资源简介

三角恒等变换（八大题型练习）-2025届高三
数学含答案
三角恒等变换 (八大题型+精准练习)题型归类
题型一、两角和与差的三角函数公式的应用
题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
题型三、角的变换问题
题型四、二倍角公式的应用
题型五、给角求值
题型六、给值求值
题型七、给值求角
题型八、三角恒等变换的综合应用
题型一、两角和与差的三角函数公式的应用
知识要点
两角和与差的正余弦与正切
① sin(α± β) = sinαcosβ± cosαsinβ；
② cos(α± β) = cosαcosβ sinαsinβ；
( ± )= tanα±tanβ③ tan α β
1 ；tanαtanβ
精准练习
1. (24- 25高三·山东泰安·开学考试)已知 sin α+β = 1 ，sin α-β = 1 tanα ，则 = ( )
3 2 tanβ
A. 1 B. - 1 C. 5 D. - 5
5 5
2. (24- 25 · · ) sin 3 1 1高三上 安徽 开学考试 已知 α+β =- , + = 2，则 sinαsinβ= ( )
5 tanα tanβ
A. - 3 B. 1 C. - 1 D. 3
10 5 5 10
3. (24- 25 1高三·重庆·阶段练习)已知 cos α+β = ，cosαcosβ= 1 ，则 cos 2α-2β = ( )
3 2
A. 2 B. 1 C. - 1 D. - 1
3 9 9 3
4. (2025· · ) sin α+ π 2 π广东 一模 已知 - sinα= ，则 cos 2α+ = ( )3 3 3
A. - 5 B. - 1 C. 1 D. 5
9 9 9 9
5. (2024·江西九江·二模)已知 α,β∈ 0, π ，cos 5 α-β = ，tanα tanβ= 1 ，则 α+ β= ( )2 6 4
A. π B. π C. π D. 2π
3 4 6 3
1
6. (24- 25 1高三上·江苏徐州·开学考试)已知 sin α-β = 2cos α+β ,tan α-β = ，则 tanα- tanβ=
3
( )
A. 4 B. 7 C. 4 D. 7
7 4 5 6
7. (2025·黑龙江大庆·一模)已知 0< α< β< π，且 sin α+β + cos α+β = 0,sinαsinβ= 6cosαcosβ，则
tan α-β = ( )
A. - 1 B. - 1 C. - 1 D. - 1
2 6 7
8. (24- 25 1 tanα高三上·河北张家口·开学考试)已知 sin(α- β) = , = 4，则 sin(α+ β) = .
3 tanβ
题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
知识要点
1、两角和与差的正切公式的变形
tanα± tanβ= tan(α± β) (1 tanαtanβ)；
= - tanα+tanβ = tanα-tanβtanα tanβ 1 - 1．
tan(α+β) tan(α-β)
2、辅助角公式
asinα+ bcosα= a2+b2 sin(α+ ) (其中 sin = b ，cos = a ，
a2+b2 a2+b2
tan = b
a
精准练习
9. (23- 24高一·黑龙江齐齐哈尔·期末)tan13° +tan32° +tan13°tan32° = ( )
A. tan19° B. 1 C. - tan19° D. - 1
10. (2024·福建泉州·模拟预测)若 sinθ+ 3cosθ= 2，则 tanθ= ( )
A. - 3 B. - 3 C. 3 D. 3
3 3
题型三、角的变换问题
知识要点
拆分角问题：
① α= 2 α；α= (α+ β) - β 1；② α= β- (β- α)；③ α= [(α+ β) + (α- β)]；
2 2
β= 1④ [(α+ β) - (α- β)] π；⑤ + α= π - π -α ．2 4 2 4
注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：2α= (α+ β) + (α- β)；α= (α+ β) - β= (α- β) +
= α+β - α-ββ；β = (α+ 2β) - (α+ β)；α- β= (α- γ) + (γ- β)；15°= 45°- 30° π π π； + α= - -α
2 2 4 2 4
等．
2
精准练习
3cosβ
11. (24- 25 1高三·安徽·阶段练习)若 cos α+β cosβ= ,tan α+β = ，则 cos2α= ( )
m sinβ
A. 32 - 1 B. 16 - 1 C. 4 - 1 D. 2 - 1
m2 m2 m2 m2
12. (2024·江苏镇江·三模)已知角 α，β满足 tanα= 2，2sinβ= cos(α+ β)sinα，则 tanβ= ( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
3 7 6
13. (24- 25高三·福建福州·开学考试)已知 α，β∈ (0,π)，且 cosα= 3 ，sin(α- β) = 5 ，则 cosβ= ( )
5 13
A. 56 B. 16 C. 33 D. 63
65 65 65 65
14. (23- 24高一·江苏南京·期末)若 sin(α+ β) = cos2αsin(α- β)，则 tan(α+ β)的最大值为 ( )
A. 6 B. 6 C. 2 D. 2
2 4 2 4
15. (2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知 α,β∈ 0, π ，cos2α- sin2α= 1 ，且 3sinβ= sin(2α+ β)，则 α+ β4 7
的值为 ( )
A. π B. π C. π D. π
12 6 4 3
16. (23- 24 · · ) α β tanα= 3 sin(α- β) = 21高三 天津 阶段练习 已知角 ， 为锐角， ， ，则 tan 2α-β 的值
2 14
为 ．
17. (24- 25高三·福建·阶段练习)已知 tan α+β = 4，tan α-β =-3，则 tan2β= ．
题型四、二倍角公式的应用
知识要点
1、二倍角公式
① sin2α= 2sinαcosα；
② cos2α= cos2α- sin2α= 2cos2α- 1= 1- 2sin2α；
③ tan2α= 2tanα ；
1-tan2α
2、降次 (幂)公式
sinαcosα= 1 sin2α;sin2α= 1-cos2α ;cos2α= 1+cos2α ;
2 2 2
3、半角公式
sin α =± 1-cosα ;cos α =± 1+cosα ;
2 2 2 2
tan α = sinα 1-cosα
2 1+ = .cosα sina
3
精准练习
18. (2025· π 7π安徽·模拟预测)sin2 - sin2 = ( )．
12 12
A. 3 B. 1 C. - 1 D. - 3
2 2 2 2
19. (24- 25高三· π安徽亳州·开学考试)已知 a∈ 0, ,sin3α= 5sinacos2α，则 tanα值为 ( )2
A. 3 B. 3 C. 2 D. 1
2 2
20. (24- 25高三· π广西·阶段练习)已知 sin +α = 3sin4
π -α ，则 cos2α= ( )4
A. - 4 B. - 3 C. 3 D. 4
5 5 5 5
21. (24- 25 π π高三·云南昆明·阶段练习)已知 3sin θ+ 3 = cos θ+ ，则 cos2θ= ( )6
A. - 1 B. 1 C. 1 D. 3
2 7 2 2
22. (23- 24高一·江苏无锡·阶段练习)已知函数 f(x) = cos2ωx+ sinωxcosωx- 1 (ω> 1) π的一个零点是 ，
2 2
且 f(x) - π在 , π 上单调，则ω= ( )6 16
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
4 4 4 4
23. (24- 25 2 π π高三·江苏徐州·阶段练习)已知 sin2α= ,α∈ 0, ，则 cos α+3 4 4 = ( )
A. 6 B. 5 C. 30 D. 15
6 6 6 3
4tan π
24. (24- 25高三·全国·阶段练习) 12 π已知 cosαsin β+ = 1，则 tan(β- α) = ( )
1+tan2 π 312
A. 3 B. 3 C. 1 D. 2 3
3 3
25. (多选) (2024·辽宁· π模拟预测)已知 α∈ ,π ,β∈ 0,π ,cos2α=- 3 ,cos β-α =- 2 ，则 ( )2 5 10
A. tanα=- 1 B. sin β-α =- 7 2
2 10
C. α+ β= 5π D. cosαcosβ=- 3 2
4 10
题型五、给角求值
知识要点
(1)给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
4
(2)给角求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
精准练习
cos 2 π
26. (23- 24高三·甘肃·阶段练习) 1 5计算 + ( )
2cos 35 π cos
4
5 π
A. 2 B. - 1 C. - 1 D. - 2
2
27. (多选) (23- 24高三· 1安徽合肥·阶段练习)下列代数式的值为 的是 ( )
4
A. cos275° -sin275° B. tan15° C. cos36°cos72° D. 2cos20°cos40°cos80°
1+tan215°
°
28. (23- 24高三·吉林长春· ) cos20阶段练习 tan20°+ 3 = .
1+cos20°
29. (2024·广东深圳·模拟预测)计算：cos72°cos -36° = .
30. (23- 24高三·安徽·期中)tan20° +4sin20° = ．
sin50° 1+ 3tan10° -cos20°
31. (2024高三·全国·专题练习)化简求值：cos36°cos72° + .
cos80° 1-cos20°
2 °
32. (2024高一·湖南株洲·竞赛) 1-2sin 5 - 2cos10°= ．
2sin10°
°
33. (11- 12高一· 3tan12 -3全国·课后作业) = ．
4cos212°-2 sin12°
题型六、给值求值
知识要点
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或
具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中
“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这
些关系来选择公式
精准练习
34. (2024· 1河南新乡·模拟预测)设 cos20° = a，则 = ( )
3tan50°-1
A. 1-a
2
B. a
2+1 C. a D. a2
3 2
35. (24- 25高三上·江苏徐州·开学考试)已知 sin α+ π + sinα= 2 π，则 cos 2α+3 3 3 = ( )
5
A. - 19 B. - 1 C. 1 D. 19
27 9 9 27
36. (24 - 25高三·湖南衡阳·开学考试)已知 cos α+β = 6- 2 ,sinα sinβ = 2 ，则 cos 2α-2β =
4 4
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1
2 2 2
37. (24- 25高三·云南昆明·阶段练习)若 sin160° =m，则 sin40° = ( )
A. - 2m B. - 2m 1-m2 C. - 2m 1+m2 D. 2m 1-m2
38. (24 - 25高三· θ θ 3 1+sin2θ四川绵阳·开学考试)已知 sin4 - cos4 = ,θ ∈ 0,π ，则 + cosθ =
2 2 5 cos2θ-sin2θ
( )
A. - 26 B. - 32 C. - 31 D. - 17
35 5 4 28
39. (24- 25高三·安徽· ) cos α+β cosβ= 1 , 3cosβ阶段练习 若 tan α+β = ，则 cos2α= ( )
m sinβ
A. 32 - 1 B. 16 - 1 C. 4 - 1 D. 2 - 1
m2 m2 m2 m2
40. (24- 25 π 1高三·贵州黔东南·开学考试)已知 α∈ 0,π ，且 cos α+ = ，则 cos2α= ( )4 3
A. 4 2 B. ± 4 2 C. 7 D. ± 7
9 9 9 9
41. (2024· π山东淄博·二模)设 β∈ 0, ，若 sinα= 3sin(α+ 2β)，tanβ= 2 ，则 tan(α+ 2β) = ( )2 2
A. - 2 B. 2 C. - 2 D. 2
4 4 2 2
42. (2024· π 3π π 1江西宜春·模拟预测)已知 α∈ , ，tan +α = tan π -α 1-sin2α，则 = ( )2 4 4 2 4 4cos2α
A. 6+ 4 2 B. 6- 4 2 C. 17+ 12 2 D. 17- 12 2
43. (2024· · ) cos π -α = 1 sin 11π湖南衡阳 模拟预测 已知 ，则 +2α = ( )5 3 10
A. 7 B. - 7 C. 4 2 D. - 4 2
9 9 9 9
44. (2024· π安徽合肥·三模)已知 2sinα= 1+ 2 3cosα，则 sin 2α- = ( )6
A. - 1 B. - 7 C. 3 D. 7
8 8 4 8
6
45. (2024·河北保定·三模)已知锐角 α，β(α≠ β)满足 sinα+ 2cosα= sinβ+ 2cosβ，则 sin(α+ β)的值为
( )
A. 3 10 B. 2 5 C. 3 D. 4
10 5 5 5
46. (2024· 2 5福建泉州·模拟预测)已知 α，β均为锐角，sin 2α-β = cosα+ sinβ，则 sin α-β = ( )
3
A. 2 5 B. 5 C. 2 D. 5
5 5 3 3
47. (2024· π重庆·三模)已知 α∈ 0, ，且 2sin2α= 4cosα- 3cos3α，则 cos2α= ( )3
A. 2 B. 1 C. 7 D. 2 2
9 3 9 3
48. (2024· 3山西·三模)若 sin2α= ,sin β-α = 6 ，且 α∈ π ,π ,β∈ 3π π, ，则 cos α+β = ( )3 6 4 2
A. 5+ 2 B. 30 C. 6 D. 2 5- 2
6 6 3 6
题型七、给值求角
知识要点
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助
三角函数图像、诱导公式求角．
精准练习
49. (23- 24高一· 1江苏盐城·期中)已知 tanα=- ，tanβ= 2，且 α,β∈ 0,π ，则 α+ β的值为 ( )
3
A. π B. 3π C. 5π D. 7π
4 4 4 4
50. (23- 24 · · ) 0< α< π高一 河南 阶段练习 已知 ， 1+sin2α sin π = 2cos2 π cos2α，则 α= ( )
2 7 14
A. 3π B. 5π C. π D. π
14 28 7 14
51. (多选) (2023·山西· π 1模拟预测)已知 0< β< α< ，且 sin α-β = ,tanα= 5tanβ，则 ( )
4 3
A. sinαcosβ= 5 B. sinβcosα= 1 C. sin2αsin2β= 5 D. α+ β= π
6 12 36 3
52. (2024·陕西铜川· ) α∈ - π , π模拟预测 若 ，且 cos2α= sin π -α ，则 α的值为 ．2 2 4
53. (2024 π 2π高三·江苏·专题练习)已知 α为锐角，且 sinα+ sin α+ + sin α+ = 3，则 α= .3 3
7
54. (23- 24 · · ) α β∈ 0, π - β 3 α 1高三 河北石家庄 阶段练习 若 ， ，cos α = ，sin -β =- ，则 α+ β2 2 2 2 2
= .
题型八、三角恒等变换的综合应用
知识要点
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如 y= asinx+ bcosx化为 y= a2+b2 sin(x+ φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
精准练习
55. (2024· 2π广东珠海·一模)函数 f x = 2 3 sin2 ωx + sin 2ωx+ ，其中 ω> 0，其最小正周期为 π，则下3
列说法错误的是 ( )
A. ω= 1
B. π函数 f x 图象关于点 , 3 对称3
C. 函数 f 5π x 图象向右移 φ φ>0 个单位后，图象关于 y轴对称，则 φ的最小值为
12
D. π若 x∈ 0, ，则函数 f x 的最大值为 3+ 12
56. (22- π 1+sinβ23 π高三上·河北唐山·开学考试)已知 α,β∈ 0, ，且 = tan +α ，则 ( )2 cosβ 4
A. 2α= β B. α= β C. α+ β= π D. α+ β= π
2
57. (2024·宁夏吴忠·模拟预测)下列四个函数中，最小正周期为 2π的是 ( )
A. f x = cos2x+ sinxcosx B. f x = 1-cos2x
2sinxcosx
C. f x = cos x+ π + cos x- π D. f x = sin x+ π cos x+ π 3 3 6 6
58. (多选) (2023·河北保定·三模)已知 f x = 2 3cos2x+ 2sinxcosx- 3，则 ( )
A. f x = 2cos 2x- π 6
B. f π x 的图象的对称轴方程为 x= 2kπ- k∈Z
3
C. f 2023π = 3
D. f x 在 - 3π ,- π 上单调递减2 2
59. (2024高三·全国·专题练习)设 f x = 2sinxcosx- 2sin2 x- π .当 x∈ 0, π 时，f x+ π =- 1 ，则4 2 6 3
cos2x的值为 .
60. (24- 25高三上·河南·开学考试)已知函数 f x = sin2x+ sin 2x- π 在区间 0,m 上有且仅有 2个零3
8
点，则实数m的取值范围为 .
61. (24- 25高三·福建·阶段练习)已知函数 f x = 2 2cos2x+ 2 2sinxcosx．
(1)将 f x 化成 f x =Acos ωx+φ +B A>0,ω>0, φ <π 的形式；
(2)求 f x 的单调区间；
(3)若 f x 在 α,α+
π 上的值域为 a,b ，求 b- a的取值范围．4
62. (24- 25高三·北京·开学考试)已知函数 f x = cosx 2 3sinx+cosx - sin2x.
(1)求函数 f x 的最小正周期和单调递增区间；
(2)若 f(x)在区间 [0,m]上有且只有两个零点，求m的取值范围.
63. (22- 23高三· 陕西榆林·阶段练习)已知平面向量m= sin x- π , 1 ,n = cosx, 16 2 2 .
(1) 若m⊥n,x∈ π 0, ，求实数 x的值；2
(2)求函数 f(x) =m n 的单调递增区间.
64. (24- 25高一·全国·期末)设 f(x) = 2sinxcosx+ 2sin x+ π sin π -x4 4 ．
(1) π当 x∈ - ,0

时，求 f(x)的最大值和最小值；2
(2) f - α = 3 π已知 ，且当 ≤ α≤ 2π时，求 f(α)的值．2 3 2
9
三角恒等变换 (八大题型+精准练习)题型归类
题型一、两角和与差的三角函数公式的应用
题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
题型三、角的变换问题
题型四、二倍角公式的应用
题型五、给角求值
题型六、给值求值
题型七、给值求角
题型八、三角恒等变换的综合应用
题型一、两角和与差的三角函数公式的应用
知识要点
两角和与差的正余弦与正切
① sin(α± β) = sinαcosβ± cosαsinβ；
② cos(α± β) = cosαcosβ sinαsinβ；
tanα±tanβ
③ tan(α± β) = ；1 tanαtanβ
精准练习
1. (24- 25高三· · ) sin α+β = 1山东泰安 开学考试 已知 ，sin α-β = 1 tanα ，则 = ( )
3 2 tanβ
A. 1 B. - 1 C. 5 D. - 5
5 5
【答案】D
【详解】根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得：
sin α+β = sinαcosβ+ cosαsinβ= 1 1，sin α-β = sinαcosβ- cosαsinβ= ，
3 2
5
联立方程组，可得 sinαcosβ= ,cosαsinβ=- 1 ，
12 12
5
tanα sinαcosβ
又由 = = 12 =-5.
tanβ cosαsinβ - 112
故选：D.
2. (24- 25 3 1 1高三上·安徽·开学考试)已知 sin α+β =- , + = 2，则 sinαsinβ= ( )
5 tanα tanβ
A. - 3 B. 1 C. - 1 D. 3
10 5 5 10
【答案】A
cosβ cosαsinβ+cosβsinα sin β+α
【详解】因为 sin α+β =- 3 1 + 1 = cosα ，因为 + = = = 2，
5 tanα tanβ sinα sinβ sinαsinβ sinαsinβ
所以 sinαsinβ=- 3 .
10
故选：A.
1
3. (24- 25高三·重庆·阶段练习)已知 cos α+β = 1 1，cosαcosβ= ，则 cos 2α-2β = ( )
3 2
A. 2 B. 1 C. - 1 D. - 1
3 9 9 3
【答案】C
【详解】∵ cos α+β = cosαcosβ- sinαsinβ= 1 ，cosαcosβ= 1
3 2
∴ sinαsinβ= 1 - 1 = 1 ，
2 3 6
∴ cos α-β = cosαcosβ+ sinαsinβ= 1 + 1 = 2 ，
2 6 3
2
∴ cos 2α-2β = 2× 2 - 1=- 1 .3 9
故选：C.
4. (2025· · ) sin α+ π - sinα= 2 π广东 一模 已知 ，则 cos 2α+ = ( )3 3 3
A. - 5 B. - 1 C. 1 D. 5
9 9 9 9
【答案】B
2 π 1 3
【详解】由题干得 = sin α+ - sinα= sinα+ cosα- sinα3 3 2 2
= 3 cosα- 1 sinα= cos α+ π2 2 6
2
所以 cos 2α+ π = 2cos2 α+ π - 1= 2× 2 - 1=- 1 ，3 6 3 9
故选：B.
5. (2024· · ) α,β∈ 0, π cos α-β = 5江西九江 二模 已知 ， ，tanα tanβ= 1 ，则 α+ β= ( )2 6 4
A. π B. π C. π D. 2π
3 4 6 3
【答案】A
5 1
【详解】因为 cos α-β = ，tanα tanβ= ，
6 4
cosαcosβ+sinαsinβ=
5 cosαcosβ= 26
所以 3 sinαsinβ ，解得 = 1 sinαsinβ= 1 ，cosαcosβ 4 6
所以 cos α+β = cosαcosβ- sinαsinβ= 1 ，
2
又 α,β∈ 0, π ，所以 α+ β∈ 0,π ，所以 α+ β= π .2 3
故选：A
6. (24- 25高三上·江苏徐州·开学考试)已知 sin α-β = 2cos α+β ,tan α-β = 1 ，则 tanα- tanβ=
3
( )
A. 4 B. 7 C. 4 D. 7
7 4 5 6
【答案】A
【详解】因为 sin α-β = 2cos α+β ，
2
则 sinαcosβ- cosαsinβ= 2 cosαcosβ-sinαsinβ ，
由题意可知：cosα≠ 0,cosβ≠ 0，
两边同除 cosαcosβ，得到 tanα- tanβ= 2- 2tanα tanβ，
= - tanα-tanβ即 tanα tanβ 1 ，
2
- = tanα-tanβ = tanα-tanβ 1又因为 tan α β = ，
1+tanα tanβ 1+1- tanα-tanβ 32
所以 tanα- tanβ= 4 .
7
故选：A.
7. (2025·黑龙江大庆·一模)已知 0< α< β< π，且 sin α+β + cos α+β = 0,sinαsinβ= 6cosαcosβ，则
tan α-β = ( )
A. - 1 B. - 1 C. - 1 D. - 1
2 6 7
【答案】D
【详解】由题意得 sin α+β =-cos α+β ，则 tan α+β =-1，
又因为 sinαsinβ= 6cosαcosβ，所以 tanαtanβ= 6，tanα,tanβ同号，
+ = tanα+tanβ = tanα+tanβ又因为 tan α β - - =-1，1 tanαtanβ 1 6
则 tanα+ tanβ= 5，tanα,tanβ同正，
π
所以 0< α< β< ，则 tanα< tanβ，
2
所以 tanα- tanβ=- tanα+tanβ 2 -4tanαtanβ=- 52-4×6=-1，
- = tanα-tanβ = tanα-tanβ = tanα-tanβ所以 tan 1 α β + =- ，故D正确.1 tanαtanβ 1+6 7 7
故选：D.
8. (24- 25 · · ) sin(α- β) = 1 tanα高三上 河北张家口 开学考试 已知 , = 4，则 sin(α+ β) = .
3 tanβ
5
【答案】
9
( - )= 1 , tanα = sinαcosβ-cosαsinβ=
1
【详解】由 sin α β 4，得 3 ，
3 tanβ sinαcosβ=4cosαsinβ
解得 sinαcosβ= 4 ,cosαsinβ= 1 ，所以 sin(α+ β) = sinαcosβ+ cosαsinβ= 5 .
9 9 9
5
故答案为：
9
题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
知识要点
1、两角和与差的正切公式的变形
tanα± tanβ= tan(α± β) (1 tanαtanβ)；
= - tanα+tanβ tanα-tanβtanα tanβ 1 = - 1．
tan(α+β) tan(α-β)
2、辅助角公式
3
asinα+ bcosα= a2+b2 sin(α+ ) ( b a其中 sin = ，cos = ，
a2+b2 a2+b2
tan = b
a
精准练习
9. (23- 24高一·黑龙江齐齐哈尔·期末)tan13° +tan32° +tan13°tan32° = ( )
A. tan19° B. 1 C. - tan19° D. - 1
【答案】B
tan45° = tan 13°+32° = tan13°+tan32°【详解】因为 = 1，
1-tan13°tan32°
所以 tan13° +tan32° +tan13°tan32° = 1，
故选：B.
变式 1． (23- 24高一·江苏徐州·阶段练习)tan10° +tan50° + 3tan10°tan50°的值为 ( )
A - 3B 3C 3D 3． ． ． ．
3
【答案】B
【详解】tan10° +tan50° + 3tan10°tan50°
= tan 10°+50° 1-tan10°tan50° + 3tan10°tan50°
= 3 1-tan10°tan50° + 3tan10°tan50°
= 3- 3tan10°tan50° + 3tan10°tan50°
= 3 .
故选：B.
变式 2． (23- 24高一·江苏扬州·期中)计算：tan73° -tan13° - 3tan73°tan13° = ．
【答案】 3
【详解】tan73° -tan13° = tan60° 1+tan73°tan13° = 3 1+tan73°tan13° ，
所以 tan73° -tan13° - 3tan73°tan13° = 3 .
故答案为： 3
变式 3． (24- 25高一·上海·课堂例题)求 1+tan1° 1+tan2° 1+tan3° 1+tan44° 的值.
【答案】222
【分析】1的灵活代换和逆用和角正切公式即可.
【详解】若 α+ β= 45°，则 1+tanα 1+tanβ
= 1+ tanα+ tanβ+ tanαtanβ
= 1+ tan α+β 1-tanαtanβ + tanαtanβ= 2，
因此 1+tan1° 1+tan44° = 2， 1+tan2° 1+tan43° = 2，
1+tan22° 1+tan23° = 2，
所以原式= 2 × 2× ×2 = 222.
22个2
10. (2024·福建泉州·模拟预测)若 sinθ+ 3cosθ= 2，则 tanθ= ( )
A. - 3 B. - 3 C. 3 D. 3
3 3
【答案】C
4
( ) sinθ= 1 ,cosθ= 3 3【详解】解法一：特殊法 由题知 满足条件，所以 tanθ= .
2 2 3
1 3
解法二：由题得 sinθ+ cosθ= 1，所以 sin θ+ π = 1，2 2 3
π
所以 θ+ = 2kπ+ π ,k∈ Z，所以 θ= 2kπ+ π ,k∈ Z,
3 2 6
tanθ= tan 2kπ+ π = tan π = 3 .6 6 3
解法三：由题得 sin2θ+ 2 3sinθcosθ+ 3cos2θ= 4，
所以 3sin2θ- 2 3sinθcosθ+ cos2θ= 0，即 ( 3sinθ- cosθ)2= 0，
所以 3sinθ- cosθ= 0 3，即 tanθ= .
3
解法四：由题得 sinθ= 2- 3cosθ，所以 (2- 3cosθ)2+ cos2θ= 1，
所以 4cos2θ- 4 3cosθ+ 3= 0，即 (2cosθ- 3 )2= 0，
所以 cosθ= 3 ,sinθ= 2- 3cosθ= 1 3，所以 tanθ= .
2 2 3
解法五：观察 sinθ+ 3cosθ= 2，知 sinθ,cosθ同正，θ为第一象限角，
其正切值为正，排除A，B.
若 tanθ= 3 π，可取 θ= ，则 sinθ+ 3cosθ= 3，
3
不符合已知条件，排除D，
故选:C.
变式 1． (24- 25高三·安徽·开学考试)若 λsin140° -tan40° = 3，则实数 λ的值为 ( )
A．-2B． 2C． 3D． 4
【答案】D
【详解】由 λsin140° -tan40° = 3化简得，λsin40° - sin40° = 3，
cos40°
即 λsin40°cos40° = sin40° + 3cos40°，
1
即 λsin80° = 2sin(40° +60°) = 2sin80°，
2
因 sin80° > 0，解得 λ= 4.
故选：D.
变式 2 π 3 π． (2024·陕西铜川·三模)已知 cos α- - cosα= ，则 cos 2α- = ( )3 2 3
A - 1 B 1． ． C．- 3 D 3．
2 2 4 4
【答案】A
【详解】∵ cos α- π - cosα= 3 sinα- 1 cosα= sin3 2 2 α-
π = 3 ，6 2
2
∴ cos 2α- π = 1- 2sin2 α- π = 1- 2× 3 =- 1 .3 6 2 2
故选：A.
变式 3． (24- 25高三· sin20°山东烟台·开学考试)若 sin α-20° = ，则 cos 2α+140° = ( )
tan20°- 3
A 1． B．- 1 C 7 7．- D．
8 8 8 8
【答案】C
sin20° sin20°cos20° sin20°cos20°
【详解】根据题意，sin α-20° = = =
tan20°- 3 sin20°- 3cos20° 2 12 sin20°-
3
2 cos20°
5
1
= sin20°cos20° = sin20°cos20° 2
sin40°
= =- 1 ，
2sin -40° -2sin40° -2sin40° 4
cos 2α+140° = cos 2 α-20° +180° =-cos 2 α-20°
2
=- 1-2sin2 α-20° =- 1-2× - 14 =-
7 .
8
故选：C.
变式 4． (24- 25高三·辽宁鞍山·开学考试)已知 α∈ 0,π ,sinα+ 3cosα= 8 ，则 cos α+ π = .5 3
【答案】- 3
5
【详解】sinα+ 3cosα= 2 1 sinα+ 3 cosα = 2sin α+ π = 8 ，2 2 3 5
2 π
所以 < sin α+
2 3 =
4 < 3 ，
5 2
由于 α∈ 0,π α+ π ∈ π , 4π ，3 3 3
2π < α+ π < 3π π
2
所以 ，所以 cos α+ =- 1- 4 =- 3 .3 3 4 3 5 5
故答案为：- 3
5
题型三、角的变换问题
知识要点
拆分角问题：
α= 2 α① ；α= (α+ β) - β；② α= β- (β- α) 1；③ α= [(α+ β) + (α- β)]；
2 2
④ β= 1 [(α+ β) - (α- β)] π π π；⑤ + α= - -α2 4 2 4 ．
注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：2α= (α+ β) + (α- β)；α= (α+ β) - β= (α- β) +
α+β α-β
β；β= - = (α+ 2β) - (α+ β)；α- β= (α- γ) + (γ- β)；15°= 45°- 30° π + α= π - π； -α2 2 4 2 4
等．
精准练习
3cosβ
11. (24- 25高三·安徽· 1阶段练习)若 cos α+β cosβ= ,tan α+β = ，则 cos2α= ( )
m sinβ
A. 32 - 1 B. 16 - 1 C. 4 - 1 D. 2 - 1
m2 m2 m2 m2
【答案】A
3cosβ sin α+β sinβ 3
【详解】由 tan α+β = ，得 tan α+β tanβ= 3，即 = 3，所以 sin α+β sinβ= ，
sinβ cos α+β cosβ m
所以 cosα= cos α+β -β = cos α+β cosβ+ sin α+β sinβ= 4 ，
m
32
所以 cos2α= 2cos2α- 1= - 1，故A正确.
m2
故选：A.
12. (2024·江苏镇江·三模)已知角 α，β满足 tanα= 2，2sinβ= cos(α+ β)sinα，则 tanβ= ( )
6
A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
3 7 6
【答案】B
【详解】因为 sinβ= sin α+β-α = sin(α+ β)cosα- cos(α+ β)sinα，
2sinβ= cos(α+ β)sinα，
所以 2sin(α+ β)cosα- 2cos(α+ β)sinα= cos(α+ β)sinα，
即 2sin(α+ β)cosα= 3cos(α+ β)sinα，则 2tan(α+ β) = 3tanα，
因为 tanα= 2，所以 tan(α+ β) = 3 tanα= 3，
2
( + )= tanα+tanβ = 2+tanβ其中 tan α β
1- = 3，tanαtanβ 1-2tanβ
故 2+ tanβ= 3- 6tanβ，解得 tanβ= 1 .
7
故选：B.
13. (24- 25高三·福建福州·开学考试)已知 α，β∈ (0,π)，且 cosα= 3 sin(α- β) = 5， ，则 cosβ= ( )
5 13
A. 56 B. 16 C. 33 D. 63
65 65 65 65
【答案】A
【详解】由 α，β∈ 0,π ，且 cosα= 3 > 0，则 α∈ 0, π ，则 sinα= 4 .5 2 5
则 α- β∈ -π, π ，由 sin(α- β) = 5 ，则 α- β∈ 0, π ，cos α-β 12 = ，2 13 2 13
cosβ= cos α- α-β = cosαcos α-β + sinαsin α-β
= 3 × 12 + 4 × 5 = 56 .
5 13 5 13 65
故选：A
14. (23- 24高一·江苏南京·期末)若 sin(α+ β) = cos2αsin(α- β)，则 tan(α+ β)的最大值为 ( )
A. 6 B. 6 C. 2 D. 2
2 4 2 4
【答案】D
【详解】若 sin(α+ β) = cos2αsin(α- β)，则 sin[2α- (α- β)]= cos2αsin(α- β)，
所以 sin2αcos(α- β) - sin(α- β)cos2α= cos2αsin(α- β)，
所以 sin2αcos(α- β) = 2cos2αsin(α- β)，即 tan2α= 2tan(α- β)，
( tan2α-tan(α-β) tan(α-β)tan α+ β) = tan[2α- (α- β)]= = ，
1+tan2αtan(α-β) 1+2tan2(α-β)
若使得 tan(α+ β)取得最大值，不妨设 tan(α- β)> 0，
则 tan(α+ β) = 1 ≤ 1 = 2 ，
1
( - ) +2tan(α-β) 2 2
4
tan α β
1 2
当且仅当 = 2tan(α- β)，即 tan(α- β) = 时取等号.
tan(α-β) 2
故选：D.
15. (2024· π 1黑龙江双鸭山·模拟预测)已知 α,β∈ 0, ，cos2α- sin2α= ，且 3sinβ= sin(2α+ β)，则 α+ β4 7
的值为 ( )
7
A. π B. π C. π D. π
12 6 4 3
【答案】D
1
【详解】因为 cos2α- sin2α= ,cos2α+ sin2α= 1 cos2α= 4，所以 ,sin2α= 3 ，
7 7 7
因为 α∈ 0, π ，所以 cosα= 2 ，sinα= 3 ，所以 tanα= 3．4 7 7 2
由 3sinβ= sin(2α+ β)，得 3sin[(α+ β) - α]= sin[(α+ β) + α]，
即 3sin(α+ β)cosα- 3cos(α+ β)sinα= sin(α+ β)cosα+ cos(α+ β)sinα，
所以 sin(α+ β)cosα= 2cos(α+ β)sinα，所以 tan(α+ β) = 2tanα= 3．
π
又 0< α+ β< ，所以 α+ β= π．
2 3
故选：D
16. (23- 24高三·天津·阶段练习)已知角 α，β为锐角，tanα= 3 ，sin(α- β) = 21 ，则 tan 2α-β 的值
2 14
为 ．
【答案】 3
π π
【详解】因为角 α、β为锐角，所以 α- β∈ - , ，2 2
2
又 sin(α- β) = 21 ，所以 cos(α- β) = 1-sin2(α-β) = 1- 21 = 5 7 ，14 14 14
21
sin(α-β) 3 3
所以 tan α-β = = 14 = ，又 tanα= ，
cos(α-β) 5 7 5 2
14
3 3
tanα+tan α-β +
所以 tan 2α-β 2 5 = tan α+ α-β = = = 3 .
1-tanαtan α-β 1- 3 32 × 5
故答案为： 3 .
17. (24- 25高三·福建·阶段练习)已知 tan α+β = 4，tan α-β =-3，则 tan2β= ．
7
【答案】-
11
【详解】由题意知：tan α+β = 4，tan α-β =-3，
tan α+β -tan α-β
可得 tan2β= tan α+β- α-β = =- 7 ．
1+tan α+β tan α-β 11
7
故答案为：- .
11
题型四、二倍角公式的应用
知识要点
1、二倍角公式
① sin2α= 2sinαcosα；
② cos2α= cos2α- sin2α= 2cos2α- 1= 1- 2sin2α；
③ tan2α= 2tanα ；
1-tan2α
2、降次 (幂)公式
sinαcosα= 1 sin2α;sin2α= 1-cos2α ;cos2α= 1+cos2α ;
2 2 2
8
3、半角公式
sin α =± 1-cosα ;cos α =± 1+cosα ;
2 2 2 2
tan α = sinα = 1-cosα .
2 1+cosα sina
精准练习
18. (2025· π 7π安徽·模拟预测)sin2 - sin2 = ( )．
12 12
A. 3 B. 1 C. - 1 D. - 3
2 2 2 2
【答案】D
sin2 π - sin2 7π = sin2 π【详解】由题意可得： - sin2 π + π = sin2 π - cos2 π =-cos π =- 3 .
12 12 12 2 12 12 12 6 2
故选：D.
19. (24- 25高三·安徽亳州·开学考试)已知 a∈ 0, π ,sin3α= 5sinacos2α，则 tanα值为 ( )2
A. 3 B. 3 C. 2 D. 1
2 2
【答案】C
【详解】因为 sin3α= 5sinαcos2α，所以 sin α+2α = 5sinαcos2α，
sinαcos2α+ cosαsin2α= 5sinαcos2α，即 cosαsin2α= 4sinαcos2α，
所以 4tanα= tan2α= 2tanα tanα= 2，解得 (负根舍去).
1-tan2α 2
故选：C．
20. (24- 25 π π高三·广西·阶段练习)已知 sin +α = 3sin -α ，则 cos2α= ( )4 4
A. - 4 B. - 3 C. 3 D. 4
5 5 5 5
【答案】C
【详解】sin π -α = sin π -4 2
π +α = cos π +α ，4 4
sin π +α = 3sin π所以 -α = 3cos π +α tan π +α = 3，4 4 4 4
1+tanα
所以 - = 3 tanα=
1 .
1 tanα 2
cos2α-sin2α 1-tan2α 3
所以 cos2α= cos2α- sin2α= = = .
cos2α+sin2α 1+tan2α 5
故选：C
21. (24- 25 π π高三·云南昆明·阶段练习)已知 3sin θ+ = cos θ+ ，则 cos2θ= ( )3 6
A. - 1 B. 1 C. 1 D. 3
2 7 2 2
【答案】B
【详解】由 3sin θ+ π = cos θ+ π 3展开可得， sinθ+ 3 3 cosθ= 3 cosθ- 1 sinθ，3 6 2 2 2 2
9
整理得，2sinθ=- 3cosθ 3，即 tanθ=- .
2
3
2 2 2 1-
则 cos2θ= cos θ-sin θ = 1-tan θ = 4 = 1 .
sin2θ+cos2θ tan2θ+1 3
4 +1
7
故选：B.
22. (23- 24高一· · ) f(x) = cos2ωx+ sinωxcosωx- 1 (ω> 1) π江苏无锡 阶段练习 已知函数 的一个零点是 ，
2 2
且 f(x)在 - π , π 上单调，则ω= ( )6 16
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
4 4 4 4
【答案】B
1 1 1 2 π
【详解】f(x) = cos2ωx+ sinωxcosωx- = sin2ωx+ cos2ωx= sin
2 2 2 2 2ωx+ ，4
π π 2 π π
函数的一个零点是 ，故 f = sin πω+ = 0，πω+ = kπ,k∈ Z,2 2 2 4 4
1
所以ω= k- ,k∈ Z，
4
f(x) π在 - , π π π上单调，x∈ - , , π则 2ωx+ ∈6 16 6 16 4 -
πω + π , πω + π ，
3 4 8 4
πω
8 +
π π
4 ≤ 2 +kπ ω≤8k+2故 - πω + π≥- π ,k∈ Z，解得 ≤ 9 - ,k∈ Z，+kπ ω 4 3k3 4 2
且ω> 1，故 1<ω≤ 2，
结合ω= k- 1 ,k∈ Z
4
ω= 7故
4
故选：B
23. (24- 25高三· 2江苏徐州·阶段练习)已知 sin2α= ,α∈ 0, π ，则 cos α+ π = ( )3 4 4
A. 6 B. 5 C. 30 D. 15
6 6 6 3
【答案】A
【详解】∵ α∈ 0, π ，∴ α+ π ∈ π , π ，cos α+ π > 0，4 4 4 2 4
又 sin2α= 2 ，则 cos 2α+ π =-sin2α=- 2 = 2cos2 α+ π - 1，所以 cos3 2 3 4 α+
π = 6 ，
4 6
故选：A
4tan π
24. (24- 25高三·全国·阶段练习) 12已知 cosαsin β+ π = 1，则 tan(β- α) = ( )
1+tan2 π 3 12
A. 3 B. 3 C. 1 D. 2 3
3 3
【答案】B
tan π π π
4 12
4sin
= 12
cos 12 = 2sin π【详解】因为 = 1，
1+tan2 π cos2 π +sin2 π 612 12 12
10
4tan π
由 12 cosαsin β+ π = 1可得 cosαsin β+ π = 1，
1+tan2 π 3 3 12
又因为-1≤ cosα≤ 1, -1≤ sin β+ π ≤ 1，3
若 cosα= 1,sin β+ π = 1，则 α= 2k1π,β= π + 2k3 6 2π,k1,k2∈ Z，
π
可得 β- α= +2k2π - 2k π= π1 + 2 k -k6 6 1 2 π,k1,k2∈ Z，
所以 tan β-α π = tan +2 k1-k2 π
= tan π = 3 ,k ,k
6 6 3 1 2
∈ Z；
若 cosα=-1,sin β+ π =-1，则 α= 2k3π+ π,β= 7π + 2k4π,k3,k3 6 4∈ Z，
可得 β- α= 7π +2k π - 2k π4 6 3π+π = + 2 k4-k6 3 π,k3,k4∈ Z，
π π 3
所以 tan β-α = tan +2 k4-k3 π

6
= tan = ,k3,k4∈ Z；6 3
综上所述：tan β-α = 3 .
3
故选：B.
25. (多选) (2024· π 3 2辽宁·模拟预测)已知 α∈ ,π ,β∈ 0,π ,cos2α=- ,cos β-α =- ，则 ( )2 5 10
A. tanα=- 1 B. sin β-α =- 7 2
2 10
C. α+ β= 5π D. cosαcosβ=- 3 2
4 10
【答案】BD
π 3
【详解】对于A：因为 < α< π，cos2α=- ，
2 5
所以 tanα=- 1-cos2α+ =-2,故A错误；1 cos2α
对于B：-π<-α<- π ,0< β< π π，则-π< β- α< 又 cos β-α =- 2 < 0，
2 2 10
π
所以-π< β- α<- ，所以 sin(β- α) =- 1-cos2 7 2 β-α =- ，故B正确；
2 10
对于C π：由 < α< π，cos2α=- 3 可得 sin2α=- 4 ，
2 5 5
sin α+β = sin 2α+(β-α) = sin2αcos β-α + cos2αsin β-α = 2 ，
2
π
又 < α+ β< 2π 3π，所以 α+ β= ，故C错误；
2 4
3π
对于D：根据C选项知 α+ β= ，
4
= cos(α+β)+cos(β-α)cosαcosβ = 1 - 2 - 2所以 =- 3 2 ,故D正确.2 2 2 10 10
故选：BD．
题型五、给角求值
知识要点
(1)给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给角求值问题的一般步骤
11
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
精准练习
cos 2 π
26. (23- 24 1 5高三·甘肃·阶段练习)计算 + ( )
2cos 35 π cos
4
5 π
A. 2 B. - 1 C. - 1 D. - 2
2
【答案】D
1 cos
2 2
5 π cos π -cos
4 π+2cos2 2 π
【详解】因为 + =- 1 + 5 = 5 5 = 1
2cos 35 π cos
4
5 π 2cos
2
5 π cos
4 π 2cos 25 5 πcos
4
5 π 2cos
2 4
5 πcos 5 π
sin 11 5 π=- =-
2cos 25 πcos
1 π 2sin 15 5 πcos
1
5 πcos
2
5 π
sin 1 π 2sin 1 π 2sin 1 π
=- 5 =- 5 =- 5 =-2.
sin 25 πcos
2
5 π sin
4
5 π sin
1
5 π
故选：D.
27. (多选) (23- 24 1高三·安徽合肥·阶段练习)下列代数式的值为 的是 ( )
4
A. cos275° -sin275° B. tan15° C. cos36°cos72° D. 2cos20°cos40°cos80°
1+tan215°
【答案】BCD
【详解】对于A选项，cos275° -sin275° = cos150° = cos 180°-30° =-cos30° =- 3；
2
sin15°
B tan15°对于 选项， = cos15°2 =
sin15°cos15° = 1 sin30° = 1；
1+tan215° sin 15° cos2 21+ 15°+sin 15° 2 4
cos215°
1
C cos36°cos72° = sin36°cos36°cos72° 2
sin72°cos72°
= = 1 sin144° 1对于 选项， = ；
sin36° sin 180°-144° 4 sin144° 4
对于D选项，2cos20°cos40°cos80° = 2cos20°sin20°cos40°cos80°
sin20°
1
sin40°cos40°cos80° 2 sin80°cos80°= = = 1 sin160° = 1 .
sin20° sin 180°-160° 4 sin160° 4
故选：BCD.
°
28. (23- 24高三·吉林长春· ) cos20阶段练习 tan20°+ 3 = .
1+cos20°
【答案】 2
cos20° ° ° °
【详解】由题意可得，原式=
° tan20
°+ 3 = cos20 sin20 + 3 = cos20 1+ 2cos210 -1 2cos10° cos20° 2cos10°
sin20°+ 3cos20°
cos20°
12
2 12 sin20
°+ 32 cos20
°
= = 2sin80
°
= 2 .
2cos10° 2cos10°
故答案为： 2 .
29. (2024·广东深圳·模拟预测)计算：cos72°cos -36° = .
1
【答案】 /0.25
4
【详解】由题意可得：cos72°cos -36° = cos72°cos36° = 2sin36°cos36°cos72°
2sin36°
sin 180°-36°
= 2sin72°cos72° = sin144° = = sin36° = 1．
4sin36° 4sin36° 4sin36° 4sin36° 4
1
故答案为： ．
4
30. (23- 24高三·安徽·期中)tan20° +4sin20° = ．
【答案】 3
【详解】tan20° +4sin20° = sin20° + 4sin20°cos20°
cos20° cos20°
= sin20°+2sin40° = sin(30°-10°)+2sin(30°+10°)
cos20° cos(30°-10°)
3 3
= 3sin30°cos10°+cos30°sin10° 2
cos10°+ 2 sin10°= = 3 .
cos30°cos10°+sin30°sin10° 3
2 cos10°+
1
2 sin10°
故 tan20° +4sin20° = 3 .
故答案为： 3 .
sin50° 1+ 3tan10° -cos20°
31. (2024高三·全国· 专题练习)化简求值：cos36°cos72° + .
cos80° 1-cos20°
1
【答案】 + 2
4
sin10°
= 2sin36°cos36°cos72°
sin50° 1+ 3 -cos20°
【详解】原式 + cos10°
2sin36° cos80° 2sin210°
sin50°
2sin36°cos36°cos72° ° cos10°+ 3sin10° -cos20°= + cos10
2sin36° 2sin210°
sin50°
= sin72°cos72° °
×2sin 10°+30°cos10 -cos20°+
2sin36° 2× 1-cos20°2
1
2 sin144°
cos40°
° ×2sin40°-cos20°= + cos10
2sin36° 2
2 1-cos20°
1
2 sin 180°-144°
sin80°
° -cos20°= + cos10
2sin36° 2
2 1-cos20°
1 cos 90°-80° sin36° -cos20°
= 2 + cos10°
2sin36° 2
2 1-cos20°
= 1 + 1-cos20°
4 2
2 1-cos20°
= 1 + 2 .
4
13
32. (2024 · · ) 1-2sin
25°
高一 湖南株洲 竞赛 - 2cos10°= ．
2sin10°
3
【答案】
2
【分析】利用二倍角公式及和差角公式计算可得.
1-2sin25° °
【详解】 - 2cos10°= cos10 - 2cos10°
2sin10° 2sin10°
= cos10
°-4sin10°cos10° ° °= cos10 -2sin20
2sin10° 2sin10°
cos 30°-20° -2sin20° cos30°= = cos20
°+sin30°sin20°-2sin20°
2sin10° 2sin10°
3 cos20°- 3 sin20° 3 12 2 cos20
°- 3 sin20°
= = 2 2
2sin10° 2sin10°
3sin 30°-20°= = 3 .
2sin10° 2
3
故答案为：
2
°
33. (11- 12高一·全国· 3tan12 -3课后作业) = ．
4cos212°-2 sin12°
【答案】-4 3
3sin12°-3cos12° 1 ° 3 °
cos12° 2 3 2 sin12 - 2 cos12 4 3sin 12°-60° -4 3sin48°【详解】原式= = = = =-4 3，
2cos24°sin12° cos24°sin24° sin48° sin48°
故答案为：-4 3 .
题型六、给值求值
知识要点
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或
具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中
“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这
些关系来选择公式
精准练习
34. (2024· 1河南新乡·模拟预测)设 cos20° = a，则 = ( )
3tan50°-1
2 2
A. 1-a B. a +1 C. a D. a2
3 2
【答案】C
1 = cos50° = cos50° = sin40° = 2sin20°cos20°【详解】 = cos20° = a.
3tan50°-1 3sin50°-cos50° 2sin 50°-30° 2sin20° 2sin20°
故选：C
35. (24- 25 π 2 π高三上·江苏徐州·开学考试)已知 sin α+ + sinα= ，则 cos 2α+ = ( )3 3 3
A. - 19 B. - 1 C. 1 D. 19
27 9 9 27
14
【答案】D
sin α+ π + sinα= 1 sinα+ 3 cosα+ sinα= 3 sinα+ 3 cosα= 3sin α+ π【详解】因为 ，3 2 2 2 2 6
即 3sin α+ π = 2 π 2 3，可得 sin α+ = ，6 3 6 9
2
所以 cos 2α+ π = 1- 2sin2 α+ π = 1- 2× 2 3 = 19 .3 6 9 27
故选：D.
36. (24 - 25高三·湖南衡阳·开学考试)已知 cos α+β 6- 2 = ,sinα sinβ = 2 ，则 cos 2α-2β =
4 4
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1
2 2 2
【答案】C
【详解】cos α+β = cosα cosβ- sinα sinβ= 6- 2 ，
4
又 sinα sinβ= 2 ，则有 cosα cosβ= 6 ，
4 4
可得 cos 6+ 2 α-β = cosα cosβ+ sinα sinβ= ，
4
2
所以 cos 2α-2β = cos2 α-β = 2cos2 6+ 2 3 α-β - 1= 2× - 1= .4 2
故选：C
37. (24- 25高三·云南昆明·阶段练习)若 sin160° =m，则 sin40° = ( )
A. - 2m B. - 2m 1-m2 C. - 2m 1+m2 D. 2m 1-m2
【答案】D
【详解】因为 sin160° = sin 180°-20° = sin20° =m，所以 cos20° = 1-sin220° = 1-m2，
所以 sin40° = 2sin20°cos20° = 2m 1-m2 .
故选：D
38. (24 - 25 · · ) sin4 θ - cos4 θ 3高三 四川绵阳 开学考试 已知 = ,θ ∈ 0,π 1+sin2θ ，则 + cosθ =
2 2 5 cos2θ-sin2θ
( )
A. - 26 B. - 32 C. - 31 D. - 17
35 5 4 28
【答案】A
θ
【详解】因为 sin4 - cos4 θ = 3 ,θ∈ 0,π ，
2 2 5
θ
所以 sin2 -cos2 θ sin2 θ +cos2 θ = 3 ,θ∈ 0,π ，2 2 2 2 5
sin2 θ - cos2 θ =-cos θ所以 + θ =-cosθ= 3 ,θ∈ 0,π ，即 cosθ=- 3 ，2 2 2 2 5 5
2 4
所以由 θ∈ 0,π 得 sinθ= 1- - 3 = ，5 5
4 3
1+sin2θ + cosθ= 1+2sinθcosθ
1+2×
所以 + cosθ= 5
× - 5 + - 3 =- 26 .
cos2θ-sin2θ cos2θ-sin2θ - 3
2- 4 2 5 355 5
15
故选：A.
( - · · ) + = 1 , + = 3cosβ39. 24 25高三 安徽 阶段练习 若 cos α β cosβ tan α β ，则 cos2α= ( )
m sinβ
A. 32 - 1 B. 16 - 1 C. 4 - 1 D. 2 - 1
m2 m2 m2 m2
【答案】A
+ = 3cosβ
sin α+β sinβ
【详解】由 tan α β ，得 tan α+β tanβ= 3，即 = 3，所以 sin α+β sinβ= 3 ，
sinβ cos α+β cosβ m
所以 cosα= cos α+β -β = cos α+β cosβ+ sin α+β 4 sinβ= ，
m
所以 cos2α= 2cos2α- 1= 32 - 1，故A正确.
m2
故选：A.
40. (24- 25高三· π 1贵州黔东南·开学考试)已知 α∈ 0,π ，且 cos α+ = ，则 cos2α= ( )4 3
A. 4 2 B. ± 4 2 C. 7 D. ± 7
9 9 9 9
【答案】A
【详解】因为 α∈ π 1 π π π 0,π ，cos α+ = > 0，所以 α+ ∈ , ，4 3 4 4 2
则 sin α+ π = 1-cos2 α+ π4 4 =
2 2
，
3
则 cos2α= cos 2 α+ π - π = sin2 α+ π = 2sin α+ π cos α+ π = 4 2 .4 2 4 4 4 9
故选：A
41. (2024· π山东淄博·二模)设 β∈ 0, ，若 sinα= 3sin(α+ 2β) 2，tanβ= ，则 tan(α+ 2β) = ( )2 2
A. - 2 B. 2 C. - 2 D. 2
4 4 2 2
【答案】A
【详解】由 sinα= 3sin(α+ 2β)，得 sin[(α+ 2β) - 2β]= 3sin(α+ 2β)，
则 sin(α+ 2β)cos2β- cos(α+ 2β)sin2β= 3sin(α+ 2β)，即 sin(α+ 2β) (cos2β- 3) = cos(α+ 2β)sin2β，
( + )= sin2β = 2sinβcosβ 2sinβcosβ tanβ因此 tan α 2β - = =- ，cos2β 3 cos2β-sin2β-3cos2β-3sin2β -2cos2β-4sin2β 2tan2β+1
2
而 tanβ= 2 ，所以 tan(α+ 2β) =- 2 =- 2 .
2 × 2 22 42 +1
故选：A
42. (2024· · ) α∈ π , 3π tan π +α = 1江西宜春 模拟预测 已知 ， tan π -α 1-sin2α，则 = ( )2 4 4 2 4 4cos2α
A. 6+ 4 2 B. 6- 4 2 C. 17+ 12 2 D. 17- 12 2
【答案】A
【详解】因为 α∈ π , 3π ，tan π +α = 1 tan π -α ，2 4 4 2 4
16
1+tanα
所以 - =
1 × 1-tanα，tanα<-1，
1 tanα 2 1+tanα
解得 tanα=-3- 2 2或 tanα=-3+ 2 2 (舍)，
1-sin2α sin2= α+cos
2α-2sinαcosα 1
则 = tan2α-2tanα+1
4cos2α 4cos2α 4

= 1 tanα-1 2= 1 -3-2 2-1 2 = 6+ 4 2 .
4 4
故选：A.
43. (2024· π 1 11π湖南衡阳·模拟预测)已知 cos -α = ，则 sin +2α = ( )5 3 10
A. 7 B. - 7 C. 4 2 D. - 4 2
9 9 9 9
【答案】A
π π 1
【详解】令 - α= t，则 α= - t，故 cost= ，
5 5 3
sin 11π +2α = sin 11π +2 π -t = sin 3π -2t =-cos2t= 1- 2cos2t= 7．10 10 5 2 9
故选：A.
44. (2024·安徽合肥·三模)已知 2sinα= 1+ 2 3cosα，则 sin 2α- π = ( )6
A. - 1 B. - 7 C. 3 D. 7
8 8 4 8
【答案】D
【详解】由 2sinα= 1+ 2 3cosα 4 1得 sinα- 3 cosα = 1 π 1，即 sin α- = ，2 2 3 4
sin 2α- π所以 = sin π +2 α- π = cos2 α- π = 1- 2sin2 α- π = 7 ，6 2 3 3 3 8
故选：D
45. (2024·河北保定·三模)已知锐角 α，β(α≠ β)满足 sinα+ 2cosα= sinβ+ 2cosβ，则 sin(α+ β)的值为
( )
A. 3 10 B. 2 5 C. 3 D. 4
10 5 5 5
【答案】D
【详解】设 f(x) = sinx+ 2cosx= 5sin(x+ φ)，其中 sinφ= 2 5 ，cosφ= 5 ，φ∈
5 5 0,
π ，2
当 x∈ 0, π2 时，x+ φ∈ φ,
π +φ 0，π2 ，
此时 f(x) = sinx+ 2cosx= 5sin(x+ φ)在 0，π ，有增有减，
又因为 f(α) = f(β)，且 α≠ β，所以 α+ φ+ β+ φ= π，所以 α+ β= π- 2φ，
所以 sin(α+ β) = sin(π- 2φ) = sin2φ= 2sinφcosφ= 4 .
5
故选：D.
46. (2024·福建泉州·模拟预测)已知 α，β均为锐角，sin 2α-β = 2 5 cosα+ sinβ，则 sin α-β = ( )
3
A. 2 5 B. 5 C. 2 D. 5
5 5 3 3
17
【答案】D
【详解】由题意 sin 2α-β = sin α+ α-β = sinαcos α-β + cosαsin α-β ，
又 sin 2α-β = 2 5 cosα+ sinβ= 2 5 cosα- sin α-β 2 5 -α = -sin α-β

cosα+3 3 3
cos α-β sinα，
sinαcos α-β + cosαsin α-β = 2 5故 -sin α-β

cosα+ cos α-β sinα，3
即 cosαsin α-β = 2 5 -sin α-β

cosα3
又 α均为锐角，所以 cosα≠ 0，
sin α-β = 2 5故 - sin α-β sin α-β 5 = ，
3 3
故选：D.
47. (2024· π重庆·三模)已知 α∈ 0, ，且 2sin2α= 4cosα- 3cos3α，则 cos2α= ( )3
A. 2 B. 1 C. 7 D. 2 2
9 3 9 3
【答案】C
π
【详解】因为 α∈ 0, ，所以 cosα≠ 0，0< sinα< 3 ，3 2
因为 2sin2α= 4cosα- 3cos3α，
所以 4sinαcosα= 4cosα- 3cos3α，
所以 4sinα= 4- 3cos2α= 4- 3 1-sin2α ，
解得 sinα= 1 或 sinα= 1(舍)，
3
则 cos2α= 1- 2sin2α= 1- 2× 1 = 7 .
9 9
故选：C
48. (2024·山西·三模)若 sin2α= 3 ,sin β-α 6 π 3π = ，且 α∈ ,π 3 6 4 ,β∈

π, ，则 cos α+β = ( )2
A. 5+ 2 B. 30 C. 6 D. 2 5- 2
6 6 3 6
【答案】D
π
【详解】因为 α∈ ,π
π
，则 2α∈
,2π
3
，且 sin2α= > 0，4 2 3
2α∈ π则 ,π ，可得 α∈2
π π
, ，cos2α=- 1-sin22α=- 6 ，4 2 3
又因为 β∈ π,
3π ，则 β- α∈ π , 5π ，且 sin 6 β-α = > 0，2 2 4 6
可得 β- α∈ π ,π ，cos β-α =- 1-sin2 β-α =- 30 ，2 6
所以 cos α+β = cos 2α+ β-α = cos2αcos β-α - sin2αsin β-α
= - 6 × - 30 - 3 × 6 = 2 5- 2 .3 6 3 6 6
故选：D.
题型七、给值求角
知识要点
18
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助
三角函数图像、诱导公式求角．
精准练习
49. (23- 24高一·江苏盐城·期中)已知 tanα=- 1 ，tanβ= 2，且 α,β∈ 0,π ，则 α+ β的值为 ( )
3
A. π B. 3π C. 5π D. 7π
4 4 4 4
【答案】C
tanα+tanβ -
1
3 +2【详解】tan α+β = - = = 1，1 tanα tanβ 1+ 23
又 α,β∈ 0,π ，tanα< 0，tanβ> 0，
α∈ π ,π ,β∈ 0, π故 ，故 α+ β∈ π , 3π ，2 2 2 2
故 α+ β= 5π .
4
故选：C
50. (23- 24 · · ) 0< α< π高一 河南 阶段练习 已知 ， 1+sin2α sin π = 2cos2 π cos2α，则 α= ( )
2 7 14
A. 3π B. 5π C. π D. π
14 28 7 14
【答案】B
π π
【分析】先得到 sin sin2α+ sin = cos π cos2α，即 cos
14 14 14 2α+
π = sin π π π 15π，根据 < 2α+ < ，得14 14 14 14 14
到 2α+ π = π - π ，即 α= 5π .
14 2 14 28
π π
【详解】∵ sin = 2sin cos π π π， 1+sin2α sin = 2cos2 cos2α，
7 14 14 7 14
π
所以 sin sin2α+ sin π = cos π cos2α，
14 14 14
则 cos π cos2α- sin π sin2α= sin π ，
14 14 14
cos 2α+ π即 14 = sin
π
．
14
因为 0< α< π π π 15π，所以 < 2α+ < ，
2 14 14 14
所以 2α+ π = π - π ，
14 2 14
解得 α= 5π．
28
故选：B．
51. (多选) (2023· π 1山西·模拟预测)已知 0< β< α< ，且 sin α-β = ,tanα= 5tanβ，则 ( )
4 3
A. sinαcosβ= 5 B. sinβcosα= 1 C. sin2αsin2β= 5 D. α+ β= π
6 12 36 3
【答案】BC
19
sin α-β = 1 ,tanα= 5tanβ sinαcosβ- cosαsinβ= 1 , tanα = sinαcosβ【详解】因为 ，故 = 5.
3 3 tanβ cosαsinβ
所以 sinαcosβ= 5 ,sinβcosα= 1 ，A错误，B正确；
12 12
所以 sin2αsin2β= 4sinαcosβcosαsinβ= 5 ，
36
sin α+β = sinαcosβ+ cosαsinβ= 5 + 1 = 1 ，
12 12 2
0< β< α< π π又因为 ，所以 α+ β= ，故D错误，C正确.
4 6
故选：BC.
52. (2024· π π π陕西铜川·模拟预测)若 α∈ - , ，且 cos2α= sin -α ，则 α的值为 ．2 2 4
π
【答案】 或- π .
4 12
【详解】由 cos2α= sin π -α ，4
得 cos2α- sin2α= sin π cosα- cos π sinα= 2 cosα-sinα ，
4 4 2
即 cosα+sinα cosα-sinα = 2 cosα-sinα ，
2
当 cosα- sinα= 0时，cosα= sinα，即 tanα= 1，由 α∈ - π , π ，得 α= π；2 2 4
当 cosα- sinα≠ 0时，cosα+ sinα= 2 ，所以 2sin α+ π2 4 =
2
，
2
π 1 π π π
即 sin α+ = ，由 α∈ - , ，得 α+ ∈4 2 2 2 4 -
π , 3π ，
4 4
所以 α+ π = π，所以 α=- π ．
4 6 12
α π - π故 的值为 或 ．
4 12
π π
故答案为： 或- .
4 12
53. (2024高三·江苏·专题练习)已知 α为锐角，且 sinα+ sin α+ π + sin α+ 2π = 3，则 α= .3 3
π
【答案】
3
π
【详解】因为 sin α+ = sinαcos π + cosαsin π = 1 sinα+ 3 cosα，3 3 3 2 2
sin α+ 2π = sinαcos 2π + cosαsin 2π =- 1 sinα+ 3 cosα，3 3 3 2 2
又 sinα+ sin α+ π + sin α+ 2π3 3 = 3，
sinα+ 3cosα= 3 1 sinα+ 3 cosα= 3 sin α+ π = 3所以 ，所以 ，即 ，2 2 2 3 2
因为 0< α< π π π 5π π 2π π，所以 < α+ < ，所以 α+ = ，所以 α= .
2 3 3 6 3 3 3
π
故答案为： .
3
β
54. (23- 24高三·河北石家庄· π阶段练习)若 α，β∈ 0, ，cos α- = 3 sin α， -β =- 1 ，则 α+ β2 2 2 2 2
= .
20
2
【答案】 π
3
π β
【详解】由 α，β∈ 0, ，则 ∈ 0, π , -
β ∈ - π ,0 ,α-
β ∈ - π , π ，
2 2 4 2 4 2 4 2
cos α- β = 3 β π β π，所以 α- = 或 α- =- ，2 2 2 6 2 6
α ∈ 0, π2 4 , -β∈ -
π ,0
2 ,
α - β∈ - π , π ，2 2 4
sin α -β =- 1 α - β=- π，则 ，2 2 2 6
β β
当 α- = π 时， α- - β α -β = α + = π，则 α+ β= 2 π，2 6 2 2 2 2 3 3
β π β α α β
当 α- =- 时， α- - -β = + = 0，则 α+ β= 0，2 6 2 2 2 2
又 α+ β∈ (0,π)，.故 α+ β= 2 π.
3
2
故答案为： π
3
题型八、三角恒等变换的综合应用
知识要点
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如 y= asinx+ bcosx化为 y= a2+b2 sin(x+ φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
精准练习
55. (2024·广东珠海·一模) 2π函数 f x = 2 3 sin2 ωx + sin 2ωx+ ，其中 ω> 0，其最小正周期为 π，则下3
列说法错误的是 ( )
A. ω= 1
B. 函数 f x
π
图象关于点 , 33 对称
C. 5π函数 f x 图象向右移 φ φ>0 个单位后，图象关于 y轴对称，则 φ的最小值为
12
D. 若 x∈ 0,
π ，则函数 f x 的最大值为 3+ 12
【答案】D
【详解】由已知 f x = 2 3sin2 ωx 2π + sin 2ωx+ = 3 1-cos2ωx + sin2ωxcos 2π + cos2ωxsin 2π，3 3 3
所以 f 1 x =- sin2ωx- 3 cos2ωx+ 3=-sin 2ωx+ π + 3，2 2 3
又ω> 0，所以函数 f x 的最小正周期为 ，
2π
由已知 = π，所以ω= 1，A正确；
2ω
π
所以 f x =-sin 2x+ + 3，3
π π
因为 2× + = π π，所以函数 f x 图象关于点 , 33 3 3 对称，B正确，
π
将函数图象向右移 φ φ>0 个单位后可得函数 y=-sin 2x-2φ+ 3 + 3的图象，
21
因为 y=-sin 2x-2φ+ π + 3的图象关于 y轴对称，3
φ=- kπ - π所以 ,k∈ Z，又 φ> 0，
2 12
φ 5π所以 的最小值为 ，C正确，
12
0≤ x≤ π π ≤ 2x+ π ≤ 4π若 ，则 ，
2 3 3 3
所以- 3 ≤ sin 2x+ π ≤ 1，故-1+ 3≤ f x ≤ 3 3 ，2 3 2
π 3 3
所以当 x= 时，函数 f x 取最大值，最大值为 ，D错误.
2 2
故选：D.
56. (22- 23高三上· · ) , ∈ , π 1+sinβ河北唐山 开学考试 已知 α β 0 ，且 = tan π +α ，则 ( )2 cosβ 4
A. 2α= β B. α= β C. α+ β= π D. α+ β= π
2
【答案】A
sinα 2
tan π +α = 1+tanα
1+
【详解】 = cosα = cosα+sinα =
cosα+sinα
4 1-tanα 1- sinα cosα-sinα cosα-sinα cosα+sinα cosα
= sin
2α+cos2α+2sinαcosα = 1+sin2α，
cos2α-sin2α cos2α
1+sinβ = 1+sinβ因为 tan π +α 1+sin2α，所以 = ，cosβ 4 cosβ cos2α
又 α,β∈ 0, π π π 3π，可得 + α∈2 4 , ，4 4
所以 β= 2α．
故选：A．
57. (2024·宁夏吴忠·模拟预测)下列四个函数中，最小正周期为 2π的是 ( )
A. f x = cos2x+ sinxcosx B. f x = 1-cos2x
2sinxcosx
C. f x = cos x+ π + cos x- π D. f x = sin x+ π3 3 6 cos x+
π
6
【答案】C
【详解】对于A：f x = cos2x+ sinxcosx= 1-cos2x + 1 sin2x= 1 + 2 sin2x 2 -cos2x 2 = 1 +2 2 2 2 2 2 2
2 sin 2x- π T= 2π，周期为 = π，A不正确；2 4 2
2
B f x = 1-cos2x = 2sin x = sinx对于 ： = tanx，
2sinxcosx 2sinxcosx cosx
kπ
又函数 的定义域为 x x≠ ,k∈Z ，周期为T= π，B不正确；2
对于C：f x = cos x+ π + cos x- π = cosx× 1 - sinx× 3 + cosx× 1 + sinx× 3 = cosx，周期3 3 2 2 2 2
为 ，C选项正确；
D f x = sin x+ π cos x+ π对于 ： = 1 sin 2x+ π T= 2π周期为 = π，D不正确；6 6 2 3 2
故选：C.
22
58. (多选) (2023·河北保定·三模)已知 f x = 2 3cos2x+ 2sinxcosx- 3，则 ( )
A. f π x = 2cos 2x- 6
B. f π x 的图象的对称轴方程为 x= 2kπ- k∈Z
3
C. f 2023π = 3
D. f x 在 - 3π ,- π 上单调递减2 2
【答案】AC
【详解】A选项，f x = 2 3cos2x+ 2sinxcosx- 3= 3cos2x+ sin2x= 2cos 2x- π ，6
即 f x = 2cos 2x- π ，故A正确；6
B π选项，令 2x- = kπ k∈Z kπ π ，解得 x= + k∈Z ，
6 2 12
所以 f x
kπ π
的图象的对称轴方程为 x= + k∈Z ，故B错误；
2 12
C选项，因为 f 2023π = 2cos 4046π- π = 2cos - π = 2cos π = 3，故选项C正确；6 6 6
D选项，令 2kπ≤ 2x- π ≤ 2kπ+ π k∈Z π 7π ，得 kπ+ ≤ x≤ kπ+ k∈Z ，
6 12 12
π 7π
即 f x 的单调递减区间为
kπ+ ,kπ+ k∈Z ，12 12
k=-2 x∈ - 23π ,- 17π - 23π <- 3π <- 17π π令 得 ，由于 <- ，故D错误.12 12 12 2 12 2
故选：AC.
59. (2024高三·全国·专题练习)设 f x = 2sinxcosx- 2sin2 x- π . π π 1当 x∈ 0, 时，f4 2 x+ =- ，则6 3
cos2x的值为 .
3-2 2
【答案】
6
π
【详解】由题意得：f(x) = sin2x+ cos 2x- - 1= 2sin2x- 1，2
∵ f x+ π 6 = 2sin 2x+
π - 1=- 1 ，∴ sin 2x+ π = 1 ，3 3 3 3
∵ x∈ 0, π ∴ 2x+ π ∈ π , 4 π， ，2 3 3 3
又由 0< sin 2x+ π < 1 2x+ π ，得 ∈3 2 3
5π ,π ，
6
∴ cos 2x+ π =- 1-sin2 2x+ π =- 2 2 ，3 3 3
∴ cos2x= cos 2x+ π - π = cos 2x+ π cos π + sin3 3 3 3 2x+
π sin π3 3
=- 2 2 × 1 + 1 × 3 = 3-2 2 .
3 2 3 2 6
3-2 2
故答案为： .
6
60. (24- 25 π高三上·河南·开学考试)已知函数 f x = sin2x+ sin 2x- 在区间 0,m 上有且仅有 2个零3
点，则实数m的取值范围为 .
23
7π , 13π【答案】 12 12
【详解】因为 f x = sin2x+ sin2x× 1 - cos2x× 3 = sin2x× 3 - cos2x× 3
2 2 2 2
= 3 sin2x× 3 -cos2x× 1 = 3sin 2x- π2 2 6
x∈ π 0,m ,2x- ∈
6 -
π ,2m- π
6 6 , 有且仅有 2个零点，
则 π< 2m- π ≤ 2π,
6
7π 12 12
7π , 13π故答案为： .12 12
61. (24- 25高三·福建·阶段练习)已知函数 f x = 2 2cos2x+ 2 2sinxcosx．
(1)将 f x 化成 f x =Acos ωx+φ +B A>0,ω>0, φ <π 的形式；
(2)求 f x 的单调区间；
(3) π若 f x 在 α,α+ 上的值域为 a,b ，求 b- a的取值范围．4
【答案】(1)f x = 2cos 2x- π + 2；(2)答案见详解；(3) 2- 2,2 2 4
【详解】(1)由题意可得：f x = 2 2 × 1+cos2x + 2sin2x= 2cos2x+ 2sin2x+ 2
2
= 2cos 2x- π + 2，4
f x = 2cos 2x- π所以 + 2 .4
(2)令-π+ 2kπ≤ 2x- π ≤ 2kπ,k∈ Z - 3π，解得 + kπ≤ x≤ π + kπ,k∈ Z，
4 8 8
3π π
所以 f x 的单调递增区间为 - +kπ, +kπ8 8

,k∈ Z．
令 2kπ≤ 2x- π ≤ π+ 2kπ,k∈ Z π，解得 + kπ≤ x≤ 5π + kπ,k∈ Z，
4 8 8
π 5π
所以 f x 的单调递减区间为 +kπ, +kπ

8 8
,k∈ Z．
(3)由题意得 f x 2π 的最小正周期T= = π，
2
令 2x- π = kπ,k∈ Z，解得 x= π + kπ ,k∈ Z，
4 8 2
f x
π kπ
图象的对称轴为直线 x= + ,k∈ Z．
8 2
α≥ π + kπ
若 f x 在 α,α+
π 上单调，则 8 24 α+ π≤ π + π + kπ ，k∈ Z，4 8 2 2
π kπ 3π kπ
解得 + ≤ α≤ + ,k∈ Z，
8 2 8 2
π
则 b- a= f α - f α+ = 2cos 2α- π -2cos 2α+ π4 4 4
= 2cos2α+ 2sin2α- 2cos2α+ 2sin2α = 2 2sin2α ．
π kπ
因为 + ≤ α≤ 3π + kπ ,k∈ Z π，则 + kπ≤ 2α≤ 3π + kπ,k∈ Z，
8 2 8 2 4 4
可得 sin2α ∈ 2 ,1
，所以 b- a= 2 2sin2α ∈ 2,2 2 ；
2
24
f x α,α+ π若 在
π
上不单调，则 f x 在

α,α+

上的图象上必定有一个最高点或最低点，4 4
f x α,α+ π且 在 上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，b- a的取值范围均相同．4
π π
假设 f x 在 α,α+

上的图象的最高点为A ,2+ 2 ，则 b= 2+ 2，4 8
当 α+ α+ π = 2× π，即 α= 0时，a= f 0 = 2 2，此时 b- a取得最小值，且最小值是 2- 2．
4 8
π π
又因为 a> f + = 2，则 b- a< 2，8 4
所以 b- a∈ 2- 2,2 ；
综上所述：b- a的取值范围为 2- 2,2 2 ．
62. (24- 25高三·北京·开学考试)已知函数 f x = cosx 2 3sinx+cosx - sin2x.
(1)求函数 f x 的最小正周期和单调递增区间；
(2)若 f(x)在区间 [0,m]上有且只有两个零点，求m的取值范围.
(1)T= π - π +kπ, π +kπ k∈ Z (2) 11π , 17π【答案】 ， 3 6 ， ； 12 12
【详解】(1)因为 f x = cosx 2 3sinx+cosx - sin2x
= 2 3sinxcosx+ cos2x- sin2x
= 3sin2x+ cos2x
= 2 3 sin2x+ 1 cos2x2 2
= 2sin 2x+ π ，6
所以 f x
2π
的最小正周期T= = π，
2
- π令 + 2kπ≤ 2x+ π ≤ π + 2kπ，k∈ Z，
2 6 2
π
解得- + kπ≤ x≤ π + kπ，k∈ Z，
3 6
π π
所以函数的单调递增区间为 - +kπ, +kπ
，k∈ Z.
3 6
(2)当 x∈ 0,m ，则 2x+ π ∈ π ,2m+
π ，6 6 6
又 f(x)在区间 [0,m]上有且只有两个零点，所以 2π≤ 2m+ π < 3π 11π，解得 ≤m< 17π，
6 12 12
即m 11π 17π的取值范围为
, .12 12
63. (22- 23 π 1高三·陕西榆林·阶段练习)已知平面向量m= sin x- ,6 2 ,n
= cosx, 12 .
(1) m ⊥n ,x∈ 0, π若 ，求实数 x的值；2
(2) 求函数 f(x) =m n的单调递增区间.
【答案】(1) π π；(2) - +kπ,
π +kπ k∈Z 12 6 3

【详解】(1)因为m⊥n, m = sin x- π , 1 ， ,n=6 2 cosx,
1
2 ，
m n 所以 = sin x- π × cosx+ 1 = 0，6 4
25
3 sinx- 1 cosx cosx+ 1 = 3 sinxcosx- 1 cos2x + 1 = 3 sin2x- 1 cos2x= 02 2 4 2 2 4 4 4
所以 3sin2x= cos2x 3，所以 tan2x= ，
3
又因为 x∈ 0,
π ，所以 2x∈ 0,π ，2
2x= π所以 ，解得.x= π
6 12
(2)f x =m n
= sin x- π cosx+ 1 = 3 sinx- 1 cosx cosx+ 16 4 2 2 4
= 3 sinxcosx- 1 cos2x + 1 = 3 sin2x- 1 cos2x= 1 sin 2x- π ．2 2 4 4 4 2 6
π
令- + 2kπ≤ 2x- π ≤ π + 2kπ k∈Z ，
2 6 2
π
所以- + kπ≤ x≤ π + kπ k∈Z ．
6 3
所以所求 f x 的单调递增区间为 -
π +kπ, π +kπ
6 3
k∈Z ．
64. (24- 25高一·全国·期末)设 f(x) = 2sinxcosx+ 2sin x+ π sin π -x ．4 4
(1)当 x∈ - π ,0

时，求 f(x)的最大值和最小值；2
(2)已知 f - α = 3 π，且当 ≤ α≤ 2π时，求 f(α)的值．2 3 2
2- 5
【答案】(1)最大值为 1，最小值为- 2；(2)f(α) =
3
(1)f(x) = 2sinxcosx+ 2sin x+ π sin π【详解】 -x4 4
= sin2x+ 2sin x+ π cos x+ π4 4
= sin2x+ cos2x= 2sin 2x+ π ．4
x∈ - π ,0 - 3π ≤ 2x+ π ≤ π当 2 时， ，4 4 4
π π
所以当 2x+ = ，即 x= 0时，f(x) π取得最大值，为 2sin = 1，
4 4 4
当 2x+ π =- π 3π，即 x=- 时，f(x) π取得最小值，为 2sin
4 2 8 - 2 =- 2．
(2)因为 f - α = 3 ，所以 2sin π -α2 3 4 =
3
，
3
3 1
化简可得 cosα- sinα= ，两边平方得 1- 2sinαcosα= ，
3 3
所以 sin2α= 2sinαcosα= 2 > 0．
3
π
又 ≤ α≤ 2π，所以 sinα< 0，cosα< 0．
2
又 (cosα+ sinα)2= 1+ 2sinαcosα= 1+ 2 = 5 ，
3 3
cosα+ sinα=- 15所以 ，
3
cos2α= cos2α- sin2α= (cosα- sinα) (cosα+ sinα) = 3 × - 15 =- 5 ，3 3 3
26
所以 f(α) = sin2α+ cos2α= 2- 5．
3
27

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