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2.函数与导数——高考数学一轮复习大单元知识清单
（一）核心知识整合
考点1：函数的有关概念
1.函数的概念
一般地，设A ， B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个函数，记作
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
2.函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.
3.区间
（1）研究函数时常会用到区间的概念.设a，b是两个实数，而且，我们规定：
a.满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为；
b. 满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为；
c. 满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为.
（2）在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
（3）实数集R可以用区间表示为.
（4） 把满足的实数x的集合，用区间分别表示为.
考点2：函数的表示方法
1.常用的函数表示法
解析法，列表法，图像法.
2.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的数字来表示，这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
考点3：函数的单调性
单调函数的定义
（1）定义：一般地，设函数的定义域为I，区间：
如果，当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递增.
如果，当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递减.
（2）图像描述：
图象 特征 函数在区间D上的图象是单调递增的 函数在区间D上的图象是单调递减的
图示
（3）知识拓展
函数在区间D上是增函数，，且.
函数在区间D上是减函数，且.
2.函数的最值
（1）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最大值.
（2）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最小值.
考点4：函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
（1）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
（2） 定义：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
2.奇、偶函数的性质
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
（2）在公共定义域内：
两个奇函数的和是奇函数，
两个奇函数的积是偶函数；
两个偶函数的和、积都是偶函数；
一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数.
考点5：函数的周期性
1.周期函数的概念
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任何值时，都有，那么函数叫作周期函数，非零常数T叫作的周期，如果所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作的最小正周期.
2.二次函数的解析式
（1）一般式：.
（2）顶点式：若二次函数图像的顶点坐标为，则其解析式为.
（3）两根式：若相应的一元二次方程的两根为，则其解析式为.
3. 二次函数的图像和性质
解析式
图像
定义域 R R
值域
单调性 在区间上是减函数，在区间上是增函数 在区间上是增函数，在区间上是减函数
对称性 函数的图像关于直线对称
考点6：幂函数
1.幂函数的定义
一般地，形如的函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
2.幂函数的图象
3.幂函数的性质
函数
定义域 R R R
值域 R R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在R上递增 在上递减，在上递增 在R上递增 在上递增 在和上递减
图像
过定点
考点7：指数与指数函数
1.根式的概念
根式的概念 符号表示 备注
一般地，如果，那么x叫作a的n次方根
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数 负数没有偶次方根
2.两个重要公式
；
，注意a必须使有意义.
3.有理指数幂
（1）幂的有关概念
（i）正数的正分数指数幂：；
（ii）正数的负分数指数幂：；
（iii）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.
（2）有理指数幂的性质
；
；
.
4.指数函数的图像和性质

图像
性质 定义域 R
值域
过定点 过点 即x=0时，y=1
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
考点8：对数与对数函数
1.对数的概念
（1）对数的定义
如果，那么指数x叫作以a为底N的对数，记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数.
（2）几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为a
常用对数 底数为10
自然对数 底数为e
2.对数的性质与运算法则
（1）对数的性质
a.；
b.
（2）对数的重要公式
a.换底公式：
b.
c..
（3）对数的运算法则
如果，那么
a.；
b.
c..
3.对数函数的图像和性质
底数
图像
性质 定义域
值域 R
过定点 过点
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
4.反函数
指数函数与对数函数互为反函数，他们的图像关于直线y=x对称，其图像关系如图所示：
考点9：函数的零点与方程的根
1.函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数x叫作函数的零点.
（2）三个等价关系：方程有实数根函数的图像与x轴有交点函数有零点.
2.函数零点存在性定理
（1）条件：在区间上的图像是连续不间断的一条曲线；端点值满足
（2）结论：存在，使得.
考点10：二分法求函数的零点
1.二分法
（1）对于区间上连续不断的，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.
（2）用二分法求函数的零点近似值的步骤
第一步：确定区间，验证，给定精确度，
第二步：求区间的中点c，
第三步：计算.
（i）若，则c就是函数的零点；
（ii）若，则令b=c(此时零点)；
（iii）若，则令（此时零点）
第四步，判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值a（或b）；否则，重复第二、三、四步.
考点11：函数模型
1.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型
二次函数模型
指数函数模型
对数函数模型
幂函数模型
“对勾”函数模型
2.三种增长型函数模型的性质比较
函数 性质
在上的增减性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图像的变化 随x值的增大图像与y轴接近于平行 随x值的增大图像与x轴接近于平行 随值变化而不同
联系 存在一个，当时，有
3.“对勾”函数的性质
函数.
（1）该函数在和上单调递增，在和上单调递减.
（2）当时，时取得最小值；当时，时取最大值-.
考点12：函数的综合应用
1.解函数应用题的步骤（四步八字）
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义
考点13：导数的概念及几何意义
1.导数的概念：
如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即.
2. 导数的几何意义：
函数在处的导数就是切线的斜率，即.
3. 导函数的概念：
当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）.的导函数有时也记作，即.
考点14：导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
αxα－1
2. 导数的运算法则
（1）；
（2）；
（3）
考点15：导数与函数的单调性
1.函数单调性与导数的关系
设函数在内可导，是的导数，则在某个区间内，如果f′(x0)>0那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.
考点16：导数与函数的极（最）值
1.函数的极值
a.函数的极值的定义
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；
（2）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
b.求函数极值的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左正右负，则在这个根处取得极小值（最好通过列表法）.
2. 函数的最值
（1）函数的最小值与最大值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值，如.
（2）通过导数求数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
求函数在内的导数；
求方程在内的根；
求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值；
比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
考点17：导数的综合应用
1.不等式恒成立（有解）问题的处理方法
（1）形如恒成立，主要方法如下：
法1：构造函数，使恒成立，即恒成立，求的最小值即可.
法2：参变量分离：或恒成立，即或，求的最大值或最小值即可.
（2）形如有解问题的求解方法：
法1：构造函数：，在时有解，即有解，即求的最大值即可.
法2：参变量分离：有解，即或，即求的最值问题.
2.证明形如的不等式恒成立的方法
法1：构造函数：，即恒成立，转化为求的最小值问题.
法2：若，则恒成立，证明的最小值大于或等于的最大值.
法3：中间变量法：且，则（为中间函数，且为一次函数较多）.
3.生活中的优化问题
（1）生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，导数在这一类问题中有着重要的作用，它是求函数最大（小）值的有力工具.
（2）解决优化问题的基本思路：优化问题—用函数表示数学问题—用导数解决数学问题—优化问题的答案
（二）典型例题
1.已知函数的定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
2.已知是定义在R上的奇函数，当时，.若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在R上的函数，是的导函数，若，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5.（多选）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知函数，且，则( )
A. B.
C.的最小值为 D.
7.已知，，若，，使得，则实数m的最大值是________.
8.已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为__________.
9.已知函数（且）.
（1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）解关于x的不等式.
10.已知函数，，.
(1)讨论的单调区间；
(2)若有三个极值点，求正数k的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意可知函数的定义域为，即，故，则的定义域为，则对于，需满足，，
即的定义域为，故选：C
2.答案：C
解析：因为是定义在R上的奇函数，所以，，
因为当时，，所以当时，，，所以由二次函数的单调性可知的最大的单调递增区间为，若函数在区间上单调递增，则，
所以实数a的取值范围是.故选：C.
3.答案：A
解析：设，则在上恒成立，
所以在单调递减，所以，即，
所以，因为
，
所以，综上：.故选：A.
4.答案：D
解析：由，得，设，则，所以函数在R上单调递增，因为，所以，所以不等式等价于，即，所以，解得，所以不等式的解集为.
5.答案：ABC
解析：由题图可知，在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值.，和为方程的两根且，所以，，所以，，所以，故A正确，B正确.，故C正确.，故D错误.
6.答案：AD
解析：函数，，由，得，
对于AB，，则，解得，A正确，B错误；
对于C，在上单调递增，则，C错误；
对于D，，而在上单调递增，，因此，D正确.故选：AD.
7.答案：2
解析：，，使得，；在上单调递减，；在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，；
，解得：，则实数m的最大值为2.故答案为：2.
8.答案：
解析：因为为奇函数，定义域为R，所以，两边同时求导可得，即且，又因为当时，，所以.构造函数，则，所以当时，，在上单调递增，又因为，所以，在上大于零，在上小于零，又因为，所以在上大于零，在上小于零，
因为为奇函数，所以在上小于零，在上大于零，
综上所述，的解集为.故答案为：
9.答案：（1）或
（2）当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为
解析：（1）因为在上为单调函数，且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，所以，即，解得或；
（2）因为函数是上的减函数，
所以即
当时，，原不等式解集为；
当时，，原不等式解集为.
10.答案：(1)答案见解析；
(2)
解析：(1)，则，
当时，的两根为，.
①若，在上单调递增；
②若，则，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③若，则，则在上单调递减，在上单调递增；
④若，则，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，无单调减区间，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，单调增区间为和；
当时，的单调减区间为，单调增区间为；
当时，的单调减区间为，单调增区间为和.
(2)根据题意可知，函数的定义域为，
则，
由函数有三个极值点，，可知在上至少有三个实数根；显然，则需方程，
也即有两个不等于3的不相等的实数根；
由可得，，
令，，则，，
显然当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；所以，
画出函数，与函数在同一坐标系下的图象，
经检验可知当时，导函数在，，左右符号不同，即，，均是的变号零点，满足题意；
因此实数k的取值范围是.

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