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1.5 全称量词与存在量词 7 题型分类
一、全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题
“对 M 中任意一个 x，p(x)成立”，可用 “存在 M 中的元素 x，p(x)成立”，可用
命题形式
符号简记为“ x∈M，p(x)” 符号简记为“ x∈M，p(x)”
【特别提醒】
（1）在全称量词命题与存在量词命题中的“x，M 与 p(x)”表达的含义：元素 x 可以表示实数、方程、函数、
不等式，也可以表示几何图形，相应的集合 M 是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合 M 的所有元素满
足的性质.如“任意一个自然数都不小于 0”，可以表示为“ x∈N，x≥0”.
（2）在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.
二、全称量词命题、存在量词命题的否定
三、全称量词命题、存在量词命题及其否定的关系
1.全称量词命题的否定是存在量词命题.
2.存在量词命题的否定是全称量词命题.
【思考】 “一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0 有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题
的形式．
是存在量词命题，可改写为“存在 x∈R，使 ax2＋2x＋1＝0”．
【特别提醒】
（1）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；
（2）含有一个量词的命题的否定，是在否定结论 p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，
存在量词改为全称量词．
（一）
全称量词命题或存在量词命题的判断
1、全称量词命题或存在量词命题的判断
注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
2、全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题，存在量词命题就是陈述在某集合中有(存
在)一些元素具有某种性质的命题，是对某集合元素的限定，而不是对结论的限定．
题型 1：全称量词命题与存在量词命题的判断
1-1．（2024 高一·全国·专题练习）下列语句不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
1-2．（2024 高一上·河南平顶山·阶段练习）下列语句不是存在量词命题的是（ ）
A．至少有一个 x，使 x2 + x +1 = 0成立 B．有的无理数的平方不是有理数
C．存在 x R ，3x + 2是偶数 D．梯形有两边平行
1-3．（2024 高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以 0 都等于 0 B．自然数都是正整数
C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数
1-4．（2024 高二上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（ ）
A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形
C．一切三角形的内角和都等于180° D．任意两个等边三角形都相似
（二）
全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧
(1)全称量词命题的真假判定
要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称量词
命题是假命题，只需举出集合 M 中的一个 x，使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)存在量词命题的真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M 中，找到一个 x，使 p(x)成立即可；否则，这一存在
量词命题就是假命题．　
题型 2：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
2-1．（2024 高二·全国·课后作业）下列命题中是真命题的为（ ）
A．$x N ，使 4x < -3
B．$x Z，使 2x -1 = 0
C．"x N， 2x x2
D．"x R ， x2 +2>0
2-2．（2024 高一上·安徽滁州·阶段练习）已知命题 p : $x0 R, x0 2；命题 q : "x 0, x < x，则下列说法正
确的是 （ ）
A． p 为存在量词命题且为假命题， q为全称量词命题且为假命题
B． p 为全称量词命题且为假命题， q为存在量词命题且为假命题
C． p 为存在量词命题且为真命题， q为全称量词命题且为假命题
D． p 为全称量词命题且为真命题， q为存在量词命题且为真命题
2-3．（2024 高一上·全国·课后作业）下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角都是锐角
B．至少有一个实数 x，使 x2 0
C．两个无理数的和必是无理数
1
D．存在一个负数 x，使 2
x
2-4．（2024·河北·模拟预测）命题 p ："x 1， x + 2x - 3 0，命题 q：$x R， 2x2 - 4x + 3 = 0，则（ ）
A． p 真 q真 B． p 假 q假 C． p 假 q真 D． p 真 q假
（三）
由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围
1、解决含有量词的命题求参数范围问题的思路:
①全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒
成立”等词语.解决此类问题，可构造函数，利用数形结合求参数范围.
②存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的
参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立;反之，假设不成立.
2、求解含有量词的命题中参数范围的策略:
①对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或 a的最大值(或最小值)，即 a>ymax(或 a②对于存在量词命题“ x∈M,a>y(或 a的最小值(或最大值)，即 a>ymin(或 a题型 3：由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围
3-1．（2024 高一上·河南南阳·阶段练习）已知命题 p：$x R, x2 + 2x + 2 - a = 0为真命题，则实数 a 的值不
能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-3
3-2 2．（2024 高一上·江苏南通·阶段练习）已知命题 p : $x0 R，(a -1)x0 + (a -1)x0 +1 0，若命题 p 是假命题，
则 a 的取值范围为（ ）
A．1 a 5 B．1< a < 5
C．1< a 5 D．1 a < 5
3-3．（2024 高一上·重庆北碚·阶段练习）已知命题“ $x R，4x2 - 4 2ax + 5a + 3 = 0 ”为假命题，则实数 a的
取值范围是（ ）
a 1A． - 或 a 3
1
B．- < a < 3
2 2
1
C． < 1或 a 3 D．- a 3
2 2
3-4．（2024 高一上·湖北武汉·阶段练习）若命题“ "x [-1,4]时， x2 m ”是假命题，则 m 的取值范围（ ）
A．m 16 B． ≥ 1 C．m 0 D．m <1
3-5．（2024·河南·模拟预测）命题“ $x0 R mx
2
，使 0 - m + 3 x0 + m 0 ”是假命题，则实数m 的取值范围
为 ．
3-6．（2024 高一上· 2新疆乌鲁木齐·期末）若命题“ $x0 R ，使得 x0 + 4x0 + 2k < 0 ”是假命题，则实数 k 的取值
范围是 .
题型 4：全称量词命题与存在量词命题与充分、必要条件
4-1．（2024·重庆·模拟预测）命题“" - 2 x 3, x2 - 2a 0 ”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
9
A．a 1 B． a C．a 5 D． a 4
2
4-2．（2024 高一上·江苏南通·期中）已知 a为实数，使“"x 3,4 ， x - a < 0 ”为真命题的一个充分不必要条
件是（ ）
A． a 4 B． a 5 C． a 3 D． a 4
4-3．（2024 高一上·江苏）命题“"1 x 2, x2 - a 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． a 4 B．a 5 C． a 4 D． a 5
4-4．（2024 高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知 p : "x R ， ax2 + 2x +1 0 ； q : a 1,+ ，则 p 是 q 的
条件．（在充分不必要 必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）
4-5．（2024 高二上·山西运城·阶段练习）已知命题:“"x 2，不等式 x2 - x - m 0 ”是真命题.
(1)求实数m 的取值集合 B ；
(2)设不等式 (x - a)(x - a -1) < 0的解集为A ，若 x A是 x B的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.
（四）
全称量词和存在量词命题的否定
（1）对全称量词命题进行否定要做到“两变”：一变量词，即把全称量词变为存在量词；二否定命题。
（2）全称量词命题的否定是存在量词命题，
（3）对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
题型 5：全称量词命题的否定
5-1．（2024 高二下·辽宁·阶段练习）若命题 p ："x < 0， 2023x - x3 + 2 < 0 ，则命题 p 的否定为（ ）
A． ≥ 0， 2023x - x3 + 2 < 0 B． ≥ 0， 2023x - x3 + 2 0
C．$x 0， 2023x - x3 + 2 < 0 D．$x < 0， 2023x - x3 + 2 0
5-2．（2024 高一下·陕西宝鸡·阶段练习）命题“"x R,2x2 + 3x - 5 0 ”的否定是（ ）
A．"x R,2x2 + 3x - 5 < 0 B．"x R,2x2 + 3x - 5 0
C．$x R,2x2 + 3x - 5 0 D．$x R,2x2 + 3x - 5 < 0
5-3．（陕西省商洛市镇安中学 2023-2024 学年高二下学期期中文科数学试题）命题 p : "x [1, 2], x2 -1 0，
则 p是（ ）
A．"x [1, 2], x2 -1 0 B．"x [1, 2], x2 -1 < 0
C．$x [1, 2], x2 -1 0 D．$x [1, 2], x2 -1 < 0
题型 6：存在量词命题的否定
6-1．（2024 高二上·陕西商洛·期末）命题“ $x N,5x < x3 +1”的否定是（ ）
A．"x N,5x < x3 +1 B．"x N,5x x3 +1
C．"x N,5x x3 +1 D．"x N,5x x3 +1
6-2．（2024 高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）命题“ $x R ， x2 - 3x + 3 < 0 ”的否定是（ ）
A．"x R ， x2 - 3x + 3 < 0 B．"x R ， x2 - 3x + 3 0
C．$x R ， x2 - 3x+3＞0 D．$x R ， x2 - 3x + 3 0
6-3．（2024 高一上·福建莆田·期中）设命题 p : $x R,x2 +1 = 0,则命题 p 的否定为（ ）
A．$x R,x2 +1 = 0
B．$x R,x2 +1 0
C．"x R,x2 +1 = 0
D．"x R ， x2 +1 0
6-4．（2024 高二下·甘肃白银·期末）已知命题 p : $x 0, x2 + x < 1，则（ ）
A． p : "x 0, x2 + x < 1 B． p : "x 0, x2 + x 1
C． p : $x < 0, x2 + x < 1 D． p : $x 0, x2 + x 1
题型 7：含有一个量词的命题的否定的应用
7-1．（2024 高三上·黑龙江大庆·开学考试）已知命题 p ：$x x 1< x < 2 ， x - a 0，若 p是真命题，则
实数 a的取值范围是（ ）
A． a <1 B． a 2 C． ≤ 2 D． a 2
7-2．（2024 高一上·河南新乡·阶段练习）命题 p : ax2 + 2x +1 = 0 有实数根，若 p是假命题，则实数 a的取值
范围是（ ）
A．{a | a <1} B．{a | a 1} C．{a | a >1} D．以上都不对
7-3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知命题 p：$ x∈{x|1范围是（ ）
A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3
7-4．（2024 高一·全国·课后作业）已知命题 p：“"x [1, 2]， x2 - a 0 ”，命题 q：“ $x R，
x2 + 2ax + 4 = 0 ”．若命题 p和命题 q 都是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a -2或 a =1 B． a -2或1 a 2 C．a 1 D． a 2
一、单选题
1．（2024 高一上·江苏南京·期中）已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都
是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与 0 相乘，都等于 0.其中，其中含存在量词的命题的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024 高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数
3．（2024 高一上·甘肃庆阳·期末）关于命题“ $x N， x2 + 2x = 0 ”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题
C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题
4．（广西柳州市第三中学 2023-2024 学年高二上学期 11 月学考二模考试数学试题）已知命题 P 的否定为
“ $x R， x2 +1 1”，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题 P 为“ $x R， x2 +1 1”且为真命题
B．命题 P 为“"x R ， x2 +1 1”且为假命题
C．命题 P 为“"x R ， x2 +1 1”且为假命题
D．命题 P 为“ $x R， x2 +1 1”且为真命题
5．（2024 高二上·江西南昌·期末）命题“ x 1，2 ，x a ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a 1 B． a <1
C． a 4 D． a 4
6．（2024 高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“ $x R, x2 - ax +1 < 0 ”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．a [-2,2] B．a (-2,1)
C．a [-2,3] D．a (-2,3)
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题 p : "x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，则命题 p 的否定是（ ）
A．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 B．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
C．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 D．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
1
8．（2024 高一下·广西桂林·开学考试）命题“对任意的 x R ，有 < 0 ”的否定是（ ）
1- x
1
A．不存在 x R ，使 < 0
1
B．存在 x R ， 使 0
1- x 1- x
1
C．存在 x R ，使 x 1 D．对任意的 x R ， 0
1- x
9．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）命题 p : "x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，则命题 p 的否定是（ ）
A．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 B．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
C．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 D．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
10．（2024·山东青岛·一模）若命题“"x R ， ax2 +1 0 ”为真命题，则实数 a的取值范围为（ ）
A． a 0 B． a 0 C． a 0 D．a 1
11．（2024 2 2高一上·湖南·阶段练习）若命题P :“ $x R, k -1 x + 4 1- k x + 3 0 ”是假命题，则 k 的取值范
围是（ ）
A． 1，7 B． 1,7
C． -7，1 D． -7,1
1
12．（2024 高二下· 2江西上饶·期中）已知命题“ $x0 R,4x0 + (a - 2)x0 + 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围4
为（ ）
A． - ,0 B． 0,4
C． 4, + D． 0,4
13．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知 p : $x {x∣-1 < x < 3}, x2 - a - 2 0．若 p 为假命题，则 a 的取值范围为( )
A．{a∣a < -2} B．{a∣a < -1} C．{a∣a < 7} D．{a∣a < 0}
14．（2024 高三上·四川成都·阶段练习）关于命题 p:“ $x N,6x2 - 7x + 2 0 ”，下列判断正确的是（ ）
A． p : "x N,6x2 - 7x + 2 0 B．该命题是存在量词命题，且为真命题
C． p : "x N,6x2 - 7x + 2 0 D．该命题是全称量词命题，且为假命题
15．（2024 高二下·浙江温州·学业考试）设命题 p :"x R ， (x - 2)(x + 3) 0，则 p为（ ）
x - 2
A． 0 ∈ ， (x0 - 2)(x0 + 3) 0 B．
0
0 ∈ ， 0x0 + 3
x - 2
C．"x R ， (x - 2)(x + 3) 0 D． 0 ∈
0
， 0 xx + 3 或 0
= -3
0
16．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知命题 p : "x N* x + 2 2，总有 0 ，则 p为（ ）
A *．$x0 N ，使得 x0 + 2
2 0 B * 2．$x0 N ，使得 x0 + 2 0
C 2 2．"x N*，总有 x + 2 0 D．"x N*，总有 x + 2 0
17．（2024 高一上·山西·阶段练习）下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“"x R ， x2 +1< 0 ”是全称量词命题；
③命题“ $x R， x2 + 2x +1 0 ”是真命题；
④命题“有一个偶数是素数”是真命题.
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2024 高一·浙江·期末）命题 p : $x R,ax2 + 2ax - 4 0为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． -4 < a 0 B．-4 a < 0 C．-3 a 0 D．-4 a 2
19．（2024 高三上·山东）已知命题 p： x0＞0， x + a -1 = 0，若 p 为假命题，则 a 的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
20．（2024 高三上·山东聊城·阶段练习）若“ $x [1,3], x2 - 2 a ”为真命题，则实数 a 的最小值为（ ）
A．-2 B．-1 C．6 D．7
1
21 2．（2024 高一上·河南南阳·阶段练习）已知命题“ $x R，使 4x + a - 2 x + 0 ”是假命题，则实数 a的取
4
值范围是（ ）
A． 0,2 B． 0,1 C． 0,4 D． - , 4
22 2024 · · p : $x R kx 2．（ 高一上 河北邢台 期末）命题 0 ，使得 0 - 6kx p0 + k + 8 < 0成立.若 是假命题，则实数 k
的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． - ,0 1, + D． - ,0 1,+
23．（2024 高一上· 2江苏泰州·期末）已知“ 0 ∈ ， x0 - x0 - a < 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围为（ ）
a 1 a 1 1 1A． - B． - C． a≤- D． a < -
4 4 4 4
24．（2024 高一上·山东滨州·阶段练习）已知命题 p : $x R, x2 + (a -1)x +1< 0，若命题 p 是假命题，则 a 的
取值范围为（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．125．（2024 高一下·湖南邵阳·阶段练习）命题 p : "a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有实根，则对命题 p
的真假判断和 p正确的为（ ）
A．真命题， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0无实根
B．假命题， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0无实根
C．真命题， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有实根
D．假命题， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有实根
26．（2024 高三·全国·专题练习）下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（ ）
A．菱形的四条边都相等 B．$x N ，使 2x为偶数
C．"x R, x2 + 2x +1 0 D． π是无理数
27．（2024 高一上·福建福州·期中）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．$m N, m2 +1 N
B．菱形都是平行四边形
C．$a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0没有实数根
D．平面四边形 ABCD，其内角和等于 360°
28．（2024 高一上·安徽芜湖·阶段练习）命题 p：“ $x R, ax2 + 2ax - 4 0 ”为假命题的一个充分不必要条件
是（ ）
A． -4 < a 0 B．-4 a < 0 C．-3 a 0 D．-4 a 0
二、多选题
29．（2024 高一上·陕西西安·期末）关于命题“ $a N, a2 + a 0 ”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题
C．该命题是真命题 D．该命题是假命题
30．（2024 高三上·山东济宁·阶段练习）命题“ $x0 R
2
，使mx0 - (m + 3)x0 + m 0 ”是假命题，则实数 m 的取
值可以为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
31．（2024 高一上·山东泰安·期中）命题“ $x 1, 2 ， 2x2 - a 0 ”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． a 2 B． a 0 C． a 1 D． a 2 2
32．（2024 高一上·湖南娄底·期末）命题 p : $x R， x2 - x +1 = 0．命题 q：任意两个等边三角形都相似．关
于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．p 是真命题 B． p : "x R， x2 - x +1 0
C．q 是真命题 D． ：存在两个等边三角形，它们不相似
33．（2024 高一上·山东·期末）已知命题 p : $x R， ax2 - x +1 = 0，若 p 为真命题，则实数 a 的值可以是
（ ）
1 1
A．- B．0 C
1
． 4 D．4 2
34．（2024 高一上·全国·课后作业）下列命题的否定为假命题的是（ ）
1
A 2．对任意的 x R ， x - x + ≥04
B．所有的正方形都是矩形
C．存在 x R,x2 + 2x + 2 0
D．至少有一个实数 x，使 x3 +1 = 0
35．（2024 高一上·河北石家庄·阶段练习）下列四个命题的否定为真命题的是（　　）
A．p:所有四边形的内角和都是360°
B．q: $x R , x2 + 2x + 2 0
C． r : $x x x是无理数 ， x2是无理数
D．s:对所有实数 a，都有 a 0
36．（2024 高一上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（ ）
A．命题“ $x R ， x2 + 4x + 4 0 ”是存在量词命题
B．命题“"x R，x2 + 2 < 0 ”是全称量词命题
C．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题
D．命题“不论m 取何实数，方程 2 + = 0必有实数根”是真命题
37．（2024 高一上·广东江门·期中）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（ ）
A．中国所有的江河都流入太平洋 B．有的四边形既是矩形，又是菱形
C．存在 x R ，有 x2 + x +1 = 0 D．有的数比它的倒数小
38．（2024 高一上·湖南长沙·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．已知集合M , P满足命题“"x1 M ,$x2 P, x1 - x2 = 0 ”为真命题，则M P
B 2 2．已知集合M , P满足命题“"x1 M ,$x2 P, x1 - x2 = 0 ”为真命题，则M P
C．已知集合M 满足命题“ $x M , x2 - x < 2”为真命题，则M x -1 < x < 2
D．已知集合M 满足命题“ $x M , x -1 1”为假命题，则M x 0 < x < 2
39．（2024 高一上·山西运城·期中）命题“ $-1 x 2, x2 + m2 - 3m 0 ”是真命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A．0 m 3 B．1 ≤ ≤ 2 C．-1≤m≤3 D．0 < m < 3
三、填空题
40．（2024·陕西西安·模拟预测）命题“"x R ， x2 +1 2x ”的否定是 .
41 2023-2024 “ ∈ ax2．（山东省枣庄市 学年高三上学期期末数学试题）已知 0 ， 0 +1< 0 ”为假命题，则实数
a 的取值范围是 .
42．（2024 高一上·山东临沂·期末）若 p : "x R, mx2 - 2mx + 2 0为真命题，则实数m 的取值范围是 .
43．（2024 高三下·广东·阶段练习）若命题“ $x R,x2 + mx + 2m - 3 < 0 ”为假命题，则实数m 的取值范围是 ．
44．（2024 高二上·四川成都·阶段练习）命题 p ：“ $x R ， ax2 + 2ax - 4 0 ”为假命题，则 a的取值范围
是 ．
45．（2024 高一上·湖北黄冈·阶段练习）命题 p ："x x | -2 x -1 ，-x2 + mx -1 0为真命题的一个充分
条件是 ．
46．（2024高二下·河北保定·期末）已知命题“ $x [-6,-1]，x2 - mx + 4…0 ”是假命题，则m的取值范围是 .
47．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x | 0 x a B = x | m2，集合 + 3 x m2 + 4 ，如果命题
“ $m R ， AI B ”为假命题，则实数 a 的取值范围为 .
48．（2024 高一上·河北邢台·阶段练习）若命题 p ：“ $x R， ax2 - 2ax - 2 0 ”是假命题，则实数 a的取值
集合为 .
49．（2024 高一上·重庆·期末）若命题“ $x 20 R, x0 + x0 - a = 0 ”为假命题，则实数 a的取值范围为 ．
50．（2024·吉林·二模）命题“ $x R， ax2 + x +1< 0”为假命题，则实数 a的取值范围为 .
四、解答题
51．（2024 高一上·云南昭通·阶段练习）命题 p："x x 3 x 5 ， x - a 0 .在① $x R， ax2 + 2x +1 = 0；
②存在集合 A = x 2 < x < 4 ，集合 B = x a < x < 2a ，使得 AI B = ，这 2 个条件中任选一个作为命题 q，
并求解下列问题.
(1)若命题 p 是真命题，求实数 a的取值范围；
(2)若命题 p 和命题 q都是真命题，求实数 a的取值范围.
52．（2024 高一上·陕西安康·阶段练习）已知全集 = ，集合 A = {x |1 < x 3}，集合B = {x | 2m < x <1- m}．
(1)若 AI B B ，求实数m 的范围；
(2)若"x1 A，$x2 B ，使得 x1 = x2 ，求实数m 的范围．
53．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x -2 x 5 ，B = x m +1 x 2m -1 ，且B ．
(1)若命题 p ：“"x B， x A”是真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题 q：“ $x A， x B ”是真命题，求实数m 的取值范围。
54．（2024 高一上·福建厦门·期中）已知命题 p : $x R， ax2 + 2x -1= 0为假命题．
(1)求实数 a 的取值集合 A；
(2)设集合B = x 6m - 4 < 2x - 4 < 2m ，若“ x A”是“ x B ”的必要不充分条件，求 m 的取值范围．
55．（2024 高一上·河南许昌·阶段练习）已知命题 p：“ $x R，使不等式 x2 - 2x - m 0成立”是假命题．
(1)求实数 m 的取值集合 A；
(2)若 q : -4 < m - a < 4是 p的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
56．（2024 高二上·河北张家口·阶段练习）已知命题 p :"x R ， x2 + 2m - 3 0，命题 q : $x0 R ，
x20 - 2mx0 + m + 2 < 0 .
(1)若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
(2)若命题 q 为真命题，求实数 m 的取值范围；
(3)若命题 p，q 至少有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.
57．（2024 高一上·内蒙古·阶段练习）已知命题 q :“ $x 满足-2 < x < 2，使 x2 - 2x - a = 0”，
(1)命题 :“ $x R, x2 + a -1 x + 4 < 0 ”，若命题 , 中至少一个为真，求实数 a的范围.
(2)命题 p : 2a < x < a +1，若 p 是 q的充分不必要条件，求实数 a的范围.1.5 全称量词与存在量词 7 题型分类
一、全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题
“对 M 中任意一个 x，p(x)成立”，可用 “存在 M 中的元素 x，p(x)成立”，可用
命题形式
符号简记为“ x∈M，p(x)” 符号简记为“ x∈M，p(x)”
【特别提醒】
（1）在全称量词命题与存在量词命题中的“x，M 与 p(x)”表达的含义：元素 x 可以表示实数、方程、函数、
不等式，也可以表示几何图形，相应的集合 M 是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合 M 的所有元素满
足的性质.如“任意一个自然数都不小于 0”，可以表示为“ x∈N，x≥0”.
（2）在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.
二、全称量词命题、存在量词命题的否定
三、全称量词命题、存在量词命题及其否定的关系
1.全称量词命题的否定是存在量词命题.
2.存在量词命题的否定是全称量词命题.
【思考】 “一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0 有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题
的形式．
是存在量词命题，可改写为“存在 x∈R，使 ax2＋2x＋1＝0”．
【特别提醒】
（1）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；
（2）含有一个量词的命题的否定，是在否定结论 p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，
存在量词改为全称量词．
（一）
全称量词命题或存在量词命题的判断
1、全称量词命题或存在量词命题的判断
注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
2、全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题，存在量词命题就是陈述在某集合中有(存
在)一些元素具有某种性质的命题，是对某集合元素的限定，而不是对结论的限定．
题型 1：全称量词命题与存在量词命题的判断
1-1．（2024 高一·全国·专题练习）下列语句不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
【答案】C
【解析】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存
在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答
案．
【详解】A 中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故 A 是全称量词命题；
B 中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故 B 是全称量词命题；
C 中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C 不是全称量词命题；
D 中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故 D 是全称量词命题．
故选：C.
【点睛】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的定义，熟练掌握全称命题和特称命题的定义是解答本
题的关键．
1-2．（2024 高一上·河南平顶山·阶段练习）下列语句不是存在量词命题的是（ ）
A．至少有一个 x，使 x2 + x +1 = 0成立 B．有的无理数的平方不是有理数
C．存在 x R ，3x + 2是偶数 D．梯形有两边平行
【答案】D
【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的定义与性质,判断即可.
【详解】对于 A，至少有一个 x，使 x2 + x +1 = 0成立，有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；
对于 B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题；
对于 C，存在 x R ，3x + 2是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题；
对于 D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”，是全称量词命题．
故选：D.
1-3．（2024 高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以 0 都等于 0 B．自然数都是正整数
C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数
【答案】D
【分析】根据存在量词与全称量词的定义即可得到答案.
【详解】对 A 选项，任何是全称量词，故 A 错误；
对 B 选项，省略了量词所有，是全称量词，故 B 错误；
对 C 选项，省略了量词所有，是全称量词，故 C 错误；
对 D 选项，存在是存在量词，故 D 正确；
故选：D.
1-4．（2024 高二上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（ ）
A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形
C．一切三角形的内角和都等于180° D．任意两个等边三角形都相似
【答案】A
【分析】根据存在量词的定义即可得解.
【详解】A 选项，存在一个平行四边形是矩形含有存在量词；
BCD 选项，含有全称量词，不含存在量词.
故选：A.
（二）
全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧
(1)全称量词命题的真假判定
要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称量词
命题是假命题，只需举出集合 M 中的一个 x，使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)存在量词命题的真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M 中，找到一个 x，使 p(x)成立即可；否则，这一存在
量词命题就是假命题．　
题型 2：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
2-1．（2024 高二·全国·课后作业）下列命题中是真命题的为（ ）
A．$x N ，使 4x < -3
B．$x Z，使 2x -1 = 0
C．"x N， 2x x2
D．"x R ， x2 +2>0
【答案】D
【分析】
根据特殊命题的真假判断 A，B；当 x = 2时， 22 = 22 = 4，从而判断 C；由 x2 0 ，可得 x2 + 2 2 0，从
而判断 D.
【详解】
3
解：对于 A，由 4x < -3，可得 x < - ，所以不存在 x N，使 4x < -3成立，故错误；
4
1
对于 B，由 2x -1 = 0，可得 x = ，所以不存在 x Z，使 2x -1 = 0，故错误；
2
对于 C，当 x = 2时， 22 = 22 = 4，故错误；
对于 D，因为当 x R 时， x2 0, x2 + 2 2 0 ，故正确.
故选：D.
2-2．（2024 高一上·安徽滁州·阶段练习）已知命题 p : $x0 R, x0 2；命题 q : "x 0, x < x，则下列说法正
确的是 （ ）
A． p 为存在量词命题且为假命题， q为全称量词命题且为假命题
B． p 为全称量词命题且为假命题， q为存在量词命题且为假命题
C． p 为存在量词命题且为真命题， q为全称量词命题且为假命题
D． p 为全称量词命题且为真命题， q为存在量词命题且为真命题
【答案】C
【分析】含有存在量词的命题是存在量词命题，其真假性为“有真即真，全假为假”；含有全称量词的命题是
全称量词命题，其真假性为“有假即假，全真为真”；据此解答即可.
【详解】对于命题 p ，是存在量词命题，取 x0 = 3，则$x0 R, x0 2，故 p 为真命题；
1 1 1 1
对于命题 q，是全称量词命题，当 x = 时， = ，故 q为假命题；
4 4 2 4
所以 p 为存在量词命题且为真命题， q为全称量词命题且为假命题.
故选：C．
2-3．（2024 高一上·全国·课后作业）下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角都是锐角
B．至少有一个实数 x，使 x2 0
C．两个无理数的和必是无理数
1
D．存在一个负数 x，使 2
x
【答案】B
【分析】根据全称量词以及存在量词命题的定义即可判断.
【详解】“都是”，“必是”是全称量词，故 AC 错误，
“至少”，“存在”是存在量词，故 B，D 是存在量词命题，
1
存在 = 0，使得 x2 0 ，不存在负数使得 2，故 D 是假命题，B 是真命题．
x
故选：B
2-4．（2024·河北·模拟预测）命题 p ："x 1， x + 2x - 3 0，命题 q：$x R， 2x2 - 4x + 3 = 0，则（ ）
A． p 真 q真 B． p 假 q假 C． p 假 q真 D． p 真 q假
【答案】D
【分析】对于命题 p ：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题 q：根据存在命题结合二次函数的Δ
判别式分析判断.
1
【详解】对于命题 p ：令 t = x 1，则 y = t + 2t 2 - 3 = 2t 2 + t - 3开口向上，对称轴为 t = - ，4
且 y | = 0，则 y = 2t 2x=1 + t - 3 0，
所以"x 1， x + 2x - 3 0，即命题 p 为真命题；
2
对于命题 q：因为D = -4 - 4 2 3 = -8 < 0，
所以方程 2x2 - 4x + 3 = 0无解，即命题 q为假命题；
故选：D.
（三）
由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围
1、解决含有量词的命题求参数范围问题的思路:
①全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒
成立”等词语.解决此类问题，可构造函数，利用数形结合求参数范围.
②存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的
参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立;反之，假设不成立.
2、求解含有量词的命题中参数范围的策略:
①对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或 a的最大值(或最小值)，即 a>ymax(或 a②对于存在量词命题“ x∈M,a>y(或 a的最小值(或最大值)，即 a>ymin(或 a题型 3：由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围
3-1．（2024 高一上·河南南阳·阶段练习）已知命题 p：$x R, x2 + 2x + 2 - a = 0为真命题，则实数 a 的值不
能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的根与判别式的关系求解.
【详解】因为命题 p：$x R, x2 + 2x + 2 - a = 0为真命题，
所以D = 4 - 4(2 - a) 0解得a 1，
结合选项可得实数 a 的值不能是-3，
故选:D.
3-2．（2024 高一上·江苏南通·阶段练习）已知命题 p : $x0 R，(a -1)x20 + (a -1)x0 +1 0，若命题 p 是假命题，
则 a 的取值范围为（ ）
A．1 a 5 B．1< a < 5
C．1< a 5 D．1 a < 5
【答案】D
【分析】求得命题 p 的否定，结合不等式恒成立，求解即可.
【详解】Q命题 p : $x0 R， (a -1)x20 + (a -1)x0 +1 0是假命题，
\"x R， (a -1)x2 + (a -1)x +1 0恒成立是真命题；
当 a =1时，1 > 0恒成立，
当 a 1时，需 a -1 0，D = (a -1)2 - 4(a -1) < 0 ，解得1< a < 5，
当 a <1时， a -1< 0 2，不可能满足 (a -1)x0 + (a -1)x0 +1 0 恒成立，
综上可得 a 的取值范围为1 a < 5 .
故选：D .
3-3．（2024 高一上·重庆北碚·阶段练习）已知命题“ $x R， 4x2 - 4 2ax + 5a + 3 = 0 ”为假命题，则实数 a的
取值范围是（ ）
1 1
A． a - 或 a 3 B．- < a < 3
2 2
C < 1
1
． 或 a 3 D．- a 3
2 2
【答案】B
【分析】由题意，可知该命题的否定“"x R ，4x2 - 4 2ax + 5a + 3 0 ”为真命题，即可得该方程无实数根，
根据D < 0求解.
【详解】因为“ $x R， 4x2 - 4 2ax + 5a + 3 = 0 ”为假命题，
所以“"x R ， 4x2 - 4 2ax + 5a + 3 0 ”为真命题，
所以方程 4x2 - 4 2ax + 5a + 3 0 无实数根，
D = 2 1-4 2a -16 5a + 3 < 0 ，解得- < a < 3 .2
故选：B
3-4．（2024 高一上·湖北武汉·阶段练习）若命题“ "x [-1,4]时， x2 m ”是假命题，则 m 的取值范围（ ）
A．m 16 B． ≥ 1 C．m 0 D．m <1
【答案】C
2
【分析】由否命题为真命题可得 (x )min m ，求 y = x2的最小值即可.
【详解】因为命题“ "x [-1,4]时， x2 m ”是假命题，
所以命题“ $x [-1,4]时， x2 m ”是真命题，
即有 (x2 )min m ，
易知当 x = 0， y = x2有最小值 0,
所以m 0 .
故选：C
3-5．（2024· 2河南·模拟预测）命题“ $x0 R ，使mx0 - m + 3 x0 + m 0 ”是假命题，则实数m 的取值范围
为 ．
【答案】 3, +
【分析】直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果．
【详解】命题“ $x0 R
2
，使mx0 - m + 3 x0 + m 0 ”是假命题，
2
则命题"x R ，mx - m + 3 x + m 0恒成立为真命题，
所以当m = 0时，-3x 0，不恒成立，
ìm 0 ìm 0
当m

0 时，需满足 í 可得 í 2 ，
Δ < 0 m + 3 - 4m2 < 0
解得m 3,+ ，
故m 的范围为 3, + ．
故答案为： 3, + ．
3-6．（2024 2高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若命题“ $x0 R ，使得 x0 + 4x0 + 2k < 0 ”是假命题，则实数 k 的取值
范围是 .
【答案】 2, +
【分析】由题意，根据命题的真假关系得到原命题的否定为真命题，即
x2 + 4x + 2k 0恒成立，利用判别式求出实数 k 的取值范围.
【详解】由题意得：“"x R ，使得 x2 + 4x + 2k 0 ”是真命题，
即D =16 -8k 0，解得： k 2，
故实数 k 的取值范围是 2, + .
故答案为： 2, +
题型 4：全称量词命题与存在量词命题与充分、必要条件
4-1．（2024·重庆·模拟预测）命题“" - 2 x 3, x2 - 2a 0 ”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
9
A．a 1 B． a C．a 5 D． a 4
2
【答案】A
9
【分析】根据恒成立问题分析可得命题“" - 2 x 3, x2 - 2a 0 ”是真命题等价于“ a ”，结合充分、必要
2
条件分析判断.
【详解】若命题“" - 2 x 3, x2 - 2a 0 ” 2是真命题，则 x - 2a 0max ，
9
可知当 x = 3时， x2 - 2a取到最大值9 - 2a 0，解得 a ，2
9
所以命题“" - 2 x 3, x2 - 2a 0 ”是真命题等价于“ a ”.
2
ì
因为 ía | a
9
ü a | a 1 9，故“ a 1”是“ a ”的必要不充分条件，故 A 正确；
2 2
ì
因为 ía | a
9
ü ì = ía | a
9
ü 9 9 ，故“ a ”是“ a ”的充要条件，故 B2 错误； 2 2 2
ì 9 ü 9
因为 a | a 5 ía | a ，故“ a 5 ”是“ a ”的充分不必要条件，故 C 错误；
2 2
ì 9 ü 9
因为 ía | a 与 a | a 4 不存在包含关系，故“ a 4 ”是“ a ”的即不充分也不必要条件，故 D 错误；
2 2
故选：A.
4-2．（2024 高一上·江苏南通·期中）已知 a为实数，使“"x 3,4 ， x - a < 0 ”为真命题的一个充分不必要条
件是（ ）
A． a 4 B． a 5 C． a 3 D． a 4
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的真假性求得 a的取值范围，然后确定其充分不必要条件.
【详解】解：依题意，全称量词命题："x 3,4 , x - a < 0为真命题，
所以， a x在区间 3,4 上恒成立，所以 a 4，
所以使“"x 3,4 , x - a < 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是“ a 5 ”.
故选：B
4-3．（2024 高一上·江苏）命题“"1 x 2, x2 - a 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． a 4 B．a 5 C． a 4 D． a 5
【答案】B
【分析】根据命题是真命题，由"1 x 2 ， a x2 恒成立求解.
【详解】因为命题“"1 x 2 ， x2 - a 0 ”是真命题，
所以"1 x 2 ， a x2 恒成立，
所以 a 4，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a 5，
故选：B
4-4．（2024 高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知 p : "x R ， ax2 + 2x +1 0 ； q : a 1,+ ，则 p 是 q 的
条件．（在充分不必要 必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）
【答案】必要不充分
【分析】将全称命题为真命题转化为不等式恒成立，利用充分必要条件判断即可求解
【详解】因为 p : "x R ， ax2 + 2x +1 0 为真命题等价于不等式 ax2 + 2x +1 0 在 x R 上恒成立，
当 a = 0时， 2x +1 0显然不成立；
ìa 0
当 a 0时， í a 1Δ 4 4a ，解得 ， = - 0
综上，实数 a的取值范围为 a 1,+ ，
所以 p : a 1, + ，
又因为 q : a 1,+ ，
所以 p 是 q 的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
4-5．（2024 高二上·山西运城·阶段练习）已知命题:“"x 2，不等式 x2 - x - m 0 ”是真命题.
(1)求实数m 的取值集合 B ；
(2)设不等式 (x - a)(x - a -1) < 0的解集为A ，若 x A是 x B的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) B = m m < 2 ；（2） - ,1
【分析】（1）根据题意将问题转化为m < x2 - x在 x 2时恒成立，再求 x2 - x 得最小值即可；
（2）解不等式得集合 A = x a < x < a +1 ，故根据题意得：A 是 B 的真子集，再根据集合关系求解即可.
【详解】解：（1）命题："x 2，都有不等式 x2 - x - m 0成立是真命题，
∴ x2 - x - m 0，即m < x2 - x在 x 2时恒成立，
x2 x x 1 2 1 1x 2 - =（ - ）- （- 2 - ）2
1
又当 时， - = 2
2 4 2 4
∴ m < 2，即B = m m < 2 =（- ，2）；
（2）不等式（x - a) ( x - a -1）< 0，
故 A = x a < x < a +1
∵ x A是 x B的充分不必要条件，则A 是 B 的真子集，
∴ a +1 2，解得a 1，
故实数 a 的取值范围为 - ,1 .
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 p 是 q的必要不充分条件，则 q对应集合是 p 对应集合的真子集；
（2）若 p 是 q的充分不必要条件， 则 p 对应集合是 q对应集合的真子集；
（3）若 p 是 q的充分必要条件，则 p 对应集合与 q对应集合相等；
（4）若 p 是 q的既不充分又不必要条件， q对的集合与 p 对应集合互不包含．
（四）
全称量词和存在量词命题的否定
（1）对全称量词命题进行否定要做到“两变”：一变量词，即把全称量词变为存在量词；二否定命题。
（2）全称量词命题的否定是存在量词命题，
（3）对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
题型 5：全称量词命题的否定
5-1．（2024 高二下·辽宁·阶段练习）若命题 p ："x < 0， 2023x - x3 + 2 < 0 ，则命题 p 的否定为（ ）
A． ≥ 0， 2023x - x3 + 2 < 0 B． ≥ 0， 2023x - x3 + 2 0
C．$x 0， 2023x - x3 + 2 < 0 D．$x < 0， 2023x - x3 + 2 0
【答案】D
【分析】根据全称量词的否定规则，先改写量词，再否定结论即可.
【详解】根据全称量词的否定规则，先改写量词，再否定结论，可得原命题的否定为“ $x < 0，
2023x - x3 + 2 0 ”.
故选:D
5-2．（2024 高一下·陕西宝鸡·阶段练习）命题“"x R,2x2 + 3x - 5 0 ”的否定是（ ）
A．"x R,2x2 + 3x - 5 < 0 B．"x R,2x2 + 3x - 5 0
C．$x R,2x2 + 3x - 5 0 D．$x R,2x2 + 3x - 5 < 0
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定，可得答案.
【详解】由全称命题的否定知原命题的否定为$x R,2x2 + 3x - 5 0．
故选：C．
5-3．（陕西省商洛市镇安中学 2023-2024 学年高二下学期期中文科数学试题）命题 p : "x [1, 2], x2 -1 0，
则 p是（ ）
A．"x [1, 2], x2 -1 0 B．"x [1, 2], x2 -1 < 0
C．$x [1, 2], x2 -1 0 D．$x [1, 2], x2 -1 < 0
【答案】D
【分析】根据全称量词的否定是特称量词可得答案.
【详解】若命题 p : "x [1, 2], x2 -1 0，则 p是$x [1, 2], x2 -1 < 0 .
故选：D
题型 6：存在量词命题的否定
6-1．（2024 高二上·陕西商洛·期末）命题“ $x N,5x < x3 +1”的否定是（ ）
A．"x N,5x < x3 +1 B．"x N,5x x3 +1
C．"x N,5x x3 +1 D．"x N,5x x3 +1
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定相关知识直接求解.
【详解】命题“ $x N,5x < x3 +1”的否定是“"x N,5x x3 +1”.
故选：C
6-2．（2024 高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）命题“ $x R ， x2 - 3x + 3 < 0 ”的否定是（ ）
A．"x R ， x2 - 3x + 3 < 0 B．"x R ， x2 - 3x + 3 0
C．$x R ， x2 - 3x+3＞0 D．$x R ， x2 - 3x + 3 0
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出答案．
【详解】∵命题“ $x R ， x2 - 3x + 3 < 0 ”为特称命题，特称命题的否定是全称命题，
∴命题“ $x R ， x2 - 3x + 3 < 0 ”的否定是“ "x R ， x2 - 3x + 3 0 ”．
故选：B
6-3．（2024 高一上·福建莆田·期中）设命题 p : $x R,x2 +1 = 0,则命题 p 的否定为（ ）
A．$x R,x2 +1 = 0
B．$x R,x2 +1 0
C．"x R,x2 +1 = 0
D．"x R ， x2 +1 0
【答案】D
【分析】由带量词命题的否定形式的规定写出结果，应包括：否定量词，否定结论.
【详解】命题 p : $x R,x2 +1 = 0的否定是“"x R ， x2 +1 0”.
故选：D.
6-4．（2024 高二下·甘肃白银·期末）已知命题 p : $x 0, x2 + x < 1，则（ ）
A． p : "x 0, x2 + x < 1 B． p : "x 0, x2 + x 1
C． p : $x < 0, x2 + x < 1 D． p : $x 0, x2 + x 1
【答案】B
【分析】由命题的否定，量词和结论发生改变，条件不变即可得到答案.
【详解】根据含有量词命题的否定形式可知，命题 p : $x 0, x2 + x < 1的否定为"x 0, x2 + x 1，
故选：B.
题型 7：含有一个量词的命题的否定的应用
7-1．（2024 高三上·黑龙江大庆·开学考试）已知命题 p ：$x x 1< x < 2 ， x - a 0，若 p是真命题，则
实数 a的取值范围是（ ）
A． a <1 B． a 2 C． ≤ 2 D． a 2
【答案】D
【分析】先求出命题 p 为真命题时 a的取值范围，则可求出命题 p 为假命题的范围，即可选出答案.
【详解】若命题 p 为真命题则，$x x 1< x < 2 ， x a，即 a < 2 .
又 p是真命题，即命题 p 为假命题，即 a 2 .
故选：D.
7-2．（2024 高一上·河南新乡·阶段练习）命题 p : ax2 + 2x +1 = 0 有实数根，若 p是假命题，则实数 a的取值
范围是（ ）
A．{a | a <1} B．{a | a 1} C．{a | a >1} D．以上都不对
【答案】B
【分析】 p是假命题，则 p 为真命题，即 ax2 + 2x +1 = 0有实数根，分类讨论 a = 0与 a 0时的情况即可.
1
【详解】当 a = 0时，即2 + 1 = 0有实数根，解得 x = ，故符合要求；
2
当 a 0时，即有D = 4 - 4a≥0，解得a 1且 a 0；
综上所述，a 1 .
故选：B.
7-3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知命题 p：$ x∈{x|1范围是（ ）
A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3
【答案】D
【分析】根据给定条件写出命题 p，再由全称量词命题是真命题即可得解.
【详解】因命题 p： x∈{x|1又 p是真命题，即 x∈{x|1x 恒成立，于是得 a≥3，
所以实数 a 的取值范围是 a≥3.
故选：D
7-4．（2024 高一·全国·课后作业）已知命题 p：“"x [1, 2]， x2 - a 0 ”，命题 q：“ $x R，
x2 + 2ax + 4 = 0 ”．若命题 p和命题 q 都是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a -2或 a =1 B． a -2或1 a 2 C．a 1 D． a 2
【答案】D
【分析】先考虑 , 均为真命题得到 a的取值范围，然后根据 p, q的真假性得到关于 a的不等式，即可求解
出 a的取值范围.
【详解】若"x [1, 2]， x2 - a 0 ，则 a x2 ，
∴ a 1．
若$x R， x2 + 2ax + 4 = 0 ，
则D = (2a)2 -16 0，
解得 a -2或 a 2．
∵命题 p和命题 q 都是真命题，
ìa 1 ìa 1
∴ í 或 í ，
a -2 a 2
∴ a 2．
故选 D．
【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围
时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：
若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围.
一、单选题
1．（2024 高一上·江苏南京·期中）已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都
是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与 0 相乘，都等于 0.其中，其中含存在量词的命题的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据存在量词的意义逐一判断选择即可.
【详解】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；
②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；
③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；
④所有数与 0 相乘，都等于 0，含全称量词“所有”，不符；
故选：A
2．（2024 高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数
【答案】D
【分析】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出 ABC 为全称量词命题，D 选项
为存在量词命题.
【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知，
A 选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；
B 选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；
C 选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；
D 选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.
故选：D
3．（2024 高一上·甘肃庆阳·期末）关于命题“ $x N， x2 + 2x = 0 ”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题
C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的定义及取 x = 0可判断.
【详解】该命题是存在量词命题，当 x = 0时， x2 + 2x = 0，所以该命题为真命题.
故选:B.
4．（广西柳州市第三中学 2023-2024 学年高二上学期 11 月学考二模考试数学试题）已知命题 P 的否定为
“ $x R， x2 +1 1”，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题 P 为“ $x R， x2 +1 1”且为真命题
B．命题 P 为“"x R ， x2 +1 1”且为假命题
C．命题 P 为“"x R ， x2 +1 1”且为假命题
D．命题 P 为“ $x R， x2 +1 1”且为真命题
【答案】C
【分析】根据含量词命题的否定形式可得到原命题，通过反例可说明原命题为假命题.
【详解】Q命题 P 的否定为特称命题，\P："x R ， x2 +1 1，
当 x = 0时， x2 +1 =1，\P为假命题，ABD 错误，C 正确.
故选：C.
5．（2024 高二上·江西南昌·期末）命题“ x 1，2 ，x a ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a 1 B． a <1
C． a 4 D． a 4
【答案】B
【分析】求解命题为真命题的充要条件，再利用集合包含关系判断
【详解】命题“对任意x 1，2 ，x a ”为真命题，则 a ≤1,只有 - ,1 是 - ,1 的真子集,故选项 B 符合题意
故选：B
6．（2024 高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“ $x R, x2 - ax +1 < 0 ”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．a [-2,2] B．a (-2,1)
C．a [-2,3] D．a (-2,3)
【答案】C
【分析】先将命题“ $x R ， x2 - ax +1 < 0 ”为假命题转化“ "x R ， x2 - ax +1 0 ”为真命题，求出其充要条
件，再利用数集间的包含关系进行求解.
【详解】命题“ $x R ， x2 - ax +1 < 0 ”为假命题，
即命题“ "x R ， x2 - ax +1 0 ”为真命题，
则Δ= -a 2 - 4 0，解得-2 a 2，
对于 A：a [-2,2]是命题“ $ x R,x2 - ax+1<0 ”为假命题的充要条件，即选项 A 错误；
对于 B：(-2,1) 是[-2,2]的真子集，所以a (-2,1)是“ $x R, x2 - ax +1 < 0 ”为假命题的一个充分不必要条件，
故选项 B 错误；
对于 C：[-2,2]是[-2,3]的真子集，所以a [-2,3]是 “ $x R, x2 - ax +1 < 0 ”为假命题的一个必要不充分条
件，故选项 C 正确；
对于 D： (-2,3)与[-2,2]无包含关系，所以a (-2,3)是“ $x R, x2 - ax +1 < 0 ”为假命题的一个既不充分也不
必要条件，故选项 D 错误.
故选：C.
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题 p : "x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，则命题 p 的否定是（ ）
A．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 B．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
C．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 D．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
【答案】A
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.
【详解】由题意得 p : "x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5为全称量词命题，
故命题 p 的否定是$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，
故选：A
1
8．（2024 高一下·广西桂林·开学考试）命题“对任意的 x R ，有 < 0 ”的否定是（ ）
1- x
1 1
A．不存在 x R ，使 < 0 B．存在 x R ， 使 0
1- x 1- x
1
C．存在 x R ，使 x 1 D．对任意的 x R ， 0
1- x
【答案】C
1
【分析】解不等式 < 0 ，改命题的量词再否定结论可得命题的否定.
1- x
1
【详解】“对任意的 x R ，有 < 0 ”，
1- x
即“对任意的 x R ，有 x 1”，
其否定为“存在 x R ，使 x 1”，
故选：C.
9．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）命题 p : "x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，则命题 p 的否定是（ ）
A．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 B．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
C．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 D．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】解：因为命题"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 $x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，
故选：B
10．（2024·山东青岛·一模）若命题“"x R ， ax2 +1 0 ”为真命题，则实数 a的取值范围为（ ）
A． a 0 B． a 0 C． a 0 D．a 1
【答案】B
【分析】结合二次函数的性质来求得 a的取值范围.
【详解】依题意命题“"x R ， ax2 +1 0 ”为真命题，
当 a = 0时，1 0成立，
当 a 0时， ax2 +1 0 成立，
当 a < 0时，函数 y = ax2 +1开口向下， ax2 +1 0 不恒成立.
综上所述， a 0 .
故选：B
11．（2024 2 2高一上·湖南·阶段练习）若命题P :“ $x R, k -1 x + 4 1- k x + 3 0 ”是假命题，则 k 的取值范
围是（ ）
A． 1，7 B． 1,7
C． -7，1 D． -7,1
【答案】B
【分析】本题首先可根据题意得出命题“"x R ， k 2 -1 x2 + 4 1- k x + 3 0 ”是真命题，然后分为 k =1、
k = -1、 k 2 -1 0三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为命题“ $x R ， k 2 -1 x2 + 4(1- k)x + 3 0 ”是假命题，
“"x R k 2 -1 x2所以命题 ， + 4 1- k x + 3 0 ”是真命题，
若 k 2 -1 = 0，即 k =1或 k = -1，
当 k =1时，不等式为3 0，恒成立，满足题意；
当 k = -1时，不等式为8x + 3 0，不恒成立，不满足题意；
2
ìk -1 0
当 k 2 -1 0时，则需要满足 í 2 ， Δ =16 1- k - 4 k 2 -1 3 < 0
ì k -1 k +1 0
即 í k 1 k 7 0，解得1< k < 7， - - <
综上所述， k 的范围是 1,7 ，
故选：B.
12．（2024 2高二下·江西上饶·期中）已知命题“ $x0 R,4x0 + (a - 2)x
1
0 + 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围4
为（ ）
A． - ,0 B． 0,4
C． 4, + D． 0,4
【答案】D
【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.
1
【详解】由题意可知，命题“ $x0 R,4x
2
0 + (a - 2)x0 + 0 ”是假命题4
2 1
则该命题的否定“"x R,4x + (a - 2)x + >0 ”是真命题，
4
所以D = (a - 2)2 - 4<0，解得0 < a < 4 ；
故选：D.
13．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知 p : $x {x∣-1 < x < 3}, x2 - a - 2 0．若 p 为假命题，则 a 的取值范围为( )
A．{a∣a < -2} B．{a∣a < -1} C．{a∣a < 7} D．{a∣a < 0}
【答案】A
【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参.
【详解】因为 p 为假命题，所以 p : "x {x∣-1 < x < 3}， x2 - a - 2 0为真命题，
故当-1 < x < 3时， a < x2 - 2恒成立．
因为当-1 < x < 3时， y = x2 - 2的最小值为-2，
所以 a < -2，即 a 的取值范围为{a∣a < -2}．
故选：A.
14．（2024 高三上·四川成都·阶段练习）关于命题 p:“ $x N,6x2 - 7x + 2 0 ”，下列判断正确的是（ ）
A． p : "x N,6x2 - 7x + 2 0 B．该命题是存在量词命题，且为真命题
C． p : "x N,6x2 - 7x + 2 0 D．该命题是全称量词命题，且为假命题
【答案】C
【分析】首先判断所给的命题为存在命题，且为假命题，即可判断 B，D 错误，再写出所给命题的否命题即
可得到答案.
【详解】6x2 - 7x + 2 0 3x - 2 2x -1 0 1 x 2，解得 ，
2 3
所以命题 :“ $x N,6x2 - 7x + 2 0 ”为存在命题，且为假命题，故 B，D 错误；
命题 :“ $x N,6x2 - 7x + 2 0 ”的否命题为： p : "x N,6x2 - 7x + 2 0 .
故 C 正确.
故选：C
15．（2024 高二下·浙江温州·学业考试）设命题 p :"x R ， (x - 2)(x + 3) 0，则 p为（ ）
x - 2
A． 0 ∈ ， (x0 - 2)(x0 + 3) 0 B． ∈
0
0 ， 0x0 + 3
x0 - 2C．"x R ， (x - 2)(x + 3) 0 D． 0 ∈ ， 0 x = -3x0 + 3
或 0
【答案】D
【分析】根据命题的否定的定义即可得到答案.
【详解】根据命题的否定得任意变存在，结论相反，
p x ∈ 0
- 2
故 为 0 ， 0 x = -3x0 + 3
或 0 ，
故选：D.
16 2．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知命题 p : "x N*，总有 x + 2 0 ，则 p为（ ）
A $x N* x + 2 2． 0 ，使得 0 0 B．$x0 N*，使得 x0 + 2
2 0
C．"x N*
2
，总有 x + 2 0 D．"x N*，总有 x + 2 2 0
【答案】B
【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题 p 的否定．
* 2
【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，则 p为$x0 N ，使得 x0 + 2 0 .
故选：B．
17．（2024 高一上·山西·阶段练习）下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“"x R ， x2 +1< 0 ”是全称量词命题；
③命题“ $x R， x2 + 2x +1 0 ”是真命题；
④命题“有一个偶数是素数”是真命题.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】①命题是全称量词命题；②命题是全称量词命题；③④，通过举例得到命题是真命题.
【详解】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，不是存在量词命题，所以该命题是假命题；
②命题“"x R ， x2 +1< 0 ”是全称量词命题，所以该命题是真命题；
③命题$x R， x2 + 2x +1 0，如 x = -1，所以该命题是真命题；
④命题“有一个偶数是素数”是真命题，如 2，所以该命题是真命题.
故选：D
18．（2024 高一·浙江·期末）命题 p : $x R,ax2 + 2ax - 4 0为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． -4 < a 0 B．-4 a < 0 C．-3 a 0 D．-4 a 2
【答案】C
【解析】先化简命题 p 是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果.
【详解】命题 p : $x R,ax2 + 2ax - 4 0为假命题，即命题 p : "x R,ax2 + 2ax - 4 < 0为真命题，首先，a = 0
时， 4 < 0 2恒成立，符合题意；其次 a 0时， a < 0且D = 2a +16a < 0，即 -4 < a < 0，综上可知，
-4 < a 0 .
故选项 A 中， -4 < a 0是 -4 < a 0的充分必要条件；
选项 B 中-4 a < 0推不出 -4 < a 0，且 -4 < a 0推不出-4 a < 0，即-4 a < 0是 -4 < a 0的既不充分
也不必要条件；
选项 C 中-3 a 0可推出 -4 < a 0，且 -4 < a 0推不出-3 a 0，即-3 a 0是 -4 < a 0的一个充分
不必要条件；
选项 D 中-4 a 2推不出 -4 < a 0，且 -4 < a 0可推出-4 a 2，即-4 a 2是 -4 < a 0的一个必要
不充分条件.
故选：C.
19．（2024 高三上·山东）已知命题 p： x0＞0， x + a -1 = 0，若 p 为假命题，则 a 的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】D
【分析】根据命题的否定为真命题来解不等式处理.
【详解】∵p 为假命题，
∴ p为真命题，
即： x＞0， x + a -1 0，
即 x 1- a ，
∴1- a 0，解得a 1．
∴a 的取值范围是[1，+∞）．故 A，B，C 错误.
故选：D．
20．（2024 高三上·山东聊城·阶段练习）若“ $x [1,3], x2 - 2 a ”为真命题，则实数 a 的最小值为（ ）
A．-2 B．-1 C．6 D．7
【答案】B
【分析】由题知 x2 - 2 [-1,7]，再根据题意求解即可.
【详解】解：当 x [1,3]时， x2 [1,9]，所以 x2 - 2 [-1,7] .
因为命题“ $x [1,3], x2 - 2 a ”为真命题，
所以 a -1，实数 a 的最小值为-1.
故选：B
1
21．（2024 2高一上·河南南阳·阶段练习）已知命题“ $x R，使 4x + a - 2 x + 0 ”是假命题，则实数 a的取
4
值范围是（ ）
A． 0,2 B． 0,1 C． 0,4 D． - , 4
【答案】C
2
【分析】根据题意可得“"x R ，使 4x + a - 2 x + 14 0 ”是真命题，再根据二次不等式恒成立满足的判别
式关系求解即可.
Q “ $x R 4x2
1
【详解】 命题 ，使 + a - 2 x + 0 ”是假命题，
4
\命题“"x R ，使 4x2 + a - 2 x + 14 0 ”是真命题，
则判别式Δ = (a
1
- 2)2 - 4 4 < 0，解得0 < a < 4 .
4
故选：C.
22．（2024 2高一上·河北邢台·期末）命题 p : $x0 R，使得 kx0 - 6kx0 + k + 8 < 0成立.若 p 是假命题，则实数 k
的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． - ,0 1, + D． - ,0 1,+
【答案】A
【分析】根据 p 是假命题，得出 p为真命题，利用恒成立知识求解.
【详解】因为 p 是假命题，所以 p为真命题，即"x R ，使得 kx 2 - 6kx + k + 8 0 成立.
当 k = 0时，显然符合题意；
当 k 0时，则有 k 0 ，且36k 2 - 4k k + 8 0，解得0 < k 1.
故选：A.
23．（2024 2高一上·江苏泰州·期末）已知“ 0 ∈ ， x0 - x0 - a < 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围为（ ）
a 1 a 1 1 1A． - B． - C． a≤- D． a < -
4 4 4 4
【答案】A
2
【分析】由题知 a x - x min ，再根据二次函数求最值即可求解.
【详解】因为命题“ 0 ∈ ， x
2
0 - x0 - a < 0 ”为真命题，
“ ∈ a x2所以命题 0 ， 0 - x0 ”为真命题，
2
所以 x R 时， a x - x min ，
2
y x2 x x 1 1因为 = - = - ÷ - ，
è 2 4
1 1
所以当 x = 时， ymin = - ，2 4
1
所以 a - .
4
故选：A
24．（2024 高一上·山东滨州·阶段练习）已知命题 p : $x R, x2 + (a -1)x +1< 0，若命题 p 是假命题，则 a 的
取值范围为（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．1【答案】B
【分析】由命题 p 是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.
【详解】由题意:命题 p : $x R, x2 + (a -1)x +1< 0是假命题,
其否定: p : "x R, x2 + (a -1)x +1 0为真命题,
即D = (a -1)2 - 4 0 ，解得-1 a 3，
故选：B
25．（2024 高一下·湖南邵阳·阶段练习）命题 p : "a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有实根，则对命题 p
的真假判断和 p正确的为（ ）
A．真命题， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0无实根
B．假命题， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0无实根
C．真命题， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有实根
D．假命题， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有实根
【答案】A
【分析】利用判别式判断根的情况，进而判断命题真假，并写出否命题即可.
【详解】在一元二次方程 x2 - ax -1 = 0中D=a2 + 4 0恒成立，故对任意 a，方程都有实根，
故命题 p 为真命题， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0无实根.
故选：A
26．（2024 高三·全国·专题练习）下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（ ）
A．菱形的四条边都相等 B．$x N ，使 2x为偶数
C．"x R, x2 + 2x +1 0 D． π是无理数
【答案】A
【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义以及真假判断，一一判断各选项，即得答案.
【详解】对于 A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题.
对于 B，$x N ，使 2x为偶数，是存在量词命题.
对于 C，"x R, x2 + 2x +1 0 ，是全称量词命题，当 x= -1时， x2 + 2x +1 = 0，故是假命题.
对于 D， π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，
故选：A.
27．（2024 高一上·福建福州·期中）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．$m N, m2 +1 N
B．菱形都是平行四边形
C．$a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0没有实数根
D．平面四边形 ABCD，其内角和等于 360°
【答案】C
【分析】对 A，特称命题的否定为全称命题，由m = 0，计算即可判断真假；对 B，全称命题的否定为特称
命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对 C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号
即可判断真假；对 D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题．
【详解】对于 A，$m N ， m2 +1 N ，其否定为："m N， m2 +1 N，
由m = 0时， 0 +1 =1 N ，则原命题为真命题，其否定为假命题，故 A 不正确；
对于 B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，
原命题为真命题，其否定为假命题，故 B 不正确；
对于 C，$a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0没有实根，
其否定为："a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有实根，
由D=a2 + 4 0，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故 C 正确；
对于 D，平面四边形 ABCD，其内角和等于 360°为真命题，命题的否定为假命题，故 D 不正确；
故选：C.
28．（2024 高一上·安徽芜湖·阶段练习）命题 p：“ $x R, ax2 + 2ax - 4 0 ”为假命题的一个充分不必要条件
是（ ）
A． -4 < a 0 B．-4 a < 0 C．-3 a 0 D．-4 a 0
【答案】C
【分析】先化简命题 p 是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果.
【详解】命题 p : $x R, ax2 + 2ax - 4 0为假命题，即命题 p : "x R, ax2 + 2ax - 4 < 0为真命题，首先，a = 0
时， 4 < 0恒成立，符合题意；其次 a 0时， a < 0且D = 2a 2 +16a < 0，即 -4 < a < 0，综上可知，
-4 < a 0 .
故选项 A 中， -4 < a 0是 -4 < a 0的充分必要条件；
选项 B 中-4 a < 0推不出 -4 < a 0，且 -4 < a 0推不出-4 a < 0，即-4 a < 0是 -4 < a 0的既不充分
也不必要条件；
选项 C 中-3 a 0可推出 -4 < a 0，且 -4 < a 0推不出-3 a 0，即-3 a 0是 -4 < a 0的一个充分
不必要条件；
选项 D 中-4 a 0推不出 -4 < a 0，且 -4 < a 0可推出-4 a 0，即-4 a 0是 -4 < a 0的一个必要
不充分条件.
故选：C.
二、多选题
29．（2024 高一上·陕西西安·期末）关于命题“ $a N, a2 + a 0 ”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题
C．该命题是真命题 D．该命题是假命题
【答案】BC
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断 AB，再由命题真假判断 CD.
【详解】Q$a N, a2 + a 0是存在量词命题，
\A 选项错误 B 选项正确；
Qa = 0时， a2 + a 0成立，
\命题为真命题，即 C 正确 D 错误.
故选：BC
30．（2024 高三上· 2山东济宁·阶段练习）命题“ $x0 R ，使mx0 - (m + 3)x0 + m 0 ”是假命题，则实数 m 的取
值可以为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】由题可得"x R ，使mx2 - (m + 3)x + m 0是真命题，然后分类讨论结合二次不等式的解法即得.
【详解】若$x0 R ，使mx
2
0 - (m + 3)x0 + m 0是假命题，
则"x R ，使mx2 - (m + 3)x + m 0是真命题，
当 =0时，mx2 - (m + 3)x + m 0转化-3x 0，不合题意；
ìm>0
当m 0 时，则 í

，
m+3 2 - 4m2 <0
解得m 3，
综上，m 3 .
故选：CD.
31．（2024 高一上·山东泰安·期中）命题“ $x 1, 2 ， 2x2 - a 0 ”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． a 2 B． a 0 C． a 1 D． a 2 2
【答案】BC
【分析】先化简命题得到 a 2，再利用充分、必要条件的定义分析判断得解.
【详解】解：由题得 2 12 - a 0，\a 2 .
因为 a 2是 a 2的充要条件，a 0是 a 2的必要非充分条件，a 1是 a 2的必要非充分条件，a 2 2
是 a 2的非充分非必要条件.
故选：BC
32．（2024 高一上·湖南娄底·期末）命题 p : $x R， x2 - x +1 = 0．命题 q：任意两个等边三角形都相似．关
于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．p 是真命题 B． p : "x R， x2 - x +1 0
C．q 是真命题 D． ：存在两个等边三角形，它们不相似
【答案】BCD
【分析】根据根的判别式可判断命题 p 的真假，根据等边三角形的性质判断命题 q的真假，从而判断 AC，
根据命题的否定可判断 BD.
2
【详解】对于方程 x2 - x +1 = 0，D = -1 - 4 1 1 = -3 < 0 ,
所以"x R ， x2 - x +1 = 0无解，故 p 是假命题，故 A 错误；
p : "x R， x2 - x +1 0，故 B 正确；
任意两个等边三角形都相似，故 q 是真命题，故 C 正确；
：存在两个等边三角形，它们不相似，故 D 正确.
故选:BCD.
33．（2024 高一上·山东·期末）已知命题 p : $x R， ax2 - x +1 = 0，若 p 为真命题，则实数 a 的值可以是
（ ）
1 1
A．- B．0 C
1
． 4 D．4 2
【答案】ABC
【分析】根据条件，可知方程 ax2 - x +1 = 0有实根，分 a = 0和 a 0两种情况，求出 a的范围，再结合选项
得到 a的值即可.
【详解】因为$x R， ax2 - x +1 = 0为真命题，所以方程 ax2 - x +1 = 0有实根.
当 a = 0时， x =1符合题意；
当 a
1
0时，由方程 ax2 - x +1 = 0有实根，可得D = (-1)2 - 4a 0，所以 a .4
1 1
综上，实数 a的值可以是- ，0 和 .
4 4
故选:ABC.
34．（2024 高一上·全国·课后作业）下列命题的否定为假命题的是（ ）
A．对任意的 x R x2
1
， - x + ≥04
B．所有的正方形都是矩形
C．存在 x R,x2 + 2x + 2 0
D．至少有一个实数 x，使 x3 +1 = 0
【答案】ABD
【分析】根据全称命题以及特称命题的否定，即可写出每个选项中命题的否定，继而判断真假.
2 1
【详解】A 中命题的否定：存在 x R, x - x + < 0，
4
x2 1 1由于 - x + = (x - )2 0，故该命题是假命题．
4 2
B 中命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
C 中命题的否定：对任意的 x R,x2 + 2x + 2 0，
由于 x2 + 2x + 2 = (x +1)2 +1 0 ，该命题是真命题．
D 中命题的否定：对任意的 x R, x3 +1 0，
因为 x = -1时， x3 +1 = 0，故该命题是假命题．
故选：ABD
35．（2024 高一上·河北石家庄·阶段练习）下列四个命题的否定为真命题的是（　　）
A．p:所有四边形的内角和都是360°
B．q: $x R , x2 + 2x + 2 0
C． r : $x x x是无理数 ， x2是无理数
D．s:对所有实数 a，都有 a 0
【答案】BD
【分析】A 选项，判断出 p 为真命题；B 选项，写出 ，得到其为真命题；C 选项，举出反例得到 r 为真命
题；D 选项，举出反例得到 s为假命题.
【详解】A 选项，所有四边形的内角和都是360°，故 p 为真命题，则 p为否命题，A 错误；
B 选项， q : "x R ， x2 + 2x + 2 0，由于 x2 + 2x + 2 = x +1 2 +1 0，故 为真命题，B 正确；
C 选项，当 x = π 时， x2也是无理数，故 r 为真命题，则 r 为假命题，C 错误；
D 选项，当 a = 0时， a = 0，故 s为假命题，故 s 为真命题，D 正确.
故选：BD
36．（2024 高一上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（ ）
A．命题“ $x R ， x2 + 4x + 4 0 ”是存在量词命题
B．命题“"x R，x2 + 2 < 0 ”是全称量词命题
C．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题
D．命题“不论m 取何实数，方程 2 + = 0必有实数根”是真命题
【答案】AB
【分析】根据存在量词命题与全称量词命题的定义逐个选项判断即可.
【详解】对 A，命题中含“ $x R ”，故命题是存在量词命题，A 正确；
对 B，命题中含“"x R ”，故命题是全称量词命题，B 正确；
对 C，命题中含“所有的”，故命题是全称量词命题，C 错误；
对 D，当m = -1时， x2 + x +1 = 0无实数根，D 错误；
故选：AB
37．（2024 高一上·广东江门·期中）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（ ）
A．中国所有的江河都流入太平洋 B．有的四边形既是矩形，又是菱形
C．存在 x R ，有 x2 + x +1 = 0 D．有的数比它的倒数小
【答案】BD
【分析】选项 A 是全称量词命题，排除；选项 C 为假命题，排除；选项 B D 满足；得到答案.
【详解】对选项 A：中国所有的江河都流入太平洋是全称量词命题，排除；
对选项 B：有的四边形既是矩形，又是菱形是存在量词命题且为真命题，比如正方形，正确；
2
对选项 C 1 3：存在 x R ，有 x2 + x +1 = 0是存在量词命题且为假命题，因为 x2 + x +1 = x + 2 ÷
+ 0 恒成立，
è 4
排除；
1
对选项 D：有的数比它的倒数小是存在量词命题且为真命题，比如 ，正确；
2
故选：BD
38．（2024 高一上·湖南长沙·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．已知集合M , P满足命题“"x1 M ,$x2 P, x1 - x2 = 0 ”为真命题，则M P
B．已知集合M , P满足命题“"x1 M ,$x2 P, x
2 - x21 2 = 0 ”为真命题，则M P
C．已知集合M 满足命题“ $x M , x2 - x < 2”为真命题，则M x -1 < x < 2
D．已知集合M 满足命题“ $x M , x -1 1”为假命题，则M x 0 < x < 2
【答案】AD
【分析】结合命题的真假性对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】A， “"x1 M ,$x2 P, x1 - x2 = 0 ”为真命题， x2 = x1 ,则M P ，A 正确.
B “"x M ,$x P, x2 - x2， 1 2 1 2 = x1 + x2 x1 - x2 = 0”为真命题，x2 = x1 或 x2 = -x1，所以M , P不一定有包含关
系，B 错误.
C 2，“ $x M , x2 - x < 2”为真命题， x - x - 2 = x - 2 x +1 < 0,-1< x < 2，如M = R 符合，所以 C 错误.
D，“ $x M , x -1 1”为假命题，“"x M , x -1 <1”为真命题，-1 < x -1<1，0 < x < 2，则
M x 0 < x < 2 ，D 正确.
故选：AD
39．（2024 高一上·山西运城·期中）命题“ $-1 x 2, x2 + m2 - 3m 0 ”是真命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A．0 m 3 B．1 ≤ ≤ 2 C．-1≤m≤3 D．0 < m < 3
【答案】BD
【分析】根据命题“ $-1 x 2, x2 + m2 - 3m 0 ”是真命题求出 m 的取值范围，结合充分不必要条件与集合
之间的包含关系，即可判断出答案.
【详解】命题“ $-1 x 2, x2 + m2 - 3m 0 ”是真命题,
则m2 - 3m (-x2 )max , (-1 x 2)，当 x = 0时， 2取得最大值 0，
即m2 - 3m 0，即0 m 3，
结合四个选项，有[1, 2], (0,3)是集合[0,3]的真子集，
故命题“ $-1 x 2, x2 + m2 - 3m 0 ”是真命题的一个充分不必要条件可以是1 ≤ ≤ 2或0 < m < 3，
故选：BD .
三、填空题
40．（2024·陕西西安·模拟预测）命题“"x R ， x2 +1 2x ”的否定是 .
【答案】$x R， x2 +1< 2x
【分析】利用全称命题的否定形式变换即可.
【详解】由全称命题的否定形式可得：“"x R ， x2 +1 2x ”的否定是
“ $x R， x2 +1< 2x ”.
故答案为：$x R， x2 +1 < 2x .
41．（山东省枣庄市 2023-2024 2学年高三上学期期末数学试题）已知“ 0 ∈ ，ax0 +1< 0 ”为假命题，则实数
a 的取值范围是 .
【答案】 0, +
【分析】写出原命题的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.
【详解】因命题“ ∈ ax20 ， 0 +1< 0 ”为假命题，则命题“"x R ， ax2 +1 0 ”为真命题，
当 a = 0时，1 0恒成立，则 a = 0；
ìa 0
当 a 0时，必有 í ，解得 a 0，
Δ = -4a 0
综上，实数 a 的取值范围是 0, + .
故答案为： 0, +
42．（2024 高一上·山东临沂·期末）若 p : "x R, mx2 - 2mx + 2 0为真命题，则实数m 的取值范围是 .
【答案】 0,2
【分析】根据题意，分m = 0与m 0 分别讨论，列出不等式求解，即可得到结果.
【详解】因为 p : "x R, mx2 - 2mx + 2 0为真命题，
当m = 0时，即 2 0 ，成立；
ìm 0
当m 0 时，即 í ，解得0 < m < 2
Δ = 4m
2 -8m < 0
综上所述，m 的取值范围是 0,2
故答案为: 0,2
43．（2024 高三下·广东·阶段练习）若命题“ $x R,x2 + mx + 2m - 3 < 0 ”为假命题，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】[2，6]
【分析】写出命题的否定，利用不等式对应的二次函数的图像与性质建立不等关系，即可求出实数 m 的取
值范围.
【详解】由命题“ $x R,x2 + mx + 2m - 3 < 0 ”的否定为“"x R,x2 + mx + 2m - 3 0 ”，
因为命题“ $x R,x2 + mx + 2m - 3 < 0 ”为假命题，则“"x R,x2 + mx + 2m - 3 0 ”为真命题，
所以D = m2 - 4(2m - 3) 0 ，解得 2 m 6，
则实数m 的取值范围是 2,6 .
故答案为： 2,6 .
44．（2024 高二上·四川成都·阶段练习）命题 p ：“ $x R ， ax2 + 2ax - 4 0 ”为假命题，则 a的取值范围
是 ．
【答案】 -4 < a 0
【分析】由“ $x R ，ax2 + 2ax - 4 0 ”为假命题得到“"x R ，ax2 + 2ax - 4 < 0 ”为真命题，然后分类讨论 a = 0
和 a 0两种情况，列不等式求解即可.
【详解】“ $x R ， ax2 + 2ax - 4 0 ”为假命题则“"x R ， ax2 + 2ax - 4 < 0 ”为真命题，
①当 a = 0时， 4 < 0，成立；
ìa < 0
②当 a 0时， í ，解得 -4 < a < 0Δ 0 ； <
综上所述， -4 < a 0 .
故答案为： -4 < a 0 .
45．（2024 高一上·湖北黄冈·阶段练习）命题 p ："x x | -2 x -1 ，-x2 + mx -1 0为真命题的一个充分
条件是 ．
【答案】m m | m 0 （不唯一，集合 m | m -2 的子集即可）
【分析】根据题意，求解命题 p 为真命题时，m 的取值范围，进而根据充分条件的概念求解即可.
【详解】解：因为，对于"x x | -2 x -1 ，-x2 + mx -1 0为真命题，
所以，对于"x x | -2 x -1 ，-x2 + mx -1 0恒成立，
1
所以，对于"x x | -2 x -1 ， + x m恒成立，
x
y 1因为，对勾函数 = + x, x -2, -1 的最大值为-2，
x
所以，对于"x x | -2 x -1 1， + x m恒成立，则m -2
x
所以，命题 p 为真命题时，m 的取值范围是 m | m -2 ，
所以，命题 p ："x x | -2 x -1 ， -x2 + mx -1 0为真命题的一个充分条件可以是 m | m 0 （不唯一，
集合 m | m -2 的子集即可）
故答案为：m m | m 0 （不唯一，集合 m | m -2 的子集即可）
46．（2024高二下·河北保定·期末）已知命题“ $x [-6,-1]，x2 - mx + 4…0 ”是假命题，则m的取值范围是 .
, 20【答案】 - -

è 3 ÷
【分析】假命题的否定为真命题，转化为恒成立问题，再利用分离参数法处理.
4
【详解】由题意可知命题“"x [-6, -1]， x2 - mx + 4 < 0 ”是真命题，即"x [-6, -1]，m < x + .因为x
6 x 1 20 x 4 20- - ，所以- + - 4，则m < - .
3 x 3
20
故答案为：m < - .
3
47．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x | 0 x a ，集合B = x | m2 + 3 x m2 + 4 ，如果命题
“ $m R ， AI B ”为假命题，则实数 a 的取值范围为 .
【答案】 - ,3 / a < 3 / a a < 3
【分析】先由题意得到“"m R， AI B = ”为真命题，讨论 a < 0和 a 0两种情况，即可求出结果.
【详解】命题“ $m R ， AI B ”为假命题，则其否定“"m R， AI B = ”为真命题.
当 a < 0时，集合 A = ，符合 AI B = .
当 a 0时，因为m2 + 3 0，
所以由"m R， AI B = ，得 a < m2 + 3对于任意m R 恒成立，
又m2 + 3 3，所以0 a < 3 .
综上，实数 a 的取值范围为 - ,3 .
故答案为： - ,3 .
48．（2024 高一上·河北邢台·阶段练习）若命题 p ：“ $x R， ax2 - 2ax - 2 0 ”是假命题，则实数 a的取值
集合为 .
【答案】 -2,0
【分析】命题与命题的否定真假性相反，分类讨论即可.
【详解】由题知，命题 p ：“ $x R， ax2 - 2ax - 2 0 ”是假命题
所以"x R ， ax2 - 2ax - 2 < 0是真命题，
当 a = 0时，-2 < 0恒成立，满足题意，
ì a < 0
当 a 0时，由题意知 í
Δ = -2a
2 ，- 4a (-2) < 0
解得-2 < a < 0，
综上可得-2 < a≤0 ，
故答案为： -2,0
49 2024 · · “ $x R, x2．（ 高一上 重庆 期末）若命题 0 0 + x0 - a = 0 ”为假命题，则实数 a的取值范围为 ．
, 1- - 【答案】 ÷
è 4
2
【分析】命题“ $x0 R, x0 + x0 - a = 0 ”为假命题，等价于“方程 x2 + x - a = 0 无实根”，则D =1+ 4a < 0，求解
即可．
【详解】命题“ $x0 R, x
2
0 + x0 - a = 0 ”为假命题，等价于“方程 x2 + x - a = 0 无实根”，
1 1
则D =1+ 4a < 0，解得 a < - ，即实数 a的取值范围为 - , - ．
4 ֏ 4
1
故答案为： - , -

÷．
è 4
50．（2024·吉林·二模）命题“ $x R， ax2 + x +1< 0”为假命题，则实数 a的取值范围为 .
1
【答案】 a
4
【分析】
分析可知命题“"x R ， ax2 + x +1 0 ”为真命题，对实数 a的取值进行分类讨论，在 a = 0时，直接验证即
可；当 a 0时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数 a的不等式组，综合可得出实数 a的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“"x R ， ax2 + x +1 0 ”为真命题.
当 a = 0时，由 x +1 0可得 x -1，不合乎题意；
ìa 0
当 a 0
1
时，由题意可得 í a
Δ =1- 4a 0
，解得 .
4
因此，实数 a
1
的取值范围是 a .
4
1
故答案为： a .
4
四、解答题
51．（2024 高一上·云南昭通·阶段练习）命题 p："x x 3 x 5 ， x - a 0 .在① $x R， ax2 + 2x +1 = 0；
②存在集合 A = x 2 < x < 4 ，集合 B = x a < x < 2a ，使得 AI B = ，这 2 个条件中任选一个作为命题 q，
并求解下列问题.
(1)若命题 p 是真命题，求实数 a的取值范围；
(2)若命题 p 和命题 q都是真命题，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) - ,3 ；
(2)选择①②，都有 a - ,1 .
【分析】（1）根据不等式恒成立，分离参数，即可容易求得参数的范围；
（2）选择不同的条件，根据方程有根，以及集合之间的关系，即可求得命题 q为真的条件，再和（1）中所
求取交集即可.
【详解】（1）根据题意，"x x 3 x 5 ， x - a 0恒成立，
即 a x恒成立，只需 a 3，故 a - ,3 .
（2）选择①：$x R， ax2 + 2x +1 = 0，
若 a = 0，显然满足题意；
若 a 0，D = 4 - 4a≥0，解得a 1，
故命题 q为真时， a - ,1 ，
根据（1）中所求，若命题 p 和命题 q都是真命题，
则 a - ,1 ；
选择②：存在集合 A = x 2 < x < 4 ，集合B = x a < x < 2a ，使得 AI B = ，
当 a 2a，即 a 0时，B = ，显然满足题意；
当 a < 2a，即 a 0时，只需 2a≤2或 a 4，解得 a 0,1 4,+ .
故命题 q为真时， a - ,1 4,+ .
根据（1）中所求，若命题 p 和命题 q都是真命题，
则 a - ,1 .
52．（2024 高一上·陕西安康·阶段练习）已知全集 = ，集合 A = {x |1 < x 3}，集合B = {x | 2m < x <1- m}．
(1)若 AI B B ，求实数m 的范围；
(2)若"x1 A，$x2 B ，使得 x1 = x2 ，求实数m 的范围．
1
【答案】(1) (- , )
3
(2) (- ,-2)
【分析】
（1）可先求出 AI B = B，即B A时m 的范围，即可求解；
（2）先得到 A B ，再列出不等式，即可求解
【详解】（1）若 AI B = B，则B A，
当B = 时，则 2m 1
1
-m，\m ，
3
ì2m <1- m

当B 时，则 í2m 1 ，则m 不存在，

1- m 3
m 1综上， ，\ AI B B，实数m
1
的范围为 (- , ) ．
3 3
（2）Q"x1 A，$x2 B ，使得 x1 = x2 ，
\ A B ，且 ≠ ，
ì2m 1
则 í1 m 3，
\m < -2，
-
\实数m 的范围为 (- ,-2) ．
53．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x -2 x 5 ，B = x m +1 x 2m -1 ，且B ．
(1)若命题 p ：“"x B， x A”是真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题 q：“ $x A， x B ”是真命题，求实数m 的取值范围。
【答案】(1) 2 m 3
(2) 2 m 4
【分析】（1）命题 p 可转化为B A，又B ，列出不等式控制范围，即得解；
（2）命题 q可转化为 AI B ，先求解 AI B = ，且 B 时，实数m 的范围，再求解对应范围的补集，
即得解
【详解】（1）因为命题 p ：“"x B， x A”是真命题，所以B A，又B ，
ìm +1 2m -1

所以 ím +1 -2 ，解得 2 m 3

2m -1 5
（2）因为B ，所以m +1 2m -1，得m≥ 2 ．
又命题 q：“ $x A， x B ”是真命题，所以 AI B ，
若 AI B = ，且B 时，则 2m -1< -2或m +1 5，且m≥ 2
即m 4
故若 AI B ，且B 时，有 2 m 4
故实数m 的取值范围为 2 m 4
54．（2024 高一上·福建厦门·期中）已知命题 p : $x R， ax2 + 2x -1= 0为假命题．
(1)求实数 a 的取值集合 A；
(2)设集合B = x 6m - 4 < 2x - 4 < 2m ，若“ x A”是“ x B ”的必要不充分条件，求 m 的取值范围．
【答案】(1) A = a a < -1
(2) ≤ 3或 ≥ 1
【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即D < 0求解即可；
（2）根据题意先求得 B A ，再分情况求得m 的范围即可．
【详解】（1）解：命题 p 的否命题为"x R ， ax2 + 2x -1 0为真，
\a 0 且Δ = 4 + 4a < 0，
解得 a < -1．
∴ A = a a < -1 ．
（2）解：由6m - 4 < 2x - 4 < 2m 解得
3m< x若“ x A”是“ x B ”的必要不充分条件，
则 B A ，
∴当B = 时，即3m m + 2，
解得 ≥ 1；
当m <1时，m + 2 -1，
解得 ≤ 3，
综上： ≤ 3或 ≥ 1．
55．（2024 高一上·河南许昌·阶段练习）已知命题 p：“ $x R，使不等式 x2 - 2x - m 0成立”是假命题．
(1)求实数 m 的取值集合 A；
(2)若 q : -4 < m - a < 4是 p的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1) - ,-1
(2) - , -5
【分析】（1）把特称命题转化为全称命题，即可根据一元二次不等式恒成立问题得出答案；
（2）利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.
【详解】（1）命题 p：“ $x R，使不等式 x2 - 2x - m 0成立”是假命题，
则“"x R ，使不等式 x2 - 2x - m 0恒成立”是真命题，
故D = 4 + 4m < 0，解得m < -1，
故m - ,-1 ，即 A = - , -1 .
（2）由于命题： q : -4 < m - a < 4，整理得： a - 4 < m < 4 + a，
由小问 1 得 p：m < -1，
由于 q是 p的充分不必要条件，
所以 a + 4 -1，解得 a -5，
故实数 a的取值范围为 - , -5 .
56．（2024 高二上·河北张家口·阶段练习）已知命题 p :"x R ， x2 + 2m - 3 0，命题 q : $x0 R ，
x20 - 2mx0 + m + 2 < 0 .
(1)若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
(2)若命题 q 为真命题，求实数 m 的取值范围；
(3)若命题 p，q 至少有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) ìím | m
3
ü
2
(2){m | m < -1或m 2}
ì 3ü
(3) ím m < -1或m 2
2
【分析】（1），可转化个3 - 2m < x ；
mi n
（2），可转化成方程 x2 - 2mx + m + 2 = 0有两不等实根；
（3），即 p 或 q 为真命题，结合（1）（2）即可得到答案
【详解】（1）若命题 p 为真命题，则 x2 3 - 2m 对 x R 恒成立，
即3 - 2m < x2 ，因此3 - 2m < 0 3，解得m .
mi n 2
ì
因此，实数 m 的取值范围是 ím | m
3
ü
2 .
（2）若命题 q 为真命题，则方程 x2 - 2mx + m + 2 = 0有两不等实根，
所以D = (-2m)2 - 4(m + 2) 0 ，则m2 - m - 2 0，解得m < -1或m>2 .
因此，实数 m 的取值范围是{m | m < -1或m 2} .
（3）若命题 p，q 至少有一个为真命题，即 p 或 q 为真命题，
ì 3ü 3
则结合（1）（2）得m ím | m {m | m < -1或m 2} m
ì
ím m < -1 m
ü
或 ，
2 2


ì
因此，实数 m 的取值范围是 ím m < -1
3ü
或m
2
57．（2024 高一上·内蒙古·阶段练习）已知命题 q :“ $x 满足-2 < x < 2，使 x2 - 2x - a = 0”，
(1)命题 :“ $x R, x2 + a -1 x + 4 < 0 ”，若命题 , 中至少一个为真，求实数 a的范围.
(2)命题 p : 2a < x < a +1，若 p 是 q的充分不必要条件，求实数 a的范围.
【答案】(1) a a < -3或 a -1 ；
é 1- , + (2) ê 2 ÷
【分析】（1）先求出命题 , 为真和假时 a的取值范围，由此可得命题 , 都为假命题时 a的取值范围，进而
即可求解；
（2）记 A = -1,8 , B = 2a, a +1 ，由题意可得 B A ，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；
【详解】（1）命题 q :“ $x 满足-2 < x < 2，使 x2 - 2x - a = 0”，为真命题时，
a x2 2x f x = x2= - ，令 - 2x, -2 < x < 2 ，则-1 f x < 8，
所以-1 a < 8，
所以命题 q为假时，则 a < -1或 a 8，
:“ $x R, x2命题 + a -1 x + 4 < 0 ”，为真命题时，
D = a -1 2 - 4 4 0，解得 a < -3或 a 5，
所以命题 q为假时，则-3 a 5，
ì-3 a 5
又因为命题 , 都为假命题时， í
a < -1或a 8
，
即-3 a < -1，
所以命题 , 中至少一个为真时，实数 a的范围是 a a < -3或 a -1 ；
（2）由（1）可知：命题 q为真命题时，-1 a < 8，
记 A = -1,8 , B = 2a, a +1
因为 p 是 q的充分不必要条件，
所以 B A ，
当B = 即 2a a +1，也即a 1时，满足条件；
当B 时，
ì2a < a +1
2a -1 1í ，解得- a <1；
2
a +1 8
é 1
综上可知：实数 a的范围是 ê- , + 2 ÷

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