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专题01 空间角度与距离归类
【题型一】线面角基础
【典例分析】
如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．
(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）取中点，连，，由线面平行的判定定理可得平面，平面，再由面面平行的判定定理可得平面平面及性质定理可得答案；
（2）过作交于，利用得，由线面垂直的判定定理可得平面，面面垂直的判定定理可得答案；
（3）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案.
（1）如图，取中点，连，，∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面．
（2）如上图，在四边形中，过作交于，在中，得，，，则，得，∵，∴， 又由已知条件，，平面，故平面，又平面，∴平面平面．
（3）∵为等腰三角形，∴，又因为平面，以为原点建立空间直角坐标系，如图：可得，，，，，，，设平面的法向量为，，，根据，得，解得，，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值．
【提分秘籍】 基本规律 直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，）
【变式训练】
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点，
(1)证明：平面.
(2)若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的法向量，再求线面角.
（1）证明：取的中点，连接，.因为，分别为，的中点，所以，，又底面为菱形，所以，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，，所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，则，，，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成的角为，则
【题型二】二面角基础
【典例分析】
如图，在四棱锥中，是直角三角形，，四边形是等腰梯形，，，.
(1)证明：；
(2)若平面平面，求平面与平面的夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取AB中点E，取AE中点F，由题可得，，进而可得平面DFP，即得；
（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法即得.
（1）如图，取AB中点E，连接DE，EP，取AE中点F，连接DF，FP，由题意可知，和为全等的等边三角形.因为，，且，所以平面DFP，又因为平面DFP，所以.
（2）因为平面平面，且，所以平面.以为坐标原点，，，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，平面的一个法向量.设平面的一个法向量，则，即，可取，所以，所以平面与平面的夹角的正弦值为.
【提分秘籍】 基本规律 二面角（法向量的方向角，） 判断正负方法： 观察法； 同进同出互补，一进一出相等；
【变式训练】
如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.
(1)求证：平面；(2)若平面，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】
（1）根据面面垂直性质定理得平面，进而证明，再根据集合关系证明即可证明结论；
（2）根据题意，为的中点，进而以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；
（1）证明：因为平面平面且交线为，又平面且，所以平面，又平面，所以.因为是边长为2正方形，所以，又，所以，即，又因为，平面，所以平面.
（2）解：因为平面，平面，平面平面，所以，因为为的中点，所以为的中点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面与平面所成夹角为，则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为.
【题型三】异面直线所成的角
【典例分析】
如图所示，是棱长为1的正方体.
(1)设的重心为O，求证：直线平面；
(2)设E F分别是棱 上的点，且，M为棱的中点，若异面直线与EF所成的角的余弦值为，求a的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】
（1）由正方体性质证明平面，与平面的交点即为重心，从而证得结论成立；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角，从而求得值．
(1)
设，连接，
首先平面，平面，则，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，
同理，，平面，所以平面，连接交于，
因为，所以是等边的中心也是重心，所以平面，
(2)如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，
，，由题意，
解得：（负值舍去）．
【提分秘籍】 基本规律 （1）、异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角）
【变式训练】
如图，在直三棱柱中，，．，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】
（1）设与的交点为，连接，由三角形中位线定理可证得，从而可得平面；
（2）由可得为与所成的角（或其补角），在中，解三角形可求得，即为所求．
(1)
证明：设与的交点为，连接，
∵四边形为正方形，∴ 是的中点，又是的中点，
∴．又平面，平面，∴平面．
(2)解：∵，∴为与所成的角（或其补角）．
在中，，∴．∴异面直线与所成角的余弦值为．
【题型四】给角求角（值）1：线面角
【典例分析】
如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】
（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用已知条件求出的值，然后利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
(1)证明：因为，，则，平面，平面，，
，、平面，平面，平面，因此，平面平面.
(2)解：因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以，为的中点，即，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，易知平面的一个法向量为，所以，，由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为.
【变式训练】
如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，
【分析】
（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用，即可证明线面垂直；
（2）分别求平面和的法向量和，利用公式，即可求解；
（3）首先利用向量共线，设点，利用线面角的向量公式，即可求得的值.
(1)
证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，，，，
则，平面的一个法向量，，，
由，取，得，，
，平面；
(2)设平面的一个法向量，，，由，取，解得设平面的一个法向量，
由图可知二面角为锐二面角，二面角的大小为；
(3)设存在点满足条件，由，，设，
整理得，，直线与平面所成角的大小为，
，
则，由，得，即点和点重合，
故在线段上存在一点，且．
【题型五】给角求角（值）2：二面角
【典例分析】
如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面， 点在线段上.
(1)若为的中点， 证明：平面；
(2)若，，若二面角的大小为，试求的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】
（1）连接交于，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得解.
（1）证明：连接交于，连接，因为四边形为矩形，为的中点，又因为为的中点，则，因为平面，平面，因此，平面.
（2）解：由题设平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，平面，平面，，所以，，则、、、，设，其中，则，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，由题可得，因为，解得，此时.
【变式训练】
如图，在四棱锥中，，，，，，，都在平面的上方.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析.
(2)2
【分析】
(1)先证平面，再证明平面平面.
(2)设AD长为t，建立空间直角坐标系，计算两个待求平面的法向量，代入公式求出t的值，然后计算四棱锥的体积.
(1)
，又
所以 ， ，所以平面，
又平面
所以，平面平面.
(2)
因为 ，结合(1)问易得 两两互相垂直，所以建立如图所示的坐标系
设AD=t ，则： ， ，
所以 ， ，设平面的法向量为
由 得 令 则 又平面ABE所以取平面ABE的法向量为
解得 或 (舍).即 ，所以四边形ABCD的面积 ，由题知 ， ，平面ABCD
所以BE为四棱锥 的高，所以四棱锥的体积为
.故四棱锥的体积为2.
【题型六】探索性动点型1：线面角
【典例分析】
如图，在长方体中，，，E是线段上的动点．
(1)求证：；
(2)是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，.【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的性质定理进行证明.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
（1）如图，连接，DB，在长方体中，∵底面ABCD，底面ABCD，∴．又，，∴平面，又平面，
（2）假设存在这样的点E，使得直线AC与平面所成角为45°．设，如图，以D为原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．∴，，．设平面的法向量为，则令，则，．∴平面的一个法向量为．∴，解得．∴存在这样的点E，当时，直线AC与平面所成角为45°．
【变式训练】
在四棱锥中，已知，，，，，，是上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点为上靠近点的三等分点
【分析】
（1）首先证明面，再结合线面垂直的判断定理，证明面；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用，即可求得的值.
(1)
在中：，，所以.
在中：，，，
由余弦定理有：
，所以，所以①
又因为②，由①②，，所以面，所以③.
在中：，，，所以④，由③④，，所以面.
(2)
以为原点，以，，竖直向上分别为、、轴建立直角坐标系.则有，，，，，设，则，，，设为面的法向量，
则有：，解得，设所求线面角为，则有，解得，所以.所以点为上靠近点的三等分点，满足条件.
【题型七】探索性动点型2：二面角
【典例分析】
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱上一点，为的中点，四棱锥的体积为.
（1）若为棱的中点，是的中点，求证：平面平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点位于的靠近点的三等分点.
【分析】
（1）根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）假设存在点满足题意，根据题中条件，先求出的长，再以为坐标原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，得到，，，，设，分别表示出平面与平面的一个法向量，根据向量夹角余弦值，求出，即可得出结果.
【详解】（1）证明：因为、分别是、的中点，所以，
在矩形中，，所以，又因为、分别是、的中点，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面平面.
（2）解：假设棱上存在点满足题意.在等边三角形中，为的中点，于是，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以是四棱锥的高，设，则，，
所以，
所以，
以为坐标原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，设，
，，
设平面的一个法向量为，有，令，则，
易知平面的一个法向量，
所以，因为，所以，
所以存在点，位于的靠近点的三等分点.
【变式训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且正方形ABCD边长为2，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.
【答案】（1）证明见解析；（2）点F为BC中点.
【分析】
（1）先根据线面垂直性质与判定定理得AE⊥BC，再根据等腰三角形性质得AE⊥PB，最后根据线面垂直判定定理得结果；
（2）先建立空间直角坐标系，利用F坐标，结合空间向量数量积求二面角，再根据条件列方程解得结果.
【详解】
（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PA⊥BC，∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，
又PA∩AB=A，PA，AB平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴AE平面PAB，
∴AE⊥BC，∵PA=AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB，又PB∩BC=B，PB，BC平面PBC，
∴AE⊥平面PBC；
（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设正方形ABCD的边长为2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，0，1)，
∴，，，设F(2，λ，0)(0≤λ≤2)，∴，
设平面AEF的一个法向量为，则，∴，
令y1=2，则，∴，设平面PCD的一个法向量为，
则，∴，令y2=1，则，∴
∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，∴，解得λ=1，
∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.
【题型八】翻折中的角度
【典例分析】
如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，，，，，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且．
(1)证明：平面平面EBCD；
(2)已知点P在棱上，且，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】
（1）根据勾股定理证明，再根据线面垂直的判定证明面EBCD，进而得到平面平面EBCD；
（2）以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可
(1)
证明：在等腰梯形ABCD中，，∴，∴
，，，∴，，
在中，知，∵，∵，∴
，EC，面EBCD，，∴面EBCD
∵面，∴面面EBCD
(2)由（1）知面EBCD，∴以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系
∴，，，
设∵，∴，∴，∴设是面CEP的法向量，
∴，∴，令，∴，，
设是面DEP的法向量，∴，∴，∴
令，∴，，
由图知，二面角的余弦值为锐二面角，余弦值
【变式训练】
如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B MD E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．
【答案】(1)(2)不改变，
【分析】（1）首先取的中点为，连接，，再结合线面平行的性质即可得到
（2）利用空间向量法求解即可.
(1)
取的中点为，连接，，因为，，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，又EN∥平面BMD，EN 平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，所以NP＝DE，则DE＝BC，即λ＝.
(2)取的中点，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，
如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，
所以，，设平面的法向量为，则
，即，令，即.
又平面的法向量，所以，
即随着值的变化，二面角的大小不变．且.
所以二面角的正弦值为.
【题型九】角度范围与最值
【典例分析】
在四棱锥中，底面为矩形，平面平面.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】
（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、判定推理作答.
（2）在平面VAB内过V作于O，以O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.
(1)
在四棱锥中，底面为矩形，有，因平面平面，
平面平面，平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
(2)
在平面内过V作于，而平面平面，平面平面，
则平面，在平面内过O作，有两两垂直，
以点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，又，设，于是有，，
因此有，，，而，直线的方向向量，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角大小为，
则有，由于，，，
则，当且仅当，即时取“=”，，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围是.
【变式训练】
1.已知四棱锥的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面．
(1)求证：平面PAD；
(2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】
（1）先由证得CD//平面PAB，再由线面平行的性质得，最后由面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，表示出平面MAD的法向量，求出，由线面角的向量求法结合二次函数求出最小值即可.
(1)
由题意知，因为平面PAB，平面PAB，所以CD//平面PAB．因为平面平面，
平面，所以；因为，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，
CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又，所以平面PAD；
(2)
取AD中点O，连接PO，由△PAD为等腰直角三角形知．又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面平面，平面PAD．所以PO⊥平面ABCD．以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，设，则，则有，，
设平面MAD的一个法向量，则有．即，令有，，
设PC与平面MAD所成角为，则，令，，
则，当即时，有最小值，
即PC与平面MAD所成角正弦值的最小值为.
2.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，.
(1)证明：；
(2)求当面与面所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】
（1）根据直三棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、性质建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积坐标表示公式进行运算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.
(1)因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面，
所以，因为，所以，又，平面，
所以平面.所以两两垂直.
以B为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
所以.
由题设.（1）因为，
所以，所以；
(2)设平面的法向量为，因为，
所以，即.令，则.因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，则.
当时，取最小值为，此时取最大值为，
所以，此时，三棱锥的体积.
【题型十】距离与长度（体积）
【典例分析】
在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．
(1)求证：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】
（1）利用线面平行的判定定理即得；
（2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得.
(1)设PB的中点为G点，连接GF和GE，
因为点G、点F分别为PB和PC的中点，所以且，又且，
所以且，所以四边形GFDE为平行四边形，
所以，又GE平面PBE，DF平面PBE，所以DF∥平面PBE；
(2)由二面角的大小为可知，平面平面，
取BE得中点O，连接，则，平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，所以，
设平面PCD的法向量为，则，令则，又，
所以点A到平面PCD的距离为.
【提分秘籍】 向量计算点到距离公式（棱锥等的高） 方法一：直接法（直接做出高） 方法二：等体积转化法 方法三：建系向量计算法 规律
【变式训练】
1.如图，在直三棱柱中，，，D，分别是BC，的中点，，过点G作，分别交AB，AC于点E，F.
(1)证明；
(2)若二面角的大小是，求三棱柱的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】
（1）先由及证得平面，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，分别求出平面和的法向量，由二面角的大小是解出，再计算体积即可.
(1)
由已知得平面ABC，平面ABC，所以，又AB=AC，D是BC的中点，得，
又，故.因为，AD是平面内的两条相交直线，所以平面，
又平面，所以；
(2)
依题意，又，所以.
由直棱柱性质和题设，两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
设是平面的法向量，，，取，则.
设是平面法向量，，，取，则，因为二面角的大小是，所以，解得，
所以三核柱的体积.
2.如图，在五面体ABCDE中，已知，，且，.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)线段BC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】
（1）证面面垂直，先证其中一个平面内的直线AC垂直另一个平面BCD；
（2）由第一问结论，建立合适的坐标系，用空间向量求解即可.
(1)
取AC中点G，连接EG，因为，，
所以，所以四边形EDCG为平行四边形，所以，
又因为，，所以，所以，
又因为，所以.
因为，BC，CD是平面BCD内的两条相交直线，所以平面BCD，
因为平面ABC，所以平面平面BCD.
(2)
解法一：
在平面BCD内过点C作BC的垂线l，因为平面BCD，
所以l CA，CB两两相互垂直，故以C为坐标原点.
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设在线段BC上存在点，使二面角的余弦值为，
则，，
设平面AEF的法向量.
则，即，不妨令，则，，所以.
设平面ABE的一个法向量为，
则，即
不妨令，，，所以
所以.
化简得：，解得或（舍去），故，所以.
所以存在点F，当时，二面角的余弦值为.
解法二：
取BC AB的中点O H，连接OD，OH，
因为，O是BC中点，所以，
又因为平面BCD，平面平面BCD且交于BC，所以平面ABC，
因为H是AB中点，即，所以，
故DO，OH，BC两两互相垂直，
则以O为坐标原点，，，为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，.
设在线段BC上存在点，使二面角的余弦值为，
则，，.
设平面AEF的一个法向量为，
则，即，不妨令，则，，所以.
又因为，，所以，所以四边形DEHO为平行四边形，
即，因为平面ABC，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以，又因为，H是AB中点，
所以，因为EH，AB为平面ABE内的两条相交直线，所以平面ABE，
故CH是平面ABE的一个法向量，因为，
所以.
化简得：，解得或（舍去），故，所以，
所以存在点F，当时，二面角的余弦值为.
解法三：
取BC AB的中点O H，连接OD，OH，
因为，所以，又因为平面BCD，
平面平面BCD且交于BC，
所以平面ABC.
因为，，所以，所以四边形DEHO为平行四边形，
即，因为平面ABC，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以，又因为，H是AB中点，
所以，因为EH，AB为平面ABE内的两条相交直线，所以平面ABE，
假设在线段BC上存在点F，使二面角的余弦值为，
过F作于点M，则平面ABE，
过M作于点N，连接NF，
则为二面角的平面角.
设，则，，所以，
在中，，
所以.
化简得，解得或（舍去），即，所以，
所以存在点F，当时，二面角的余弦值为
(
分阶培优练
)
培优第一阶——基础过关练
1.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）取PD的中点G，连接CG，EG，则由三角形中位线定理可得，再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF为平行四边形，从而得然后由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由已知可得两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，然后利用空间向量求解即可
(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，
又底面ABCD为菱形，所以，所以，所以四边形EGCF为平行四边形，
所以又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．
(2)解：连接，因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为四边形ABCD为菱形，，所以为等边三角形，因为F为BC的中点，
所以，因为∥，所以，所以两两垂直，
所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．
因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），
则．设平面DEF的法向量，则，令，得．设直线AF与平面DEF所成的角为θ，则，
所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为
2.在直三棱柱中，E，F分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，二面角的余弦值为，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)或
【分析】
（1）取的中点，连接，，依题意可证四边形是平行四边形，
即可得到，从而得证．
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
（1）证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．
（2）解：因为在直三棱柱中，，所以，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为E，F分别是，的中点，，设，则，，，，所以，，．设平面的一个法向量，由得令，则，即．设平面的一个法向量，由得,令，则,即．所以，因为二面角的余弦值为，所以，解得或．所以的长为或．
3.1.如图，三棱柱中，，，平面.
(1)求证：；
(2)若，直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
【分析】
（1）由线面垂直得到线线垂直，再由菱形得到对角线垂直，进而证明线面垂直，线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角.
(1)∵平面，平面∴，∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形.∴，∵，平面，平面∴平面，
∵平面∴.
(2)∵与平面所成角为，平面，
∴，
若，则是正三角形.
令，则，，，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，，，
，令，解得，设平面的一个法向量为，
，即，令，解得，
设二面角的大小为，由图知非钝角，∴.
∴二面角的余弦值为.
4.已知平面四边形，，（如图1所示），现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点，为线段上一点，（如图2所示）．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】
（1）易证，再由平面平面，得到平面，进而得到（2）以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，根据二面角的的余弦值为，求得为线段的中点，然后由求解.
(1)证明：因为，所以为等边三角形，因为为的中点，所以．
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
又平面，所以，又因为平面，所以平面．
(2)如图所示以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，设，则，
设平面的一个法向量为，则，即 ，取，有，
即．平面的一个法向量．设二面角的平面角为，
则，解得，即为中点．此时，
又因为，所以．
培优第二阶——能力提升练
1.如图，四棱锥的底面为矩形，底面ABCD．过AD的平面分别与线段相交于点E，F．
(1)证明：；
(2)若，试问是否存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析，
【分析】
（1）利用线面平行判定定理和性质定理可得答案；
（2）分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出 、平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案．
(1)
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以.
(2)
存在，理由如下，
分别以所在的直线为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，， ，，
设，所以，，
设为平面的一个法向量，
则，，令则，
所以，设直线PB与平面所成角，
所以，
解得，
所以时， 为的中点时，此时存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为，此时，.
2.如图，在直三棱柱中，，∠ABC=90°，D是BC的中点.
(1)求点到面的距离；
(2)试问线段上是否存在点E，使AE与所成角的余弦为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解
（2）设出点坐标，由空间向量列方程求解
(1)
以为原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，设平面的一个法向量为，
故得，又，
故点到面的距离为
(2)
设，则，，
设为异面直线所成的角，
由题意得，
解得（舍去）
故点E存在，
3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．
(1)求证：AA1⊥CD；
(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点.
【分析】（1）取棱的中点O，由题可得，进而可得平面，即得；
（2）利用坐标法，设，利用二面角的向量求法列出方程，即得.
(1)取棱的中点O，连接．因为四边形是菱形，所以，
又因为，所以为等边三角形，所以．因为四边形为正方形且O、D分别是的中点，所以，又平面，所以平面，
因为平面，所以．
(2)因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面．以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．不妨设，则点．
设为平面的一个法向量，则由及，
得，不妨取得．假设棱上（除端点外）存在点M满足题意，
令得，设为平面的一个法向量，
则由及，得，不妨取，得．
由，解得或，
所以存在点M为棱的中点或者为靠近端的八等分点．
4.如图所示，在三棱柱中，，点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，侧面是边长为2的菱形．
(1)若△ABC是正三角形，求异面直线与BC所成角的余弦值；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段BD的长．
【答案】(1)(2)或
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与所成角的余弦值.
（2）结合直线与平面所成的角，利用向量法列方程，化简求得的长.
(1)依题意点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，所以平面，，
由于，所以，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，
当是等边三角形时，，.设直线与所成角为，
则.
(2)设，则，，
设平面的法向量为，则，故可设，
设直线与平面所成角为，则，化简的，解得或，
也即或.
培优第三阶——培优拔尖练
如图（1）所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图（2）所示的四棱锥.四棱锥的体积为，点为线段上的动点（与端点，不重合）.
(1)求证：平面；
(2)探求是否存在大小为的二面角.如果存在，求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】
（1）通过和即可证明；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出.
(1)
在图（1）中，，
所以，即，
则在图（2）中，因为，即，
因为，所以平面；
(2)
因为平面，所以是四棱锥的高，
所以，则，
因为，则可以为原点建立如图空间直角坐标系，
假设存在大小为的二面角，设，又，
所以，
则，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，即，令，则，则，
又，即，令，则，则，
则，解得或（舍去），
因此存在大小为的二面角，此时线段的长度.
2.在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）（2）建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得；
(1)
解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则
(2)解：依题意可得，则，
设平面的法向量为，所以，令，则，
则，显然二面角的锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
3.如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，.
(1)证明：；
(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面，满足，利用换元法结合二次函数的最值即可求解.
(1)
证明：取中点，连接，
因为，所以，且，
所以平面，
又平面，所以.
(2)
连接，则，由，可得，
于是，所以，
又，所以平面，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由，可得，
平面的法向量为，设，则，
设与平面所成角为，则，令，则，令，由对称轴知，当，即时，，，于是直线与平面所成角的正切的最大值为.专题01 空间角度与距离归类
【题型一】线面角基础
【典例分析】
如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．
(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【提分秘籍】 基本规律 直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，）
【变式训练】
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点，
(1)证明：平面.
(2)若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【题型二】二面角基础
【典例分析】
如图，在四棱锥中，是直角三角形，，四边形是等腰梯形，，，.
(1)证明：；
(2)若平面平面，求平面与平面的夹角的正弦值.
【提分秘籍】 基本规律 二面角（法向量的方向角，） 判断正负方法： 观察法； 同进同出互补，一进一出相等；
【变式训练】
如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.
(1)求证：平面；(2)若平面，求二面角的余弦值.
【题型三】异面直线所成的角
【典例分析】
如图所示，是棱长为1的正方体.
(1)设的重心为O，求证：直线平面；
(2)设E F分别是棱 上的点，且，M为棱的中点，若异面直线与EF所成的角的余弦值为，求a的值.
【提分秘籍】 基本规律 （1）、异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角）
【变式训练】
如图，在直三棱柱中，，．，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【题型四】给角求角（值）1：线面角
【典例分析】
如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
【变式训练】
如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【题型五】给角求角（值）2：二面角
【典例分析】
如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面， 点在线段上.
(1)若为的中点， 证明：平面；
(2)若，，若二面角的大小为，试求的值.
【变式训练】
如图，在四棱锥中，，，，，，，都在平面的上方.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
【题型六】探索性动点型1：线面角
【典例分析】
如图，在长方体中，，，E是线段上的动点．
(1)求证：；
(2)是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由．
，，，．∴，，．设平面的法向量为，则令，则，．∴平面的一个法向量为．∴，解得．∴存在这
【变式训练】
在四棱锥中，已知，，，，，，是上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．
【题型七】探索性动点型2：二面角
【典例分析】
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱上一点，为的中点，四棱锥的体积为.
（1）若为棱的中点，是的中点，求证：平面平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【变式训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且正方形ABCD边长为2，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.
【题型八】翻折中的角度
【典例分析】
如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，，，，，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且．
(1)证明：平面平面EBCD；
(2)已知点P在棱上，且，求二面角的余弦值．
【变式训练】
如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B MD E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．
【题型九】角度范围与最值
【典例分析】
在四棱锥中，底面为矩形，平面平面.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.
【变式训练】
1.已知四棱锥的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，平面平面．
(1)求证：平面PAD；
(2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．
2.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，.
(1)证明：；
(2)求当面与面所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥的体积.
【题型十】距离与长度（体积）
【典例分析】
在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．
(1)求证：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．
【提分秘籍】 向量计算点到距离公式（棱锥等的高） 方法一：直接法（直接做出高） 方法二：等体积转化法 方法三：建系向量计算法 规律
【变式训练】
1.如图，在直三棱柱中，，，D，分别是BC，的中点，，过点G作，分别交AB，AC于点E，F.
(1)证明；
(2)若二面角的大小是，求三棱柱的体积.
2.如图，在五面体ABCDE中，已知，，且，.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)线段BC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.
(
分阶培优练
)
培优第一阶——基础过关练
1.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
2.在直三棱柱中，E，F分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，二面角的余弦值为，求的长．
3.1.如图，三棱柱中，，，平面.
(1)求证：；
(2)若，直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
4.已知平面四边形，，（如图1所示），现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点，为线段上一点，（如图2所示）．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
培优第二阶——能力提升练
1.如图，四棱锥的底面为矩形，底面ABCD．过AD的平面分别与线段相交于点E，F．
(1)证明：；
(2)若，试问是否存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
2.如图，在直三棱柱中，，∠ABC=90°，D是BC的中点.
(1)求点到面的距离；
(2)试问线段上是否存在点E，使AE与所成角的余弦为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1为正方形，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C＝60°，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D为棱BB1的中点．
(1)求证：AA1⊥CD；
(2)棱B1C1（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A1M－B1的余弦值为？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
4.如图所示，在三棱柱中，，点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，侧面是边长为2的菱形．
(1)若△ABC是正三角形，求异面直线与BC所成角的余弦值；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段BD的长．
培优第三阶——培优拔尖练
如图（1）所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图（2）所示的四棱锥.四棱锥的体积为，点为线段上的动点（与端点，不重合）.
(1)求证：平面；
(2)探求是否存在大小为的二面角.如果存在，求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由.
2.在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．

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