资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第07讲 函数与方程
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 函数的零点与方程的解 (2) 函数零点存在定理 (2) 函数零点的判断与求解 2024年I卷，5分 2024年Ⅱ卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5分 2022年天津卷，5分 2022年北京卷，5分 2021年天津卷，5分 2020年天津卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题和填空题为主，考查难度均变化较大，常作为压轴小题出现，需要重点理解复习. （2）重点是函数的零点与方程的解的理解，函数零点存在定理以及函数零点的判断和求解方法；主要考查判断函数零点的所在区间，判断函数零点个数与求解及运用函数零点求参数，常与幂函数、二次函数、指数函数、对数函数结合成分段函数或复合函数的形式来出题.
(
考试要求
小
)
1、理解函数的零点与方程的解的联系；
2、理解函数零点存在定理，并能简单应用；
3、了解二分法求方程的近似解.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:函数的零点和方程的解
1、函数零点的定义
对一般的函数，把使得的实数叫做函数的零点.
2、函数零点与方程实数解的关系
方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点.
3、函数零点存在定理
若函数在区间上的图象时一条连续不断的曲线，且有，则函数在区间内至少有一个零点，即存在使得，其中也就是方程的解.
4、零点有关重要结论
（1）若连续不断的函数是定义域内的单调函数，则至多有一个零点；
（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
知识点2:二分法
1、二分法
对于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
知识点3:函数零点问题求解方法步骤
1、函数零点的求解与判断方法包括：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2、已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
(
题型展示
小
)
题型一:判断函数零点所在区间
【例1】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，，
由零点存在性定理可得零点所在区间为，答案为C.
【变式1】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
项均不是偶函数，排除，
项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，答案为A.
题型二:判断函数零点个数
【例2】已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】
（1）当时,，
的小于零的零点为;
（2）当时，，
无零点;
（3）当时, , 大于2的零点为；
函数的零点的个数为2；答案为A.
【变式2】函数的零点个数为_________．
【答案】
【详解】
函数的零点个数方程的根的个数，
即函数与的图象交点个数；
分别画出其函数图像如下图所示，
由图可知，函数与的图象有2个交点．
题型三:运用零点求参数
【例3】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
有两个零点，
有两个零点，即与的图象有两个交点，由可得，或；
（1）当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意；
（2）当时，由于函数在定义域上单调递增，不符；
（3）当时，函数单调递增，不符；
（4）时，单调递增，不符；
（5）当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点
综上可得，或故答案为.
【变式3】已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】
函数在R上单调递减
；
方程恰有两个不相等的实数解，
，的取值范围是.
(
考场演练
)
一、单选题
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】
函数的的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.答案为C
【真题2】（2024·全国新Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】
方法1：
令，即，可得，
令，
原题等价于当时，曲线与恰有一个交点；
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得；
若，令，可得
，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
符合题意；综上所述：.
方法2：
令，
原题意等价于有且仅有一个零点；
，则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得；
若，则，
又当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，符合题意；答案为D.
【真题3】（2024·全国新Ⅱ卷）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【详解】
对A，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A错；
对B，显然，B正确；
对C，根据周期公式，的周期均为，C正确；
对D，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D错；答案为BC
【真题4】（2021·天津）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
最多有2个根，至少有4个根，
由，
由，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，有2个零点；
若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
解得a的取值范围是.
【真题5】（2020·天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
，要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
令，即与的图象有个不同交点.
，
当时，此时，如图1，与有个交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.答案为D.
【真题6】（2019·全国）函数在的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
由，得或，，．
在的零点个数是3；答案为B．
【真题7】（2019·浙江）已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．答案为．
【真题8】（2018·全国）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，也就是函数有两个零点，
此时满足，即，答案为C.
二、填空题
【真题9】（2024·全国甲卷）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】
令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
曲线与在上有两个不同的交点，
等价于与有两个交点，.
故答案为.
【真题10】（2023·全国新Ⅰ卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
【真题11】（2022·天津）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】
设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不符题意；
②当时，设函数的两个零点分别为，
要使得函数至少有个零点，则，
；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，符合题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，又.
综上，实数的取值范围是.故答案为：.
【真题12】（2022·北京）若函数的一个零点为，则 ； ．
【答案】1；.
【详解】
∵，∴
∴
；故答案为：1，
【真题13】（2019·江苏）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .
【答案】.
【详解】
当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.
当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.
当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；
当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【真题14】（2018·全国）函数在的零点个数为 ．
【答案】
【详解】
方法1
由题可知，或
解得,或故有3个零点．故答案为：．
方法2
令，即，解得，，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3．
故答案为：．
【真题15】（2018·浙江）已知，函数f(x)=，当λ=2时，不等式的解集是 ．若函数恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
【答案】；.
【详解】
由题意得或，或，
即，不等式的解集是
当时，，，即在上有两个零点；
当时，，在上只能有一个零点.
综上，的取值范围为.
【真题16】（2018·天津）已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】
分类讨论：
当时，方程即，
整理可得：， 不是方程的实数解，，
当时，方程即，
不是方程的实数解，，
令，其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移规律绘制函数图象，并作函数的图象如图所示，
考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.
【真题17】（2017·江苏）设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 .
【答案】8
【详解】
由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，，
不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，
方程的解的个数为8．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第07讲 函数与方程
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 函数的零点与方程的解 (2) 函数零点存在定理 (2) 函数零点的判断与求解 2024年I卷，5分 2024年Ⅱ卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5分 2022年天津卷，5分 2022年北京卷，5分 2021年天津卷，5分 2020年天津卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题和填空题为主，考查难度均变化较大，常作为压轴小题出现，需要重点理解复习. （2）重点是函数的零点与方程的解的理解，函数零点存在定理以及函数零点的判断和求解方法；主要考查判断函数零点的所在区间，判断函数零点个数与求解及运用函数零点求参数，常与幂函数、二次函数、指数函数、对数函数结合成分段函数或复合函数的形式来出题.
(
考试要求
小
)
1、理解函数的零点与方程的解的联系；
2、理解函数零点存在定理，并能简单应用；
3、了解二分法求方程的近似解.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:函数的零点和方程的解
1、函数零点的定义
对一般的函数，把使得的 叫做函数的零点.
2、函数零点与方程实数解的关系
方程有 函数有 函数的图象与轴有 .
3、函数零点存在定理
若函数在区间上的图象时一条 的曲线，且有 ，则函数在区间 内至少有一个零点，即存在使得，其中也就是方程的解.
4、零点有关重要结论
（1）若连续不断的函数是定义域内的单调函数，则至多有一个零点；
（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持 .
知识点2:二分法
1、二分法
对于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有 的函数，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到 的方法叫做二分法.
知识点3:函数零点问题求解方法步骤
1、函数零点的求解与判断方法包括：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其 的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2、已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
(
题型展示
小
)
题型一:判断函数零点所在区间
【例1】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
题型二:判断函数零点个数
【例2】已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】函数的零点个数为_________．
题型三:运用零点求参数
【例3】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ．
【变式3】30．（2016·天津）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 .
(
考场演练
)
一、单选题
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【真题2】（2024·全国新Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【真题3】（2024·全国新Ⅱ卷）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【真题4】（2021·天津）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【真题5】（2020·天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【真题6】（2019·全国）函数在的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【真题7】（2019·浙江）已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【真题8】（2018·全国）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【真题9】（2024·全国甲卷）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【真题10】（2023·全国新Ⅰ卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【真题11】（2022·天津）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【真题12】（2022·北京）若函数的一个零点为，则 ； ．
【真题13】（2019·江苏）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .
【真题14】（2018·全国）函数在的零点个数为 ．
【真题15】（2018·浙江）已知，函数f(x)=，当λ=2时，不等式的解集是 ．若函数恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
【真题16】（2018·天津）已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 .
【真题17】（2017·江苏）设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑