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数学九年级上册
第28.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括图象的特点.
3.掌握二次函数y=ax 的图象和性质，并会应用.
2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤？
图象法、列表法、解析法
①列表
②描点
③连线
复习引入
1.函数有几种表示方式？图象法有什么特点？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
画出二次函数y=x2的图象.（列表、描点、连线）
9
4
1
0
1
9
4
1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．
互动新授
互动新授
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
3
6
9
y
O
-3
3
x
从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2.
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
2.抛物线y=x2与对称轴的交点______叫做物线y=x2的______，它是抛物线y=x2的最___点.
互动新授
思考
1.抛物线y=x2是轴对称图形吗？
___，如果是，它的对称轴是_____.
是
y轴
(0,0)
顶点
低
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
3
6
9
y
O
-3
3
x
互动新授
3.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的_____，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的_____，抛物线从左到右上升趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____.
左侧
右侧
减小
增大
3
6
9
y
O
-3
3
x
典例精析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象.
解：1.分别列表，再画出它们的图象.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
1
2
y=2x2
y= x2
1
2
思考
（1）函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比,有什么共同点和不同点？
（2）当a＞0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
典例精析
一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
探究
（1）在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2,y=x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.
（2）当a＜0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
互动新授
y=- x2
1
2
y=-2x2
一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
向上
向下
(0,0)
(0,0)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
方向
向上
向下
大小
越小
越大
归纳总结
1.函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 .
2.函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ,顶点是抛物线的最 点.
3.函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ,顶点是抛物线的最 点.
4.函数y=－0.2x2的图象的开口 ,对称轴是______,顶点是 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
高
低
小试牛刀
1.下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A.它的图象经过点（-1，-2）
B.它的图象的对称轴是直线x＝2
C.当x＜0时，y随x的增大而增大
D.当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0
2.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2，4)，则该图象必经过点( )
A.(2，4) B.(-2，-4) C.(-4，2) D.(4，-2)
3.在同一坐标系中，与y=2x2的图象关于x轴对称的图象是( )
A.y=x2 B.y=-x2 C.y=-2x2 D.y=-x2
D
A
C
课堂检测
4.下列说法错误的是（　　）
A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0
C．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
C
课堂检测
5.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m).
(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
解: (1)将(1，m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1.所以P点坐标为(1，1).将P点坐标(1，1)代入ｙ=ax2，得1=a×12，得a=1.即a=1,m=1.
(2)二次函数的表达式：y=x2，当x>0时，y随x的增大而增大.
(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.
课堂检测
1.已知点（-1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．－
2.如果抛物线y=(m 1)x 的开口向上，那么m的取值范围是 （ ）
A．m>1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
3.已知a<－1，点（a-1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1B
A
C
拓展训练
3.已知:如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ×CO×4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
拓展训练
向上
向下
(0,0)
(0,0)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
方向
向上
向下
大小
越小
越大
课堂小结
1．已知点(1，y1)，(2，y2)都在函数y=x2的图象上，则y1与y2大小关系正确的是（ ）
A.y1＞y2＞0 B.y2＞y1＞0 C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0
2．已知:-1＜a＜0，且点(a-2，y1),(a，y2),(a+2，y3),都在函数y=x2的图像上，那么y1,y2,y3的大小关系是（ ）
A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y3＜y1 C.y3＜y2＜y1 D.y3＜y1＜y2
B
B
课后作业
3.已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
解:(1)由 是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，得
解得k＝2；
（2）y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
课后作业
谢谢聆听

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