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（5）数列
——2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】
易混重难知识
1.等差数列通项公式：.
2.等差中项公式：.
3.等差数列前n项和公式：.
4.等差数列的性质：
已知数列是等差数列，是的前n项和.
（1）若，则有.
（2）等差数列的单调性：当时，是递增函数；当时，是递减函数；当时，是常数列.
（3）若是等差数列，公差为d，则是公差为的等差数列.
（4）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，其公差是的公差的.
（5）若是等差数列，分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则成等差数列，公差为（d为数列的公差）.
5.等比数列通项公式：.
6.等比中项公式：.
7.等比数列前n项和公式：.
8.等比数列的前n项和的性质：
（1）当（或且k为奇数）时，是等比数列.
（2）若，则成等比数列.
（3）若数列的项数为2n，与分别为偶数项与奇数项的和，则；若项数为，则.
易错试题提升
1.已知数列的前n项和，则的值为( ).
A.15 B.37 C.27 D.64
2.已知等比数列的公比为q，前n项和，若，则( )
A.13 B.15 C.31 D.33
3.已知数列是等差数列，若，，则等于( )
A. B. C. D.
4.设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则( )
A.15 B.1 C. D.
5.山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间、次间、梢间、尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为a，则该宝殿9间的总宽度为( )
A. B. C. D.
6.已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数m，n都有，且，则( )
A. B. C. D.
7.数列满足，，若，且数列的前n项和为，则( )
A.64 B.80 C.-64 D.-80
8.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是( )
A.
B.7阶幻方第4行第4列的数字可以为25
C.8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260
D.9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396
9.（多选）已知等差数列，其前n项和为，若，则下列结论正确的是( )
A. B.使的n的最大值为16
C.公差 D.当时最大
10.（多选）已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则下列说法正确的是( )
A.为等比数列 B.为等差数列
C.若，则 D.若，则
11.设为等差数列的前n项和，且，，则______.
12.记为等比数列的前n项和.若，则______________.
13.已知数列的前n项和为，首项且，若对恒成立，则实数的取值范围是______________.
14.已知数列满足，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
15.为数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得，，故选：B.
2.答案：B
解析：是等比数列，，
故，等比数列的前n项和，
又，故，，
则，，，.故选：B.
3.答案：C
解析：因为是等差数列，所以，，
可得，，所以.故选：C.
4.答案：D
解析：设等差数列的公差为.
，，解得：，.
，.
.故选：D.
5.答案：D
解析：由题意，设明间的宽度a为等比数列的首项，从明间向右共5间（包括明间），宽度成等比数列，公比为，同理从明间向左（包括明间）共5间，宽度成等比数列，公比为.
则由可得，
所以总宽度为，故选D.
6.答案：A
解析：因为正数的数列满足对任意的正整数m，n都有，
取，可得，即，
可得数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
又因为，可得，
则.
故选：A.
7.答案：C
解析：数列满足，，
则，
可得数列是首项为1、公差为1的等差数列，
即有，即为，
则，
则
.
故选：C.
8.答案：D
解析：根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为.
对于A，，A正确；
对于B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字可以为该数列的中间值，即，B正确；
对于C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，C正确；
对于D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，D错误.
故选D.
9.答案：ACD
解析：等差数列，，
又，，
，A正确.
，C正确.
，，，
使的n的最大值为15.B错误.
，，当，，，
所以当时最大.D正确.
故选：ACD.
10.答案：ABD
解析：对于A，，故为公比为的等比数列，故A正确；
对于B，，所以是公差为的等差数列，故B正确；
对于C，若，则，
则，所以，但，故C错误；
对于D，因为，所以，，，
因为是等比数列，所以，解得：，故D正确，
故选：ABD.
11.答案：39
解析：根据题意，设等差数列的公差为d，
等差数列中，，则，
变形可得：，
又由，则有，即，
则有，
则.
故答案为：39.
12.答案：60
解析：设等比数列公比为q，
当时，，无解；
当时，，得，
.
故答案为：60.
13.答案：
解析：因为，所以，
数列是以为首项，公比为2的等比数列，
，.
因此.
所以对恒成立，可化为对恒成立.
当n为奇数时，，所以 ，即；
当n为偶数时，，解得.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
14.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：依题意，由，可得
，即，
，
数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
（2）由（1），可得，即，
，，
，
，
两式相减，可得
，
.
15.答案：(1)
(2)
解析：（1）①当时，，
又， ，
②当时，由，可得
两式相减得：，整理得，
， ，
是以首项为4，公差为3的一个等差数列，
；
（2）由（1）可得，
数列的前n项和：.

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