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1.3正方形的性质与判定
——九年级数学北师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
1.正方形的定义：有 相等并且 是直角的 叫做正方形．
2.正方形既是 又是 ，它既具有 的性质，又有 的性质．
3.正方形的性质∶
①边∶ 都相等且 ；
②角：四个角都是 ；
③对角线：两条对角线互相 且 ，并且每一条对角线平分 ；
④正方形既是 图形，又是 图形，正方形有 对称轴．
4.正方形的判定
① 的菱形是正方形．．
② 的菱形是正方形．
③ 的矩形是正方形．
④ 的矩形是正方形．
二、题目速练
1.一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等
b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等
d.一个角是直角
顺次添加的条件：
①a→c→d
②b→d→c
③a→b→c则正确的是：( )
A.仅① B.仅③ C.①② D.②③
2.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE.若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形
C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形
3.如图，正方形ABCD中，点P在AC上，，，垂足分别为E，F，连接PD，EF，若，则PD的长为( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
4.如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：
①，
②，
③，
④中任选两个作为补充条件，使为正方形.
现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A.②③ B.①③ C.①② D.③④
5.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一些条件使其成为正方形.丽丽同学认为若添加，，可判定四边形ABCD是正方形.她的想法是否正确？若不正确，请给出正确的结论.
答案及解析
一、知识详解
1.一组邻边；有一个角；平行四边形
2.矩形；菱形；矩形；菱形
3.①四边形、对边平行；②直角；③垂直平分、相等、一组对角；④中心对称、轴对称、四条
4.①有一个角是直角；②对角线相等；③有一组邻边；④对角线相互垂直
二、题目速练
1.答案：C
解析：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
正确的有①②；
故选C.
2.答案：A
解析：将长方形纸片折叠，A点落在BC上的F处，.折痕为BE，沿EF剪下，，四边形ABFE为矩形.又，四边形ABFE为正方形.故其数学原理是邻边相等的矩形是正方形.故选A.
3.答案：D
解析：连接PB.在正方形ABCD中，
，.，，，，.，，，四边形是矩形，，，故选D.
4.答案：A
解析：A选项，四边形ABCD是平行四边形，当②时，平行四边形ABCD是矩形，而，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
B选项，四边形ABCD是平行四边形，当①时，平行四边形ABCD是菱形，当③时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
C选项，四边形ABCD是平行四边形，当①时，平行四边形ABCD是菱形，当②时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D选项，四边形ABCD是平行四边形，当③时，平行四边形ABCD是矩形，当④时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意.故选A.
5.答案：不正确
解析：不正确.若要使四边形ABCD是正方形，可先使其成为菱形或者矩形.
当，，时，四边形ABCD为矩形.
再添加条件，可判定四边形ABCD为正方形；
当，，时，四边形ABCD为菱形.
再添加条件，可判定四边形ABCD为正方形.答案不唯一，合理即可.

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