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(共33张PPT)
15.1.2分式的基本性质
第十五章——分式
理解最简分式和最简公分母的概念；
理解分式的基本性质并且能够应用分式的基本性质将分式进行简单的恒等变换；
01
02
学习目标
能够利用分式的基本性质进行分式的通分、约分.
03
复习导入
分数的基本性质：一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.
由分数的基本性质可知，如果数 c ≠ 0，那么
一般地，对于任意一个分数 有
其中a，b，c是数.
（ c≠0 ），
类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
探究新知
(C≠0)，其中A，B，C是整式.
式子表示：
分母乘以x
分子乘以x
分母除以b2
分子除以b2
分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
示例：
例题练习
（1）
解：（1）因为 的分母 xy 除以 x 才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需要除以 x，即
÷x
÷x
填空
看分母如何变化，想分子如何变化
例题练习
（2）
解：（2）因为 的分子3x2+3xy 除以3x才能得到 x+y，所以分母也需除以3x，即
÷3x
÷3x
填空
看分母如何变化，想分子如何变化
若分式的分子(分母) 是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子(分母)括起来，再把分子和分母乘（或除以）同一个不为0的整式 .
例题练习
看分母如何变化，想分子如何变化
填空
解：（3）因为 的分母 ab 乘 a 才能化为 a2b，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需要乘a，即
× a
× a
（3）
例题练习
看分母如何变化，想分子如何变化
填空
解：（4）因为 的分母 a2 乘b才能化为 a2b ，所以分子也需乘 b，即
× b
× b
（4）
探究新知
分数的约分和通分在分数的运算中有着重要的作用，同样，分式的约分和通分也在分式的运算中起着重要的作用，下面我们开始讨论分式的约分和通分.
探究新知
分数的约分：把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值保持不变，这个过程叫做分数的约分.
最大公因数
最简分数
与分数的约分类似，分式的约分关键是要找出分式的分子与分母的公因式.
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
最简分式
公因式
经过约分后的分式 ，其分子与分母没有公因式．像这样，分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．　
例题练习
约分：
（1） ； （2） ； （3） .
【分析】（1）分子、分母都是单项式，直接找公因式约分
找公因式方法:
（1）找系数的最大公因数；
（2）找分子、分母相同字母的最低次幂；
（3）两者的乘积即为公因式.
例题练习
约分：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） ；
例题练习
约分：
（1） ； （2） ； （3） .
【分析】（2）（3）分子、分母都是多项式，先分解因式，再找公因式约分
解：（2）
（3）
（1）若分子﹑分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式（分子、分母系数的最大公因数和分子、分母相同字母的最低次幂的乘积）
（2）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
约分的一般方法
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
约分的注意事项
探究新知
分数的通分：把分母不同的分数化成分母相同的分数，这个过程叫做分数的通分.
5与20的最小公倍数是20
分数通分的关键是确定几个分母的最小公倍数.
通分：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.　
最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫做最简公分母.
分式通分的关键：确定最简公分母.
例题练习
通分：
（1） ； （2） .
与
与
解：（1）最简公分母是2a2b2c.
例题练习
解：（2）最简公分母是(x-5)(x+5).
通分：
（1） ； （2） .
与
与
确定最简公分母的一般方法：
（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和单独出现的字母及其指数的乘积.
（2）若分母是多项式，则应先进行因式分解，再按照分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母.
（3）特殊情况：①只有一个分母时，这个分母就是最简公分母；②分母互为相反数时，每个分母都可作为最简公分母；③若有能约分的分式，则应化简后再找最简公分母.
约分和通分的联系与区别
约分 通分
区别 分式的个数
目的
联系 依据 分式的值 将分式化为最简分式或整式
使几个异分母的分式化为同分母的分式
分式的基本性质
不变
1个
2个及2个以上
B
C
当x取什么值时，分式 的值：
(1)不存在？
(2)等于0？
当x取什么值时，分式 的值：
(1)不存在？
(2)等于0？
小结
一、分式的基本性质
三、分式的通分
二、分式的约分
(C≠0)，其中A，B，C是整式.
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.　
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
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