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（2）函数与导数
——2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】
易混重难知识
1.函数的奇偶性
（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
（2）确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.
（3）对于偶函数而言，有.
2.幂函数的性质
幂函数
定义域 R R R
值域 R R
单调性 增 在上 单调递增， 在上 单调递减 增 增 在上 单调递增， 在上 单调递减
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
公共点 都经过点
3.指数函数的图象和性质
图象
性质 定义域 R
值域
过定点 ，即时，
单调性 减函数 增函数
奇偶性 非奇非偶
4.对数函数的图象和性质
图象
定义域
值域 R
单调性 减函数 增函数
过定点 过定点，即时，
5.函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
6.用导数求函数的单调区间的方法：
（1）当不等式或可解时，确定函数的定义域，解不等式或求出单调区间.
（2）当方程可解时，确定函数的定义域，解方程，求出实数根，把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定在各个区间内的符号，从而确定单调区间.
（3）不等式或及方程均不可解时求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号，得单调区间.
7.已知函数单调性，求参数范围的方法：
（1）利用集合间的包含关系处理：在上单调，则区间是相应单调区间的子集.
（2）转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”.
（3）可导函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围.
8.已知函数求极值：求求方程的根，列表检验在的根的附近两侧的符号，下结论.
9.求函数在上的最大值和最小值的步骤：
（1）若所给的闭区间不含参数，
①求函数在内的极值；
②求函数在区间端点的函数值，；
③将函数的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若所给的闭区间含有参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.
易错试题提升
1.定义在R上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
3.若，，，则( )
A. B. C. D.
4.若函数有4个零点，则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）( )
A.4分钟 B.5分钟 C.6分钟 D.7分钟
7.若存在正实数x，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为( )
A. B. C. D.
8.设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.（多选）奇函数与偶函数的定义域均为R，且满足，则下列判断正确的是( )
A. B.
C.在R上单调递增 D.的值域为
10.（多选）给定函数.下列说法正确的是( )
A.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
B.函数的图象与x轴有两个交点
C.当时，方程有两个不同的根
D.若方程只有一个根，则
11.已知函数则的值为__________.
12.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主 自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是_______年.参考数据：.
13.对任意，函数恒成立，求a的取值范围______________.
14.已知函数.
（1）若，求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则.
15.已知函数，其中实数.
（1）当时，求函数的单调性；
（2）若函数有唯一零点，求实数a的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，即，
从而，得，
所以以4为周期的周期函数，
，
，
所以.
故选：A.
2.答案：B
解析：，则的定义域为R，
又，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
当时，，故排除A.
故选：B.
3.答案：C
解析：因为，，
所以只需比较a与b的大小即可.
因为，
所以
故选：C
4.答案：B
解析：当时，令，即，即，
因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示，
所以时，函数只有一个零点，
又由函数有4个零点，
所以时，方程有三个零点，如图所示，
因为，可得，则满足，
解得，即实数的取值范围为.
故选：B.
5.答案：D
解析：点在幂函数的图象上，
，，
，在上单调递减，
，，，
，
，即
故选：D.
6.答案：C
解析：根据题意可知，，，
因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即，，
所以，解得，则，
所以要使得该茶降至，即，则有，
得，
故，
所以大约需要等待6分钟.
故选：C.
7.答案：C
解析：当时，
.
设，则对恒成立，
则在上单调递增，则
.
设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值，故，因此实数a的最大值为.故选C.
8.答案：A
解析：，，
由是“有源”函数定义知，存在，使得，即有解，
记，所以a的取值范围是就是函数的值域，
则，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以，所以，
即a的取值范围是.
故选：A
9.答案：BCD
解析：因为为奇函数，为偶函数，所以，
因为①，所以，即②，
所以由①②解得，故B正确；
，故A错误；
在R上单调递增，在R上单调递减，则在R上单调递增，故C正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以的值域为，所以D正确.
故选：BCD.
10.答案：AC
解析：.当时，，单调递淢，当时，，单调递增，故A正确.，，时，，因此只在上有一个点，即的图象与x轴只有一个交点，故B不正确.上面讨论知，当时，单调递减，，当时，单调递增，作出的大致图象和直线（如图），知当时，方程有两个不同的根，故C正确.
若方程只有一个根，则或，故D不正确.
11.答案：3
解析：，
，
所以.
12.答案：2026
解析：设还需要n年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
根据题意可得，
故，所以，解得，
所以还需要6年，即2026年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
故答案为：2026
13.答案：
解析：由题意得，
因为，所以，
即，
令，则恒成立，
，
令得，，单调递增，
令得，，单调递减，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
因为，，所以恒成立，故，
当时，，此时满足恒成立，
当，即时，由于在上单调递增，
由得，
令，，
则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
故，，
a的取值范围是.
故答案为：.
14.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1），令，则.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以在处取得最小值e，故.
于是等价于在上恒成立，即在上恒成立.
又显然是增函数，故.
所以实数a的取值范围为.
（2）证明：由（1）可得有两个零点，等价于在上有一个零点，即，
此时，有两个解，，不妨设，则，
所以两式相除，可得，
故，即，
故.
令，故.
因为恒大于0，故只需考虑的正负.
记，故，
故在上单调递增.
又当时，，所以，故，故.
15.答案：（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）
解析：（1），，
.
令，
，
在上单调递增，即在上单调递增.
，令，则，
令，则，在上单调递减，在上单调递增.
（2），
，令，
则，
在上单调递增，即在上单调递增.
设，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，，即，
，
又，
存在唯一的，使得，即①.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，.
又函数有唯一的零点，
，即②.
由①②得，即.
令，
则.
，
函数在上单调递减，在上单调递增，而，则.
代入①得.综上，.

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