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9.计数原理与概率统计——高考数学一轮复习大单元知识清单
（一）核心知识整合
考点1：随机抽样
1.简单随机抽样
（1）定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个不放回地抽取n（）个个体作为样本，如果每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
（2）最常用的简单随机抽样方法有两种：随机数法和抽签法.
2.分层抽样
（1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样.
（2）应用范围：总体是由差异明显的几个部分组成的.
（3）分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，抽样比.
考点2：用样本估计总体
1.频率分布表与频率分布直方图
频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：
（1）求极差，即求一组数据中最大值与最小值的差；
（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组；
（4）列频率分布表，落在各小组内的数据的个数叫做频数，每小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率，计算各小组的频率，列出频率分布表；
（5）画频率分布直方图，依据频率分布表画出频率分布直方图，其中纵坐标（小长方形的高）表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即每个小长方形的面积.
各个小长方形面积的总和等于1.
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
数字特征 样本数据 频率分布直方图
众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标
平均数 样本数据的算术平均数 每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和
方差和标准差反映了数据波动程度的大小.
方差：；
标准差：.
考点3：变量间的相关关系
1.变量间的相关关系
（1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
（2）在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系称为负相关.
2.两个变量的线性相关
（1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
（2）回归直线方程
①最小二乘法：通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
②回归方程：方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中是待定参数.
，，其中，，称为样本点的中心.
（3）相关系数r：，当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，当r的绝对值大于或等于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.
考点4：分类变量与列联表
1.分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.
2.列联表
列出两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为和，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：
总计
a b
c d
总计
可构造一个随机变量，其中为样本容量.
3.独立性检验
利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
考点5：随机事件
1.事件的分类
确定事件 必然事件 一般地，在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于S的必然事件
不可能事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件
2.事件的关系与运算
名称 定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B） 或
相等关系 若，且，那么称事件A与事件B相等
并事件 （和事件） 若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） 或
交事件 （积事件） 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） 或
互斥事件 若为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且（U为全集）
考点6：古典概型
1.古典概型的两个特点
（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
2.古典概型的概率公式
（1）在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是.
（2）对于古典概型，任何事件的概率为.
考点7：计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
考点8：排列与排列数
1.排列的概念
一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
2.排列数的概念
从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
3.排列数公式
.这里，并且.排列数公式还可以写成.
4.全排列的概念
特别地，把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列.正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，于是，个元素的全排列数公式可以写成.规定，.
考点9：组合与组合数
1.组合
一般地，从n个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合数
从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
3.组合数公式
.这里，并且.
还可以写成.规定1.
考点10：二项式定理
1.二项式定理
公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.
2.二项式系数的性质
1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
2.增减性与最大值：因为，即，所以，当时，即时，随的增加而增大；由对称性知，当时，随的增加而减小. 当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值.
3.各项式系数的和：的展开式的各二项式系数的和等于.
考点11：离散型随机变量及其分布列
1.离散型随机变量的分布列
（1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
（2）一般地，若离散型随机变量X的可能取得不同值为取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
X … …
P … …
2.离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；
（2）；
（3）.
3.常见的离散型随机变量的概率分布模型
（1）两点分布：若随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1-p p
则称X服从两点分布.
（2）超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，其中恰有X件次品，则，其中，且，，，则称分布列
X 0 1 … m
p …
为超几何分布.
考点12：离散型随机变量的均值与方差
1.离散型随机变量的均值
（1）一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X …
P …
则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
（2）两点分布的均值：.
（3）均值的性质：；；.
2.离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差与标准差：
称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.
（2）方差的性质：；；.
考点13：事件的相互独立性
1.相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.
2.相互独立事件的性质
当事件A与事件B相互独立时，则事件A与相互独立，事件与B相互独立，事件与相互独立.
考点14：条件概率
1.条件概率
一般地，设，为两个随机事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.
2.条件概率与事件相互独立性的关系
当时，当且仅当事件与相互独立时，有.
3.概率的乘法公式
对任意两个事件与，若，则.上式称为概率的乘法公式.
4.概率的性质
设，则
（1）；
（2）如果和是两个互斥事件，则；
（3）设和互为对立事件，则.
5.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.
考点15：二项分布
1.二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作.
2.二项分布的均值与方差.
如果，那么，.
考点16：正态分布
1.正态分布
，，为参数)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布.
2.正态分布的均值与方差
若，则.
3.原则
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则.
（二）典型例题
1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为( )
A.10 B.20 C.25 D.40
2.的展开式中的系数为( )
A.55 B. C.30 D.
3.某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量X的分布列如下，随机变量Y满足，则随机变量Y的期望等于( )
X 0 1 2
P a
A. B. C. D.
5.（多选）某社区开展“防疫知识竞赛”，甲 乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为( )
A. B.
C. D.
6.（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231，354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则( )
A.组成的三位数的个数为60
B.在组成的三位数中，奇数的个数为30
C.在组成的三位数中，偶数的个数为30
D.在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
7.已知变量x与y的取值如下表：
x 2 3 5 6
y 7 12
若y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线必经过的定点为________.
8.已知相互独立事件A，B满足，，则__________.
9.2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲、乙、丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲、丙两名同学都解答错误的概率是，乙、丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.
（1）求乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率；
（2）求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.
10.小明同学与甲、乙二位同学进行一场乒乓球比赛，每局两人比赛，没有平局，一局决出胜负.已知每局比赛小明胜甲的概率为，小明胜乙的概率为，甲胜乙的概率为，比赛胜负间互不影响.规定先由其中2人进行第一局比赛，后每局胜者再与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为这次比赛的获胜者，比赛结束.因为小明是三人中水平最弱的，所以让小明决定第一局的两个比赛者（小明可以选定自己比赛，也可以选定甲 乙比赛）.
（1）若小明选定第一局由甲、乙比赛，求“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率；
（2）请帮助小明进行第一局的决策，使得小明最终成为获胜者的概率最大，说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由图甲可知抽取的高中生人数是，
又由图乙可知高中生的近视率为，所以抽取的高中生中近视人数为人.
故选：B.
2.答案：C
解析：对，有，令，有，令，有，则，故的展开式中的系数为30.故选：C.
3.答案：C
解析：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，画树状图如下，
共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，
故他们选择同一项活动的概率是，故选：C.
4.答案：C
解析：由已知得，则，
所以.故选：C.
5.答案：AD
解析：记A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”，则，且A、B相互独立.从正面考虑，甲 乙两人中至少有一人获得一等奖为，为三个互斥事件，
所以；
从反面考虑，事件“甲 乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲 乙两人都没获得一等奖”，即事件，易得，所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为，
综上，A、D正确.故选：AD.
6.答案：AD
解析：依题意，组成的三位数的个数为，故A正确；
个位为1，3或5时，三位数是奇数，则奇数的个数为，故B错误；则偶数有(个)，故C错误；
将这些“凸数”分三类：
①十位为，则有(种)，
②十位为，则有(种)，
③十位为，则有(种)，
所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为，故D正确.故选：AD.
7.答案：
解析：因为，，所以线性回归方程必过定点.故答案为：
8.答案：
解析：因为相互独立事件A，B，，，
所以，所以，，
所以.故答案为：.
9.答案：（1）乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和；
（2）
解析：设甲、乙、丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件A，B，C
（1）因为，所以
又，所以，即
又，所以，
即乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和
（2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件D，
则
，
所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为
10.答案：（1）；
（2）小明与乙比赛，理由见解析.
解析：（1）第一局由甲、乙比赛，“只进行三局，小明就成为获胜者”的事件A，第一局甲胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件，
第一局乙胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件，事件与互斥，，
，，则有，
所以“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率是.
（2）第一局小明与甲比赛，小明最终成为获胜者的事件B，是以下3个互斥事件的和：
小明胜甲，小明胜乙的事件；小明胜甲，乙胜小明，甲胜乙，小明胜甲的事件；甲胜小明，乙胜甲，小明胜乙，小明胜甲的事件，
，
第一局小明与乙比赛，小明最终成为获胜者的事件C，是以下3个互斥事件的和：
小明胜乙，小明胜甲的事件；小明胜乙，甲胜小明，乙胜甲，小明胜乙的事件；乙胜小明，甲胜乙，小明胜甲，小明胜乙的事件，
，
第一局由甲与乙比赛，小明最终成为获胜者，只能是小明连胜两局，由（1）知小明最终成为获胜者的概率是，显然，
所以第一局小明与乙比赛，小明最终成为获胜者的概率最大.

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