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5.数列——高考数学一轮复习大单元知识清单
（一）核心知识整合
考点1：数列的概念
1.数列的概念
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示...第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2.数列的分类
分类原则 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列
递减数列
常数列
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
考点2：数列的表示
1.数列的符号表示
数列的一般形式是，，…，，…，简记为.
2.数列与函数的关系
数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为.
3.数列的函数表示法及性质
数列可以用表格和图象来表示，定义数列的单调性，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
4.数列的通项公式
如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
5.数列的前n项和与其通项公式的关系
若，则称为数列的前n项和，由可求出通项公式.
已知，则.
考点3：等差数列的有关概念及运算
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
2.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，.
3.通项公式
首项为，公差为d的等差数列的通项公式为.
4.通项公式的推广
.
5.等差数列的前n项和
（1）；
（2）.
考点4：等差数列的性质
已知数列是等差数列，是的前n项和.
（1）若，则有.
（2）等差数列的单调性：
当时，是递增数列；
当时，是递减数列；
当时，是常数列.
（3）若是等差数列，公差为d，则是公差为md的等差数列.
（4）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，其公差是的公差的.
（5）若是等差数列，分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则成等差数列，公差为（d为数列的公差）.
（6）关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（i）若项数为2n，则.
（ii）若项数为2n-1，则，.
（7）两个等差数列、的前n项和之间的关系为
考点5：等比数列的有关概念及运算
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）.
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，.
3.通项公式
首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.
4.等比数列的前n项和
设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是.
根据等比数列的通项公式，上式可写成.①
用公比q乘①的两边，可得.②
用①减去②，可得，即.
因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式.（1）
因为，所以公式（1）还可以写成.
5.等比数列与指数函数的关系
由可知，当且时，等比数列的第n项是指数函数当时的函数值，即.
考点6：等比数列的性质
1.等比数列的常用性质
（1）通项公式得推广：
（2）若为等比数列，且，则.
（3）若，（项数相同）是等比数列，则仍是等比数列.
2.等比数列的前n项和的性质
（1）当（或且为奇数）时，是等比数列.
注意：当且k为偶数 时，不是等比数列.
（2）若，则成等比数列.
（3）若数列的项数为2n，与分别为偶数项与奇数项的和，则；
若项数为2n+1，则.
3.等比数列的单调性
等比数列的通项公式为，它的图像是分布在曲线上的一群孤立的点.
当时，等比数列是递增数列；
当时，等比数列是递增数列；
当时，等比数列是递减数列；
当时，等比数列是递减数列；
当时，等比数列是摆动数列；
当时，等比数列是常数列.
考点7：数列求和
1.公式法
（1）直接用等差、等比数列的求和公式求解.
（2）掌握一些常见的数列的前n项和公式.
；
；
；
；
.
2.倒序相加法
如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.
3.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.
4.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的拆项公式：
；
；
.
5.分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，再合并，形如：
（2）.
考点8：解答数列应用题的基本步骤
（1）审题--仔细阅读材料，认真理解题意；
（2）建模-将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征以及要求什么；
（3）求解--求出该问题的数学解；
（4）还原-将所求结果还原到实际问题中.
考点3：数列应用题常见模型
1.（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定值，那么该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.其一般形式是（常数）.
（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，那么该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.其一般形式是（q为常数，且）.
（3）混合模型：在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型.
（4）生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少），称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等.
如设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则.
（5）递推模型：如果容易推导该数列任意一项，与它的前一项（或前几项）间的递推关系式，那么我们可以用数列的知识求解.
（二）典型例题
1.等比数列的前n项和，则( )
A.-2 B. C.0 D.
2.已知正项等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A.25 B.20 C.15 D.10
3.记为等差数列的前n项和，若，，则( )
A.21 B.19 C.12 D.42
4.已知数列是等比数列，若，，则( )
A. B. C. D.
5.（多选）若数列为等比数列，为数列的前n项和，则下列说法正确的是( )
A.数列是等比数列 B.数列是等比数列
C.，，成等比数列 D.数列是等比数列
6.（多选）等差数列中，，则下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，则，
7.设是等差数列，且，，则数列的前项和_____________.
8.已知为等比数列，是其前n项和，若，，则________.
9.已知数列的首项，且满足，记，.
（1）证明：是等比数列；
（2）记，证明；数列的前n项和.
10.记递增的等差数列的前项和为，已知，且.
(1)求和；
(2)设.求数列的前项和.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，当时，，当时，，故，
当时，，从而，由于是等比数列，故，解得，故.故选：C.
2.答案：B
解析：因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.又，，成等差数列，所以，所以.又是正项等比数列，所以，所以，当且仅当时取等号.故选B.
3.答案：A
解析：是等差数列，，即，所以故公差，，，故选：A
4.答案：B
解析：设等比数列的公比为q，因为，，所以由，得，所以，又，即，所以，
所以.故选：B.
5.答案：BD
解析：设等比数列的公比为，则，当时，，此时数列不是等比数列，故A错误；
因为是等比数列，所以，又，所以数列是等比数列，故B正确；
当，且n为正偶数时，，此时，，不成等比数列，故C错误；因为是等比数列，所以，又，所以数列是等比数列，故D正确.故选：BD.
6.答案：ACD
解析：等差数列中，，对于A，若，则，A正确；对于B，，则，，则，，因此，即，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，由，得，解得，则，，D正确.
7.答案：100
解析：因为，所以，所以的公差，又，
所以.故答案为：100.
8.答案：12
解析：设等比数列的公比为q，，由得，由于，所以，
则，所以.
故答案为：12
9.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为，，所以，，
所以，
因为，，所以；
因为，，所以，
所以，
所以是以5为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，
因为，
所以得证.
10.答案：(1)；；
(2)
解析：（1）设的公差为d，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
.
（2），
所以.

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