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专题04 因式分解（28题）
一、单选题
1．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
2．（2024·云南·中考真题）分解因式：（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2024·甘肃·中考真题）因式分解： ．
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ．
5．（2024·浙江·中考真题）因式分解：
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）因式分解： ．
7．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式： ．
8．（2024·北京·中考真题）分解因式： .
9．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ．
10．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ．
11．（2024·山东·中考真题）因式分解： ．
12．（2024·四川遂宁·中考真题）分解因式： ．
13．（2024·四川广安·中考真题）分解因式：＝ ．
14．（2024·四川自贡·中考真题）分解因式： ．
15．（2024·四川内江·中考真题）分解因式： ．
16．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）因式分解： ．
17．（2024·四川广元·中考真题）分解因式： ．
18．（2024·陕西省·中考真题）分解因式：= ．
19．（2024·吉林省中考真题）因式分解：a2﹣3a= ．
20．（2024·四川宜宾·中考真题）分解因式：= ．
21．（2024·四川达州·中考真题）分解因式：3x2﹣18x+27= ．
22．（2024·江苏扬州·中考真题）分解因式： ．
23．（2024·福建省·中考真题）因式分解：x2+x= ．
24．（2024·江苏盐城·中考真题）分解因式：x2+2x+1=
25．（2024·江西省·中考真题）因式分解： ．
三、解答题
26．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）(1)计算：
(2)分解因式：
27．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：
（）（ ）（ ）；
（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
28．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
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专题04 因式分解（28题）
一、单选题
1．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
故选D．
2．（2024·云南·中考真题）分解因式：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．
将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故选：A．
二、填空题
3．（2024·甘肃·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】
．
故答案为：．
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
5．（2024·浙江·中考真题）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，掌握公式法分解因式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
7．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根据多项式的结构特征，先提公因式再利用平方差公式因式分解即可得到答案，综合应用提公因式法因式分解及公式法因式分解是解决问题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
8．（2024·北京·中考真题）分解因式： .
【答案】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】．
故答案为：．
9．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
10．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
11．（2024·山东·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可．
【详解】解：原式，
故答案为： ．
12．（2024·四川遂宁·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答．
【详解】解：
故答案为：
13．（2024·四川广安·中考真题）分解因式：＝ ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
14．（2024·四川自贡·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】根据提取公因式法因式分解进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
15．（2024·四川内江·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】原式提取公因式即可得到结果．
【详解】原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法．
16．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了综合利用提公因式法和公式法分解因式，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）是解题的关键．
17．（2024·四川广元·中考真题）分解因式： ．
【答案】/
【分析】首先利用完全平方式展开，然后合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：．
18．（2024·陕西省·中考真题）分解因式：= ．
【答案】a（a﹣b）．
【详解】解：=a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．
19．（2024·吉林省中考真题）因式分解：a2﹣3a= ．
【答案】a（a﹣3）
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【详解】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为a（a﹣3）．
20．（2024·四川宜宾·中考真题）分解因式：= ．
【答案】
【详解】解：==．
故答案为．
21．（2024·四川达州·中考真题）分解因式：3x2﹣18x+27= ．
【答案】3（x﹣3）2
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
【详解】3x2-18x+27，
=3（x2-6x+9），
=3（x-3）2．
故答案为：3（x-3）2．
22．（2024·江苏扬州·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式，
故答案为：．
23．（2024·福建省·中考真题）因式分解：x2+x= ．
【答案】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可．
【详解】解：
24．（2024·江苏盐城·中考真题）分解因式：x2+2x+1=
【答案】/
【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．
【详解】解：x2+2x+1=（x+1）2，
故答案为：（x+1）2．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．（1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．
25．（2024·江西省·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）．
故答案是a（a+2）．
三、解答题
26．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）(1)计算：
(2)分解因式：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解；
（1）根据算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解；
（2）先提公因式，进而根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
27．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：
（）（ ）（ ）；
（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（），；（）；
(2)
【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解；
（）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．
【详解】（1）（）由规律可得，，
故答案为：，；
（）由规律可得，，
故答案为：；
（2）解：假设，其中均为自然数．
分下列三种情形分析：
若均为偶数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．
故答案为：．
28．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不可能都为整数，理由见解析．
【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解；
（2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可．
【详解】（1）解：因为，
所以．
则
．
因为是实数，所以，
所以为非负数．
（2）不可能都为整数．
理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当都为奇数时，则必为偶数．
又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因为，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
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