可得，
则，所以.
故选：C.
3．ACD
【分析】求得，的值判断选项AB；利用等比数列定义判断选项C；求得图②中第2023行的黑心圈的个数判断选项D.
【详解】由题可得，，故A正确，B错误；
，，，且有，，
故有
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
为常数列，且，
所以是以为首项，1为公比的等比数列，故C正确；
由上可得故
所以，故D正确.
故选：ACD.
4．ABD
【分析】先得到，再假设为正整数，利用累乘法求出的解析式，再验证不为正整数时，也符合题意.利用的解析式容易判断ABC，根据错位相减法求和可判断D.
【详解】令，得，代入，得，
当为正整数时，，
所以，
所以，代入，得，
所以，又当时，也符合题意，
所以.
当不为正整数时，经验证也满足，
故为任意实数时，都有.
所以，故A正确；，故B正确；
所以，，故C不正确；
所以，
令，
则，
所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛： 假设为正整数，利用累乘法求出，再验证不为正整数时，也满足题意是解题关键.
5．
【分析】由，得到，利用累乘法得到数列的通项公式，再用裂项相消，即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
因此，
故答案为：.
6．
【分析】根据条件，先构造等比数列求出，再由得，从而可求和.
【详解】由，有，
，两式相除得到，
所以是以为公比，为首项的等比数列，
所以，则，
所以，
所以.
故答案为：.
反思提升：
(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项.
(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【考点3】数列的性质
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，，若对，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（ ）
（参考数据：，，）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、多选题
3．（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列中的最大项为
C． D．
4．（2024·安徽黄山·二模）已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．当时，数列是递增数列
C．当时，若数列是递增数列，则
D．当时，
三、填空题
5．（2024·北京西城·一模）在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 .
6．（2024·河南驻马店·二模）定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A C BD ACD
1．A
【分析】根据递推公式得出,进而即可．
【详解】由与相减得：，
即，又，故，所以.
故选：A.
2．C
【分析】设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果.
【详解】设，则，
因为，
可知数列为递增数列，
且，
，
可知，所以.
故选：C.
3．BD
【分析】由已知可得时，，时，可证数列是以为首项，为公差的等差数列，即可判断A选项，，可判断B选项；再利用裂项相消法可得，即可判断CD选项.
【详解】对于A，由已知，
当时，，即，，
当时，，即，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，A选项错误；
对于B，所以，，且数列单调递减，
所以数列中的最大项为，B选项正确；
对于C，，
，
所以，C选项错误；
对于D，又，所以，即，D选项正确；
故选：BD.
4．ACD
【分析】根据可得，即可迭代求解A，根据，时，可得为常数列，即可判断B；根据二次函数的单调性，证出当时，从而判断出数列的单调性，建立关于的一元二次不等式，解出首项的取值范围，判断出C项的正误；当，时，根据递推关系证出，从而可得，由此推导出，进而利用等比数列的求和公式证出，从而判断出D项的正误．
【详解】对于A，当时，，又，故，
所以，故A项正确．
对于B，因为且，
所以，
当，时，，此时数列是常数列，故B项错误；
对于C, 由于数列是递增数列, 当时，故，，
故， 所以，即，
解得或，故C项正确；
对于D,当时，，结合，可知，
，，结合，
可知是递增数列，，则，
即，所以，
即，
所以，当时，，所以，
可得，故D项正确；
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式
（1）转化为常数，则数列是等差数列．
（2）转化为常数，则数列是等差数列．
（3）转化为常数，则数列是等差数列．
（4）转化为常数，则数列是等差数列．
（5）转化为常数，则数列是等差数列．
（6）转化为常数，则数列是等差数列．
5．
【分析】求出等差数列的首项，直接求出的通项公式即可，利用数列的单调性得最小项为，利用累加法即可求解.
【详解】由题意，又等差数列的公差为1，所以；
故，所以当时，，当时，，
所以，显然的最小值是.
又，所以
，即的最小值是.
故答案为：，
6．
【分析】利用二次函数的性质求解析式，再利用数列的递推思想构造等比数列，即可求和，从而用数列的单调性来求出最小值.
【详解】由二次函数最低点为可知：，
又，所以，
则.由题意得，
又由，得，
因为，所以，
即，又，
所以，则，即，
故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
令.，则，
故当时，，当时，，
故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛，根据二次递推，则需要通过构造两边对数，来得到等比数列递推关系.
反思提升：
1.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
2.求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）已知首项为2的数列满足，当的前项和时，则的最小值为（ ）
A．40 B．41 C．42 D．43
2．（2023·北京·模拟预测）已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（ ）
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
3．（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
4．（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
二、多选题
5．（2023·江苏宿迁·模拟预测）设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A．
B．数列是公差为的等差数列
C．数列的前5项和最大
D．
6．（2021·山东潍坊·一模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏盐城·三模）已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．数列可以是等差数列
D．数列可以是等比数列
三、填空题
8．（2022·四川·二模）已知数列满足，且前8项和为761，则 ．
9．（22-23高二下·安徽淮北·阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为 ．
10．（2019·河北保定·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为总量的，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的,第5关收税金为剩余的,5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？假设原本持金斤，则 斤．
四、解答题
11．（2023·广西柳州·二模）在数列中，，它的最大项和最小项的值分别是等比数列中的和的值.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，求数列的前n项和.
12．（2023·河南·模拟预测）已知正项数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，且．求数列的通项公式．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C A C AC BC BC
1．B
【分析】通过计算得到为一个周期为4的数列，从而计算出，得到答案.
【详解】由题意得，，解得，
同理，解得，
，解得，
，解得，
故为一个周期为4的数列，且，
故，，
故的最小值为41.
故选：B
2．C
【分析】通过已知条件先算出等差数列的首项，公差，然后写出的通向公式，最后写出数列的通项公式分析即可.
【详解】在等差数列中，设首项为，公差为，
因为，
，
解得，
所以等差数列的通项公式为：
，
所以，
当时，，
当时，，
所以数列有最大项为第1项，有最小项第7或第8项，
故选：C.
3．A
【分析】由递增数列定义可得，代入计算即可得解.
【详解】由题意可得恒成立，即，
即，又，，故.
故选：A.
4．C
【分析】由递推公式用累加法公式求出，再求即可.
【详解】法一：由题得，
所以.
法二：由题，，
所以.
故选：C.
5．AC
【分析】
令可得即可求判断A，利用的关系可得即可判断B,C，取求得即可判断D.
【详解】
，
，或(舍)，故选项A正确；
又，，，
数列是公差为的等差数列，故选项B错误；
由得，
，数列的前5项和最大，故选项C正确；
当时，，这与矛盾，
故选项D错误，
故选:AC.
6．BC
【分析】根据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可得，即可判断各项的正误.
【详解】由题意知：，故，
∴，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，，显然，故D错误；
故选：BC
7．BC
【分析】利用赋值，递推式以及假设法，即可逐一选项进行判断.
【详解】若，
当时，，
解得，故A错；
若，，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
，
根据递推关系可知，
当为奇数，即时，
，故B正确；
若，
则成立，
故数列可以是等差数列，即C正确；
若数列是等比数列，假设公比为，
则由，
得，
两式相除得，，
即，
解得，不符合题意，
则假设不成立，故D错.
故选：BC
8．/
【分析】依题意可得，判断可得，即可得到数列是以为首项，2为公比的等比数列，从而得到，再根据等比数列求和公式得到方程，解得即可；
【详解】解：数列满足，整理得，若，则，显然不符合题意，所以，则（常数）；
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以，整理得；
由于前8项和为761，
所以，
解得．
故答案为：．
9．6066
【分析】写成的通项公式，求出公和，再分组求和.
【详解】设等和数列的公和为m．
因为，所以，，，，…，
所以，
又，所以，
所以．
故答案为：6066
10．1.2
【分析】计算每关过后的剩余量即，列方程求出答案．
【详解】解：由题意可知过第一关后剩余，
过第二关后剩余，
过第三关后剩余，
过第四关后剩余，
过第五关后剩余，
∴，解得
故答案为1.2
【点睛】本题考查了数学应用，考查了解方程的数学思想，属于基础题．
11．(1)
(2)
【分析】（1）结合函数的单调性得到数列的最大项和最小项，解出，可得等比数列的通项公式；
（2）用错位相减法求数列的前n项和
【详解】（1）由题意，，
结合函数的单调性，可知，
所以数列中的最大项为，最小项为，
所以，即，
所以等比数列的公比，
（2），
，
，
两式相减得：，
故.
12．(1)
(2)
【分析】（1）利用换底公式和累乘法求出数列的通项公式；
（2）由作差法求出数列的通项公式．
【详解】（1）已知（且），
设，则，
所以，
当时，．
即，所以，
当时，符合上式，
所以；
（2），
当时，，
当时，，
则．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
二、多选题
2．（2024·山西太原·二模）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是等比数列
C．当n是偶数时， D．，，使得
三、填空题
3．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则满足的实数的最小值为 ．
四、解答题
4．（2024·广西柳州·模拟预测）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…．
(1)写出一个递推公式，表示与之间的关系；
(2)求的值．（其中，，）
参考答案：
题号 1 2
答案 C BC
1．C
【分析】由给定的勾股弦数组序列中，，，得，由，得.
【详解】因为，所以．
在给定的勾股弦数组序列中，，所以．
易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为，
所以，
故“弦”的通项公式为．
所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于．
故选：C．
2．BC
【分析】对于A，求出数列的前几项即可判断；对于B，等比数列的定义证明即可；对于C，由B可知，是以为首项，为公比的等比数列，求解判断即可；对于D，由C可知，，结合，所以，分类讨论判断即可.
【详解】对于A：由，，，所以A错误；
对于B：当时，由，，
当时，，
综上所述：所以是以为首项，为公比的等比数列，B正确；
对于C：由B可知，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，为偶数，
所以当n是偶数时，，故C正确；
对于D：由C可知，，由，
所以，因为，
所以当时，，
当时，，而，
所以恒成立，故D错误；
故选：BC.
3．
【分析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步计算即可推导出数列的通项公式，再根据数列的通项公式及等比数列的求和公式推导出前项和的表达式，最后根据不等式的性质即可计算出实数的最小值．
【详解】由题意，当时，，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
解得，
当时，不满足上式，
，
则当时，，
当时，
，
当时，也满足上式，
，，
，且对任意恒成立，
，即实数的最小值为．
故答案为：.
4．(1)
(2)11775
【分析】（1）由题意，可得；
（2）原式可化为，结合（1）可求出r，k，可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，进而利用等比数列的求和公式可得答案．
【详解】（1）由题意，得，并且．
（2）将化成．
比较①②的系数，可得．
解这个方程组，得．
所以，
所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，
则
．
所以（头）．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）已知且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·山东烟台·一模）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，总存在，使得
D．对任意，总存在，使得
三、填空题
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为 .
参考答案：
题号 1 2
答案 C BC
1．C
【分析】由题意等式两边平方化简为平方得，令，结合二倍角余弦公式得，取，，利用二倍角正弦公式和诱导公式计算的结果；
【详解】平方得，令，
则，
不妨取，则，
故选：C.
2．BC
【分析】由已知求出及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出及范围判断C；求出及的范围判断D.
【详解】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，
因此不存在，使得恒成立，A错误；
对于B，由选项A知，，则，
显然当时，恒成立，B正确；
对于C，由，得，
当时，
即，
于是，
两式相减得，
因此，显然满足上式，则，由，
得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，
从而对任意，总存在，使得，C正确；
对于D，，由选项C得，
显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
3．7
【分析】降次作差得，构造数列，求出，则得到，作差构造新数列，再证明其单调性即可得到答案.
【详解】因为，
两式相减得：，即.
两边同除以可得，
又，得，满足，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，故，
即，所以，
因为，
令，则，
所以数列单调递增，因为，
所以当时，，即；
当7时，，
即.所以的最小值为7.
故答案为：7.
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是作差得到，然后是构造等差数列，从而得到，最后作差并结合数列的单调性即可.
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