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4.平面向量——高考数学一轮复习大单元知识清单
（一）核心知识整合
考点1：平面向量的概念
1.向量的有关概念及表示法
名称 定义 表示法
向量 既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫作向量的长度（或模） 向量： 模：
零向量 长度为0的向量叫零向量，其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 常用e表示
平行向量 方向相同或相反的非零向量 a与b共线可记为 0与任一向量共线
共线向量 平行向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量
相反向量 长度相等且方向相反的向量 a与b互为相反向量，则a=-b，0的相反向量为0
考点2：平面向量的线性运算
1. 平面向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： （2）结合律：
减法 求a与b的相反向量-b的和的运算
数乘 求实数与向量a的积的运算 （1）； （2）当时，与的方向相反； 当时，
2.共线向量定理
如果向量与共线，那么存在唯一一个实数使得.
考点3：平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
2.基底
若不共线，则把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
3. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
考点4：平面向量的坐标
设向量，则有下表：
运算 文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知， 则
2. 平面向量共线的坐标表示
（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.
（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.
考点5：平面向量的数量积
1.两个向量的夹角
向量的夹角：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.记作.
当时，向量同向；当时，向量垂直，记作；当时，向量反向.
2.平面向量数量积的有关概念
定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.
坐标表示：设向量，则.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
运算律：
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：.
3.投影向量
如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
考点6：平面向量数量积的性质
1.平面向量数量积的性质
设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或；
（4）由可得，；
（5）
2.向量垂直的坐标表示
设向量，则.
考点7：平面向量的数量积的应用
1.常见应用
已知，则
（1）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：
（2）求向量夹角问题，利用夹角公式：
（3）求线段的长度：向量的模或.
考点8：向量中常用的结论
在中，所对的边分别为.
（1）在的条件下，存在使得为的内心；为的的内心.
（2）为的外心
（3）为的重心.
（4）为的垂心.
（二）典型例题
1.在中，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知与为非零向量，，，，若A，B，C三点共线，则( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，满足，且，则( )
A. B.5 C. D.6
5.（多选）已知，，均为非零向量，下列命题错误的是( )
A.， B.可能成立
C.若，则 D.若，则或
6.（多选）已知平面向量，，则( )
A.当时，
B.若，则
C.若，则
D.若与的夹角为钝角，则
7.已知向量，，若，则_______.
8.已知向量，，若，则m的值为________.
9.已知，，.
(1)求与的夹角；
(2)求与.
10.已知非零向量，满足，且.
(1)若向量与共线，求实数k的值；
(2)若向量与垂直，求实数k的值；
答案以及解析
1.答案：C
解析：.
2.答案：D
解析：由题意知，A，B，C三点共线，故，，且，共线，故不妨设，，则，所以，解得，故选：D.
3.答案：C
解析：因为，，，所以，得，
所以，，所以在上的投影向量的坐标为，故选：C.
4.答案：D
解析：由，得，由，得，则，
由，得，即，则，所以.故选：D.
5.答案：ACD
解析：仍是向量，不是向量，A错；不妨取，，，则，，此时，B对；若，，，则，但，C错；若，，则，但，，D错.故选：ACD.
6.答案：ACD
解析：A.当时，，故A正确；
B.若，则，解得，故B错误；
C.若，则，解得，故C正确；
D.由，若与的夹角为钝角，则且与不共线，解得且，故D正确.故选ACD.
7.答案：
解析：因为，所以由可得，，解得.
8.答案：
解析：设向量，的夹角为，因为，可得，因为，所以，即向量与向量反向，又因为向量，，设，可得，可得且解得，.故答案为：.
9.答案：(1)；
(2)，.
解析：（1）由，得，
即，求得，
再由，可得.
（2）；
.
10.答案：(1)；
(2).
解析：（1）依题意，不是零向量，由向量与共线，
得存在实数，使得，则，
所以.
（2）由，，得，
由向量与垂直，得，
整理得，即，而，
所以.

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