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/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第04讲 指数与指数函数
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 指数幂的含义和运算性质 (2) 指数函数的图象和性质 2023年I卷，5分 2023年乙卷，5 分 2022年浙江卷，5 分 2022年北京卷，5分 2020年全国卷，5分 2017年全国卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是指数幂的含义和运算性质，指数函数的图象和性质，主要考查指数幂的计算，指数式的大小比较及结合指数函数的图象分析性质，常与幂函数、对数函数、二次函数结合考查函数的性质以及大小比较.
(
考试要求
小
)
1、理解有理数指数幂、实数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质；
2、通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图像；
3、理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:根式
1、若，则叫做的次方根，其中，且；
2、式子叫做的次方根，其中叫做根指数，叫做被开方数；
3、根式运算
（1）
（2）
知识点2:指数幂
1、指数幂
（1）正数的正分数指数幂：
（2）正数的负分数指数幂：
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
2、有理数指数幂的运算性质
（1） （2） （3）
知识点3:指数函数及其性质
1、指数函数定义
函数,且叫做指数函数，其实指数是自变量，是底数，定义域是.
2、指数函数的图像与性质
函数
图象
定义域
值域
定点坐标
函数值特点 当时，， 当时，； 当时，， 当时，；
单调性 在上单调递增； 在上单调递减；
3、指数函数重要结论
（1）指数函数图象的关键点.
（2）函数，恒过点
（3）在第一象限内，指数函数,且的图像越高，底数越大.
(
题型展示
小
)
题型一:指数幂的运算
【例1】计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）19；（2）
【解析】
（1）原式；
（2）原式；
【变式1】计算：
（1）；
（2）.
【答案】
【解析】
（1）原式；
（2）原式.
题型二:指数式大小比较
【例2】已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，，
幂函数在上单调递增，，
指数函数在上单调递增，，
；答案为A.
【变式2】设则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在区间是单调递减函数可知，
，又，；答案为C.
题型三:指数函数的图象与性质
【例3】已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】
的定义域为，
函数 是奇函数，
又在都是单调递增函数，
函数 在R上是增函数．答案为A.
【变式3】方程的解为 .
【答案】2
【解析】
，
，
令，，解得或，
当时，，，而，不合题意，舍去；
当时，，，，，满足条件，
是原方程的解.
(
考场演练
)
【真题1】（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
为偶函数，
，
又不恒为0，可得，即，
，解得.答案为D.
【真题2】（2023·全国新Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
在区间上单调递减，
，的取值范围是；答案为D.
【真题3】（2022·浙江）已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】
，，即，
．答案为C.
【真题4】（2022·北京）已知函数，则对任意实数，有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错；
答案为C．
【真题5】（2020·全国）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
可得，，，答案为B.
【真题6】（2017·全国）设函数则满足的的取值范围是 .
【答案】
【解析】
分类讨论：
（1）当时， 恒成立，即；
（2）当时， 恒成立，即；
（3）当时，，即.
综上，x的取值范围是.
【真题7】（2016·北京）下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A:在区间上为增函数；
B:在区间上先增后减；
C:在区间上为增函数；
D:在区间上为减函数，选D.
【真题8】（2015·江苏）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】
是一个递增函数；；故答案为
【真题9】（2015·山东）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
【答案】
【解析】
对进行分类讨论：
（1）若 ，则 在上为增函数, ，无解；
（2）若 ，则在上为减函数, ，解得，.
【真题10】（2015·福建）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 ．
【答案】
【解析】
函数的图像关于直线对称，，
函数在上是增函数，从而有，
，故的最小值等于.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第04讲 指数与指数函数
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 指数幂的含义和运算性质 (2) 指数函数的图象和性质 2023年I卷，5分 2023年乙卷，5 分 2022年浙江卷，5 分 2022年北京卷，5分 2020年全国卷，5分 2017年全国卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是指数幂的含义和运算性质，指数函数的图象和性质，主要考查指数幂的计算，指数式的大小比较及结合指数函数的图象分析性质，常与幂函数、对数函数、二次函数结合考查函数的性质以及大小比较.
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1、理解有理数指数幂、实数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质；
2、通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图像；
3、理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
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考点突破考纲解读
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知识点1:根式
1、若，则叫做的 ，其中，且；
2、式子叫做的次方根，其中叫做 ，叫做 ；
3、根式运算
（1）
（2）
知识点2:指数幂
1、指数幂
（1）正数的正分数指数幂：
（2）正数的负分数指数幂：
（3）0的正分数指数幂 ，0的负分数指数幂没有意义.
2、有理数指数幂的运算性质
（1） （2） （3）
知识点3:指数函数及其性质
1、指数函数定义
函数,且叫做指数函数，其实指数是 ，是 ，定义域是.
2、指数函数的图像与性质
函数
图象
定义域 ,
值域 ,
定点坐标 ,
函数值特点 当时， ， 当时，； 当时， ， 当时，；
单调性 在上 ； 在上 ；
3、指数函数重要结论
（1）指数函数图象的关键点;
（2）函数，恒过点 ,
（3）在第一象限内，指数函数,且的图像越高，底数 .
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题型展示
小
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题型一:指数幂的运算
【例1】计算：
（1）；
（2）
【变式1】计算：
（1）；
（2）.
题型二:指数式大小比较
【例2】已知则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】设则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型三:指数函数的图象与性质
【例3】已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【变式3】方程的解为 .
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考场演练
)
【真题1】（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【真题2】（2023·全国新Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2022·浙江）已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
【真题4】（2022·北京）已知函数，则对任意实数，有（ ）
A． B． C． D．
【真题5】（2020·全国）设，则（ ）
A． B． C． D．
【真题6】（2017·全国）设函数则满足的的取值范围是 .
【真题7】（2016·北京）下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2015·江苏）不等式的解集为 .
【真题9】（2015·山东）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
【真题10】（2015·福建）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 ．
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