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第03讲 幂函数与二次函数
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 幂函数的定义和性质 (2) 二次函数的图象和性质 2024年I卷，5分 2024年II卷，5分 2024年天津卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5 分 2023年北京卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2020年II卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题填空题为主 （2）重点是幂函数及其图象的变化规律和二次函数的图象和性质（单调性、对称性、顶点、最值等），主要考查幂函数的定义，二次函数的解析式求解，常与对数函数、指数函数结合考察大小比较，求定义域，分段函数单调性，复合函数单调性等.
(
考试要求
小
)
1、通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律；
2、掌握二次函数的图象和性质（单调性、对称性、顶点、最值等）.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 幂函数定义和性质
1、幂函数定义
（1）函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
（2）幂函数的特征：同时满足以下三个条件才是幂函数！
1）的系数为1；
2)的底数是自变量；
3）指数是常数.
2、常见的5种幂函数的图象
3、幂函数的性质
（1）幂函数在上都有定义；
（2）当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增；
（3）当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减；
（4）当为奇数时，为奇函数；
当为偶数时，为偶函数.
知识点2:二次函数
1、二次函数解析式的形式
（1）一般式：
（2）顶点式：，顶点坐标
（3）零点式：为的零点.
2、二次函数的图象和性质
函数
图象
定义域
值域
对称轴
顶点坐标
奇偶性 若是偶函数， 若是非奇非偶函数； 若是偶函数， 若是非奇非偶函数；
单调性 在上单调递减， 在上单调递增； 在上单调递增， 在上单调递减；
知识点:一元二次方程根的分布
1、一元二次方程根的分布可以从以下4个方面进行分析：
（1）开口方向：根据二次项系数的正负判断对应二次函数图象的开口方向；
（2）判别式：根据一元二次方程根的判别式判断根的数量；
（3）对称轴：讨论对应二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系；
（4）边界点的函数值：讨论二次函数在所给区间端点处函数值的正负.
(
题型展示
小
)
题型一:幂函数的定义和性质
【例1】幂函数在区间上单调递增，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【详解】
（1）求出的值
是幂函数，
（2）根据单调性取舍
1），在上单调递增；
2），在上单调递减，舍去；
（3）代入求值
；答案为A.
【变式1】（多选）已知函数为偶函数且在区间上单调递减，则实数的值可以为（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】
【详解】选项代入法
（1）对于直接求解法不太好求解的选择题，可以用选项代入法排除选项，事半功倍：
1），在上不是单调递减，A错；
2），是偶函数，在上是单调递减，B对；
3），是偶函数，在上是单调递减，C对；
4），在上不是单调递减，D错；
答案为BC.
题型二:求二次函数解析式
【例2】已知二次函数满足，且的最大值是8，则该二次函数的解析式为 .
【答案】
【详解】
，根据二次函数的对称性，
对称轴为；
的最大值是8，
开口向下，且顶点为；
顶点式：，
，
.
【变式2】已知二次函数的图象过点，且顶点到轴的距离等于2，则二次函数的解析式为 .
【答案】
【详解】或
二次函数的图象过点，
是二次函数的两个零点，对称轴为，
零点式：；
顶点到轴的距离等于2，
或；
，或
或.
题型三:二次函数的图象和性质
【例3】（2023·全国新Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根绝复合函数单调性：
函数在R上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减；
，解得，的取值范围是；答案为D.
【变式3】已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】
1）当时,,,
的小于0的零点为;
2）当时，,,
无零点;
3）当时, ,,大于2的零点为,
函数的零点的个数为2；答案为A.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·天津）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
和都是单调递增的，
和成立条件都是当且仅当，二者互为充要条件；答案为C.
【真题2】（2024·全国新Ⅰ卷）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
在上单调递增，且时，单调递增，
，，
即的范围是；答案为B.
【真题3】（2023·全国新Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
利用指数型复合函数单调性：
函数在R上单调递增， 在上单调递减，
在上单调递减，
，解得，的取值范围是；答案为D.
【真题4】（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
令，则开口向下，对称轴为，
，而，
，即
由二次函数性质得，
，而，
即，，综上可得，，
又为增函数，故，即.答案为A.
【真题6】（2023·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
对A，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，故A错；
对B，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，故B错；
对C，在上单调递减，在上单调递减，
在上单调递增，故C正确；
对D， ，，
显然在上不单调，D错.答案为C.
【真题7】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对A，为上的减函数，错；
对B，为上的减函数，错；
对C，在为减函数，错；
对D，为上的增函数，符合，答案为D.
【真题8】（2020·江苏）已知是奇函数，当时，，则的值是 .
【答案】
【详解】
， 为奇函数，；答案为.
【真题9】（2020·全国Ⅱ卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由或，
的定义域为，
在上单调递增，
在上单调递增，；答案为D
【真题10】（2019·江苏）函数的定义域是 .
【答案】
【详解】
偶次根式下被开方数非负，
,即，定义域为.
【真题11】（2015·重庆）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由或，答案为D.
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第03讲 幂函数与二次函数
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考纲导向
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 幂函数的定义和性质 (2) 二次函数的图象和性质 2024年I卷，5分 2024年II卷，5分 2024年天津卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5 分 2023年北京卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2020年II卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题填空题为主 （2）重点是幂函数及其图象的变化规律和二次函数的图象和性质（单调性、对称性、顶点、最值等），主要考查幂函数的定义，二次函数的解析式求解，常与对数函数、指数函数结合考察大小比较，求定义域，分段函数单调性，复合函数单调性等.
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考试要求
小
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1、通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律；
2、掌握二次函数的图象和性质（单调性、对称性、顶点、最值等）.
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考点突破考纲解读
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知识点1: 幂函数定义和性质
1、幂函数定义
（1）函数叫做 ，其中是 ，是 .
（2）幂函数的特征：同时满足以下三个条件才是幂函数！
1）的系数为 ；
2)的底数是 ；
3）指数是 .
2、常见的5种幂函数的图象
3、幂函数的性质
（1）幂函数在上都有定义；
（2）当时，幂函数的图象都过点和，且在上 ；
（3）当时，幂函数的图象都过点，且在上 ；
（4）当为奇数时，为 ；
当为偶数时，为偶函数.
知识点2:二次函数
1、二次函数解析式的形式
（1）一般式： ；
（2）顶点式：，顶点坐标 ；
（3）零点式：为的零点.
2、二次函数的图象和性质
函数
图象
定义域
值域 ，
对称轴 ，
顶点坐标 ，
奇偶性 若是偶函数， 若是 ； 若是偶函数， 若是非奇非偶函数；
单调性 在上 ， 在上 ； 在上单调递增， 在上单调递减；
知识点:一元二次方程根的分布
1、一元二次方程根的分布可以从以下4个方面进行分析：
（1）开口方向：根据二次项系数的正负判断对应二次函数图象的开口方向；
（2）判别式：根据一元二次方程根的判别式判断根的数量；
（3）对称轴：讨论对应二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系；
（4）边界点的函数值：讨论二次函数在所给区间端点处函数值的正负.
(
题型展示
小
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题型一:幂函数的定义和性质
【例1】幂函数在区间上单调递增，则等于（ ）
A. B. C. D.
【变式1】（多选）已知函数为偶函数且在区间上单调递减，则实数的值可以为（ ）
A.1 B. C. D.
题型二:求二次函数解析式
【例2】已知二次函数满足，且的最大值是8，则该二次函数的解析式为 .
【变式2】已知二次函数的图象过点，且顶点到轴的距离等于2，则二次函数的解析式为 .
题型三:二次函数的图象和性质
【例3】（2023·全国新Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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考场演练
)
【真题1】（2024·天津）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【真题2】（2024·全国新Ⅰ卷）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2023·全国新Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【真题6】（2023·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【真题7】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2020·江苏）已知是奇函数，当时，，则的值是 .
【真题9】（2020·全国Ⅱ卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题10】（2019·江苏）函数的定义域是 .
【真题11】（2015·重庆）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
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