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1.集合与常用逻辑用语——高考数学一轮复习大单元知识清单
（一）核心知识整合
考点1：元素及集合的概念
1.集合的含义与表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
3．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
4.集合的表示方法
(1)列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2)描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．一般形式为A＝{x∈I | p}，其中x叫做代表元素，I是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征．
考点2：元素间的基本关系
1. 集合与集合的关系
（1）子集：对于两个集合A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合A为集合B的子集.
记作：或.
读作：“A包含于B”（或“B包含A”）.
（2）集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等.记作A = B.
即：若AB，且BA，则A = B.
2. 真子集：对于两个集合A与B，如果集合，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集.
记作：（或）.
3. 空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.
空集是任何集合的子集.
4. 子集性质：（1）任何一个集合是它本身的子集，即.
（2）对于集合A，B，C，如果，且，那么.
5.结论：含n个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是.
考点3：集合的基本运算
1. 并集定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”，即=.
Venn图表示：
2.交集定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作，读作“A交B”，即.
Venn图表示：
3.集合的运算性质：
（1） A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身；
（2） A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.
（3） A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；
（4），即任何集合与空集的交集等于空集.
4. 全集定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U.
5. 补集定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即=.
Venn图表示：
考点4：题及其关系
1.四种命题及其关系
2．四种命题的真假性
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
3．四种命题间的真假关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
考点5：分条件与必要条件
若p 、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A，B，
那么有以下结论：
p与q的关系 集合关系 结论
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
考点6：单的逻辑联结词
1. 含有逻辑联结词的命题的真假判断
p q p∨q p∧q ﹁p
真 真 真 真 假
真 假 真 假 假
假 真 真 假 真
假 假 假 假 真
2. 确定p∧q，p∨q，﹁p真假的记忆口诀：
p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p与﹁p→真假相反．
考点7：词与存在量词
1.全称量词与存在量词
（1）全称量词：含有量词“所有，任意，一切，全部，每一个”等，符号： .
（2）存在量词：含有量词“存在一个，至少一个，有些，某些”等，符号： .
2. 全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p： x∈M，p(x)．它的否定 p： x0∈M， p(x0) ；
(2)特称命题p： x0∈M，p(x)．它的否定 p： x∈M， p(x) ；
(3)命题p∨q的否定是( p)∧( q)；命题p∧q的否定是( p)∨( q)．
（二）典型例题
1.已知集合，，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为( )
A.2，3 B.3，4 C.3，5 D.2，5
2.集合A满足：，，则A的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知存在，；对任意，，若p或q为假，则实数m的取值范围为( )
A. B. C.或 D.
5.（多选）下面四个命题，其中错误的是( )
A.，恒成立； B.，；
C.，； D.，
6.（多选）下列结论正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.“，有”的否定是“，使”
D.“是方程的实数根”的充要条件是“”
7.已知集合，，若，则k的取值范围是_________.
8.已知集合，，且，则实数a的取值集合是________
9.设集合，.
(1)若且，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围.
10.已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：函数的定义域为A，值域为B，所以当时，；当时，；当时，；当时，；所以，又，所以若，解得或，因为，所以.此时，所以，则；
若，又，所以不成立.综上，.故选：D.
2.答案：B
解析：因为，所以，，，，又，
所以5可能属于集合A，也可能不属于集合V，所以集合或，
所以符合题意的集合A有2个.
3.答案：A
解析：，反之不成立，故选A.
4.答案：B
解析：若p真则；若q真，即恒成立，所以，解得.
因为p或q为假命题，所以p，q全假.所以有，所以.故选：B.
5.答案：ABC
解析：对于A，当时，，故A错误；
对于B，由，解得：，是无理数，则3x也是无理数，故B错误；
对于C，由于对任意实数x满足都成立，故C错误；
对于D，由原不等式得，
所以，都有成立，故D正确；故选：ABC
6.答案：ACD
解析：对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，正确；
对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，错误；
对于C，命题“，有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，使”，正确；
对于D，当时，1为方程的一个根，故充分；当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；故选：ACD
7.答案：
解析：，即，解得，，，
，，即k的取值范围是.故答案为：.
8.答案：，或
解析：因为方程的解集为，所以，因为，所以或或或，又，所以或或或，所以或，所以a的取值集合是，或.故答案为：，或.
9.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，且，所以，解得，，综上所述，a的取值范围为.
(2)由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，解得，，满足题意；
当时，因为，所以，解得，或无解；
综上所述，a的取值范围为.
10.答案：（1）或，
（2）
解析：（1）由，即，解得或，
所以或，
当时，，
所以，
或，.
（2）因为，
当时，即，解得，符合题意；
当时，可得，解得，
综上可得a的取值范围是.

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