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3.三角函数与解三角形——高考数学一轮复习大单元知识清单
（一）核心知识整合
考点1：任意角与弧度制
1.任意角的概念
（1）我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正、负角、零角.
正角：按逆时针方向旋转形成的角.
负角：按顺时针方向旋转形成的角.
零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.
（2）终边相同的角：与终边相同的角可以表示为.
2.弧度与角度的互化
（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角.
（2）角的弧度数公式：.
（3）角度与弧度的换算
（4）扇形的弧长及面积公式：
弧长公式：.
面积公式：.
3.象限角
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
考点2：三角函数的概念
1.三角函数
（1）任意角的三角函数的定义
设角终边上任意一点P（原点除外）的坐标为，它与原点的距离为r，则.
（2）三角函数值在各象限内的符号
上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2. 终边相同的角的三角函数
即终边相同的角的同一三角函数值相等.
3.三角函数线
各象限内角的三角函数线如下表：
角的终边所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
图形
当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0，当角的正弦值都为0，
当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的余弦值为0，正切值不存在.
考点3：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：.
（2）商数关系：.
考点4 ：诱导公式
函数 角 正弦 余弦 正切
角“”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限.”
考点5：三角函数式的求值与化简
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）
（3）.
3.降幂公式
（1）；
（2）
考点6：三角函数式的变形
1.其他常用变形
；
；
.
2.辅助角公式
其中
3.角的拆分与组合
（1）用已知角表示未知角
例如，
（2）互余与互补关系
例如，
.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如，.
考点7：三角函数的图像及其变换
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）正弦函数的图像中，五个关键点：.
（2）余弦函数的图像中，五个关键点：，.
2.用“五点法”画在一个周期内的简图
用五点画图法画在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线，其中所列表如下：
0
0 0 - 0
3.的物理意义
振幅 周期 频率 相位 初相
4.由函数的图像变换得到图像的步骤
上述两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的.
特别提醒
（1）平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.
（2）为负值时应先变成正值.
考点8：三角函数的性质及其应用
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数 性质
定义域 R R
图像
值域 R
对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 对称中心：
周期
单调性 单调增区间： 单调减区间： 单调增区间： 单调减区间： 单调增区间：
奇偶性 奇 偶 奇
考点9：正弦定理
(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：．
．
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．
考点10：余弦定理
.
推论：.
变形：
考点11：面积公式
考点12：解三角形及其综合应用
1.有关概念
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图a）.
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，如B点的方位角为（如图b）
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图c）.
a.北偏东：指北方向顺时针旋转到达目标方向.
b.东北方向：指北偏东方向.
（4）坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图d，角为坡角）.
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）（如图d，i为坡比.）
考点13：三角形的面积公式
1.已知三角形一边及该边上的高，利用（h表示边a上的高）.
2.已知三角形的两边及其夹角，利用）
（二）典型例题
1.在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长为( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为( )
A. B.3 C. D.2
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.（多选）设函数，则下列结论正确的是( )
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为 D.的最大值为1
6.（多选）已知，且，，则( )
A. B.
C. D.
7.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则________.
8.已知函数在上单调递增，则______.
9.已知函数满足.
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值.
10.已知，，，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求
（2）设函数，求的最小正周期.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，，根据弧长公式可得：.故选：A.
2.答案：D
解析：.故选：D.
3.答案：C
解析：因为将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，所以当时，因为函数在区间上是单调增函数，所以，解得，故选：C
4.答案：D
解析：由已知可得，解得
，，，
，故选：D.
5.答案：ABD
解析：函数.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，，所以不是的一个零点，故C错误；
对于D，函数，则的最大值为1，故D正确.故选：ABD.
6.答案：BCD
解析：由，得，由，得，即，显然，而，则，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；
对于D，，则
，D正确.故选：BCD.
7.答案：
解析：依题意，所以.
故答案为：.
8.答案：
解析：函数，由，得，因此函数在上单调递增，又在上单调递增，于是，即，解得，所以.故答案为：.
9.答案：（1），；
（2）
解析：（1），，而，
，即，的最小正周期为：；
（2）由题意，，
，由，得，
，，又，的最小值为.
10.答案：（1）
（2）π
解析：（1），，，
的终边经过点，，
由三角函数的定义可知，，
.
（2），
又由（1）可知，
所以
，
.所以的最小正周期为π.

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