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第05讲 对数与对数函数
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1)对数的概念与运算； (2)对数函数的图象及其性质； (3)反函数的概念. 2024年I卷，5分 2024年甲卷，5分 2024年北京卷，5分 2023年北京卷，5分 2022年乙卷，5 分 2022年天津卷，5 分 2022年浙江卷，5 分 2021年天津卷，5 分 2020年II卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是对数的概念及运算性质和对数函数的图象及其性质，主要考查对数式的计算，对数函数图象的判断和对数函数的单调性和特殊点的运用，常与幂函数、指数函数、二次函数、三角函数结合考查函数的性质； （3）关注幂、指、对大小比较的解题方法，此类题型是新高考的重点，也是难点.
(
考试要求
小
)
1、理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数为底或常用对数；
2、通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性和特殊点；
3、了解指数函数（且）与对数函数（且）互为反函数.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 对数及其性质
1、对数的定义
（1）若,且，则数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数；
（2）真数和零没有对数；
（3）对数式和指数式的互化：,且
2、常用对数与自然对数
以10为底的对数叫做常用对数，记作，即；
以为底的对数叫做自然对数，记作；即.
3、重要的对数恒等式：,且
（1）； （2）； （3）；
4、对数的运算性质：,且
（1）加法：；
（2）减法：；
（3）数乘：
5、对数换底公式：,且且
6、对数运算重要结论
（1） （2）
知识点2:对数函数及其性质
1、对数函数的图像和性质
函数
图象
定义域
值域
定点坐标
函数值特点 当时，， 当时，； 当时，， 当时，；
单调性 在上单调递增； 在上单调递减；
2、对数函数重要结论
（1）在第一象限，不同的对数函数图象从左向右底数逐渐增大；
（2）对数函数,且的图象恒过定点：；
（3）函数，恒过点：.
知识点3:反函数
1、反函数的定义
（1）设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数，则称函数是的反函数，记作;
（2）在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成的形式；函数与函数为同一函数，因为定义域都是，对应法则都是；
（3）由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域；
2、反函数存在的条件
（1）一一映射存在反函数；
（2）单调函数一定存在反函数；
（3）并不是每个函数都存在反函数，有些函数没有反函数，如.
3、反函数的求法
（1）确定反函数的定义域，即原函数的值域；
（2）从原函数式中反解出;
（3）将改写成，并注明反函数的定义域.
4、反函数的性质
（1）原函数与反函数的图象关于直线对称；
（2）函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；
（3）若在原函数的图象上，则点在反函数的图象上；
（4）一般地，函数要有反函数，它必须为单调函数；
（5）.
5、指数函数,且与对数函数,且互为反函数，它们的图象关于直线对称.
(
题型展示
小
)
题型一:对数的运算
【例1】若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
，，
.答案为C.
【变式1】计算：
（1） .
（2）若，则 ．
【答案】（1），（2）；
【解析】
（1）原式；
（2），，.
题型二:对数函数的图象
【例2】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如下图所示，画出的函数图象，交点为，
∴不等式的解集为，答案为C．
【变式2】（2024·北京）已知,是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
不妨设，函数是增函数，
，即，
对AB：可得，即，
函数是增函数，，故B正确，A错；
对D：例如，则，
可得，即，故D错；
对C：例如，则，
可得，即，故C错，
答案为B.
题型三:对数函数的性质
【例3】设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】
得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.答案为D.
【变式3】（2015·上海）方程的解为 .
【答案】2
【解析】
，
，
令，，解得或，
当时，，，而，不合题意，舍去；
当时，，，，，满足条件，
是原方程的解.
(
考场演练
)
考点1 对数运算
【真题1】（2024·全国甲卷）已知且，则 ．
【答案】64
【解析】
，
或，又，
，故；答案为64.
【真题2】（2023·北京）已知函数，则 ．
【答案】1
【解析】
；答案为1.
【真题3】（2022·天津）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
原式，答案为B
【真题4】（2022·浙江）已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】
，，即，
．答案为C.
【真题5】（2022·全国乙卷）若是奇函数，则 ， ．
【答案】；．
【解析】
方法1 奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数有意义，则且
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，由得，，，故答案为：；．
方法2 函数的奇偶性求参
函数为奇函数
【真题6】（2021·天津）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
，，
.答案为C.
【真题7】（2020·全国）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
可得，，，答案为B.
【真题8】（2018·全国）已知函数，若，则 ．
【答案】-7
【解析】
，，故答案是.
【真题9】（2016·浙江）已知a＞b＞1.若，则 ， .
【答案】，.
【解析】
设，
，
【真题10】（2015·浙江）计算： ， ．
【答案】.
【解析】
；.
【真题11】（2015·四川） .
【答案】2
【解析】
考点2 对数函数图象及其性质
【真题1】（2024·北京）已知,是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
不妨设，函数是增函数，
，即，
对AB：可得，即，
函数是增函数，，故B正确，A错；
对D：例如，则，
可得，即，故D错；
对C：例如，则，
可得，即，故C错，
答案为B.
【真题2】（2024·全国新Ⅰ卷）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，，
即的范围是.答案为B.
【真题3】（2020·全国新Ⅱ卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由或
的定义域为
在上单调递增
在上单调递增
；答案为D
【真题4】（2020·全国）设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】
得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.答案为D.
【真题5】（2020·北京）函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】
由题意得，故答案为：
【真题6】（2015·重庆）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由或，答案为D.
【真题7】（2015·四川）设，都是不等于的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
（1）证充分性
若，则，，故为充分条件.
（2）证必要性
若不一定有，比如.，不成立.答案为B.
【真题8】（2015·湖北）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
即函数的定义域为，答案为C．
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第05讲 对数与对数函数
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1)对数的概念与运算； (2)对数函数的图象及其性质； (3)反函数的概念. 2024年I卷，5分 2024年甲卷，5分 2024年北京卷，5分 2023年北京卷，5分 2022年乙卷，5 分 2022年天津卷，5 分 2022年浙江卷，5 分 2021年天津卷，5 分 2020年II卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是对数的概念及运算性质和对数函数的图象及其性质，主要考查对数式的计算，对数函数图象的判断和对数函数的单调性和特殊点的运用，常与幂函数、指数函数、二次函数、三角函数结合考查函数的性质； （3）关注幂、指、对大小比较的解题方法，此类题型是新高考的重点，也是难点.
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考试要求
小
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1、理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数为底或常用对数；
2、通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性和特殊点；
3、了解指数函数（且）与对数函数（且）互为反函数.
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考点突破考纲解读
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考点梳理
小
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知识点1: 对数及其性质
1、对数的定义
（1）若,且，则数叫做以为底的对数，记作 ，其中叫做对数的 ，叫做 ；
（2）真数和零没有对数；
（3）对数式和指数式的互化：,且
2、常用对数与自然对数
以10为底的对数叫做 ，记作 ，即；
以为底的对数叫做 ，记作 ；即.
3、重要的对数恒等式：,且
（1）； （2）； （3）；
4、对数的运算性质：,且
（1）加法： ；
（2）减法：；
（3）数乘：
5、对数换底公式：,且且
6、对数运算重要结论
（1） （2）
知识点2:对数函数及其性质
1、对数函数的图像和性质
函数
图象
定义域 ，
值域 ，
定点坐标 ，
函数值特点 当时， ， 当时，； 当时， ， 当时，；
单调性 在上 ； 在上 ；
2、对数函数重要结论
（1）在第一象限，不同的对数函数图象从左向右底数 ；
（2）对数函数,且的图象恒过定点：；
（3）函数，恒过点： .
知识点3:反函数
1、反函数的定义
（1）设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数，则称函数是的反函数，记作;
（2）在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成的形式；函数与函数为同一函数，因为定义域都是 ，对应法则都是 ；
（3）由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的 ；函数的值域正好是它的反函数的 ；
2、反函数存在的条件
（1）一一映射存在反函数；
（2）单调函数一定存在反函数；
（3）并不是每个函数都存在反函数，有些函数没有反函数，如.
3、反函数的求法
（1）确定反函数的定义域，即原函数的值域；
（2）从原函数式中反解出;
（3）将改写成，并注明反函数的定义域.
4、反函数的性质
（1）原函数与反函数的图象关于直线 对称；
（2）函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；
（3）若在原函数的图象上，则点在反函数的图象上；
（4）一般地，函数要有反函数，它必须为单调函数；
（5）.
5、指数函数,且与对数函数,且互为 ，它们的图象关于直线对称.
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题型展示
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题型一:对数的运算
【例1】若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1】计算：
（1） .
（2）若，则 ．
题型二:对数函数的图象
【例2】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·北京）已知,是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三:对数函数的性质
【例3】设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【变式3】方程的解为 .
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考场演练
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考点1 对数运算
【真题1】（2024·全国甲卷）已知且，则 ．
【真题2】（2023·北京）已知函数，则 ．
【真题3】（2022·天津）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【真题4】（2022·浙江）已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
【真题5】（2022·全国乙卷）若是奇函数，则 ， ．
【真题6】（2021·天津）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【真题7】（2020·全国）设，则（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2018·全国）已知函数，若，则 ．
【真题9】（2016·浙江）已知a＞b＞1.若，则 ， .
【真题10】（2015·浙江）计算： ， ．
【真题11】（2015·四川） .
考点2 对数函数图象及其性质
【真题1】（2024·北京）已知,是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【真题2】（2024·全国新Ⅰ卷）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2020·全国新Ⅱ卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2020·全国）设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【真题5】（2020·北京）函数的定义域是 ．
【真题6】（2015·重庆）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【真题7】（2015·四川）设，都是不等于的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【真题8】（2015·湖北）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
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