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4.5相似三角形判定定理的证明
——九年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1．定理：两角分别相等的两三角形相似．
已知：如图，在 和中，，．求证：．
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
已知：如图，在和中，，．
求证：．
3.求证：三边成比例的两个三角形相似．
如图：已知在和中，，求证：．
二、题目速练
1.已知一个三角形的两个内角分别是和，另一个三角形的两个内角分别是和，则这两个三角形( )
A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.不能确定
2.已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与不相似的是( )
A. B. C. D.
3.如图，点D，E分别在的边AB，AC上，下列条件：①；②；③，其中使与一定相似的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
4.如图，已知，，，则与_________相似.
5.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，.
（1）求证：；
（2）当，时，求AE的长.
6.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，，AG分别交线段DE，BC于点F，G，且.
求证：（1）AG平分；
（2）.
答案及解析
一、知识详解
1.证明：在的边(或它的延长线)上截取，
过点作，交于点．
则，，．
过点作，交于点，则．
∴．
又∵，，
∴四边形是平行四边形．∴．
∴．∴．
∵，，，
∴．
∵，，．
∴．∴．
2.证明：在的边(或它的延长线)上截取，过点做的平行线，交于点，
则，．
∴．∴．
，，
∴．∴．∴．
∵，∴．
∴．
3.证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点作，交于点，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，，
∴，，
在和中
，
∴，
∴．
二、题目速练
1.答案：C
解析：一个三角形的两个内角分别是，，第三个内角是.又另一个三角形的两个内角分别是，，这两个三角形有两个内角相等，这两个三角形相似.故选C.
2.答案：B
解析：A选项，由“两角分别相等的两个三角形相似”可证阴影部分的三角形与相似，故选项A不符合题意；B选项，不能证明阴影部分的三角形与相似，故选项B符合题意；C选项，由“两角分别相等的两个三角形相似”可证阴影部分的三角形与相似，故选项C不符合题意；D选项，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可证阴影部分的三角形与相似，故选项D不符合题意.故选B.
3.答案：C
解析：在和中，，若添加条件①，则根据“两角分别相等的两个三角形相似”可判定，①正确；若添加条件②，则无法判定与相似，②错误；若添加条件③，则根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可判定，③正确.故选C.
4.答案：
解析：，，
，
，，
，
又，.
5.答案：（1）见解析
（2）9
解析：（1）证明：四边形ABCD为菱形，
.，.
又，.
（2），，
，.
6.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：，
，，
.
又，，
，平分.
（2）证明：，，
，.
由（1）知，
，.

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