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/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第02讲 常用逻辑用语
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 函数单调性的判断和应用 (2) 函数奇偶性及其应用 (3) 函数对称性和周期性及其应用 2024年I卷，5分 2024年天津卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年I卷，5分 2023年II卷，5分 2023年甲卷，5分 2023年乙卷，5 分 2022年II卷，5 分 2022年乙卷，5分 2021年I卷，5 分 2021年II卷，5 分 2021年甲卷，5分 2021年乙卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，是新高考必考内容； （2）重点是会判断函数的单调性，能够利用函数的单调性求最值，了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题，能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题； （3）注意以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
(
考试要求
小
)
1、借助函数图像，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义；
2、掌握单调性的简单应用；
3、了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义；
4、会根据函数的性质进行简单的应用；
5、能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论；
6、会利用对称公式解决问题。
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1:函数的单调性与最值
一、函数的单调性
1、单调函数的定义
（1）增函数：设函数的定义域为，区间，若，当时，都有，则称函数在区间上单调递增.
（2）增函数：设函数的定义域为，区间，若，当时，都有，则称函数在区间上单调递减.
2、单调区间的定义
若函数在区间上单调递增或单调递减，则函数在这一区间具有单调性，区间叫做的单调递增区间或单调递减区间，统称为单调区间.
二、函数的最值
最大值：设函数的定义域为，若满足都有且使得，则为的最大值；
最小值：设函数的定义域为，若满足都有且使得，则为的最小值；
三、函数单调性的判断
定义法：且，有或
在区间上单调递增（减）；即与同号为增，异号为减；
2、函数加法的单调性判断：在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
3、函数的相反数和倒数的单调性判断：函数或在公共定义域内与的单调性相反；
4、复合函数的单调性：“同增异减”，
即复合函数，若与的单调性相同，则为增函数；
若复合函数，若与的单调性相反，则为减函数；
知识点2:函数的奇偶性及其应用
一、函数的奇偶性
1、奇函数和偶函数的定义
（1）偶函数：设函数的定义域为，若，都有，即定义域关于原点对称，且，则称函数为偶函数；
（2）奇函数：设函数的定义域为，若，都有，即定义域关于原点对称，且，则称函数为奇函数.
2、奇函数和偶函数的图象特点
（1）偶函数：关于轴对称；
（2）奇函数：关于原点对称.
3、函数奇偶性运算性质
（1）奇×奇偶 （2）偶×偶偶 （3）奇×偶奇
（4）奇奇奇 （5）偶偶偶 （6）奇偶无法确定
推论：定义，注意（，并且具有奇偶性），若为这个函数中奇函数的个数，则
4、复合函数的奇偶性
若函数，保证定义域关于原点对称，则：“有偶则偶”.
外层函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
内层函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
复合函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数
【注意】“有偶则偶”的适用范围：
（1）内外层函数同时具有奇偶性；（2）只要内层函数为偶函数则一定为偶函数；
二、奇偶性的重要性质
1、若奇函数的定义域包含原点，则必有；
2、一般情况下，奇函数的反函数仍然是奇函数，偶函数的反函数是非奇非偶；
3、即是奇函数又是偶函数的函数是，这是一类函数；
4、任何一个定义域关于原点对称的函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数和的形式：
；
5、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；
6、是函数为偶函数的充要条件；
7、与奇偶性的关系：
（1）为偶函数
（2）为偶函数
（3）为奇函数
（4）为奇函数
（5）为奇函数
8、定义在上的函数，
（1）若函数为奇函数，则偶次幂函数系数为0；
（2）若函数为偶函数，则奇次幂函数系数为0；
9、奇函数的最大值和最小值之和为0；
三、奇函数偶函数常见模型
1、奇函数模型
函数模型 具体举例
（1）特殊复合型
（2）分数指数型
（3）对数分数型
（4）对数根式型
（5）双绝对值型
2、偶函数模型
函数模型 具体举例
（1）特殊复合型
（2）特殊二次函数型
（3）对数二倍型
（4）双绝对值型
知识点3:函数的对称性与周期性及其应用
一、函数的周期性
1、周期函数
设函数的定义域为，若存在一个非零常数，使得，都有，且，则称函数为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期；
核心公式：
2、最小正周期
若周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数就叫做的最小正周期；
3、周期重要结论
与关系推导出的周期结论：
关系式 周期
二、函数的对称性
1、奇函数、偶函数的对称性
（1）奇函数关于对称，偶函数关于对称；
（2）若是偶函数，则函数图象的对称轴为；
若是奇函数，则函数图象的对称中心为；
推广：
若是偶函数，则函数图象的对称轴为；
若是奇函数，则函数图象的对称中心为；
2、单个函数对称性：“同号对称轴，异号对称中心”
（1） （2）
3、两个函数的对称性：“取相等”
关系式 周期
与
与
与
与
与
与
与
与
三、与对称性有关的周期结论
1、单个函数的对称性与周期的关系
定义在上的函数：
满足条件 结论
（1）有两个对称轴 为周期函数，最小正周期为：
（2）有两个对称中心 为周期函数，最小正周期为：
（3）一个对称中心和一个对称轴 为周期函数，最小正周期为：
2、两个函数的周期关系
若和分别是周期为的周期函数，则为周期函数；
不是所有函数都有最小正周期，比如常函数；
3、对称性和周期性的一般关系式总结：
（1）看：同号周期，异号对称
（2）看：同号对称轴，异号对称中心
关系式 结论
对称轴：
对称中心：
周期：
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题型展示
小
)
题型一:函数的单调性与最值
【例1】设函数，则是（ ）
A．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B．奇函数，且在（0,1）上是减函数
C．偶函数，且在（0,1）上是增函数 D．偶函数，且在（0,1）上是减函数
【答案】A
【详解】
先求函数的定义域为，解得，
，函数的奇函数，
由对数性质：，令，
设，，即，
函数为单调递增函数，在上增函数，答案为A.
【变式1】下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
对A，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，故A错；
对B， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，故B错；
对C， 在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递增，故C正确；
对D，因为，，在上不单调，D错.答案为C.
【例2】（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
令，则开口向下，对称轴为，
，而，
，即
由二次函数性质得，
，而，
即，，综上可得，，
又为增函数，故，即.答案为A.
【变式2】设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
是R的偶函数，．
，又在(0，+∞)单调递减，
，，答案为C．
题型二:函数的奇偶性及其应用
【例3】（2024·天津）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，，则为偶函数，故B正确；
对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，因为，，
则，则不是偶函数，故D错误.答案为B.
【变式3】下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对A：函数是非奇非偶函数；
对B、C：和是偶函数；
对D：，是奇函数，答案为D．
【例4】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
而，故.答案为C.
【变式4】若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
定义在上的奇函数在上单调递减，且，
在上也是单调递减，且，，
当时，，当时，，
由可得：
或或解得或，的取值范围是，答案为D.
题型三:函数的对称性与周期性及其应用
【例5】已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【详解】
方法1 赋值法
，令可得，，
，令可得，，即，
函数为偶函数，令得，，
即有，则 ，，
故，即，的一个周期为．
，，，，，
一个周期内的．由于22除以6余4，
．答案为A．
方法2 构造函数法
（1）根据抽象函数表达式联想到常见函数的性质，构造出具体的符合条件的函数：
由，
联想到余弦函数和差化积公式，
可设，由方法1中知，解得，取，，则
，
符合条件，
（2）直接使用具体函数的性质解题：
的周期，，且，，
22除以6余4，
．答案为A．
【变式5】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
（1）先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期：
是定义域为的奇函数，且，
,
（2）据周期以及对应函数值求结果：
，
，，
，，答案为C.
【例6】已知函数，则（）
A．的最小值为2 B．的图象关于y轴对称
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【详解】
可以为负，A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对，答案为D.
【变式6】已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
【答案】C
【详解】
，
的图象关于直线对称，故C正确，D错；
又（）
由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
A，B错误，答案为C．
【例7】（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】
方法1：对称性和周期性的关系
对，为偶函数， 即①，
，关于对称，则，故C正确；
对，为偶函数，，，关于对称，由①求导，和，得 ，
，关于对称，
其定义域为R，，结合关于对称，周期，
，，故B正确，D错；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，无法确定的函数值，故A错.答案为BC.
方法2 特殊值，构造函数法.
由方法1知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.答案为BC.
【变式7】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
是奇函数，①，
关于点中心对称；
是偶函数，②，
关于对称；
根据周期是相邻的一个对称中心横坐标和一条对称轴之差的绝对值的4倍，
可得：的周期．
令，由①得：，由②得：，
，，
令，由①得：，．
．答案为D．
(
考场演练
)
题型1 函数的单调性与最值
【真题1】（2024·全国Ⅰ）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
在上单调递增，且时，单调递增，
根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，
，解得，即a的范围是.答案为B.
【真题2】（2023·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
对A，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，故A错；
对B， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，故B错；
对C， 在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递增，故C正确；
对D，因为，，在上不单调，D错.答案为C.
【真题3】（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
令，则开口向下，对称轴为，
，而，
，即
由二次函数性质得，
，而，
即，，综上可得，，
又为增函数，故，即.答案为A.
【真题4】（2023·全国新Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
利用指数型复合函数单调性：
函数在R上单调递增， 在上单调递减，
在上单调递减， ，解得，的取值范围是.答案为D.
【真题5】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对A，为上的减函数，错；
对B，为上的减函数，错；
对C，在为减函数，错；
对D，为上的增函数，符合题意，答案为D.
题型2 函数的奇偶性
【真题6】（2024·天津）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，，则为偶函数，故B正确；
对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，因为，，
则，则不是偶函数，故D错误.答案为B.
【真题7】（2024·上海）已知，，且是奇函数，则 ．
【答案】
【详解】
是奇函数，故即，故，答案为.
【真题8】（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【详解】
为偶函数，定义域为，
，即，
则，故，
此时，
，又定义域为，故为偶函数，
.答案为2.
【真题9】（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】
为偶函数，
，
不恒为0，
，即，则，即，解得.答案为D.
【真题10】（2023·全国新Ⅱ卷）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【详解】
为偶函数，则
，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或关于原点对称.
，故此时为偶函数.答案为B.
【真题11】（2022·全国乙卷）若是奇函数，则 ， ．
【答案】；．
【详解】
方法1 奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，故答案为；．
方法2 函数的奇偶性求参
函数为奇函数
题型3 函数的对称性与周期性
【真题12】（2022·全国Ⅱ）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【详解】
方法1 赋值法
，令可得，，
，令可得，，即，
函数为偶函数，令得，，即有，则 ，，
故，即，的一个周期为．
，，，，，
一个周期内的．由于22除以6余4，
．答案为A．
方法2 构造函数法
（1）根据抽象函数表达式联想到常见函数的性质，构造出具体的符合条件的函数：
由，
联想到余弦函数和差化积公式，
可设，由方法1中知，解得，取，，则
，
符合条件，
（2）直接使用具体函数的性质解题：
的周期，，且，，
22除以6余4，
．答案为A．
【真题13】（2021·全国新Ⅱ卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
为偶函数，，可得，
为奇函数，，（形式的变换）
，即，
是以为周期的周期函数，
为奇函数，则，
，其它三个选项未知.答案为B.
【真题14】（2021·全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
是奇函数，①，
关于点中心对称；
是偶函数，②，
关于对称；
根据周期是相邻的一个对称中心横坐标和一条对称轴之差的绝对值的4倍，
可得：的周期．
令，由①得：，由②得：，
，，
令，由①得：，．
．答案为D．
【真题15】（2024·全国新Ⅱ卷）（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【详解】
对A：，，
时，在上单调递增，
当时，，单调递减，
在处取到极大值，在处取到极小值，
，，，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A正确；
对B：，，
，单调递减，
时，单调递增，在处取到极小值，B错；
对C：假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
故不存在这样的，使得为的对称轴，C错；
对D：方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，
，
即，解得，即存在使得是的对称中心，D正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D正确.答案为AD
【真题16】（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】
方法1：对称性和周期性的关系
对，为偶函数， 即①，
，关于对称，则，故C正确；
对，为偶函数，，，关于对称，由①求导，和，得 ，
，关于对称，
其定义域为R，，结合关于对称，周期，
，，故B正确，D错；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，无法确定的函数值，故A错.答案为BC.
方法2 特殊值，构造函数法.
由方法1知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.答案为BC.
【真题17】（2022·全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
的图像关于直线对称，
，
，，即，
，，
代入得，即，
，.
，，即，.
，，又，
联立得，，
的图像关于点中心对称，函数的定义域为R，
，.
答案为D.
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第02讲 常用逻辑用语
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考纲导向
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 函数单调性的判断和应用 (2) 函数奇偶性及其应用 (3) 函数对称性和周期性及其应用 2024年I卷，5分 2024年天津卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年I卷，5分 2023年II卷，5分 2023年甲卷，5分 2023年乙卷，5 分 2022年II卷，5 分 2022年乙卷，5分 2021年I卷，5 分 2021年II卷，5 分 2021年甲卷，5分 2021年乙卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，是新高考必考内容； （2）重点是会判断函数的单调性，能够利用函数的单调性求最值，了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题，能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题； （3）注意以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
(
考试要求
小
)
1、借助函数图像，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义；
2、掌握单调性的简单应用；
3、了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义；
4、会根据函数的性质进行简单的应用；
5、能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论；
6、会利用对称公式解决问题.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:函数的单调性与最值
一、函数的单调性
1、单调函数的定义
（1）增函数：设函数的定义域为，区间，若，当时，都有 ，则称函数在区间上 .
（2）增函数：设函数的定义域为，区间，若，当时，都有 ，则称函数在区间上 .
2、单调区间的定义
若函数在区间上单调递增或单调递减，则函数在这一区间具有单调性，区间叫做的 或 ，统称为单调区间.
二、函数的最值
最大值：设函数的定义域为，若满足都有且使得，则为的 ；
最小值：设函数的定义域为，若满足都有且使得，则为的 ；
三、函数单调性的判断
定义法：且，有或
在区间上单调递增（减）；即与同号为增，异号为减；
2、函数加法的单调性判断：
在公共定义域内，增函数+增函数= ，减函数+减函数= ；
3、函数的相反数和倒数的单调性判断：
函数或在公共定义域内与的单调性 ；
4、复合函数的单调性： ，
即复合函数，若与的单调性相同，则为增函数；
若复合函数，若与的单调性相反，则为减函数；
知识点2:函数的奇偶性及其应用
一、函数的奇偶性
1、奇函数和偶函数的定义
（1）偶函数：设函数的定义域为，若，都有，即定义域关于原点对称，且，则称函数为 ；
（2）奇函数：设函数的定义域为，若，都有，即定义域关于原点对称，且，则称函数为 .
2、奇函数和偶函数的图象特点
（1）偶函数：关于 对称；
（2）奇函数：关于 对称.
3、函数奇偶性运算性质
（1）奇×奇 , （2）偶×偶 , （3）奇×偶奇
（4）奇奇 , （5）偶偶 , （6）奇偶无法确定
推论：定义，注意（，并且具有奇偶性），若为这个函数中奇函数的个数，则
4、复合函数的奇偶性
若函数，保证定义域关于原点对称，则：“有偶则偶”.
外层函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
内层函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
复合函数 奇函数 , 偶函数 ,
【注意】“有偶则偶”的适用范围：
（1）内外层函数同时具有奇偶性；（2）只要内层函数为偶函数则一定为 ；
二、奇偶性的重要性质
1、若奇函数的定义域包含原点，则必有 ；
2、一般情况下，奇函数的反函数仍然是 ，偶函数的反函数是非奇非偶；
3、即是奇函数又是偶函数的函数是，这是一类函数；
4、任何一个定义域关于原点对称的函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数和的形式：
；
5、奇函数的导数是 ，偶函数的导数是 ；
6、是函数为偶函数的充要条件；
7、与奇偶性的关系：
（1）为偶函数
（2）为偶函数
（3）为奇函数 ,
（4）为奇函数 ,
（5）为奇函数
8、定义在上的函数，
（1）若函数为奇函数，则偶次幂函数系数为 ；
（2）若函数为偶函数，则 函数系数为0；
9、奇函数的最大值和最小值之和为0；
三、奇函数偶函数常见模型
1、奇函数模型
函数模型 具体举例
（1）特殊复合型
（2）分数指数型
（3）对数分数型
（4）对数根式型
（5）双绝对值型
2、偶函数模型
函数模型 具体举例
（1）特殊复合型
（2）特殊二次函数型
（3）对数二倍型
（4）双绝对值型
知识点3:函数的对称性与周期性及其应用
一、函数的周期性
1、周期函数
设函数的定义域为，若存在一个非零常数，使得，都有，且，则称函数为 ，非零常数叫做这个函数的 ；
核心公式： .
2、最小正周期
若周期函数的所有周期中存在一个 ，则这个最小的正数就叫做的最小正周期；
3、周期重要结论
与关系推导出的周期结论：
关系式 周期
,
二、函数的对称性
1、奇函数、偶函数的对称性
（1）奇函数关于对称，偶函数关于对称；
（2）若是偶函数，则函数图象的对称轴为；
若是奇函数，则函数图象的对称中心为；
推广：
若是偶函数，则函数图象的对称轴为 ；
若是奇函数，则函数图象的对称中心为 ；
2、单个函数对称性：“同号对称轴，异号对称中心”
（1） （2）
3、两个函数的对称性：“取相等”
关系式 周期
与
与
与
与
与 ,
与
与
与
三、与对称性有关的周期结论
1、单个函数的对称性与周期的关系
定义在上的函数：
满足条件 结论
（1）有两个对称轴 为周期函数，最小正周期为：
（2）有两个对称中心 为周期函数，最小正周期为： ;
（3）一个对称中心和一个对称轴 为周期函数，最小正周期为：
2、两个函数的周期关系
若和分别是周期为的周期函数，则为周期函数；
不是所有函数都有最小正周期，比如 ；
3、对称性和周期性的一般关系式总结：
（1）看：同号周期，异号对称
（2）看：同号对称轴，异号对称中心
关系式 结论
对称轴：
对称中心：
周期：
(
题型展示
小
)
题型一:函数的单调性与最值
【例1】设函数，则是（ ）
A．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B．奇函数，且在（0,1）上是减函数
C．偶函数，且在（0,1）上是增函数 D．偶函数，且在（0,1）上是减函数
【变式1】下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二:函数的奇偶性及其应用
【例3】（2024·天津）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4】若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三:函数的对称性与周期性及其应用
【例5】已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式5】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知函数，则（）
A．的最小值为2 B．的图象关于y轴对称
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称
【变式6】已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称
【例7】（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
(
考场演练
)
题型1 函数的单调性与最值
【真题1】（2024·全国Ⅰ）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题2】（2023·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2023·全国新Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题5】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
题型2 函数的奇偶性
【真题6】（2024·天津）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【真题7】（2024·上海）已知，，且是奇函数，则 ．
【真题8】（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
【真题9】（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【真题10】（2023·全国新Ⅱ卷）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【真题11】（2022·全国乙卷）若是奇函数，则 ， ．
题型3 函数的对称性与周期性
【真题12】（2022·全国Ⅱ）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【真题13】（2021·全国新Ⅱ卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【真题14】（2021·全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【真题15】（2024·全国新Ⅱ卷）（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【真题16】（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【真题17】（2022·全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
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