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10.复数——高考数学一轮复习大单元知识清单
（一）核心知识整合
考点1：复数的概念及几何意义
1.复数的有关概念
（1）相关概念：形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.
（2）复数通常用字母表示，即.以后不作特殊说明时，复数都有，其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
（3）在复数集中任取两个数，，规定：与相等当且仅当且.
（4）对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫做虚数；当且时，它叫做纯虚数.
2.复数的几何意义
（1）建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
（2）向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或.即，其中.
如果，那么是一个实数a，它的模就等于.
（3）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭虚数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭复数.复数z的共轭复数用表示，即如果，那么.
考点2：复数的运算
1.复数的加、减运算及其几何意义
（1）复数的加法法则：设，是任意两个复数，那么它们的和.
（2）复数加法的运算律：对任意，有①交换律：；②结合律：.
（3）复数的减法法则：把满足的复数叫做复数减去复数的差，记作.
2.复数的乘、除运算
（1）复数的乘法法则：设是任意两个复数，那么它们的积.
（2）复数乘法的运算律：对于，有，，.
（3）复数的除法法则：，且.
（4）在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：当时，；当时，.
（二）典型例题
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.
3.已知，且，其中a，b为实数，则( )
A.1 B.3 C. D.5
4.已知、，且，若，则的最大值是( ).
A.6 B.5 C.4 D.3
5.（多选）已知复数，则( )
A. B.
C.z在复平面内对应的点在第二象限 D.为纯虚数
6.（多选）已知i为虚数单位，复数，下列说法正确的是( )
A. B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限
C. D.为纯虚数
7.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模等于________.
8.在复数范围内解方程（i为虚数单位），________.
9.已知复数z满足.
（1）求z；
（2）比较与的大小.
10.已知复数，.
（1）若z是纯虚数，求a的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：设，a、b为实数，则，于是，
故，所以，则.故选：D.
2.答案：B
解析：设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，又表示点Z到点的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点距离的最小值，所以的最小值为2，故选：B.
3.答案：C
解析：因为，所以，所以，
所以由可得，解得，所以，
故选：C.
4.答案：C
解析：设，，故，，则，
，
，当时，有最大值为4.故选：C.
5.答案：BCD
解析：对于A中，由复数，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以C正确；
对于D中，由为纯虚数，所以D正确.故选：BCD.
6.答案：ABC
解析：，
，，，故A，C正确；
对于B，因为，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限，不是纯虚数，故D错误.
7.答案：5
解析：设，，a，，由可得，
则，解得：，，故，所以复数z的模等于.
故答案为：5.
8.答案：
解析：原方程化简为，设（x、），
代入上述方程得，且，
解得且，原方程的解是.故答案为.
9.答案：（1）
（2）
解析：（1）设，
则由，得，
即，所以解得，，
所以.
（2），
，
因为，
所以，所以.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）是纯虚数，
故，解得.
（2）
因为在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
故a的取值范围为.

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