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7.空间向量与立体几何——高考数学一轮复习大单元知识清单
（一）核心知识整合
考点1：空间几何体
1.空间几何体
多面体 旋转体
定义 一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图形
考点2：空间几何体的结构特征
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
相关概念 （1）底面（底）：两个互相平行的面. （2）侧面：其余各面. （3）侧棱：相邻侧面的公共边. （4）顶点：侧面与底面的公共顶点. （1）底面（底）：多边形面. （2）侧面：有公共顶点的各个三角形面. （3）侧棱：相邻侧面的公共边. （4）顶点：各侧面的公共顶点. （1）上底面：原棱锥的截面. （2）下底面：原棱锥的底面. （3）侧面：其余各面. （4）侧棱：相邻侧面的公共边. （5）顶点：侧面与底面的公共顶点.
图形及表示 棱柱 （或六棱柱） 棱锥 （或四棱锥） 棱台
分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几棱台，例如由三棱锥截得的棱台叫三棱台.
2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
圆柱 圆锥 圆台 球
定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
相关 概念 （1）轴：旋转轴. （2）底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. （3）侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. （4）母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. （1）轴：旋转轴. （2）底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. （3）侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. （4）母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线. （5）顶点：母线的交点. （1）上底面：原圆锥的截面. （2）下底面：原圆锥的底面. （3）轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. （4）侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. （5）母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. （1）球心：半圆的圆心. （2）半径：连接球心和球面任意一点的线段. （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.
图形及表示 圆柱 圆锥 圆台 球
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
3.简单组合体的结构特征
（1）简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体.
（2）简单组合体的两种基本形式：
简单组合体
考点3：空间几何体的表面积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积.
多面体 侧面展开图 面积公式
棱柱 （如三棱柱）
棱锥 （如三棱锥）
棱台 （如三棱台）
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 侧面展开图 面积公式
圆柱 底面积： 侧面积： 表面积：
圆锥 底面积： 侧面积： 表面积：
圆台 上底面面积： 下底面面积： 侧面积： 表面积：
考点4：空间几何体的体积
1.柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
锥体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
台体 （分别为上、下底面面积，为高）， （分别为上、下底面半径，为高）
2.球的表面积和体积
（1）球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
（2）球的体积：设球的半径为，则球的体积为.
考点5：空间平面的基本性质
三个公理及其表示
公理 文字语言 图形语言 符号语言
公理1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 且.
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 三点不共线 存在唯一的平面使.
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ，且.
考点6：空间点、线、面的位置关系
1.空间中直线与直线之间的位置关系
（1）空间中两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有一个公共点
平行 同一平面内，没有公共点
异面 不同在任何一个平面内，没有公共点
（2）公理4（平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
（4）异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（5）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即时，与互相垂直，记作.
2.空间中直线与平面之间的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示
图形表示
3.平面与平面之间的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有一条公共直线
符号表示
图形表示
4.异面直线
（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
（2）性质：两条异面直线既不相交也不平行.
考点7：直线与平面平行的判定与性质
1.直线与平面平行的判定与性质
直线与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. ，，且.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
直线与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. ，，.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
考点8：平面与平面平行的判定与性质
1.平面与平面平行的判定与性质
平面与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. ，，，，
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
平面与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. ，，.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
考点9：直线与平面垂直的判定与性质
1.直线、平面垂直的判定及其性质
（1）直线与平面垂直的概念
定义 如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作， 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.它们唯一的公共点叫做垂足.
画法图示 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示
（2）直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. ，，，， .
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
（3）直线与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行. ，
2.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，图中直线.
斜足 斜线和平面的交点，图中点.
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是的角.
取值范围
3.二面角
概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
记法 棱为，面分别为的二面角记为. 也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
图示
符号 ，，，，，，是二面角的平面角.
范围
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
考点10：平面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直的判定
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作.如图
（2）判定定理：
自然语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. ，.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2.平面与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. ，，， .
该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”.
考点11：空间向量及其线性运算
1.空间向量的概念
（1）空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
（2）空间向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或.
（3）零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0.
（4）单位向量：模为1的向量叫单位向量.
（5）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a.
（6）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
（7）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
2.空间向量的运算律
a.空间向量的加法、减法及数乘运算：
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时，；
当时，.
b.空间向量线性运算的运算律：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，.（其中，）
3.共线向量和共面向量
（1）共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使.
（2）直线的方向向量： O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
（3）共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
考点12：空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作. 如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
2.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可以得到：；.
3.空间向量数量积的运算律：，；（交换律）；（分配律）.
考点13：空间向量基本定理
1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
2.如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
4.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解
考点14：空间向量及其运算的坐标表示
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
2.空间向量运算的坐标表示
（1）空间向量运算的坐标表示：设，，则
，，
，，.
（2）空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示：
当时，，，；
；
；
.
（3）空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则.
考点15：用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.空间直线的向量表示式
取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，将代人①式，得 ②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
2.空间平面的向量表示式
取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使 ③. 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
3.空间中直线、平面的平行
①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.
②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.
③平面与平面平行：设，分别是平面，的法向量，则，使得.
4.空间中直线、平面的垂直
①直线与直线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则.
②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.
③平面与平面垂直：设平面，的法向量分别为，，则.
考点16：用空间向量研究距离、夹角问题
1.点到直线的距离
如图，向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得.
2.点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此.
3.异面直线所成的角
若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
4.直线与平面所成的角
直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
5.二面角
若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则
（二）典型例题
1.学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为8cm，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为( )
A. B. C. D.
2.在三棱锥中，，，E，F分别是AB，CD的中点，，则直线AD与BC所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.如图，三棱锥中，平面ABC，，且为边长等于2的正三角形，则DA与平面DBC所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4.埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5.（多选）在正方体中，AC与BD交于点O，则( )
A.平面 B.平面
C.平面平面 D.平面平面
6.（多选）在空间直角坐标系中，已知，，，，则以下正确的是( )
A. B.，夹角的余弦值为
C.A，B，C，D共面 D.点O到直线的距离是
7.如图60°的二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则__________.
8.在正四棱锥中，若高为1，底面边长为2，E为BC的中点，则异面直线PE与DB所成角的大小为______.
9.如图，在三棱锥中，，，，.
（1）证明：平面PAB；
（2）过的中点作平面与平面ABC平行，并分别交，于点，，且E为的中点，求二面角的正弦值.
10.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的动点，平面ABC，.
（1）求证：平面PBC；
（2）若C是的中点，E是BC的中点，，求平面ADE与平面ABC所成角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：依题意，设圆台的上底面半径为，则下底面半径，因为母线长为8cm，其母线与底面所成的角为，所以，解得，所以，，
又圆台的高，于是这个圆台的体积.
2.答案：A
解析：取AC的中点N，连接FN，EN，因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以，，故或其补角为直线AD与BC所成的角，，，又，故，
故直线AD与BC所成的角的余弦值为.故选：A
3.答案：B
解析：过点A作垂直于平面BCD的直线，垂足为O，利用等体积法求解AO.，由此解得，DA与平面DBC所成角为，所以，故选B
4.答案：A
解析：如图，连接BD，设AC与BD相交于点O，连接PO，
以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，
设平面AEC的法向量为，则，
取，得，所以点D到平面AEC的距离，故选：A.
5.答案：ABC
解析：设交于点，连接，
在正方体中，，，则四边形为平行四边形，可得，又平面，平面，所以平面，故A正确；可知，，
O为BD的中点，为的中点，则，，四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，故B正确；
由A，B可知平面，平面，又，平面，平面，所以平面平面，故C正确；可知平面即为平面，而平面平面，可知平面与平面不平行，故D错误.
6.答案：ACD
解析：因为，，所以，A正确；
夹角的余弦值为，所以B错误；
因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确；
因为，所以，所以点O到直线的距离是，D正确.故选：ACD.
7.答案：10
解析：如图，过点B作，且，连接，，
则，又，所以为等边三角形，所以，
则四边形为矩形，即，由，则，又，且，
所以平面，所以平面，又平面，所以，
则由勾股定理得.故答案为：10.
8.答案：或60°
解析：如图，连结BD，作PO⊥平面ABCD，交BD于O.取AB中点F，取BC中点E.以O为原点，OF为x轴，OE为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系.
由已知得，，，，所以，.
所以.因为，所以.即异面直线PE与DB所成的角为.故答案为：.
9.答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）在中，，，所以.
在中，，，，因为，所以.即，
又，平面，，所以平面.
因为平面，所以，
又，平面，，
所以平面.
（2）如图：以B为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为平面平面，且为中点，则为中点.
则，，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，取；
设平面的法向量为，
则，取.
设二面角为，则，
所以.
10.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）AB是⊙O的直径，，平面ABC，平面ABC，.
又，PA，平面PAC，平面PAC.
平面PAC，.
又，，PC，平面PBC，平面PBC.
（2），，D为PC的中点.
以A为坐标原点，AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，
如图所示.
设，
则，，
故，
平面ABC的一个法向量为.
设平面ADE的一个法向量为，
则，即
令得，，即.
设平面ADE与平面ABC所成角为，
则
平面ADE与平面ABC所成角的余弦值为.

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