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（7）空间向量与立体几何
——2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】
易混重难知识
1.柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
锥体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
台体 （分别为上、下底面面积，为高）， （分别为上、下底面半径，为高）
2.球的表面积和体积
（1）球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
（2）球的体积：设球的半径为，则球的体积为.
3.异面直线所成的角：
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成的角的取值范围：.
（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即时，与互相垂直，记作.
4.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，图中直线.
斜足 斜线和平面的交点，图中点.
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是的角.
取值范围
5.二面角的概念
概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
记法 棱为，面分别为的二面角记为. 也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
图示
符号 ，，，，，，是二面角的平面角.
范围
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
6.空间中直线、平面的平行
①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.
②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.
③平面与平面平行：设，分别是平面，的法向量，则，使得.
7.空间中直线、平面的垂直
①直线与直线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则.
②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.
③平面与平面垂直：设平面，的法向量分别为，，则.
8.点到直线的距离
如图，向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得.
9.点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此
.
10.异面直线所成的角
若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
11.直线与平面所成的角
直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
12.二面角
若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则.
易错试题提升
1.已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
2.设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
3.如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的容积为( )
A. B. C. D.
4.如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面，.点P在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，则PC的最大值为( )
A. B. C. D.
5.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，，的中点，则异面直线DF与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，，E为线段AP上更靠近P的三等分点，过点E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
7.在四边型ABCD中（如图1所示），，，，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体（如图2所示），使得，则四面体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知四面体的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有( )
A.P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B.存在点P，使得平面平面
C.的最小值为
D.三棱锥外接球表面积最大值为
10.（多选）如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，如图2，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是( )
A.平面平面BCD
B.当，时，点D到直线PQ的距离为
C.线段PQ的最小值为
D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为
11.已知向量，，且与平行，则_________.
12.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面ABC，则______________.
13.在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，P在底面的射影为正方形的中心O，，Q点为AO中点.点T为该四棱锥表面上一个动点，满足PA、BD都平行于过QT的四棱锥的截面，则动点T的轨迹围成的多边形的面积为__________________.
14.如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为O，，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱的三条侧棱均为圆柱的母线，且，点P在轴上运动.
（1）证明：不论P在何处，总有；
（2）当P为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值.
15.如图，等腰梯形ABCD中，，，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.
(1)证明：平面平面ACD；
(2)M为PD上的一点，若平面ACM与平面ACD的夹角的余弦值为，求点P到平面ACM的距离.
答案以及解析
1.答案：C
解析：假设圆锥半径R，母线为l，则.设圆台上底面为r，母线为，则由已知可得，，所以.
如图，作出圆锥，圆台的轴截面则有，所以.
所以圆台的侧面积为，
故选：C.
2.答案：D
解析：对于A，若，，，则直线m与n可能相交，也可能平行，还可能是异面直线，A错误；
对于B，若，则，B错误；
对于C，若，直线m与n可能平行，
如直线m，n都平行于，的交线，且，，满足条件，而，C错误；
对于D，若，，则，又，因此，D正确.
故选：D
3.答案：C
解析：画出满足题意的正四棱台，如图所示，
则，.过点D作于点E，则，，所以该正四棱台的容积为.故选C.
4.答案：D
解析：过点C作，垂足为E，连接AC，可知平面，
所以点C到平面的距离为，
由题意，
，，
过点C作平面，垂足为，
因为点P在平面内，且，即点P在以为圆心，为半径的圆上，
当，，P三点共线时，且时，PC取最大值，
最大值为.
故选：D.
5.答案：D
解析：连接BF，因为在直三棱柱中，E，F分别是棱BC，的中点，
故，，即四边形为平行四边形，
所以，则即为异面直线DF与所成角或其补角；
直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为2，
连接EF，DE，则，，而平面ABC，故平面ABC，
平面ABC，故，
D是棱AB的中点，故，则，
而，又，
故在中，，
由于异面直线所成角的范围为大于，小于等于，
故异面直线与所成角的余弦值是，
故选：D
6.答案：B
解析：如图所示，在三棱锥中，过点E分别作，，再分别过点F，H作，，可得E，F，G，H四点共面，所以，.因为平面，平面，所以平面.同理可证平面，所以截面即为平行四边形.又因为E为线段AP上更靠近P的三等分点，且，所以，，所以平行四边形的周长为.故选B.
7.答案：D
解析：，，，
又，则，，
可知，则，
取的中点O，连接BO，DO，则，
所以点O为四面体外接球的球心，
则外接球的半径为：，
所以四面体外接球的表面积.
故选：D.
8.答案：A
解析：取的中点E，连接，，为等边三角形，，
，，平面，
又平面，，
由题意得，，，又，
，，
又，，平面，
平面，又平面，
平面平面，
易知，则，故为等腰直角三角形，
综上，四面体的球心O为的中心，即点O是上靠近E的三等分点.
以E为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，，，
又平面的一个法向量，二面角的余弦值为，
二面角的正弦值为，故二面角的正切值为.
9.答案：AD
解析：A选项：连接，，由三角形中位线性质和正方体性质可知，，且，所以过D，P，Q三点的截面为梯形，
易知，，
作，则，，
所以梯形的面积，A正确；
B选项：若存在点P，使得平面平面，则由平面平面，
平面平面可知，显然DQ，不平行，故B错误；
C选项：将侧面展开如图，显然当Q、P、D三点共线时，取得最小值，最小值为，C错误；

D选项：由题知，，，两两垂直，所以三棱锥外接球，
即为以，，为共顶点的三条棱的长方体的外接球，记其半径为R，
则，
显然，当点P与C重合时，R取得最大值，此时外接球表面积取得最大值，D正确.
故选：AD.
10.答案：ACD
解析：取BD的中点O，连接OA，OC，由题意可知，，因为，所以，又，，所以平面BCD，因为平面ABD，所以平面平面BCD，故A正确；
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，当，时，，，，，所以点D到直线PQ的距离为，故B错误；
设，由，得，则，
故，
当，时，，故C正确；
当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，，，，，设PQ与AD所成的角为，则，即PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确.故选ACD.
11.答案：
解析：，.因为与平行，所以当时，，解得；当时，，.综上，.
12.答案：2
解析：如图，将三棱锥转化为正三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为r，
则，可得，
设三棱锥的外接球球心为O，连接OA，，则，，
因为，即，解得.
故答案为：2.
13.答案：
解析：取AD的中点E，PD的中点F，PO的中点R，PB的中点N，
连接QR延长交PC与点M，依次连接E，F，M，N，G，
可知，，，即，而，
所以E，F，G，Q，N，R共面，所以E，F，M，N，G共面，
因为底面ABCD是边长为的正方形，
所以对角线，，
因为P在底面的射影为正方形的中心，可得面ABCD，
因为面ABCD，所以，
因为，，所以，
因为E、F分别为AD、PD的中点，
所以，且，
因为平面EFMG，平面EFMG，
所以平面EFMG，同理平面EFMG，
所以平面EFMG即为所求截面.
又因为平面平面，平面APC，所以，
因为Q为AO的中点，可得，
所以， ，，
因为N、F分别为PB、PD的中点，所以，，
所以，，所以四边形EFNG是平行四边形，
因为，，，所以平面APC，
因为平面APC，可得，所以，
所以四边形EFNG是矩形，
所以动点T的轨迹围成的多边形的面积为.
故答案为：.
14.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：连接AO并延长，交BC于M，交圆柱侧面于
因为，，，所以，所以，
因为，，所以，所以，即M为BC中点，
所以
又在圆柱中，平面ABC，平面ABC，所以，
因为，AO，平面，所以平面
因为不论P在何处，总有平面，所以
（2）设，则
在中，，
则所以
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，其中轴，y轴是的垂直平分线，
则，，，，
所以，，，.
设平面的一个法向量为，
则，取，得.
设平面的一个法向量为，
则，取，得.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与面夹角的余弦值为.
15.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）在梯形ABCD中，取AD的中点N，连接CN，
，，四边形ABCN为平行四边形，
， ， ，
，，PA，平面PAC， 平面PAC，
平面ACD，平面平面ACD.
（2）取AC中点O，连接PO，
，O为AC中点，，
又平面平面ACD，平面平面，平面PAC，
平面ACD，
O，N分别为AC，AD中点，，平面PAC，
以O为坐标原点，分别以OA，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，
设，，
则，
设平面ACM的法向量，
则，
令，得，，则，
平面ACM与平面ACD夹角的余弦值为，
又平面ACD的一个法向量，
则，解得，
，又，
点P到平面ACM的距离.

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