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8.平面解析几何——高考数学一轮复习大单元知识清单
（一）核心知识整合
考点1：直线的倾斜角与斜率
1.当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
2.直线的倾斜角的取值范围为.
3.一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.倾斜角是90°的直线没有斜率.
4.如果直线经过两点，那么斜率公式为.
5.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
6.对于斜率分别为，的两条直线，，有（1）；（2）.
考点2：直线的方程
1.直线的点斜式方程
（1）方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是.
当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程是.
（2）方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
（3）对于直线，，且；.
2.直线的两点式方程
（1）直线的两点式方程：直线l经过两点，（其中，），则，这就是直线的两点式方程，简称两点式.
（2）直线的截距式方程：方程叫做直线的截距式方程，简称截距式. 其中a叫做直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距.
3.直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
考点3：直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点坐标
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线上，也在直线上.点P的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
2.两点间的距离公式
（1），两点间的距离公式.
（2）原点与任一点间的距离.
3.点到直线的距离公式
点到直线的距离
4.两条平行直线间的距离
（1）两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
（2）两条平行直线与间的距离为.
考点4：圆的方程
1.圆的标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程为.
圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为.
2.点与圆的位置关系：点在圆内，则；在圆外，则.
3.圆的一般方程：. 其中.
考点5：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系的判定
设直线l：，圆C：，d为圆心到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.
位置关系 图形 判断方法 公共点个数
代数法 几何法
相交 2
相切 1
相离 0
2.与圆的切线有关的结论
（1）过圆上一点的切线方程为；
（2）过圆上一点的切线方程为；
（3）过圆外一点作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为；
（4）过圆外一点引圆的切线，切点为T，则切线长.
3.直线与圆相交
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有，即，即，求弦长或已知弦长求其他量时，一般用此公式.
考点6：圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为，则
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
公共点个数 0 1 2 1 0
D，R，r的关系
公切线条数 4 3 2 1 0
2.两圆相交时，公共弦所在直线的方程
设圆：，圆：，若两圆相交，则有一条公共弦，两圆方程相减得，即圆与的公共弦所在直线的方程.
考点7：椭圆的定义及标准方程
1.定义
平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意：若，则动点的轨迹是线段，若，则动点的轨迹不存在.
2.标准方程
（1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为.
（2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.
3.焦点三角形
（1）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则，其中
（2）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则的周长为.
（3）过焦点的弦AB与椭圆另一个焦点构成的的周长为4a.
考点8：椭圆的几何性质
标准方程
焦点位置及坐标 焦点在x轴上 ， 焦点在y轴上 ，
图形
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
顶点坐标 ，， ， ，， ，
长、短轴长 长轴长，短轴长
离心率
考点9：直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系的判断
把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理成的形式，则：
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交，有两个公共点
直线与椭圆相切，有一个公共点
直线与椭圆相离，无公共点
2.弦长公式
设直线l：与椭圆交于.
则，，
.
考点10：双曲线的定义及标准方程
1.定义
在平面内到两定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于且大于零）的点的轨迹叫做双曲线，定点，叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
2.标准方程
（1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为.
（2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为.
考点11：双曲线的几何性质
标准方程
图形
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
顶点坐标 ，， ，，
长、短轴长 实轴长，虚轴长
渐近线 直线 直线
离心率
考点12：抛物线的定义及标准方程
1.定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程
在抛物线中，记焦点F到准线l的距离为P，以抛物线的焦点F到准线l的垂线段的中点为坐标原点，以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系，可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程，，其中.
考点13：抛物线的几何性质
标准 方程
图形
焦点
准线
顶点
开口 方向 右 左 上 下
对称轴 x轴 y轴
x的取值范围 R
y的取值范围 R
离心率
（二）典型例题
1.已知直线经过点，则的最小值为( )
A.4 B.8 C.9 D.
2.已知直线与圆C相切于点，圆心C在直线上，则圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
3.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知双曲线E的实轴长为8，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.（多选）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是( )
A. B.点F的坐标为
C.直线AQ与抛物线相切 D.
6.（多选）已知双曲线，则C的( )
A.焦点在y轴上 B.焦距为3
C.离心率为 D.渐近线为
7.双曲线的左 右焦点分别是，，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为_______________.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，，则椭圆C的离心率为_____________.
9.已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当的面积为时，求k的值.
10.已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切.
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为直线经过点，所以，
所以，当且仅当，即、时取等号.故选：B
2.答案：D
解析：由题意，设，圆C的半径为r，，解得，
所以圆心，半径，所以圆C的方程为.故选：D.
3.答案：B
解析：若方程表示椭圆，则
，解得：，且，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B
4.答案：B
解析：椭圆的焦点在y轴上，其中，，，所以焦点坐标为和，双曲线的焦点为和，即，实轴长，则，
那么，所以双曲线E的渐近线方程为，即.故选：B.
5.答案：AC
解析：将代入中可得，故，，A正确，B错误，
，则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确，由于轴，所以不成立，故D错误，故选：AC
6.答案：AC
解析：因为双曲线，所以C的标准方程为，
故焦点在y轴上，，，，故焦距为，离心率为，渐近线为，故A，C正确，B，D错误.故选：AC
7.答案：
解析： 为正三角形，，又，
，，，，（舍去），故答案为：.
8.答案：
解析：由题意知，，，所以，即，又，即，
所以，故答案为：.
9.答案：（1）；
（2）1或-1.
解析：（1）由题意得解得.所以椭圆C的方程为.
（2）由得.
设点M，N的坐标分别为，，则，，，，.所以.
由因为点到直线的距离，所以的面积为.由，解得，经检验，所以.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时.圆心O到直线l的距离为，则r＝2，
所以圆O的方程为.
（2）圆心O到直线l的距离
①当直线l与圆O有公共点，即，解得，
若点P与点M（或N）重合，则满足，符合题意.
②当直线l与圆O无公共点，即，解得或，
由，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为，
则圆Q的方程为，
又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径，圆O的半径，
则，
只需点O到直线l的距离，
所以或.
综上，实数k的取值范围为.

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