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2024年重庆市育才中学小升初数学试卷
一、填空题（每题3分，共30分）
1．（3分）至2024年1月1日全世界总人口为8203430161人，读作 　 　，保留百万位记作 　 　，预计至2024年底上升0.1%，请问增长了 　 　人。
2．（3分）一个圆柱体削去部分后变成一个圆锥体，把这个圆锥体的高增加2倍，削去的体积与现在圆锥的体积比是 　 　。
3．（3分）马路上有编号为1，2，3，……，10的十盏路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三盏灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两盏，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有 　 　种。
4．（3分）某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人。在这次决赛中至少有 　 　得满分。
5．（3分）观察图中正方形数表：表1中的各数之和为1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为65，……（每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格的数大1），如果表n中的各数之和等于15505，那么n等于 　 　。
6．（3分）某校学员根据下列条件从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点，最多能去的地方是 　 　和 　 　两地。
（1）若去A地也必须去B地。
（2）B、C两地最多去一地。
（3）D、E两地至少去一地。
（4）C、D两地都去或者都不去。
（5）若去E地，一定要去A、D两地。
7．（3分）有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃 　 　天。
8．（3分）甲、乙、丙三数分别为603，939，393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍，求A等于 　 　。
9．（3分）求1～100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是 　 　。
10．（3分）N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数 　 　，使得N是十进制整数的四次方。
二、计算题（每题7分，共21分）
11．（21分）（1）
（2）
（3）
三、图形题（每题5分，共10分）
12．（5分）如图，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于点M，求△BMG的面积。
13．（5分）如图，在△ABC中，BD＝2DA，CE＝2EB，AF＝2FC，△ABC的面积是阴影三角形HGI面积的几倍？
四、解答题（14-17题每题5分，18题6分，19-20题每题7分，共40分）
14．（5分）小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前时间乘车，后时间步行。结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2小时。已知小明步行每小时行5千米，乘车每小时行15千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米？
15．（5分）某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费。某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？（用电都按整度数收费）
16．（5分）有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？
17．（5分）一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场。三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草。问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？
18．（6分）如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔。用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满。那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？
19．（7分）有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数。
20．（7分）材料题：
材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余。
材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差（高位数字减去低位数字）均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k（k≠0）时，这个数叫n位k阶数。如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数。
（1）证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除。
（2）一个四位k阶数的两倍与两位数的差能被11整除（1≤m≤6），且这个四位k阶数和两位数对3同余，求这个四位k阶数。
2024年重庆市育才中学小升初数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，共30分）
1．（3分）至2024年1月1日全世界总人口为8203430161人，读作 　八十二亿零三百四十三万零一百六十一　，保留百万位记作 　8203百万　，预计至2024年底上升0.1%，请问增长了 　8203430　人。
【解答】解：至2024年1月1日全世界总人口为8203430161人，读作八十二亿零三百四十三万零一百六十一，保留百万位记作8203百万，
8203430161×0.1%≈8203430（人）
答：增长了8203430人。
故答案为：八十二亿零三百四十三万零一百六十一，8203百万，8203430。
2．（3分）一个圆柱体削去部分后变成一个圆锥体，把这个圆锥体的高增加2倍，削去的体积与现在圆锥的体积比是 　1：1　。
【解答】解：设圆柱的底面积是S，高是h。
Sh×2＝Sh
Sh：Sh＝1：1
答：削去的体积与现在圆锥的体积比是1：1。
故答案为：1：1。
3．（3分）马路上有编号为1，2，3，……，10的十盏路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三盏灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两盏，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有 　20　种。
【解答】解：由分析得：＝＝20（种）
答：满足条件的关灯方法有20种。
故答案为：20。
4．（3分）某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人。在这次决赛中至少有 　3人　得满分。
【解答】解：（136+125+118+104）﹣160×3
＝483﹣480
＝3（人）
答：在这次决赛中至少有3人得满分。
故答案为：3人。
5．（3分）观察图中正方形数表：表1中的各数之和为1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为65，……（每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格的数大1），如果表n中的各数之和等于15505，那么n等于 　18　。
【解答】解：由分析可知：1+2×1×8+3×2×8+4×3×8+……+n×（n﹣1）×8＝15505，即（n+1）×n×（n﹣1）＝5814，
因为18×19×17＝5814，所以n＝18。
故答案为：18。
6．（3分）某校学员根据下列条件从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点，最多能去的地方是 　C　和 　D　两地。
（1）若去A地也必须去B地。
（2）B、C两地最多去一地。
（3）D、E两地至少去一地。
（4）C、D两地都去或者都不去。
（5）若去E地，一定要去A、D两地。
【解答】解：（1）去A地则也去B地，但去B地则不能去C地，C地不去则D地也不能去，D地要不去则E地也不能去，D、E地都不去则不符合条件的，故如果去A地则无法按要求完成参观；
（2）A地不去，B地去，则情况与上面相同，也同样无法完成参观，
综上，要完成参观，则B地一定不能去，B地不去，前提是A地不去，故A、B两地都不能去，
A、B两地都不去，则E地一定不能去，
所以能去的地方只有C，D两地。
故答案为：C、D。
7．（3分）有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃 　5　天。
【解答】解：设每头牛每天吃草1份。
则1200平方米的牧场，草的生长速度为：
（10×20﹣15×10）÷（20﹣10）
＝（200﹣150）÷10
＝50÷10
＝5（份/天）
1200平方米的牧场，每天生长的草可供牛吃的头数为：5÷1＝5（头）
3600平方米的牧场，每天生长的草可供牛吃的头数为：3600÷1200×5＝15（头）
3600平方米的牧场，原有份数为：
（10×20﹣20×5）×（3600÷1200）
＝（200﹣100）×3
＝100×3
＝300（份）
3600平方米的牧场，每天生长的15份可供15牛吃。
75﹣15＝60（头）
即原草300份由剩下的60头牛吃，可吃：300÷60＝5（天）
答：这片牧场可供75头牛吃5天。
故答案为：5。
8．（3分）甲、乙、丙三数分别为603，939，393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍，求A等于 　17　。
【解答】解：939×2﹣603＝1275
1275是A的倍数，
同理，939﹣393×2＝153
153也是A的倍数，
因此A是1275和153的公约数，
因为（1253，153）＝51，所以A是51的约数．
A＝51时，除这3个数所得余数分别为42，21，36，不满足要求，
A＝17时，除这3个数所得余数分别为8，4，2，符合题意。
答：A等于17。
故答案为：17。
9．（3分）求1～100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是 　97　。
【解答】解：两个合数的积是合数，再加一个合数，结果还是合数。1～100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是97＝4×22+9。
故答案为：97。
10．（3分）N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数 　18　，使得N是十进制整数的四次方。
【解答】解：设b是所求的最小正整数，
由题可得7b2+7b+7＝x4，
因为质数7能整除7b2+7b+7，所以也能整除x，
不妨设x＝7m，m是大于0的自然数．
则：7b2+7b+7＝（7m）4，
化简得：b2+b+1＝343m4，
最小的b出现在m最小的时候。取m＝1，此时有b2+b+1＝343，b2+b﹣342＝0，即（b﹣18）（b+19）＝0，解得正整数b＝18。
故答案为：18。
二、计算题（每题4分，共20分）
11．（20分）（1）
（2）
（3）0.9﹣0.1+0.7+0.5
（4）
【解答】解：（1）
＝9+8+7+6+5﹣×（5+6+7+8+9）
＝（1﹣）×（5+6+7+8+9）
＝×35
＝22
（2）
因为+＝＝＝2
所以原式＝2×49+＝98+1＝99
（3）
②﹣①×5可得：
10x+6y﹣5×（2x﹣15y）＝6800﹣5×550
10x+6y﹣10x+75y＝6800﹣2750
81y＝4050
81y÷81＝4050÷81
y＝50
把y＝50代入①式可得：
2x﹣15×50＝550
2x﹣750＝550
2x＝1300
2x÷2＝1300÷2
x＝650
所以
三、图形题（每题5分，共10分）
12．（5分）如图，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于点M，求△BMG的面积。
【解答】解：连接DE，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，
所以BE：CD＝BG：DG＝1：2，
又因为E、F分别为AB和AD的中点，
所以EF∥BD，且EF：BD＝1：2，
所以EF：BG＝：＝3：2，
因为EF∥BG，
所以EM：MG＝EF：BG＝3：2，
因为BD是平行四边形的对角线，
所以S△ABD＝S ABCD＝，
又因为E是AB中点，
所以S△BDE＝S△ABD＝，
因为BG：DG＝1：2，
所以S△BEG＝S△BDE＝，
因为EM：GM＝3：2，
所以S△BMG＝S△BEG＝。
答：△BMG的面积为。
13．（5分）如图，在△ABC中，BD＝2DA，CE＝2EB，AF＝2FC，△ABC的面积是阴影三角形HGI面积的几倍？
【解答】解：如图，连接AI，
根据燕尾定理，
S△BCI：S△ACI＝BD：AD＝2：1
S△BCI：S△ABI＝CF：AF＝1：2
所以，S△BCI：S△ABI：S△ACI＝2：4：1
又因为S△BCI+S△ABI+S△ACI＝S△ABC
所以S△BCI＝S△ABC
同理可求，S△ACG＝S△ADH＝S△ABC
所以阴影部分面积＝S△ABC﹣S△BCI﹣S△ACG﹣S△ADH＝S△ABC
即△ABC的面积是阴影三角形面积的7倍。
答：△ABC的面积是阴影三角形面积的7倍。
四、解答题（14-17题每题5分，18题6分，19-20题每题7分，共40分）
14．（5分）小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前时间乘车，后时间步行。结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2小时。已知小明步行每小时行5千米，乘车每小时行15千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米？
【解答】解：
＝
＝
1÷（5×+15×）
＝1÷
＝
2÷（）
＝2÷
＝150（千米）
答：小明从自己家到奶奶家的路程是150千米。
15．（5分）某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费。某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？（用电都按整度数收费）
【解答】解：由分析知：丙用电为10﹣3＝7度，乙用电为10+3＝13 （度）；甲用电为：20+1＝21（度）。
10×0.45+10×0.80+1×1.50
＝4.5+8+1.5
＝14.00（元）
10×0.45+3×0.80
＝4.5+2.4
＝6.90（元）
7×0.45＝3.15 （元）
14+6.90+3.15＝24.05（元）
答：甲、乙、丙三用户共交电费24.05元.
16．（5分）有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？
【解答】解：原来女队员的人数占全体人员的：＝，
调走了该队的一半队员，且全是男队员，女队员人数占剩下队员人数的：＝，
调走后的队员总数与调走前的队员人数总数比：：＝7：8
＝
＝4（支）
答：开始共有4支突击队参加会战。
17．（5分）一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场。三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草。问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？
【解答】解：设1头牛1天吃草量为“1“。
将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天；
将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可供24头牛吃15天；
所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：
（24×15﹣48×5）÷（15﹣5）
＝（360﹣240）÷10
＝120÷10
＝12（份/天）
12公顷牧场原有草量为：
（48﹣12）×5
＝36×5
＝180（份）
那么12公顷牧场可供16头牛吃：
180÷（16﹣12）
＝180÷4
＝45（天）
即6公顷牧场可供8头牛吃45天。
答：6公顷的牧场可供8头牛吃45天。
18．（6分）如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔。用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满。那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？
【解答】解：1小时＝60分钟
1小时5分钟＝65分钟
72﹣60＝12（分钟）
72﹣65＝7（分钟）
12﹣5×2
＝12﹣10
＝2（分钟）
7×5＝35（分钟）
65﹣35＝30（分钟）
30+30÷（1﹣3×）
＝30+30÷
＝30+52.5
＝82.5（分钟）
答：需要用82.5分钟才能将水箱灌满。
19．（7分）有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数。
【解答】解：依题意可知：因为15，17和19的最小公倍数是15×17×19＝4845，
4845+15＝4860能被15整除，
4845+17＝4862能被17整除，
4845+19＝4864能被19整除，
所以4860，4862，4864分别能被15，17，19整除，
这三个数都是偶数，且都相差2，
把这三个数分别除以2，
得到2430，2431，2432，
它们也一定能分别被15，17，19整除。
答：符合条件的这样的三个自然数分别为：2430，2431，2432。
20．（7分）材料题：
材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余。
材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差（高位数字减去低位数字）均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k（k≠0）时，这个数叫n位k阶数。如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数。
（1）证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除。
（2）一个四位k阶数的两倍与两位数的差能被11整除（1≤m≤6），且这个四位k阶数和两位数对3同余，求这个四位k阶数。
【解答】解：（1）证明如下：
证明：设这个任意四位阶梯数的个位为n，阶数为k，则该四位阶梯数表示为：
n+10（n+k）+100（n+2k）+1000（n+3k）
它与个位数的差为：
n+10（n+k）+100（n+2k）+1000（n+3k）﹣n
＝n+10n+10k+100n+200k+1000n+3000k﹣n
＝1110n+3210k
＝6（185n+535k）
因为6（185n+535k）是6的倍数，
所以6（185n+535k）能被6整除。
即一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除。
（2）设四位k阶数的个位数字为a，则十位数字为（a+k），百位数字为（a+2k），千位数字为（a+3k），则四位k阶数为：
1000（a+3k）+100（a+2k）+10（a+k）+a＝1111a+3210k
则四位k阶数的两倍与两位数的差为
2（1111a+3210k）﹣（10m+2）＝11（101a+583k）+7k﹣10m﹣2
因为四位k阶数的两倍与两位数的差能被11整除，
所以7k﹣10m﹣2是11的倍数。
又因为两位数对3余数为1或2。
①当两位数对3的余数为1时
因为1≤m≤6的整数，
所以m＝2或m＝5，
因为四位k阶数和两位数对3同余
所以四位k阶数为1111a+3210k对3的余数为1，
因为1111a+3210k＝3（370a+1070k）+a
所以a＝1或4或7
当a＝1时，
四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+1111
所以1000≤3210k+1111≤9999
因为k为非0整数，所以k＝1或2。
当m＝2时，
7k﹣10m﹣2＝﹣15或﹣8，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当m＝5时，
7k﹣10m﹣2＝﹣45或﹣38，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意。
当a＝4时，
四位阶数为1111a+3210k＝3210k+4444
所以1000≤3210k+4444≤9999
因为k为非0整数，所以k＝﹣1或1
当m＝2时，
7k﹣10m﹣2＝﹣29或﹣15，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当m＝5时，
7k﹣10m﹣2＝﹣59或﹣45，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意。
当a＝7时，
四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+7777
所以1000≤3210k+7777≤9999
因为k为非0整数，所以k＝﹣1或﹣2
当m＝2时，
7k﹣10m﹣2＝﹣29或﹣36，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当m＝5时，
7k﹣10m﹣2＝﹣59或﹣66，
当a＝7，k＝﹣1，m＝5时，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意，
当a＝7，k＝﹣2，m＝5时，7k﹣10m﹣2是11的倍数，符合题意。
即四位k阶数为1111a+3210k＝1357。
②当两位数对3是余数为2时，
因为1≤m≤6的整数，
所以m＝1或m＝3或m＝6
因为四位k阶数和两位数对3同余
所以四位k阶数为1111a+3210k对3的余数为2。
因为1111a+3210k＝3（370a+1070k）+a
所以a＝2或5或8
当a＝2时，
四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+2222
所以1000≤3210k+2222≤9999
因为k为非0整数，所以k＝1或2
当m＝1时，
7k﹣10m﹣2＝﹣5或2，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当m＝3时，
7k﹣10m﹣2＝﹣25或﹣18，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当m＝6时，
7k﹣10m﹣2＝﹣55或﹣48，
当a＝2，k＝2，m＝6时，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当a＝2，k＝1，m＝6时，7k﹣10m﹣2是11的倍数，符合题意。
即四位k阶数为1111a+3210k＝5432。
当a＝5时，
四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+5555
所以1000＜3210k+5555＜9999
因为k为非0整数，所以k＝1或﹣1
当m＝1时，
7k﹣10m﹣2＝﹣5或﹣19，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当m＝3时，
7k﹣10m﹣2＝﹣25或﹣39，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当m＝6时，
7k﹣10m﹣2＝﹣55或﹣69，
当a＝5，k＝﹣1，m＝6时，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当a＝5，k＝1，m＝6时，7k﹣10m﹣2是11的倍数，符合题意。
即四位k阶数为1111a+3210k＝8765。
当a＝8时，
四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+8888
所以1000＜3210k+8888≤9999
因为k为非0整数，所以k＝﹣1或﹣2
当m＝1时，
7k﹣10m﹣2＝﹣19或﹣26，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当m＝3时，
7k﹣10m﹣2＝﹣39或﹣46，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意；
当m＝6时，
7k﹣10m﹣2＝﹣69或﹣76，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意。
综上所述，满足条件的四位k阶数为1357或5432或8765。
答：四位k阶数为1357或5432或8765。

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