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课件80张PPT。高三数学专题复习
向量及其应用成都航天中学 马景云目标：1、从宏观上把握向量的知识体系。2、通过对向量高考题的分析，把握向量在高考中重点考查的题型层次和考查方向，提高复习的效率。3、分析学生在各种题型中的思维障碍和常见错误，准确把握学情，提高复习的针对性。 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。在高中数学体系中，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 考情综述：考情综述：高考与向量有关的考题分值统计“教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，…… 教学中注意向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系”
《高中数学课程标准》高考考纲要求1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
2．掌握向量的加法与减法．特别是对几何意义的理解。
3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式高考考纲要求高考题型层次及应对策略第一层次：以平面向量本身的基础知识作
为考查对象,考查学生对向量基础知识的掌
握程度。应对策略：复习好向量本身的内容，包括平面向量的主要概念，主要运算：和、差、数乘、内积的运算法则、几何意义，向量平行、相等、垂直的充要条件等。加强对主干知识和重要题型的训练。一、第一层次知识回顾：1.向量的加法运算三角形法则平行四边形法则“首尾相接首尾连”2.向量的减法运算 设 则 思考：若 非零向量 ，则它们的模相等且方向相同。
同样 若：“同始点尾尾相接,指向被减向量”一、第一层次知识回顾：3.实数与向量的积定义： < 0时， 与 反向； 其中 >0时， 与 同向；=0时，坐标运算：
设 ，则一、第一层次知识回顾：5、平面向量的基本定理6、两个非零向量平行（共线）的充要条件这种表示是唯一的，
即若②设 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平
面内的任何一个向量 ， 有且只有一对实数 使一、第一层次知识回顾：7.两个非零向量互相垂直的充要条件①②8.线段的定比分点公式说明： 运用公式时必须分清起点，分点，终点。>0时，P是内分点。<0时，P是外分点。①②9.平移公式一、第一层次知识回顾：第一层次例题分析类型一：有关向量运算知识的考查第一层次例题分析类型一：有关向量运算知识的考查类型一：有关向量运算知识的考查第一层次例题分析第一层次例题分析类型二：有关模、夹角、数量积的考查第一层次例题分析类型二：有关模、夹角、数量积的考查第一层次例题分析类型二：有关模、夹角、数量积的考查第一层次例题分析类型三：向量平行和垂直条件的考查第一层次例题分析类型三：向量平行和垂直条件的考查第一层次例题分析类型三：向量平行和垂直条件的考查第一层次例题分析类型四：三角形中的向量问题重要结论：ABCO类型四：三角形中的向量问题第一层次例题分析ABC第一层次例题分析类型四：三角形中的向量问题ABCP第一层次例题分析类型四：三角形中的向量问题解析:选CABC友情提示：高考对向量基础知识的考查多以选择填空
题的形式出现，且属于中低档题，在教学
中，应抓住主干知识，扎实训练。使学生
在这类问题上尽量不失分。第二层次：以平面向量的语言、符号为载体，与数学其它知识相综合，考查学生对向量语言的识别理解与等价转化能力。应对策略：正确识别理解向量语言、符号
所提供的数学信息，准确实现等价转化。第二层次例题分析类型一 向量与三角函数的综合 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 第二层次例题分析类型一 向量与三角函数的综合第二层次例题分析类型一 向量与三角函数的综合第二层次例题分析类型一 向量与三角函数的综合第二层次例题分析类型一：向量与三角函数的综合 当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质. 类型二：向量与函数不等式的综合第二层次例题分析第二层次例题分析类型二：向量与函数不等式的综合第二层次例题分析类型二：向量与函数不等式的综合第二层次例题分析类型二：向量与函数不等式的综合第二层次例题分析类型二：向量与函数不等式的综合 由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，因此在向量与解析几何交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析ABCPQ类型三：向量解析几何的综合aaa第二层次例题分析ABCPQxy类型三：向量解析几何的综合aaaADMOEC第二层次例题分析B类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析AMOECBD类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析例20、设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，
A(0，2)，B（0，－2）且 (λ∈R).（Ⅰ）求点
C(x，y)的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设 ，是否存在这样
的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由. 类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何函数的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合第二层次例题分析类型三：向量解析几何的综合 由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与函数、不等式、三角、解析几何、立体几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与数学其它分支的结合考查，这就要求我们在平时的教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，使学生熟练掌握向量语言与其它数学语言之间的等价转化，打破学生对向量知识的神秘感，体会向量解题的优越性，树立应用向量的意识。友情提示:第三层次：以向量为工具，解决立体几何中平行、垂直关系的证明，空间角和距离的求值、或存在性、探索性问题。考查学生应用向量解决实际问题的综合能力。。应对策略：熟练掌握用向量证明平行、垂直关系，
用向量求空间中的角和距离的常规方法和步骤，特
别是要加强运算能力的训练，提高运算的速度和准
确性。第三层次方法回顾（一）空间距离1. 异面直线间距离（ⅰ）坐标法：（ⅱ）传统方法： 2.点面距：
（ⅰ）坐标法： （ⅱ）传统方法： 第三层次方法回顾3.平行线面距: 4.平行面面距:
第三层次方法回顾第三层次方法回顾（二）空间角度计算:
1.异面直线所成角
①等角定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方
向相同，则这两个角相等。
② 异面直线所成角 （ ）：
（ⅰ）坐标法：① ;② 的表示：如
则 为---------------------------

（ⅱ）传统方法：-------------------------- 2.直线与平面所成角 （ ） (1)坐标法: ① ②的表示:如则 = ——————(2)传统方法: 第三层次方法回顾3.二面角的平面角 （ ） (1)坐标法: ① ②的表示:当 (ⅰ) 若为钝二面角时,(ⅱ) 若为锐二面角时,=------------=------------(2)传统方法: -----------------------------------第三层次方法回顾第三层次例题分析类型一：空间角和距离的求值问题第三层次例题分析类型一：空间角和距离的求值问题第三层次例题分析类型一：空间角和距离的求值问题第三层次例题分析类型一：空间角和距离的求值问题第三层次例题分析类型二：探索性问题第三层次例题分析xyo类型二：探索性问题xy第三层次例题分析类型二：探索性问题第三层次例题分析类型二：探索性问题第三层次例题分析XYZ类型二：探索性问题第三层次例题分析XYZ类型二：探索性问题第三层次例题分析类型三：基向量的应用问题第三层次例题分析(2)略类型三：基向量的应用问题第三层次例题分析类型三：基向量的应用问题友情提示：向量在立几中的应用，突出了向量的工具性，一般用于处理平行、垂直关系，角与距离的求解等方面的问题，其方法相对单一，学生易于掌握，但学生在运算的准确性上容易失分，在复习过程中，除了让学生熟练掌握解题思路方法外，更应在学生的运算能力的培养方面下功夫。专题小结 1、要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.
2、向量与函数、不等式的综合问题，解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.3、平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.4、用向量解决立体几何中的角与夹角等问题，关键是熟练掌握方法步骤，恰当建系，准确运算。谢谢光临
欢迎指正2007-4函数与导数的复习
考点聚焦
考点1：函数的概念、表示法、定义域、值域、最值；考点2：函数的单调性、奇偶性、周期性；考点3：指数函数和对数函数的定义、性质（尤其是单调性）、图象和应用；考点4：反函数的定义、求反函数、函数图象的位置关系；考点5：抽象函数问题的求解；考点6：运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题；考点7：导数
内容说明
（1）函数是高中数学中十分重要的内容，.函数思想是思考与解决数学问题的重要思想，它融会了待定系数法、配方法、换元法、反证法、构造法等基本数学方法及数形结合、分类与整合、转化与化归等重要思想. 在解题中涉及的一些数学逻辑方法有：归纳法、演绎法、反证法、分析法、综合法、一般问题特殊化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化等。
函数是高中数学最重要的内容，是初等数学与高等数学的主要衔接部分，同时也是贯穿了整个中学数学的一根主线.具有概念性强，内容丰富，与其他知识（特别是方程、不等式、导数等知识）联系广泛等特点，对函数怎么重视都不过分．如函数的性质、函数的图象和函数的综合应用每年都炙手可热，特别是二次函数已经成为高考永恒的主题，涉及的题型有选择题、填空题和解答题．近年来高考试题对函数的考查更加灵活，函数与不等式、函数与数列、函数与解析几何、函数与三角，甚至是函数与向量相结合的问题层出不穷，除了传统考查形式外，花样还不断翻新，已经发展到了挖掘函数本质、活用性质、新定义和新情境等高层次水平上． 深度考查了学生的逻辑思维能力和数学思想方法的应用。
（2）导数是高等数学的最为基础的内容，是中学必选的重要知识之一．由于导数应用的广泛性，可为解决所学过的函数问题提供更有效的工具或更一般性的方法，导数方法与初等方法相比对技巧性的要求有所降低，因此运用导数方法可以简捷地解决相关问题．可以说导数的加入使函数这部分内容更加充盈，也显得更加重要．
解剖高考中重要题型
(一) 函数的解析式问题
求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 要在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，形成能力，并培养学生的创新能力和解决实际问题的能力 求解函数解析式的方法主要有
1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2 换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；
如：
求 ：的值域
3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x)；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法
例1.(1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a>0，a≠1，x>0)，求f(x)的表达式
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式．
（3）( 2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
解 (1)令t=logax(a>1，t>0；0因此f(t)= (at－a－t)，　　∴f(x)= (ax－a－x)(a>1，x>0；0(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c
得并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，
所以所求函数为 f(x)=2x2－1 或f(x)=－2x2+1 或f(x)=－x2－x+1
或f(x)=x2－x－1 或f(x)=－x2+x+1 或f(x)=x2+x－1
（3）（Ⅰ）因为对任意x R，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以
f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.
若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)= x0.
所以对任意xR，有f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)= x0，所以=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即
f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为
f(x)= x2 –x+1（xR）.
（二）二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相关问题
三个“二次”是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关复习时要理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法．
1．二次函数的解析式有四种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c
（2）顶点式：y=a(x-m)2+n,其中(m,n)是抛物线的顶点。
（3）两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根。
(4)三点式：
2．二次函数的应用
给定区间的值域
二次方程根的分布
的应用
与二次函数有关的参数范围问题
二次函数与不等式的结合
例2.已知二次函数y= ax2+bx+c。
（1）对于x1,x2∈R,且x1< x2，f(x1)f(x2),求证：方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实根，且只有一个根属于(x1,x2)；
（2）若方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)内的根为m，且x1,m-,x2成等差数列，设x=x0是f(x)的对称轴方程，求证：x0分析：方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]显然是一个二次方程，所以可用判别式证明。
证明： （1）
整理得：2ax2+2bx-a(x12+x22)-b(x1+x2)=0,
=4b2+8a[a(x12+x22)+b(x1+x2)]
=2(2ax1+b)2+2(2ax2+b)2>0(x1x2).
设g(x)= f(x)-[f(x1)+f(x2)],则g(x1)g(x2)= {f(x1)-[f(x1)+f(x2)]}{ f(x2)-[f(x1)+f(x2)]}
=[f(x1)-f(x2)]2<0(f(x1)f(x2)),所以在(x1,x2)上必有一个实根。
（2）因为x1,m-,x2成等差数列，所以x1+x2=2m-1.
由2f(m)= f(x1)+f(x2),得：a(2m2-x12-x22)+b(2m-x1-x2)=0,将上式代入，得：
b=-a(2m2-x12-x22),所以x0=.
例3设二次函数f(x)= ax2+bx+c，方程f(x)-x=0的两根x1,x2满足0（1）当x∈(0,x1)时，证明：x（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0<.
分析：（1）欲证x同除a（x-x1）<0，得：0< x2-x<。
（2）欲证x0<，即证<，而x1,x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的两根，所以x1+x2=，故=
。
例4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围．
(1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点
(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－，x1x2=．
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵a>b>c,a+b+c=0，a>0，c<0，∴a>－a－c>c，解得∈(－2，－)．
∵的对称轴方程是∈(－2，－)时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()．
（三）含参数的指数函数、对数函数与不等式综合问题
掌握指数函数、对数函数函数的概念、图象和性质并能灵活应用图象和性质分析问题、解决问题；特别是底是参数时，一定要区分底是大于1还是小于1，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域．
例5.在xOy平面上有一点列P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…,Pn(an,bn)…，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0简析：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，从中找出与n之间的关系式．
解：(1)由题意知 an=n+，∴bn=2000()
(2)∵函数y=2000()x(0bn+1>bn+2
则以bn、bn+1、bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，
即()2+()－1>0，解得a<－5(1+)或a>5(－1) ∴5(－1)(3) 5(－1)∴a=7∴bn=2000() 数列{bn}是一个递减的正数数列，
因此数列{Cn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1，
由bn=2000()≥1得 n≤20 ∴n=20

（四）对函数性质的考察
研究一个函数，要注意从多个角度全方位地考查其性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、过定点等，只有对函数性质全面地了解，才能做到有的放矢，克服难关．
考点1 考查函数定义域求法
求函数定义时有以下几种情况：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数的真数为正且底数为不等于1的正数；④零次幂的底数不为零．
考点2 考查函数值域的求法
(1)函数值域的常用求法 配方法、复合函数法、分离变量法、单调性法、数形结合法、换元法、法、不等式法及导数法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域
考点3 考查反函数
求法:
求反函数步骤为：①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；②由；
③将对换，改写为．
如求的反函数
反函数的性质：
单调性，奇函数，几何性质
如:
求的对称中心
考点4 考查函数的奇偶性与单调性：
奇偶性：证明与判断方法、已知奇偶性求参数、奇偶性的应用，常见奇函数。
单调性：证明与判断方法、已知单调性求参数、单调性的应用
抽象函数：用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性
常见抽象函数如下表所示：
对数函数，形如：
指数函数，形如：
正比例函数，如：
幂函数，形如：等
余弦函数，形如：
考点5 考查函数对称性、周期性及综合应用
对称性：中心对称，轴对称
周期性：周期、半周期、四分之一周期
如：，
周期性对称性的关系：有两个对称性的函数一定具有周期性
例6：
若函数是奇函数，则a=
解析：由是奇函数得
得，化简得：，即，考虑到，故．
例7.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减
解析：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点
证明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 ∴f(x)=－f(－x) ∴f(x)为奇函数
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减
令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0，?即　f(x2)∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0
∴f(x)在(－1，1)上为减函数
例8.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）求证：y=f(x)在R上单调递增
例9．是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
解析：由，，所以；又因为是定义在R上的的奇函数，故，
又因为
所以
函数图象关于对称，所以，故选D．
例10．设定义域为R的函数，则关于的方程
有7个不同实数解的充要条件是（ ）
（A）且
（B）且
（C）且
（D）且
解析：由图象知要使方程有7解，应有有3解，有4解．则
，选C．
评注：如果不借助于图形，试图通过研究方程式来得出结果是很困难的．当然在利用数形结合思想解题时，作图一定要规范和准确．
考点6函数图象
高考对函数图象的考查主要体现在以下几个方面：①给出或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象；②给出函数的图象求解析式；③给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围；④考查函数图象的平移、对称和翻折；⑤和数形结合有关问题等，特别是讨论方程的解的个数及解不等式等．同时考查基本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力，试题设计新颖，体现了课改的方向.
函数图象是研究函数性质的直观工具，研究一个函数图象可从如下几个方面来考查：（1）函数图象的范围，即定义域和值域；（2）函数图象的最高点、最低点和极点；（3）函数图象的变化趋势，即单调性、对称性和周期性；（4）函数过定点或渐近线等关键特征．
熟练处理函数图象题的途径（1）平时要牢记一些基本初等函数如：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数、对勾函数、分区间单调函数、三次函数等图象；（2）对于一些简单的函数可通过列表、描点作图；（3）对于一些线性复合函数可利用基本初等函数通过平移、对称和伸缩三大变换来作出我们所求的函数．
考点7考查函数性质的挖掘与延伸
例11
在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析：满足性质的是上凸函数．分别作出这四个函数的图象，在为上凸函数的有，而为上的下凸函数，在为上凸函数，在为下凸函数，故选B
例12对定义域是、的函数、，规定：
函数．
（Ⅰ）若函数，，写出函数的解析式；（Ⅱ）求问题（1）中函数的值域；（Ⅲ）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明．
解析：(Ⅰ)
(Ⅱ) 当≠1时, =
=—1++2 ．①若>1时, 则≥4，其中等号当时成立；②若<1时， 则≤ 0,其中等号当=0时成立． 所以函数的值域是(—∞，0){1} [4，+∞]．
(Ⅲ)令，，则=
于是

方法技巧提炼
1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.?
2．运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.?
3．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.
4．解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.
考点6 考查函数类型的应用题
例13甲方是一农场，乙方是一工厂． 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），（Ⅰ）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
解析：（Ⅰ）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为：因为,所以
当时,取得最大值．所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨)．
（Ⅱ）设甲方净收入为元，则．将代入上式，得到甲方净收入与赔付价格之间的函数关系式．又
，令，得．当时，；当时， ，所以时，取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格（元/吨）时，获最大净收入．
(七)导数概念及应用
1．理解导数的概念及几何意义?
（1）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：?＝＝.?
函数y＝f（x）在（a，b）内的导函数：f ′（x）＝＝.?
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数
f ′（x0）＝f ′（x）︱=??
（2）函数f（x）在点x0处有导数，则函数f（x）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f（x）在点x0处有切线，函数f（x）在该点处不一定可导.?
(3)在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数f（x）在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.?
（4）．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①f′（x）＞0是f（x）递增的充分条件而非必要条件（f′（x）＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据f′（x）＞0（或f′（x）＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.?
3.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．
4．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））.?
5．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.
导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题．
考点1 考查相关概念
例14．下列命题中，正确的是（　） ①若函数f（x）在点x0处有极限，则函数f（x）在x0处连续；?②若函数f（x）在点x0连续，则函数f（x）在x0处可导；?③若函数f（x）在点x0处取得极值，则f ′（x0）＝0；?④若函数在点x0有f ′（x0）＝0，则x0一定是函数的极值点.?
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析： ①是错误的，如f （x）＝ 在点x＝0处不连续；②是错误的，如f（x）＝︱x︱在x＝0处连续，但不可导；③是错误的，f（x）在点x0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f（x）＝x3在x＝0的导数为零，但x＝0不是函数的极值点.?答案A
评析：函数f（x）在点x0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f（x）在x0处连续是f（x）在x0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x0取得极值，才有f′（x0）＝0，注意其前提条件.
考点2 考查导函数与原函数图象间关系
例15．已知函数的图象如右图所示
(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是( ）


解析：由图象可知：在上小于等于零，故原函数在上为减函数，故选C．
评注：函数图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．
考点3 考查导数的几何意义
函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。
例16．设P0 (x0，y0) 为曲线C : y=x3 (x＞0)上任意一点，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn＋1，…，已知x0=9，设Pn (xn，yn) (n∈N)。
（1）求出过点P0的切线方程。
（2）设xn=f (n) (n∈N)，求f (n)的表达式；
解析 （1）y′=3x2，∵P0 (9，93)，∴切线P0Q1的斜率，
∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y－93=243 (x－9)，即243x－y－1458=0.
（2）过Pn (xn，yn)的切线的斜率为kn=3x，切线方程为y－yn=kn(x－xn)，
即y－x=3x (x－xn). 令y=0得
x=xn－=，即Qn＋1的横坐标为xn，
又∵直线Qn＋1Pn＋1∥y轴，∴P n＋1的横坐标xn＋1=xn，由于x0=9，∴数列是公比为的等比数列∴xn=x0 · ()n=9×()n，则f (n) = 9×()n，（n∈N）
考点4 考查导数的定义的应用
例17．已知,为正整数，设，证明．
考点5 考查利用导数判断函数的单调性
例18．已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围．
考点6 考查导数在函数极点处的性质
利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解．
例19．已知，讨论函数的极值点的个数．
解析：
令=0得．
考点7 考查最值问题
例20．已知a ≥ 0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex?当x为何值时，f（x）取得最小值？并证明你的结论；?
考点8 考查导数与其知识交汇问题
利用导数处理不等式
例21．设函数f（x）＝xsinx（x∈R）.?（1）证明f（x+2kπ）－f（x）＝2kπsinx，其中k为整数；（2）设x0为f（x）的一个极值点，证明；?（3）设f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…，an，…，证明＜an+1－an＜π（n＝1，2，…）.?
解析:（1）利用三角函数的周期性；（2）求导变形；（3）满足f′（x）＝0的正根x0都为f（x）的极值点，然后再作差an+1－an求范围.?
证明(1)由函数f（x）的定义，对任意整数k，有f（x+2kπ）－f（x）＝（x+2kπ）sin（x+2kπ）－xsinx＝（x+2kπ）sinx－xsinx＝2kπsinx.?
（2）函数f（x）在定义域R上可导，?f′（x）＝sinx+xcosx，①?
令f′（x）＝0，得sinx+xcosx＝0.?
显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化简为x＝－tanx.如图所示，
此方程一定有解.f（x）的极值点x0一定满足tanx0＝－x0.由sin2x＝＝，得sin2x0＝.因此，＝x02sin2x0＝.　　　　　　　
（3）设x0＞0是f′（x）＝0的任意正实根，即x0＝－tanx0，则存在一个非负整数k，使x0∈（+kπ，π+ kπ），即x0在第二或第四象限内.由①式，f′（x）＝cosx·（tanx+x）在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：?
x
（+kπ，x0）
x0
（x0，π+kπ）
f ′ （x）的符号
k为奇数
—
0
+
k为偶数
+
0
—
所以满足f′（x）＝0的正根x0都为f（x）的极值点.?
由题设条件，a1，a2，…，an，…为方程x＝－tanx的全部正实根且满足a1＜a2＜…＜an＜…，那么对于n＝1，2，…， tan（an+1－an）＝（tanan+1－tanan）/（1+tanan+1·tanan）= -（an+1－an）/（1+tanan+1·tanan）. ②?由于+（n－1）π＜an＜π+（n－1）π，+nπ＜an+1＜π+nπ，则＜an+1－an＜，?由于tanan+1·tanan＞0，由②式知tan（an+1－an）＜0.由此可知an+1－an必在第二象限，即an+1－an＜π.?
综上，＜an+1－an＜π.?
利用导数研究数列
例22．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任
意的n∈N*，都有4Sn=(an+1)2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若2n≥tSn对于任意的n∈N*成立，求实数t的最大值。
分析：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)易得an=2n-1，从而Sn=n2则问（2）转化为t≤恒成立，故只需求出数列的最小项，有以下求法：
法一：研究数列{bn}的单调性。
法二：数列作为一类特殊的函数，欲求的最小项可先研究连续函数的单调性，求导得，
易得为函数的极小值也是最小值点，又，所以而，故
导数与解析几何相综合的题目
导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。
例23．已知双曲线与点M（1，1），如图所示.
（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；
（2）设（1）中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。
分析：本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的勾通。
（1）证明：设，要证命题成立只需要证明关于t的方程有两个符号相反的实根。
，且t≠0，t≠1。
设方程的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m<0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。
（2）设，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而
，即线段AB的中点在直线上。
又，AB与直线
垂直。
故A与B关于对称，
设，则
有t2-2mt+m=0 ①
由及夹角公式知
，即 ②
由①得
③
从而
由②知，代入③知
因此，。
考点9 考查导数的实际应用
学习的目的，就是要会实际应用，学生要有运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力。近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题
例24．甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
点拨：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式. 技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.
解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则
∵BD=40,AC=50－x,
∴BC=
又设总的水管费用为y元，依题意有：
y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50)
y′=－3a+,令y′=0,解得x=30
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
解法二：设∠BCD=,则BC=,CD=,
设总的水管费用为f(θ),依题意，有
f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a·
=150a+40a·
f (θ)=40a·
令f′(θ)=0,得cosθ=
根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数
取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,
∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：?
(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化；?(3)由函数与导数为载体的不等式证明的方法多，应注意恰当运用。特别要重视比较法、分析法等通法以及放缩法的灵活运用；(4)可利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.（5）合理的猜想，广泛的联系（6）消除对多字母、多变元的问题恐惧。?


数学思想方法
及解题策略
成都玉林中学
杨 柳 青
数学思想方法是策略性知识
“少考一点算，多考一点想”，实质是加重对“数学思想方法”的考查
高考中常用的数学思想有：函数与方程；数形结合；化归与转化；分类讨论
一、函数与方程思想
1．函数是中学数学的主线
无处不函数
高考函数比重每年都较大
著名数学家克莱因说过：一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情就是用变量和函数来思考
函数思想是一个重要的基本数学思想，其重要性不仅表现为五个基本初等函数的研究占据了高中数学的中心地位，而且还表现为：
①方程或不等式可作为有关函数的零点、单调性、正负区间或极值来处理
②数列作为特殊的函数，一直处于高考的热点上
③作为函数概念的基础——集合与映射，已在高考中作为数学基本语言、数学基本工具而大量出现
④其他数学问题，特别是体现参数讨论或运动观点的问题，常可用函数思想来分析或用函数方法来解决
函数在高考中的重要地位——试题以函数为主线，不仅题量较多，而且高难题常与函数直接联系
函数思想在解题中的应用，主要表现在两个方面：
①借助于有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题
②在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的
2．高考中的方程问题包括方程的求解与方程观的应用
分成逐渐提高的4个层次：
第一层次：解方程
第二层次：带参变数的方程的讨论
第三层次：转化为方程的讨论
第四层次：构造方程求解问题
例1：一等差数列的前10项和为100，前100项的和为10，求该数列前110项的和.（）
分析：本例常规解法有二：
一是依列出关于、的方程组，求出、，再代入公式求．
二是利用，，,……成等差数列，求出新数列的公差，然后求新数列前11项的和．
若注意到等差数列中，可知是的一次函数，于是可用一次函数的图象——直线求解．
解：由条件=100，=10．
∵仍是等差数列，
∴，,三点共线，于是有，
即，解得．
例2：已知方程:
+总有解，则实数的取值范围是 ．（，或）
分析：把方程变形为：
，
由知
或．
例3：已知，设，试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的正整数，不等式－恒成立．
（）
分析：本例无法求和，常规数列方法不起作用，需用非常规手段．注意要使不等式－恒成立，只需不等式：
－恒成立．问题转化为求．注意，可猜测,怎样证明这个结论？可联想用函数单调性证明是增函数，这样把问题转化为解不等式，得到．
例4：我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费。若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费元；若用水量超过时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：
月份
用水量／（）
水费（元）
1
9
9
2
15
19
3
22
33
根据上表中的数据，求．（，，）
分析：设每月用水量为，支付费用为元，则：
由题意知：， ∴．
由表知第2、3月份的费用均大于13元，故用水量、均大于最低限量，将分别代入(2)式得
再分析1月份的用水量是否超过最低限量．
若，将代入(2)式
与(3)矛盾
∴，即1月份的付款方式应选(1)式．
则，∴
故，，
例5：已知，求证：．
分析： ．从方程观点来看，以、为根的二次方程应有判别式等于零，对照已知条件，恰好是判别式的形式。
证明：已知条件表明，以、为根的二次方程
有判别式等于零，故得两根相等，从而有．
例6：设且，抛物线被轴截得的弦长为，证明：．
分析：（1）由于弦长是与，，有关的变量，若能建立的表达式，那么结论相当于确定函数的值域。
（2）为确定函数的值域，需完成三件事：①求出变量的解析式；②确定解析式中的自变量及其取值范围；③由以上两项推出求证式。
证明：在中，
∵且，
∴．∴.
故方程必有两个不等实根、，
则
．
显然是的二次函数，由且可得，再由二次函数的单调性知，当时是单调递减的。
∴，
即．
但，故．
二、数形结合思想
华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休
对数学问题的思考应当从数与形的联系上着眼，即数形结合思想
1、所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题得到解决
2、包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，而“以形助数”是矛盾的主要方面
3、数形结合的方法有：图象法、几何法、坐标法
4、数形结合的主要渠道有：
①绝对值、二次根式所蕴含的距离问题
②解析几何中定比分点、斜率、曲线与方程、区域与不等式
③函数与其图象间的几何变换
④向量的几何意义
⑤三角函数中单位圆中的三角函数线及正、余弦函数的图象变换
⑥复数的几何意义
⑦立体几何模型
其中以②、③为背景来实现其对应关系的转化最为普遍，是中学数学数形结合思想方法的最重要的部分
运用“数形结合”思想分析和解决问题时，首先要彻底明白概念和运算的几何意义及曲线的代数特征
数形结合所涉及的题目主要是参数范围问题
难点在于学生参与数与形的体验水平
转化是目的，作图是基础，识图是关键
例7：已知，则的最小值是 ．（）
分析：在约束条件下求最值，消去一个变量，转化为一元二次函数，运用配方法，这是常规解题思路．
如果将看成是两点间的距离，那么我们头脑中立即构造了一个几何模型：点到直线的距离即为满足题设条件的最小值．易知．
例8：如果，且，那么必有（ ）（）
　　　
　　　
分析：由得，．
利用函数在是增函数知
．选（）
例9：函数对任意实数有，且图像过点，则的值为（ ）（）
　 　 　
分析：由条件知是函数的对称轴，即．
而，
∴只有，且，
∴．
∵图像过点得，
∴．∴选（）
例10：当曲线与直线有两个交点时，实数的取值范围是（ ）（）


分析：作出图像，由图像知：，又，∴选（）
例11：已知变量，满足
，求：
①的最大值；（21）
②的最小值；（）
③的取值范围．（）
分析：准确理解目标函数的几何意义，作出满足条件的区域．本题：
是利用直线在轴上的截距作转化
是利用两点间的距离作转化
③是利用过两点的直线的斜率作转化
例12：如果实数、、、满足：
，求＋的最大值和最小值．
分析：本题若用代数方法求解将十分困难，但若联系图形来解则可化难为易．由条件，得，因此，可视为圆上的动点，可视为圆上的动点，而＋是、两点间距离的平方，于是，过两圆圆心、作直线分别与两圆相交，则：
；
.
三、化归与转化思想
数学思想中的一条重要原则是不断地变更问题，使所要解决的问题由难变易或变为已经解决过的问题，或者把某一数学分支中的问题变为另外一个数学分支中的问题，以利于问题的解决。
化归思想包括了我们所研究过的许多数学思想和方法
化归与转化思想的主要解题途径：
⑴未知问题转化成已知
⑵函数与方程的转化
⑶空间与平面的转化
⑷数与形的相互转化
⑸一般与特殊的转化
⑹等与不等的转化
⑺高次与低次的转化
⑻整体与局部的相互转化
其基本原则是：
⑴化难为易；⑵化生为熟；⑶化繁为简．
常见的转化方法有：
⑴直接转化法
⑵换元法
⑶数形结合法
⑷参数法
⑸构造法
⑹坐标法（立体几何与解析几何）
⑺类比法
⑻特殊化方法
⑼一般化方法
⑽等价问题法
⑾加强命题法
⑿补集法
以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割．
例13：若实数满足：，则的最大值是（ 　）
　　 　　 　
分析：二元函数的最值问题一般有两种思路：
一是把二元函数问题转化为一元函数问题
二是利用基本不等式或几何意义求解
法一：设＝，则，代入条件中得．
由方程有解知
．
法二：即
．
令，＝，则
，
．
法三：设＝，即．由圆心到直线的距离等于半径得或．
∴．
例14： 已知，则（ ）
　
分析：把看作函数取值时的值，注意到在上、均是减函数，从而在上也是减函数，
∵，又，
∴． ∴．
∴．故应选（）
例15：求函数的最大值和最小值．
分析：本例是一个典型的用换元法解的题目，通过换元将三角问题转化为较熟悉的一元二次函数在闭区间上的最值问题．这里需要特别注意的是：①换元后新变元的允许取值范围；②正确讨论对称轴与区间的位置关系．
（；）
例16：若、是不同的两个锐角且满足（≤＋），试证明：
.
分析：、是方程的两个解，则.
注意，，考虑到点、既在直线上，又在单位圆上，此问题可化归为代数问题求解．
由方程组消去（不妨设）得
，
由韦达定理，得，利用三角变换可证．
例17：设，定义，，求证对一切正整数，有．
分析：本例容易想到用数学归纳法证明．显然，但若仅假设,则很难由递推公式推出．这是因为这里的出现在分母上，为得到，即得到，即要求,将原命题化归为更强的命题：
即证明对一切正整数，有．
证明：①当时，由,知,又，
∴,即时命题成立．
②假设时命题成立，即,那么，当时，
,
又．
∴,即当时命题成立．
据①、②可知对一切正整数，原命题成立．
四、分类与讨论思想
当一个数学问题比较复杂时，可以将其分割成若干个小问题或分解为一系列的步骤，通过局部的解决来实现整体的完成，这就是分类与讨论的基本想法．
分类的好处至少有两条：
其一：把大问题分为小问题时，常能达到简单化的目的
其二：分类标准本身等于增加了一个已知条件，实现了有效增设
高考中考生的主要问题：分类不合理或讨论不全面而造成大量失分
（一）引进分类讨论的因素分析
1．由概念的定义引起的分类讨论
有些概念是分类定义的，在解决问题时，必然引起分类讨论
有些概念在定义时，明确了范围，也将引起分类讨论
例1８：解不等式．
分析：由对数定义知，不等式等价于，显然要去绝对值符号，需对分区域进行讨论．（这是由绝对值的定义引起的分类讨论，讨论时需根据绝对值的零点分区域讨论的方法进行）
（答案：）
例19：（06年四川高考第12题）从0到9这10个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ ）（）

分析：从0到9这10个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除，可先求出能被3整除的数．所有的三位数有＝648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有，被3除余2的有，被3整除的有．若要求的3位数被3整除，则可以分类讨论：
①若三个数字均取自第一组，或均取自第二组，此时共有个；
②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，此时共有个；
③若三组各取一个数字，第三组中不取0，共有个；
④若三组各取一个数字，第三组中取0，共有个．
这样被3整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为．选（）
2．由性质、定理及公式引起的分类讨论
某些数学性质、公式或定理在不同的条件下有不同的结论，或者需在一定的限制条件下才成立，在解决这类问题时可能引起分类讨论．
例20：（06年四川高考第20题）已知数列，其中，，＝（≥2）．记数列的前项和为，数列的前项和为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，，（其中为的导函数，），计算．
分析：（Ⅰ）由题意易知，是首项为1，公差为2的等差数列，，，．
（Ⅱ），．
下面求，涉及到等比数列的求和公式，必须对公比进行分类讨论．
3．由参数的变化引起的分类讨论
某些含有参数（常数）的问题，由于参数的取值范围不同会导致所得结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的推算方法，这时需要分类讨论．
例21：已知函数，其中，为自然对数的底数．
①讨论的单调性；
②求函数在区间上的最大值．
分析：本例首先应想到对函数求导，注意的取值对函数的影响。
答案：①时，在为增，在为减；
时，在为增，在、为减。
②．
4．其他
①在变形过程中往往需要一些条件限制，进而引起分类讨论
②由几何图形的不确定性引起的分类讨论
例22：求与椭圆有公共焦点且过点的圆锥曲线的方程．
分析：本题由于圆锥曲线以椭圆的焦点为焦点，它可能是椭圆，也可能是双曲线，因此需分两种类型分别求解．利用待定系数法可求得椭圆为，双曲线为．
（二）怎样合理分类
分类应遵循下列原则：
若全域为，分类成子集，必须满足：
①；
②
即：不重不漏
讨论题是高考数学常见的题型之一，对问题进行讨论的步骤是：
①确定讨论的对象
②对所讨论的对象进行合理分类（分类应做到不重不漏）
③逐类讨论
④归纳总结
需要讨论的问题有以下几种类型：
①题中的变量需要讨论
②题中含有参数，需对参数的变化范围进行讨论
③题中的条件是分类给出的
④解题过程不能统一叙述，必须分类分述
⑤有关几何问题中，几何元素的形状、位置变化需要分类讨论
例23：设，为使为负值，求的取值范围．
分析：这是一个多参数的问题，可设法将它们集中在一起，当作一个参数来处理．
要使为负值，只需：
.
∵,
∴,.
下面应对与1的大小进行讨论．
当时，；
当时，；
当时，．
例24：已知双曲线过点，，一个焦点是抛物线的焦点，求它的另一个焦点到轴距离的最大值．
分析：暂时看不出需对谁进行分类讨论，不妨先解下去——
由定义．
这样我们就清楚了，要继续运算下去，必须对绝对值分类讨论．
①，即
，而，故点轨迹为连结、两点的中垂线；
②，即
,故点轨迹为椭圆，其方程为．
综上，所求最大值为6．
评注：有些问题，分类讨论是在解题过程中产生的，自然流畅．

成都玉林中学
杨 柳 青
①扎实的基础知识；
②熟练的基本技能；
③在长年累月的刻苦钻研中培养起来的数学能力；
④临场的发挥．
一、提前进入“角色”
1．清点用具是否齐全
2．把一些基本数据、常用公式、重要定理“过过电影”
3．最后看一眼难记易忘的结论
4．互问互答一些不太复杂的问题
二、迅速摸清“题情”
从头到尾、正面反面通览全卷
1．顺利解答一眼看得出结论的简单选择题或填空题
2．不能立即作答的题目，一面通览，一面粗略分为两类：、
三、五先五后
五先五后是：
1．先易后难
2．先熟后生
3．先高（分）后低（分）
4．先同后异
5．先小后大
防止“高分题久攻不下，低分题无暇顾及”
四、一慢一块
审题要慢，做题要快
审题要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义等各方面真正看懂题意，弄清条件是什么？结论是什么？分别与哪些知识联系？
书写简明扼要，快速规范—写出得分点
高考允许合理省略非关键步骤
例：（06年四川卷17题）已知是三内角，向量，，且．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求．
解：∵，
∴=1, ①
，②
即 ③ 2分
， ④
， ⑤
∴ ⑥ 4分
∵，
∴，⑦ 5分
∴，
∴.　⑧ 6分
为提高书写效率，应尽量使用数学语言、集合符号，还应尽量用充分必要条件
五、分段得分
“分段评分”
“踩点给分”—踩上要考查的知识点就给分，踩得多就多给分
“分段得分”是高考“分段评分”的逻辑必然
“分段得分”的基本精神是：
会做的题目力求不失分
部分理解的题目力争多得分
1．会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”
“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”
2．把解题的真实过程原原本本表达出来，是分段得分的全部秘密
五条意见：
①缺步解答
“大题拿小分”
如：直线与圆锥曲线的关系问题中，联立消元得到关于的一元二次方程后，一定不要急于解答，应该检查此方程是否正确，准确无误后再往下走，这样即使答案不对，还可以得很多分，如果所得二次方程错误，即使再往下写了很多也得不到分.
②跳步解答
“中途点”
“证实某步之后，继而有……”
“事实上，某步可证明如下”
有时中间的跳跃失分并不多
第一问作“已知”，“先做第二问”
③退步解答
“以退求进”
“难的不会做简单的”
④倒步解答
“正难则反”
⑤辅助解答
如：准确作图；
把题目中的条件翻译成数学表达式；
设应用题的未知数；
设极值题的变量；
设轨迹题的动点坐标；
进行数学归纳法或反证法的第一步等.
“书写要工整，卷面能得分”
书写认真—学习认真—成绩优良—给分偏高.
“大胆猜测”
六、以快为上
每道选择题应在一二分种内解决
“潜在丢分”或“隐含失分”.
防止“小题大做”，
客观性试题与主观性试题的时间比为4:6.
例：方程的解是 .
七、立足中下题目，力争高上水平
必须分分必争
八、立足一次成功，重视复查环节
立足于一次成功，提高成功率，稳扎稳打，字字有据，步步准确.
九、内紧外松
精神高度集中，思维异常积极，叫做内紧；
清醒、沉着、愉快、放得开，叫做外松.
十、几点注意
1．要告诫学生，填空题得分只有完全对才得分，因此答案必须完整、正确.
2．要让学生明白高考题若越简单，评分就越严；若越难，评分就越松.

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