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第26章 二次函数
26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第5课时
1.会通过配方法求二次函数的最值
2.能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,建立函数模型
3.能运用二次函数解决相关实际问题,计算几何图形面积的最大值
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
思考： 二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数y=ax2+bx+c的最值由a及自变量的取值范围决定.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
当x为全体实数时，二次函数y=ax2+bx+c的最值如下：
当a＞0时，有 ，此时 .
当a＜0时，有 ，此时 .
当自变量x取值有限制时，二次函数的最值就要分情况来讨论.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
例1.求下列函数的最大值与最小值.
(1)y=x2+4x-2（-3≤x≤1）
解：(1)y=x2+4x-2=(x+2)2-4-2
x=-3时，y=9-12-2=-5
=(x+2)2-6
∴二次函数的对称轴是x=-2
∵-3＜-2＜1，且a＞0
∴-3≤x＜-2时，y随x的增大而减小，-2＜x≤1时，y随x的增大而增大
∴x=-2时，ymin=4-8-2=-6
x=1时，y=1+4-2=3
∴x=1时，ymax=1+4-2=3
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
（2） （-3≤x≤1）
∴二次函数的对称轴是x=-5
∵-5＜-3，且a＜0
∴当-3≤x≤1时，y随x的增大而减小
∴x=-3时，ymax=
x=1时，ymin=
典型例题
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学习目标
课堂总结
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归纳总结
当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c的最值确定步骤：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.判断，判断函数开口方向及x的取值范围与对称轴的位置关系.
3.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值；
然后根据x的值，求出函数的最值.
1.当二次函数y=2x2+4x+9(-2≤x≤0)取最大值时,x的值为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.-2或0
典型例题
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D
2.已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )
A.有最大值-1，有最小值-2
B.有最大值0，有最小值-1
C.有最大值7，有最小值-1
D.有最大值7，有最小值-2
典型例题
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课堂总结
概念剖析
D
例2.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，
这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形面积为S m2,与墙平行的一边为x m，则
(0＜x≤18）
当x=30，S取得最大值，但是由于x取值范围的限制，x取不到30.
因为二次项系数a＜0，当x＜30时，S随x的增大而增大.
故当x=18时，S有最大值是378.
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概念剖析
典型例题
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归纳总结
利用二次函数求最值的“三点注意”：
(1)借助数量之间的关系把实际问题正确地转化为二次函数问题．
(2)列函数表达式时要注意自变量的取值范围．
(3)实际问题中的最值应在自变量的取值范围内求取．若图象含顶点，
则顶点为最值；若图象不含顶点，则应根据函数的增减性来确定最值．
典型例题
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概念剖析
3.有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为a=10米），围成如图所示的花圃，则能围成的花圃的最大面积为（　　）平方米．
A．40 B．48 C. D.
D
典型例题
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概念剖析
4.用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）.
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：
x
即
配方得
所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5
x=1满足0＜x＜2，这时
答：矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.
(0＜x＜2)
典型例题
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概念剖析
解：设直角三角形的一条直角边为x，另一条直角边为8-x，
5.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
直角三角形面积与边长的函数关系：
答:当直角三角形的两条边都为4时，面积最大为8．
∴对称轴x=4,函数在0＜x≤4时，y随x的增大而增大，
4＜x＜8时，y随x的增大而减小
∴x=4时，ymax=8
(0＜x＜8）
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定

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