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第08讲 函数模型及其应用
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 指、对、幂函数模型的性质 (2) 常用的函数模型 2024年北京卷，5分 2022年北京卷，5分 2021年甲卷，5分 2019年北京卷，5分 2017年北京卷，5 分 （1）本讲题型以选择题、填空题为主，考查内容、题型、变化不大，考查频率不高. （2）重点是指、对、幂函数模型的性质 和常用的函数模型，主要考查函数模型的匹配，已知函数模型和构造函数模型求解实际问题，常与指数函数、幂函数、对数函数、二次函数的图象和性质结合.
(
考试要求
小
)
1、了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异；
2、理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义；
3、能选择合适的函数模型刻画现实问题变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 指、对、幂函数模型的性质
1、指、对、幂函数模型的性质
函数
在上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随着的增大逐渐表现为与轴平行 随着的增大逐渐表现为与轴平行 随值的变化而各有不同
知识点2: 常用的函数模型
2、常用的函数模型
函数模型 函数解析式
（1）一次函数模型 为常数,
（2）二次函数模型 为常数,
（3）反比例函数模型 为常数,
（4）指数函数模型 为常数,且
（5）对数函数模型 为常数,且
（6）幂函数模型 为常数,
(
题型展示
小
)
题型一:匹配函数模型
【例1】有一组实验数据如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　)
A． B. C. D.
【答案】D
【解析】
将各点(x，y)分别代入各函数可知，
最能体现这组数据关系的函数模型是；答案为D．
【变式1】某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后，每毫升血液中的含药量为0.5微克
D．注射一次，治疗该病的有效时间长度为小时
【答案】ACD
【解析】
将点的坐标代入，可得，
将点的坐标代入可得，解得，
，A正确；
当时，由可得，此时；
当时，由可得，此时；
故不等式的解集为，注射一次治疗该病的有效时间长度为（小时），B错，D正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为（微克），C正确；答案为ACD.
题型二:已知函数模型求实际问题
【例2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中L表示鲑鱼的耗氧量的单位数，则当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量的单位数为___________.
【答案】8100
【解析】
鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，
当一条鲑鱼以的速度游动时，，
，．
【变式2】某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下________%的污染物．
【答案】10
【解析】
设初始污染物数量为P′，则两式相除得e3k＝3；
8 h后P＝P0·e－8k＝e－3k·P0·e－5k＝·P′＝P′，即还剩下×100%＝10%的污染物．
题型三:构造函数模型求实际问题
【例3】某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使得一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，费用之和有最小值 B．当时，费用之和有最小值
C．最小值为850万元 D．最小值为360万元
【答案】BD
【解析】
一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，
运费是9万元/次，一年的总储存费用为万元，
一年的总运费与总储存费用之和为，，当且仅当，即时，等号成立，
当时，一年的总运费与总储存费用之和最小为万元；答案为BD.
【变式3】农业农村部发布2023年农区蝗虫防控技术方案．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)（ ）
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
【答案】A
【解析】
由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%，
设经过n天后蝗虫数量达到原来的1 200倍，则＝1 200，
∴1.06n＝1 200，∴n＝log1.061 200＝≈121.614，
∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1 200倍；答案为A．
(
考场演练
)
【真题1】（2024·北京）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题意得，则，
即，.答案为D.
【真题2】（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
当，时，，二氧化碳处于固态，A错；
当，时，，二氧化碳处于液态，B错；
当，时，与4非常接近，二氧化碳处于固态，对应非超临界状态，C错；
当，时，, 二氧化碳处于超临界状态，故D正确；答案为D.
【真题3】（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】
由，当时，，
则.答案为C.
【真题4】（2019·北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D. 10-10.1
【答案】A
【解析】
两颗星的星等与亮度满足,令,
.答案为A.
【真题5】（2017·北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【答案】D
【解析】
设，两边取对数，，
，即最接近；答案为D.
【模拟6】（2024杭州）著名数学家 物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，若物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：℃）满足：.若常数，空气温度为 ，则某物体的温度从 下降到 ，大约需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．25分钟 B．24分钟 C．23分钟 D．22分钟
【答案】D
【解析】
由题意可得，，，
，，即，
（分钟）,即大约需要的时间为22分钟；答案为．
【模拟7】（2024天津）农业农村部发布2023年农区蝗虫防控技术方案．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)（ ）
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
【答案】A
【解析】
由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%，
设经过n天后蝗虫数量达到原来的1 200倍，则＝1 200，
∴1.06n＝1 200，∴n＝log1.061 200＝≈121.614，
∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1 200倍；答案为A．
【模拟8】（2024北京）人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）
A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1 000倍
【答案】B
【解析】
设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为，，
根据题意得＝，解得，，解得，
，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍；故选B.
【模拟9】（2024莆田）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下________%的污染物．
【答案】10
【解析】
设初始污染物数量为P′，则两式相除得e3k＝3；
8 h后P＝P0·e－8k＝e－3k·P0·e－5k＝·P′＝P′，即还剩下×100%＝10%的污染物．
【模拟10】（2024武汉）我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w、厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为w，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n有下列关系：n≤log2(参考数据：lg 2≈0.3)，根据以上信息，一张长为21 cm，厚度为0.05 mm的纸最多能对折______次．
【答案】8
【解析】
由题知，n≤log24 200＝＝；
log210＝≈，0＜log2＜1，n≤8＋log2，n的最大值为8.
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第08讲 函数模型及其应用
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考纲导向
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 指、对、幂函数模型的性质 (2) 常用的函数模型 2024年北京卷，5分 2022年北京卷，5分 2021年甲卷，5分 2019年北京卷，5分 2017年北京卷，5 分 （1）本讲题型以选择题、填空题为主，考查内容、题型、变化不大，考查频率不高. （2）重点是指、对、幂函数模型的性质 和常用的函数模型，主要考查函数模型的匹配，已知函数模型和构造函数模型求解实际问题，常与指数函数、幂函数、对数函数、二次函数的图象和性质结合.
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考试要求
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1、了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异；
2、理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义；
3、能选择合适的函数模型刻画现实问题变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
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考点突破考纲解读
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考点梳理
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知识点1: 指、对、幂函数模型的性质
1、指、对、幂函数模型的性质
函数
在上的单调性 单调递增 ， 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随着的增大逐渐表现为与 平行 随着的增大逐渐表现为与 平行 随值的变化而各有不同
知识点2: 常用的函数模型
2、常用的函数模型
函数模型 函数解析式
（1）一次函数模型 为常数,
（2）二次函数模型 为常数,
（3）反比例函数模型 为常数,
（4） 模型 为常数,且
（5）对数函数模型 为常数,且
（6） 模型 为常数,
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题型展示
小
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题型一:匹配函数模型
【例1】有一组实验数据如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　)
A． B. C. D.
【变式1】某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后，每毫升血液中的含药量为0.5微克
D．注射一次，治疗该病的有效时间长度为小时
题型二:已知函数模型求实际问题
【例2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中L表示鲑鱼的耗氧量的单位数，则当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量的单位数为___________.
【变式2】某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下________%的污染物．
题型三:构造函数模型求实际问题
【例3】某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使得一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，费用之和有最小值 B．当时，费用之和有最小值
C．最小值为850万元 D．最小值为360万元
【变式3】农业农村部发布2023年农区蝗虫防控技术方案．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)（ ）
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
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考场演练
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【真题1】（2024·北京）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【真题2】（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【真题3】（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【真题4】（2019·北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D. 10-10.1
【真题5】（2017·北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【模拟6】（2024杭州）著名数学家 物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，若物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：℃）满足：.若常数，空气温度为 ，则某物体的温度从 下降到 ，大约需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．25分钟 B．24分钟 C．23分钟 D．22分钟
【模拟7】（2024天津）农业农村部发布2023年农区蝗虫防控技术方案．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)（ ）
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
【模拟8】（2024北京）人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）
A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1 000倍
【模拟9】（2024莆田）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下________%的污染物．
【模拟10】（2024武汉）我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w、厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为w，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n有下列关系：n≤log2(参考数据：lg 2≈0.3)，根据以上信息，一张长为21 cm，厚度为0.05 mm的纸最多能对折______次．
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