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专题33 等差数列及其前n项和（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 7
【考点1】等差数列的基本运算 7
【考点2】等差数列的判定与证明 10
【考点3】等差数列的性质及应用 16
【分层检测】 19
【基础篇】 19
【能力篇】 25
【培优篇】 28
考试要求：
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
3．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
二、填空题
7．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
8．（2022·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C B C B D
1．D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
2．C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.

故选：C
3．B
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
4．C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
5．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
6．D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
7．95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.
故答案为：.
8．2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
【考点1】等差数列的基本运算
一、单选题
1．（2024·广东佛山·模拟预测）等差数列的首项为2，公差不为0．若成等比数列，则公差为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知的内角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，，则（ ）
A．5 B． C．4 D．3
二、多选题
3．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·安徽·一模）已知数列满足，则（ ）
A． B．的前n项和为
C．的前100项和为100 D．的前30项和为357
三、填空题
5．（2024·上海·三模）数列满足（为正整数），且与的等差中项是5，则首项
6．（2024·四川·一模）已知数列满足，，，设的前项和为，则 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B B ABD AD
1．B
【分析】根据等比中项可得，结合等差数列的通项公式运算求解.
【详解】设等差数列的公差为，
若成等比数列，则，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以公差为.
故选：B.
2．B
【分析】由题意可知：，，利用余弦定理运算求解即可.
【详解】由题意可知：，，
由余弦定理可得，，
即，解得.
故选：B.
3．ABD
【分析】先由等差数列的条件求得通项公式，进而求得，，可判断AC，再根据，的正负情况判断BD.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
，因为是与的等比中项，所以，
即，解得或，又因为，所以，
所以，故A正确；
，
令，则，又因为，所以，此时，
即只有时，且，除此之外，
所以成立，故B正确；
，故C错误；
因为只有时，，除此之外，所以的最小值为，
又时，，所以的最大值为，
所以成立，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题求解，，都比较常规，关键点在于由的正负特征推出的最值，从而判断出BD.
4．AD
【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D.
【详解】当时，，
当时，，
两式相减可得：，
所以，
显然当时，满足，故，故A正确；
由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误；
令，的前100项和为：
，故C错误；
令，
所以的前30项和为：
，故D正确.
故选：AD.
5．1
【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．
【详解】数列满足为正整数），则数列为等比数列，
不妨设其公比为，则，
因为与的等差中项是5，
所以，即，解得．
故答案为：1．
6．
【分析】根据题意可得数列为等差数列，设出公差及首项，再结合与，从而可求解.
【详解】由，所以，所以数列为等差数列，
并设其公差为，首项为，又因为，
即，解得，
因为，所以，，
所以.
故答案为：.
反思提升：
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【考点2】等差数列的判定与证明
一、解答题
1．（2024·山东·二模）已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）数列满足．
(1)求数列通项公式．
(2)设，求数列的前n项和．
3．（2023·浙江·模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知（且，为常数）.
(1)数列能否是等比数列？若是，求的值（用表示）；否则，说明理由；
(2)已知，求数列的前项和.
5．（2023·青海·一模）已知数列满足．
(1)证明：数列是等差数列．
(2)若，求数列的前n项和．
6．（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
参考答案：
1．(1)；
(2)28
【分析】（1）根据题目条件得到是以13为首项，为公差的等差数列，求出通项公式；
（2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列的前4项和最大，利用求和公式求出答案.
【详解】（1）由，可知，
所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大，
最大值为．
2．(1)
(2)
【分析】（1）由题意有，数列是首项为2，公差为2的等差数列，可求数列通项公式．
（2），分为奇数和为偶数，结合分组求和法求.
【详解】（1）由，有，
又，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
则有，所以数列通项公式.
（2）设，
为奇数时，；为偶数时，.
为奇数时，
；
为偶数时，
.
所以.
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.
（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20项和即可得出答案.
【详解】（1）由题知，是等比数列，
设其公比为，
由，
可得：当时，，
两式相减得，，
故数列是等差数列.
（2）由知：
当时，，
又，所以，
由（1）设的公差为，
则，
由，
则，，
所以
.
即数列的前20项和为.
4．(1)不可能是等比数列，理由见解析
(2)，，且.
【分析】（1）利用与的关系计算可得，结合等差、等比数列的定义即可下结论；
（2）由（1）可得，结合等差数列前n项求和公式计算即可求解.
【详解】（1）已知.
当时，，
两式相减得：，，
显然，所以.
于是可能是等差数列，若又是等比数列，则必为非零常数数列，则，
因，故不可能是等比数列.
（2）由（1）知，且，即，.
，所以当时，.
当，，.
而当时，，所以，，且.
5．(1)证明见解析.
(2).
【分析】（1）通过构造证明即可；
（2）采用裂项相消法求解出即可.
【详解】（1）因为，所以，
化简得，
所以为等差数列.
（2）由，则为首项为，公差为的等差数列；
所以，即，，
所以.
6．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得.
（2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得.
【详解】（1）由，得，即，
两边同加，得，则，因此数列为常数列，
所以数列为等差数列.
（2）由（1）知，，则，，
当为正奇数时，，；当为正偶数时，，，
当为正奇数时，；
当为正偶数时，，
所以.
反思提升：
1.证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，再化简得到定值.
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数) {an}是等差数列.
(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数) {an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
【考点3】等差数列的性质及应用
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·湖北·模拟预测）已知等比数列满足，且成等差数列，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
3．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）
A．等差数列，若，则
B．等比数列，若，则
C．若为数列前n项和，则，仍为等差数列
D．若为数列前n项和，则，仍为等比数列
4．（2023·广西玉林·模拟预测）设数列前n项和为，满足，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．数列为等差数列
C．当时有最大值
D．设，则当或时数列的前n项和取最大值
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ．
6．（22-23高三上·上海静安·期中）设等差数列的前n项和为，已知，则 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C D AC BD
1．C
【分析】根据等差数列的基本量的计算即可求解.
【详解】由，
故，则，
由得，故，故公差为，
故选：C
2．D
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可.
【详解】设的公比为q，则．
由成等差数列，得，即，
于是，故，从而．
故选：D
3．AC
【分析】利用等差数列下标和性质判断A；举例说明判断B；利用等差数列定义判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，由等差数列下标和性质知，A正确；
对于B，取，显然数列成等比数列，且，而，B错误；
对于C，等差数列的公差为，，
，
有，因此成等差数列，C正确；
对于D，当等比数列的公比，为正偶数时，，显然不成等比数列，D错误.
故选：AC
4．BD
【分析】根据等差数列的定义求出通项公式判断A，求出，然后利用等差数列定义判断B，结合二次函数求等差数列前n项和的最大值判断C，根据的符号判定前n项和的最值判断D.
【详解】对于A，由知数列为等差数列，公差为，首项为，
所以该数列的通项公式为，错误；
对于B，因为，所以，
则当时，，故数列为等差数列，正确；
对于C，，故当时，有最大值，错误；
对于D，令得，令得，
则当或时，，
当时，，当时，，当时，，
又，，
所以或时，数列的前n项和取最大值，正确.
故选：BD
5．
【分析】根据设出的二次形式，由此求得，即可化简得到结果.
【详解】因为等差数列和的前n项和分别为和，
故可设，
所以，
所以.
故答案为：.
6．5
【分析】根据等差数列前项和的性质，即可直接求得结果.
【详解】因为数列为等差数列，故，解得.
故答案为：.
反思提升：
1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
【基础篇】
一、单选题
1．（2025·黑龙江大庆·一模）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．112 B．122 C．132 D．142
2．（2024·山东日照·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
3．（2024·江西新余·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）.
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知递增数列满足．若，，则数列的前2023项和为（ ）
A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276
二、多选题
5．（2024·云南昆明·一模）在数列中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
7．（2024·海南海口·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．
B．
C．当时，取最大值
D．当时，的最小值为27
三、填空题
8．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为 .
9．（23-24高二下·北京·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则数列公比为 .
10．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 .
四、解答题
11．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
12．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A A D ACD ABD ABD
1．C
【分析】设等差数列的公差为，依题意得到、的方程组，即可求出、，再根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
故选：C
2．A
【分析】先由等差数列前n项和公式求出，进而求出公差d，再由等差数列前n项和公式即可求解.
【详解】由题结合等差数列性质有，，
，
设等差数列的公差为，则，，
故.
故选：A.
3．A
【分析】由等差数列前和公式、等差数列的性质可得答案.
【详解】，故，
则.
故选：A.
4．D
【分析】根据，推出，推出数列是等差数列，设公差为，根据等差数列的通项公式以及求出，再根据等差数列求和公式可求出结果.
【详解】因为，所以，所以数列是等差数列，
设公差为，因为数列为递增数列，所以，
由，得，即，
由，得，将代入，得，
又，所以，，
所以数列的前2023项和为.
故选：D
5．ACD
【分析】根据已知，结合条件，，可依次求出数列的前几项，从而判断A、B；由题意可得，根据等差数列的定义可判定数列为等差数列，从而判断C、D.
【详解】若，，又，则，A正确；
若，，由A选项可知，又，可得，
，可得，B错误；
若，，则，，，可得，
所以数列为等差数列，且，所以，C正确；
且，D正确.
故选：ACD
6．ABD
【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前项和公式为计算即可.
【详解】设的公差为，的公比为，
则，
所以是常数，故A正确；
易知是常数，故B正确；
由不是常数，故C错误；
是常数，故D正确.
故选：ABD
7．ABD
【分析】由等差中项的性质判断AB；由A和等差数列的前n项和判断C；由等差数列的前n项和和等差中项判断D.
【详解】A：首项为正数的等差数列的前项和为，
所以，
若，则一定大于零，不符合题意，
所以，，故A正确；
B：由A可知，
，故B正确；
C：由A可知，因为，，可知，故，取最大值，故C错误；
D：，，故D正确.
故选：ABD.
8．
【分析】设数列公差为，再根据成等比数列求解可得，进而可得的通项公式求解即可.
【详解】设数列公差为，由成等比数列可得，
即，即，因为公差不为0，故.
故.
故前6项的和为.
故答案为：
9．
【分析】设等比数列的公比为，则利用等比数列的通项公式列方程求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，则，
由已知，
所以，即，
解得.
故答案为：
10．
【分析】首先由条件得到，再根据等差数列的通项公式，转化为关于公差的方程，即可求解.
【详解】设数列的公差为，
由，得，且，
所以，得，
得或（舍），
所以.
故答案为：
11．(1)
(2)
【分析】（1）由题意列方程组算出即可；
（2）由裂项相消法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，．
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
∴．
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据作差得到，结合等差数列的定义证明即可；
（2）根据等比中项的性质及等差数列通项公式求出，即可得到的通项公式，结合的单调性及求和公式计算可得.
【详解】（1）数列满足①，
当时，有②，
①②可得：，
即，
变形可得，
故数列是以为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列，
若，，成等比数列，则有，
即，解得，
所以，
所以单调递减，又当时，，当时，，当时，，
故当或时，取得最大值，
且．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
二、多选题
2．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列 B．若，则有最大值
C．，，成等差数列 D．若，，则
三、填空题
3．（21-22高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且，，则使时的的最小值为 .
四、解答题
4．（2024·四川泸州·二模）已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，求的值.
参考答案：
题号 1 2
答案 D ABD
1．D
【分析】由等比中项性质求得，由等差中项性质得，根据等比数列通项公式基本量运算求得，进而求解即可.
【详解】由等比中项性质知.
由成等差数列，得，所以，
所以等比数列的公比，所以，
所以.
故选：D.
2．ABD
【分析】根据等差数列前n项和应用对应证明等差判断A,应用数列正负求前n项和的最大值，特殊值法判断C,结合等差数列性质判断D.
【详解】，，故A正确；
若，则，最大；若，，最大；
若，则，则存在，，，故最大，故B正确；
对数列：1，2，3，…，取，，，，故C错误；
不妨设，则，
即，∴，
而，故，D正确．
故选:ABD．
3．
【分析】分为为偶数时，和为奇数时，两种情形，结合等差数列的性质求解即可.
【详解】当为偶数时，令，
，
又，即，
即为偶数时，使时的的最小值为810；
当为奇数时，令，
=，
令，所以（验证符合题意），
即为奇数时，使时的的最小值为809；
综上可得：的最小值为809，
故答案为：809.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列定义根据题意可求得首项和公差，即可得出的通项公式；
（2）根据等差数列前项和公式可得，裂项可得，即可求出.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由可得，
解得，
所以；
因此的通项公式为，
（2）由（1）可得；
所以，
因此数列的前n项和;
即可得.
【培优篇】
一、单选题
1．（2021·云南昆明·三模）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
二、多选题
2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，若它的前项的和，则下列结论正确的是（ ）
A．若，使的最大的值为
B．是的最小值
C．
D．
三、填空题
3．（2022高三·全国·专题练习）随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 ．
参考答案：
题号 1 2
答案 B ACD
1．B
【分析】利用两式相减得，再利用两式相减可得，由此可得，进一步可得答案.
【详解】由，两式相减得，即.
再由，两式相减得，由，得，
故为以14为首项，8为公差的等差数列，故，
故.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列的偶数项构成以14为首项，8为公差的等差数列，是解题的关键，属于较难题目.
2．ACD
【分析】由题设可推得，对于A，由，推断即得，对于B，利用A结论，举反例可排除B，对于C，D两项，采用作差法，利用和等差数列的基本量运算即可判断.
【详解】由题意，，因，则（*），
对于A，因，则，由（*）知，
故使的最大的值为，即A正确；
对于B，若，由A项知，，
即数列的前项都是正数项，第项起都是负数项，
即此时是的最大值，即B错误；
对于C，由
，
因，，
故上式的值为0，即，故C正确；
对于D，由
，
由C分析知，且，
故上式的值也为0，即，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键，是要注意弄清等差数列的前项和与项的转化关系，如此题中由推出，再结合数列的公差、首项信息进行分析判断即可，在推理时，还要灵活运用等差数列的项之间的关系替换转化解题.
3．/
【分析】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能；丙投1次也有10种可能，所以甲、乙、丙依次投掷1次，由分步乘法原理可得所有记下数字的总情况数，再列举出等差数列的公差为0，1，2，3，4的所有情况，将公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为，，，的等差数列，可得出构成等差数列的可能情况数，根据古典概率公式计算可得选项.
【详解】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能；丙投1次也有10种可能，
所以甲、乙、丙依次投掷1次，记下数字有种情况，
0~9这10个数字中选3个，能构成等差数列的情况如下：
公差为0的等差数列有：0，0，0；1，1，1；2，2，2；；9，9，9共10种情况；
公差为1的等差数列有：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9共8种情况；
公差为2的等差数列有：0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共6种情况；
公差为3的等差数列有：0，3，6；1，4，7；2，5，8；3，6，9共4种情况；
公差为4的等差数列有：0，4，8；1，5，9共2种情况；
公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为，，，的等差数列，
所以构成等差数列的可能情况有种，
所以若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是要细致地分类讨论，做到不重不漏列举出所有构成等差数列的情况，从而得解.
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专题33 等差数列及其前n项和（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】等差数列的基本运算 4
【考点2】等差数列的判定与证明 5
【考点3】等差数列的性质及应用 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 9
【培优篇】 9
考试要求：
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
3．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
二、填空题
7．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
8．（2022·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【考点1】等差数列的基本运算
一、单选题
1．（2024·广东佛山·模拟预测）等差数列的首项为2，公差不为0．若成等比数列，则公差为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知的内角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，，则（ ）
A．5 B． C．4 D．3
二、多选题
3．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·安徽·一模）已知数列满足，则（ ）
A． B．的前n项和为
C．的前100项和为100 D．的前30项和为357
三、填空题
5．（2024·上海·三模）数列满足（为正整数），且与的等差中项是5，则首项
6．（2024·四川·一模）已知数列满足，，，设的前项和为，则 .
反思提升：
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【考点2】等差数列的判定与证明
一、解答题
1．（2024·山东·二模）已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）数列满足．
(1)求数列通项公式．
(2)设，求数列的前n项和．
3．（2023·浙江·模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知（且，为常数）.
(1)数列能否是等比数列？若是，求的值（用表示）；否则，说明理由；
(2)已知，求数列的前项和.
5．（2023·青海·一模）已知数列满足．
(1)证明：数列是等差数列．
(2)若，求数列的前n项和．
6．（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
反思提升：
1.证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，再化简得到定值.
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数) {an}是等差数列.
(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数) {an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
【考点3】等差数列的性质及应用
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·湖北·模拟预测）已知等比数列满足，且成等差数列，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
3．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）
A．等差数列，若，则
B．等比数列，若，则
C．若为数列前n项和，则，仍为等差数列
D．若为数列前n项和，则，仍为等比数列
4．（2023·广西玉林·模拟预测）设数列前n项和为，满足，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．数列为等差数列
C．当时有最大值
D．设，则当或时数列的前n项和取最大值
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ．
6．（22-23高三上·上海静安·期中）设等差数列的前n项和为，已知，则 ．
反思提升：
1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
【基础篇】
一、单选题
1．（2025·黑龙江大庆·一模）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．112 B．122 C．132 D．142
2．（2024·山东日照·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
3．（2024·江西新余·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）.
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知递增数列满足．若，，则数列的前2023项和为（ ）
A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276
二、多选题
5．（2024·云南昆明·一模）在数列中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
7．（2024·海南海口·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．
B．
C．当时，取最大值
D．当时，的最小值为27
三、填空题
8．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为 .
9．（23-24高二下·北京·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则数列公比为 .
10．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 .
四、解答题
11．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
12．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最大值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
二、多选题
2．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列 B．若，则有最大值
C．，，成等差数列 D．若，，则
三、填空题
3．（21-22高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且，，则使时的的最小值为 .
四、解答题
4．（2024·四川泸州·二模）已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，求的值.
【培优篇】
一、单选题
1．（2021·云南昆明·三模）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
二、多选题
2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，若它的前项的和，则下列结论正确的是（ ）
A．若，使的最大的值为
B．是的最小值
C．
D．
三、填空题
3．（2022高三·全国·专题练习）随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 ．
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