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1.4 充分条件与必要条件 5 题型分类
一、充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
“若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题
推出关系 p q p q
p 是 q 的充分条件 p 不是 q 的必要条件
条件关系
q 是 p 的充分条件 q 不是 p 的必要条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
【特别提醒】
对充分条件和必要条件的理解：
1
(1)对“推出”的正确理解：对于命题 p：∠A＝30°，q：sin A＝ .显然 p 可以推出 q，记为 p q，而 q 是不能
2
推出 p 的．
(2)若 p q，则 p 是 q 的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够
的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．
(3)若 p q，则 q 是 p 的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成
立，无之必不成立”．
（4）以下五种表述形式是等价的：①p q；②p 是 q 的充分条件；③q 的充分条件是 p；④q 是 p 的必要
条件；⑤p 的必要条件是 q。
二、充要条件
充要条件
(1)如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p q，又有 q p，就记作 p q，此时，
p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们就说 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件．概括地说，如果 p q，那么 p 与 q 互为充要条件．
【特别提醒】
（1）若 p 是 q 的充要条件，则 p q，即命题 p 和 q 是两个相互等价的命题。
（2）“p 是 q 的充要条件”与“p 的充要条件是 q”的区别是：若 p 是 q 的充要条件说明 p 是条件，q 是结论；
若 p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论．
三、从集合的角度理解充分与必要条件
若 p 以集合 A的形式出现， q 以集合 B 的形式出现，即 p ： A {x | p(x)}， q ： B {x | q(x)}，则
（1）若 A B ，则 p 是 q 的充分条件；
（2）若 B A，则 p 是 q 的必要条件；
（3）若 A B ，则 p 是 q 的充分不必要条件；
（4）若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件；
（5）若 A B ，则 p 是 q 的充要条件；
（6）若 A B 且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
四、充分性必要性高考高频考点结构
（1） p 是 q 的充分不必要条件 p q 且 q p（注意标志性词：“是”，此时 p 与 q 正常顺序）
（2） p 的充分不必要条件是 q q p 且 p q（注意标志性词：“的”，此时 p 与 q 倒装顺序）
（一）
命题的概念及结构
命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的语句
是真命题，判断为假的语句是假命题.命题的表示：命题表示为“若 p，则 q”时，p 是命题的条件，q 是命题
的结论.
题型 1：命题真假的判断
1-1．（24-25 高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合 A 与 B，下列命题中是假命题的是（ ）
A．若 A B A，则 A B B．若 AU B A，则 A B
C．若 A B ，B A，则 A B D．若 AI B ，则 A 或B
1-2．（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（ ）
A．5 > 2且7 > 8 B．3 > 4或3 < 4
C．9 7 D．方程 x2 - 3x + 4 0 有实根
1-3．（2024·河南平顶山·模拟预测）下列结论错误的是（ ）
A．不大于 0 的数一定不大于 1
B．367 人中一定有同月同日出生的两个人
C．如果今天是星期五，那么 2000 天后是星期四
D．若点 P 到VABC 三边的距离相等，则 P 未必是VABC 的内心
1-4．（2024 高一上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果 a > b，那么 a2 > b2 B．如果 a > b，那么 ac2 > bc2
a b
C．如果a > b,c > d ，那么 > D．如果 a > b,c < d ，那么 a - c > b - d
d c
（二）
充分、必要条件的判断
1、充分条件的判断
(1)判定 p 是 q 的充分条件要先分清什么是 p，什么是 q，即转化成 p q 问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若 p 构成的集合为 A，q 构成的集合为 B，
A B，则 p 是 q 的充分条件．
(3)关键是将判断命题中条件与结论的关系转化为判断集合间的包含关系，解题时注意充分条件与必要条件
的概念，谨防将两者弄颠倒；解决集合间的包含关系时，利用数轴的直观性可优化解题过程，同时要注意
端点值的取舍.
2、必要条件的判断
(1)判断 p 是 q 的什么条件，主要判断若 p 成立时，能否推出 q 成立，反过来，若 q 成立时，能否推出 p 成
立；若 p q 为真，则 p 是 q 的充分条件，若 q p 为真，则 p 是 q 的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若 A B，则甲是乙的必要条件．
3、判断 p 是 q 的什么条件,通常有如下两种方法:
(1)定义法，即把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再用定义进行判断，这是最常用、最基本的
方法.通常对 p q 要予以证明，p q 可举反例说明.
(2)集合法，利用集合间包含关系进行判断，常用于一些范围问题.
题型 2：充分、必要条件的判断
2-1．（2024 高一·全国·课后作业）已知 a,b R ，则“ a > b ”的一个必要条件是（ ）
A．| | > | | B． a2 > b2
C． a > b +1 D． > 1
2-2．（2024 高一上·山东临沂·期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞
将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将
不在的什么条件？（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
2-3．（2024 高二上·陕西西安·期末）设 x R ，则“ x 2 ”是“ x2 4 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2-4．（2024 高二下·陕西宝鸡·阶段练习）若集合 A 2, x2 - x ，则“ 6 A ”是“ x 3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
2-5．（2024 高一上·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知 p：“ x2 - 3x - 4 0 ”，q：“ x=-1”，则 p 是 q 的（　　）
A．充要条件 B．既不充分也不必要
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
2-6．（2024 高二下·湖南益阳·期末）已知 p : 2x - 5 > 0 ， q : x2 - x - 2 > 0，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2-7．（24-25 高一上·上海·随堂练习）下列“若 p ，则 q ”形式的命题中， p 是 q的充分条件的有 ．
（三）
探求命题为真的一个充要条件
探求充要条件一般有两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的
充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探
求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证
题型 3：探求命题成立的一个充分、必要条件
3-1．（2024 高一·全国·课后作业）关于 x 的方程 ax +1 0 有实根的一个充分条件是（ ）
A． a 0 B． a 1
C． a 1 D． a <1
3-2．（2024 高一上·湖北十堰·期中）使 x x | x 0 或 x > 3}成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． x 0 或 x > 3 B． x < -1或 x > 3
C． x 0 或 x >1 D． x 0
3-3．（2024 高一下·重庆江北·开学考试）“关于 x 的不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集为 R”的一个必要不充分条
件是（ ）
A．0 < a <1 B．0 a <1 C．0 < < 1 D．0 < a < 0.93
3-4．（2024 高一上·山东青岛·期中）“"x R ，不等式 ax2 + 2ax +1 > 0成立”的充要条件是（ ）
A．0 < a 2 B．0 a <1
C． 0≤a
1
≤ D．-1 < a 12
3-5．（2024 高一上·四川成都·阶段练习）不等式 x2 - x + m > 0在R 上恒成立的一个充要条件是（ ）
m 1A． > B．0 < m <1 C．m > 0 D．m >1
4
3-6．（2024 高二下·上海闵行·期末）不等式mx2 - mx - 2 < 0对任意 ∈ 恒成立的充要条件是m ．
（四）
根据充分条件或必要条件求参数的范围
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：
①化简 p ，q两命题.
②根据 p 与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系.
③利用集合间的关系建立不等关系，
④求解参数范围.
题型 4：利用充分、必要条件求参数
4-1．（2024 高一上· 2 2湖南郴州·阶段练习）设集合 A x x + 3x + 2 0 ，B x x + m +1 x + m 0 ；
(1)用列举法表示集合A ；
(2)若 x B是 x A的充要条件，求实数m 的值.
2 - x
4-2．（2024 高二下·湖南长沙·期中）已知 p : x k, q : 0，如果 p 是 q的充分不必要条件，则实数 k 的
x +1
取值范围是（ ）
A． 2, + B． 1, +
C． 1, + D． - ,-1
4-3．（2024 高一上·江西·期中）已知全集U R ，集合 A x 0 < x <1 ，B x a < x <1- a .
(1)当 a -1时，求 U A I B ；
(2)已知“ x A”是“ x B ”的必要条件，求实数 a的取值范围.
4-4．（2024·江苏连云港·二模）若不等式-a +1 < x < a +1的一个充分条件为0 < x <1，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． a > 0 B． a 0 C． a >1 D．a 1
4-5．（2024 高一上·广东汕尾·期末）已知集合 A x -1 < x < 3 ，B x x < m -1或 x m +1 .
(1)当m 0时，求 A B ；
(2)若 x A是 x B的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
4-6．（2024 高一下·吉林长春·开学考试）已知 p : x < a， q : x < 3， p 是 q的必要不充分条件，则实数 a的取
值范围为 .
1 1
4-7．（2024 高一上·全国·课后作业）已知不等式m -1< x < m +1成立的充分条件是 < x < ，则实数m 的取
3 2
值范围是（ ）
ì 1 4ü ì 1 4ü
A． ím∣m < - 或m >2 3
B． ím∣m < - 或m
2 3
ìm 1 m 4ü ìC． í - < < D． ím
1
- m 4ü
2 3 2 3
4-8．（2024 高一上·广东惠州·阶段练习）设集合 A {x∣-1 < x < 3}, B {x∣1- m < x m +1, m 0}，命题 : ∈ ，
命题 : ∈
(1)若 p 是 q的充要条件，求正实数m 的取值范围；
(2)若 p 是 q的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.
4-9．（2024 高一上·安徽淮北·阶段练习）已知集合 = { |1 < < 3}，集合 = { |2 < < 1 }．
(1)若 AI B ，求实数m 的取值范围；
(2)命题 : ∈ ，命题 : ∈ ，若 p 是 q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
4-10．（2024 高一上·湖北武汉·期末）已知 p : x2 - 5x - 6 < 0， q :1- m x 3 + m ．
(1)若 p 是 q的充分条件，求实数m 的取值范围；
(2)若 p 是 q的必要条件，求实数m 的取值范围．
（五）
充要条件的证明
充要条件的证明策略
（1）要证明一个条件 p 是否是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若
p，则 q”为真且“若 q，则 p”为真.
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的解集是相同的，证明前必须分清楚充
分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
题型 5：充要条件的证明
5-1．（2024 高一上·贵州贵阳·阶段练习）求证： x=1是一元二次方程 ax2 + bx + c 0的一个根的充要条件是
a + b + c 0 a 0 .
5-2．（2024 高一上·贵州贵阳）求证：关于 x 的方程 ax2 + bx + c 0有一个根是 1 的充要条件是 + + = 0.
5-3．（2024 高一上·湖南长沙·阶段练习）VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，求证：
a2 - b2 - ac + bc 0的充要条件是 A B．
5-4．（2024 高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知 ab 0，求证：a3 + b3 + ab - a2 - b2 0是a + b 1的充要条件.
一、单选题
1．（2024 高二下·江苏南通·阶段练习）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故，
有之必无然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．不能确定
2．（2024 高三上·云南·阶段练习）唐代著名诗人杜牧在《赤壁》一诗中写有“东风不与周郎便，铜雀春深锁
二乔”，即杜牧认为，如果没有东风，那么东吴的二乔将会被曹操关进铜雀台，即赤壁之战东吴将输给曹
操．那么在杜牧认为，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024 高二上·陕西西安·期末）“ 2 = 0”是“ x 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024 高三上·天津北辰·期末）已知 x R ，“ x > 2或 x<- 4 ”是“ x + 1 > 3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
ìx - ay 1
5．（2024 高一上·上海·阶段练习）设 ∈ R，关于 x, y的方程组 í .ax 对于命题：
①存在 a，使得该方
+ y a
程组有无数组解；②对任意 a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
6．（2024 高二下·四川绵阳·阶段练习）对于命题 p： m < 1，命题 q：方程mx2 - 2x + 3 0有两个同号且不等
实根，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024 高二下·四川成都·阶段练习）若条件 p : -1 < b <1，条件 q : -2 < b < 2，则 p 是 q的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
x
8．（2024 高一上·辽宁·期末）给出的下列条件中能成为 0的充分不必要条件是（ ）
x - 3
A． x 0 或 x > 3 B． x < -1或 x > 3 C． x -1或 x 3 D． x 0
9．（2024·江西·模拟预测）设 x R ，则“ 2x -1 x ”是“ x2 + x - 2 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024 高二上·陕西西安·阶段练习）命题“ 2x2 - 5x - 3 < 0 ”的一个充分不必要条件是（ ）
1 1
A．- < x < 3 B．- < x < 4
2 2
3 x 1C．- < < D．1< x < 2
2
11．（2024·山西·一模）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青
海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返
回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
12．（2024·河南开封·模拟预测）设 a R ，则“ a3 < 27 ”是“ a -1 < 2 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要条
件
x -1
13．（2024 高二·广东·学业考试）“ (x -1)(x + 2) > 0 ”是“ > 0 ”的（ ）
x + 2
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
1
14．（上海市上海师范大学附属中学 2023-2024 学年高二下学期 3 月月考数学试题）“ x >1”是“ <1”的
x
（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
1
15．（2024 高一上·北京海淀·期中）使不等式0 < <1成立的一个充分不必要条件是（
x ）.
A．0 < x
1
< B． x >1
2
C． x > 2 D． x < 0
16．（2024 高一上·上海虹口·期中）“ a 0 ”是关于 x 的不等式 ax - b 1的解集为 R 的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
17．（2024 高二下·重庆沙坪坝·期中）设 x R ，则“ 2 - x 0 ”是“ x +1 1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（2024·天津红桥·二模）设 ∈ R，则“ a > 0 ”是“| | > 0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3
19．（2024 高三上·山东菏泽·阶段练习）已知 p : x k, q : <1，如果 p 是 q的充分不必要条件，则实数 k
x +1
的取值范围是
A．[2, + ∞) B． (2,+ ) C．[1, + ) D． (- , -1]
20．（2024 高一上·重庆渝中·阶段练习）“关于 x 的不等式 ax2+ax-1<0 的解集为 R”的一个必要不充分条件是
（ ）
A．-4≤a≤0 B．-4C．-4≤a<0 D．-421．（2024·湖南永州·二模）“不等式 x2 - x + m > 0在 R 上恒成立”的充要条件是（ ）
A．m
1 1
> B．m <
4 4
C．m <1 D． m >1
1
22．（2024 高一上·河北唐山·期末）已知 x 是实数，那么“ x 1”是“ 1”成立的（
x ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
23．（2024 高三下·天津滨海新·阶段练习）设 ∈ ，则“ 0 < x < 3 ”是“ x -1 < 2 ” 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
24．（2024 高一·江苏·假期作业）（多选题）使 x > 3成立的充分条件是（　　）
A． x > 4 B． x > 5
C． x > 2 D． x >1
25．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知条件 p：{x | x2 + x - 6 0}，条件 q：{x | xm +1 0}，且 p 是 q 的必
要条件，则 m 的值可以是（ ）
1 1 1
A． B． C．- D．0
2 3 2
26．（2024 高一上·江苏宿迁·阶段练习）二次函数 = 2 2 + 1的图像恒在 x 轴上方的一个必要条件是
（ ）
1 1
A．- < a < B．-1 a 1 C． a
1
D． > 1
2 2 2
27．（2024 高一上·山东·阶段练习）“ x > 3”的必要不充分条件可以是（ ）
A． x > 0 B． x 2 C． x 3 D． x > 5
28．（2024高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知集合 A x | a +1< x < 2a - 3 ，B {x | x -2或x 7}，则 AI B
的必要不充分条件可能是（ ）
A． a < 7 B． a < 6 C． a 5 D． a < 4
29．（2024 高一上·四川绵阳·期中）下列选项中，满足 p 是 q 的充分条件的是（ ）
A． p : x > 2, q : x >1B． p : m 0,q : mn 0 C． p : x2 0, q : x 0 D． : > , : 2 > 2
30．（2024 高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的是（　　）
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p 是 q 的必要条件
31．（2024 高一上·河南商丘·期中）下列条件中，使“ x - 2 > 0 ”成立的充分条件的是（ ）
A． 0, + B． -1, + C． 3, + D． 4, +
32．（2024 高三上·江苏盐城·阶段练习）“不等式 x2 - x + m > 0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
m 1A． > B．0 < m <1 C．m > 2 D．m >1
4
33．（2024 高一上·海南海口·阶段练习）若-1 < x < 2是-2 < x < a的充分不必要条件，则实数 的值可以是
（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
34．（2024 高一·全国·课后作业）设全集为U ，在下列条件中，是B A的充要条件的有（ ）
A． A B A B． U A B C． U A U B D． AU U B U
三、填空题
35．（2024 高一·全国·单元测试）已知 p : -2 x 10 ，q :1- m x 1+ m(m > 0)，且 p 是 q的必要不充分条件，
则实数m 的取值范围是 ．
36．（2024 高一·全国·课后作业）“ x <1”是“ x 1”的是 条件．
37．（2024 高一上·江苏徐州·期中）已知集合P x -1 x 4 ， S x 1- m x 1+ m ，则 ∈ 是 ∈ 的
充分不必要条件，则m 的取值范围为 .
38．（2024 高三·全国·专题练习）下列命题中所有真命题的序号是
①“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的充分条件；
②“| | > | |”是“ a2 > b2 ”的必要条件；
③“ a > b ”是“ + > + ”的必要条件．
39．（2024 高三上·河南驻马店·阶段练习）在整数集中，被 4除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为
k ，即 k 4n + k n Z , k 0,1,2,3 .给出下列四个结论.
① 2021 1 ；② -1 1 ；③ Z 0 1 2 3 ；④“整数 a,b属于同一“类””的充要条件是“ a - b 0 ”.
其中正确的结论是 （填所有正确的结论的序号）.
40．（2024 高一上·江苏连云港·期末）若不等式| | < 的一个充分条件为-2 < x < 0，则实数 a 的取值范围
是 .
四、解答题
41．（2024 高一上·四川眉山·阶段练习）已知集合 A {x | 0 x 4}，B x 1- a x 1+ a ，是否存在实数
a，使得 x A是 x B成立的______？
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的 a存在，求出 a的取值范围，若问题中的 a不存在，请说明
理由？
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题
中的 a存在，求出 a的取值范围，若问题中的 a不存在，请说明理由．
42．（2024 高一上·山东日照·期末）已知“ $x x -2 < x < 2 ，使等式 x2 - 2x - m 0 ”是真命题.
（1）求实数m 的取值范围M ：
（2）设关于 x 的不等式 (x - a)(x - a -1) < 0的解集为 N ，若“ x N ”是“ x M ”的充分条件，求 a的取值范围.
43．（2024 2高一上·浙江·期中）集合 A x - 3x - x + 2 > 0 ，B x 4x - 3 < 0 .
(1)求 R A B；
(2)设集合C x 2a < x <1- a ，若“ x B ”是“ ∈ ”的必要条件，求实数 a 的取值范围.
44．（2024 高一上·陕西西安·阶段练习）已知全集为R ，集合 A= x x2 -8x+12 0 ，B= x 3x-7 8-2x .
(1)求 A B ；
(2)若C= x a-4 x a+4 ，且“ ∈ ∩ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.
45．（2024 2高一上·江苏常州·阶段练习）设集合 A x x + 2x - 3 < 0 ，B x -a -1< x < a -1,a > 0 ，命题
p： x A，命题 q： x B．
(1)若 p 是 q 的充要条件，求正实数 a 的取值范围；
(2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求正实数 a 的取值范围．
46．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知集合 A x | -2 x 6 ， B x |1- m x 1+ m ，m > 0 .请在①
充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的
实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若 AU B A，求实数m 的取值范围；
(2)若 x A是 x B的________条件，判断实数m 是否存在？
47．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）已知M = x|a x a+3 ,N = x|x>1或 x<- 6 ．
(1)若M N ，求实数 a 的取值范围；
(2)若 x N 是 x M 的必要条件，求实数 a 的取值范围．
ì 2x - 5 ü
48．（2024 高一上·安徽芜湖·期末）已知集合 A íx <1 ，B x -k < x < 2k +1 .
x +1
(1)若 A B A，求实数 k 的取值范围；
(2)已知命题 : ∈ ，命题 : ∈ ，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 k 的取值范围.
1- x
49．（2024 高二下·江苏镇江·期末）不等式 > 0的解集是 A，关于 x 的不等式 x2x 2 - 4mx - 5m
2 0 的解集是
+
B.
(1)若m 1时，求 A B ；
ì x2 - x - 6 0
(2)设命题 p：实数 x 满足 x2 - 4ax + 3a2 < 0，其中 a > 0；命题 q：实数 x 满足 í 2 .若 p 是 q 的必
x + 2x -8 > 0
要不充分条件，求实数 a 的取值范围.1.4 充分条件与必要条件 5 题型分类
一、充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
“若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题
推出关系 p q p q
p 是 q 的充分条件 p 不是 q 的必要条件
条件关系
q 是 p 的充分条件 q 不是 p 的必要条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
【特别提醒】
对充分条件和必要条件的理解：
1
(1)对“推出”的正确理解：对于命题 p：∠A＝30°，q：sin A＝ .显然 p 可以推出 q，记为 p q，而 q 是不能
2
推出 p 的．
(2)若 p q，则 p 是 q 的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够
的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．
(3)若 p q，则 q 是 p 的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成
立，无之必不成立”．
（4）以下五种表述形式是等价的：①p q；②p 是 q 的充分条件；③q 的充分条件是 p；④q 是 p 的必要
条件；⑤p 的必要条件是 q。
二、充要条件
充要条件
(1)如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p q，又有 q p，就记作 p q，此时，
p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们就说 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件．概括地说，如果 p q，那么 p 与 q 互为充要条件．
【特别提醒】
（1）若 p 是 q 的充要条件，则 p q，即命题 p 和 q 是两个相互等价的命题。
（2）“p 是 q 的充要条件”与“p 的充要条件是 q”的区别是：若 p 是 q 的充要条件说明 p 是条件，q 是结论；
若 p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论．
三、从集合的角度理解充分与必要条件
若 p 以集合 A的形式出现， q 以集合 B 的形式出现，即 p ： A {x | p(x)}， q ： B {x | q(x)}，则
（1）若 A B ，则 p 是 q 的充分条件；
（2）若 B A，则 p 是 q 的必要条件；
（3）若 A B ，则 p 是 q 的充分不必要条件；
（4）若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件；
（5）若 A B ，则 p 是 q 的充要条件；
（6）若 A B 且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
四、充分性必要性高考高频考点结构
（1） p 是 q 的充分不必要条件 p q 且 q p（注意标志性词：“是”，此时 p 与 q 正常顺序）
（2） p 的充分不必要条件是 q q p 且 p q（注意标志性词：“的”，此时 p 与 q 倒装顺序）
（一）
命题的概念及结构
命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的语句
是真命题，判断为假的语句是假命题.命题的表示：命题表示为“若 p，则 q”时，p 是命题的条件，q 是命题
的结论.
题型 1：命题真假的判断
1-1．（24-25 高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合 A 与 B，下列命题中是假命题的是（ ）
A．若 A B A，则 A B B．若 AU B A，则 A B
C．若 A B ，B A，则 A B D．若 AI B ，则 A 或B
【答案】D
【分析】由集合的运算及基本关系求解．
【详解】解：对于 A 项，若 A B A，则对"x A A B ，有 x B，则 A B ，则 A 项正确；
对于 B 项，若 AU B A，则对"x B A B A，有 x A，则B A，则 B 项正确；
对于 C 项，对"x A, A B，有 x B，对"x B, B A，有 x A，
所以，集合 A, B的所有元素相同，即 A B，则 C 项正确；
对于 D 项，如 A 1,2 ，B 3,4,5 ，显然 AI B ，故 D 项错误，
故选：D
1-2．（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（ ）
A．5 > 2且7 > 8 B．3 > 4或3 < 4
C．9 7 D．方程 x2 - 3x + 4 0 有实根
【答案】B
【分析】根据或且命题真假性的性质即可求解.
【详解】对于 A, 5 > 2为真命题，7 > 8为假命题，故5 > 2且7 > 8为假命题，
对于 B，3 > 4为假命题，3 < 4为真命题，所以3 > 4或3 < 4为真命题，
对于 C，9 7为假命题，
对于 D，D 9 - 4 4 < 0 ,故方程 x2 - 3x + 4 0 没有实数根，故 D 错误，
故选：B
1-3．（2024·河南平顶山·模拟预测）下列结论错误的是（ ）
A．不大于 0 的数一定不大于 1
B．367 人中一定有同月同日出生的两个人
C．如果今天是星期五，那么 2000 天后是星期四
D．若点 P 到VABC 三边的距离相等，则 P 未必是VABC 的内心
【答案】C
【分析】对 AB，直接推理判断即可；
对 C，结合星期的周期计算余数判断；
对 D，考虑平面外的情况.
【详解】对 A，若 x 0 ，则 x 1，所以 A 正确．
对 B，每年有 365 天或 366 天，所以 367 人中一定有同月同日出生的两个人，所以 B 正确．
对 C， 2000 285 7 + 5，如果今天是星期五，那么 2000 天后是星期三，所以 C 错误．
对 D，若点 P 到VABC 三边的距离相等，则 P 可能是内心，也可能在VABC 所在平面外，所以 D 正确．
故选：C.
1-4．（2024 高一上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果 a > b，那么 a2 > b2 B．如果 a > b，那么 ac2 > bc2
a b
C．如果a > b,c > d ，那么 > D．如果 a > b,c < d ，那么 a - c > b - d
d c
【答案】D
【分析】ABC 选项举出反例即可判断，D 选项结合不等式的性质即可判断.
【详解】A 选项：若 = 0, = 1，满足 a > b，但是 a2 < b2 ，因此是假命题，故 A 错误；
B 选项：若 a 3,b -1， c 0，满足 a > b，但是 ac2 bc2 ，因此是假命题，故 B 错误；
C 选项：若 a 3,b -1
1 a b
， c 2, d - ，满足a > b,c > d ，但是 < ，因此是假命题，故 C 错误；
3 d c
D 选项：因为 c < d ，则-c > -d ，且 a > b，因此 a - c > b - d ，因此是真命题，故 D 正确，
故选：D.
（二）
充分、必要条件的判断
1、充分条件的判断
(1)判定 p 是 q 的充分条件要先分清什么是 p，什么是 q，即转化成 p q 问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若 p 构成的集合为 A，q 构成的集合为 B，
A B，则 p 是 q 的充分条件．
(3)关键是将判断命题中条件与结论的关系转化为判断集合间的包含关系，解题时注意充分条件与必要条件
的概念，谨防将两者弄颠倒；解决集合间的包含关系时，利用数轴的直观性可优化解题过程，同时要注意
端点值的取舍.
2、必要条件的判断
(1)判断 p 是 q 的什么条件，主要判断若 p 成立时，能否推出 q 成立，反过来，若 q 成立时，能否推出 p 成
立；若 p q 为真，则 p 是 q 的充分条件，若 q p 为真，则 p 是 q 的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若 A B，则甲是乙的必要条件．
3、判断 p 是 q 的什么条件,通常有如下两种方法:
(1)定义法，即把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再用定义进行判断，这是最常用、最基本的
方法.通常对 p q 要予以证明，p q 可举反例说明.
(2)集合法，利用集合间包含关系进行判断，常用于一些范围问题.
题型 2：充分、必要条件的判断
2-1．（2024 高一·全国·课后作业）已知 a,b R ，则“ a > b ”的一个必要条件是（ ）
A．| | > | | B． a2 > b2
C． a > b +1 D． > 1
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由于 a > b可得 > 1，故“ > 1”是“ a > b ”的必要条件，
由 a > b不能得到| | > | |， a2 > b2 ， a > b +1，比如 a -1,b -2，
故选：D
2-2．（2024 高一上·山东临沂·期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞
将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将
不在的什么条件？（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义求解.
【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，
因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，
所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件，
结合选项，可得 A 正确；
故选:A.
2-3．（2024 高二上·陕西西安·期末）设 x R ，则“ x 2 ”是“ x2 4 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当 x 2时 x2 4，故充分性成立，
由 x2 4可得 x 2或 x -2，故必要性不成立，
所以“ x 2 ”是“ x2 4 ”的充分不必要条件.
故选：A
2-4．（2024 高二下·陕西宝鸡·阶段练习）若集合 A 2, x2 - x ，则“ 6 A ”是“ x 3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】B
【分析】根据6 A求出 x 3或 x -2，再利用必要不充分条件定义即可判断.
2
【详解】因为6 A，且 A 2, x - x ，则 x2 - x 6 ，解得 x 3或 x -2，
故“ 6 A ”是“ x 3”的必要不充分条件.
故选：B.
2-5．（2024 高一上·新疆巴音郭楞·阶段练习）已知 p：“ x2 - 3x - 4 0 ”，q：“ x=-1”，则 p 是 q 的（　　）
A．充要条件 B．既不充分也不必要
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】解出 x2 - 3x - 4 0，即可得出答案.
【详解】解 x2 - 3x - 4 0可得， x -1或 x 4 .
显然，若 p 成立，推不出 q成立；若 q成立，则 p 成立.
所以，p 是 q 的必要不充分条件.
故选：D.
2-6．（2024 高二下·湖南益阳·期末）已知 p : 2x - 5 > 0 ， q : x2 - x - 2 > 0，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】先求出 , 对应的不等式的解，再利用集合包含关系，进而可选出答案.
5
【详解】由题意， p : 2x - 5 > 0 x
5
> ，设 A
ì ü
2 í
x | x >
2
q : x2 - x - 2 > 0，解得： x > 2或 x < -1，设B x | x > 2或 x < -1
显然 A 是 B 的真子集，所以 p 是 q的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 p 是 q的必要不充分条件，则 q对应集合是 p 对应集合的真子集；
（2） p 是 q的充分不必要条件， 则 p 对应集合是 q对应集合的真子集；
（3） p 是 q的充分必要条件，则 p 对应集合与 q对应集合相等；
（4） p 是 q的既不充分又不必要条件， q对的集合与 p 对应集合互不包含．
2-7．（24-25 高一上·上海·随堂练习）下列“若 p ，则 q ”形式的命题中， p 是 q的充分条件的有 ．
（1）若 x <1，则 x < 2；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若| | ≠ 1，则 ≠ 1；
（4）若 ab > 0，则 a > 0，b > 0．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可.
【详解】（1）由 x <1，可以推出 x < 2，所以命题（1）符合题意；
（2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意；
（3）由| | ≠ 1，可以推出 x 1，所以命题（3）符合题意；
（4）由 ab > 0，得 a > 0,b > 0或a < 0,b < 0，所以 ab > 0不一定推出 a > 0,b > 0，所以命题（4）不符合题
意.
故答案为：（1）（2）（3）
（三）
探求命题为真的一个充要条件
探求充要条件一般有两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的
充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探
求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证
题型 3：探求命题成立的一个充分、必要条件
3-1．（2024 高一·全国·课后作业）关于 x 的方程 ax +1 0 有实根的一个充分条件是（ ）
A． a 0 B． a 1
C． a 1 D． a <1
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的求解即可判断 a 0，由充分条件的定义即可求解.
【详解】由 ax +1 0 ax -1，要使方程有实根，则 a 0，
故 a 1是方程 ax +1 0 有实根的一个充分条件，
故选：B
3-2．（2024 高一上·湖北十堰·期中）使 x x | x 0 或 x > 3}成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． x 0 或 x > 3 B． x < -1或 x > 3
C． x 0 或 x >1 D． x 0
【答案】B
【分析】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案.
【详解】对于 A，因为 x | x 0或 x > 3 x x | x 0 或 x > 3 ，故错误；
对于 B，因为 x x | x < -1或 x > 3 x | x 0或 x > 3 ，故正确；
对于 C，因为 x | x 0或 x > 3 x | x 0或 > 1}，故错误；
对于 D，因为 x | x 0 不是 x | x 0或 x > 3 的真子集，故错误.
故选：B.
3-3．（2024 高一下·重庆江北·开学考试）“关于 x 的不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集为 R”的一个必要不充分条
件是（ ）
A．0 < a <1 B 1．0 a <1 C．0 < < D 0 < a < 0.93 ．
【答案】B
【分析】根据不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集为 R 求得0 < a <1，于是可得其成立的必要不充分条件.
2
【详解】解：关于 x 的不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集为 R，则Δ -2a - 4a 4a2 - 4a < 0，
解得0 < a <1，所以“关于 x 的不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集为 R”的一个必要不充一个分条件“ 0 a <1”.
故选：B.
3-4．（2024 高一上·山东青岛·期中）“"x R ，不等式 ax2 + 2ax +1 > 0成立”的充要条件是（ ）
A．0 < a 2 B．0 a <1
C 0 a 1． ≤ ≤ 2 D．-1 < a 1
【答案】B
【分析】根据二次不等式恒成立得 a 0,1 ，再根据充分必要条件的概念求解即可.
【详解】当 a 0时，1 > 0，该不等式成立；
ìa > 0
当 íΔ 4a2 ，即
0 < a <1
4a 0 时，该不等式成立； - <
综上，得当0 a <1时， 关于 x 的不等式 ax2 + 2ax +1 > 0恒成立，
所以，关于 x 的不等式 ax2 + 2ax +1 > 0恒成立的充分必要条件是0 a <1．
故选：B.
3-5．（2024 高一上·四川成都·阶段练习）不等式 x2 - x + m > 0在R 上恒成立的一个充要条件是（ ）
1
A．m > B．0 < m <1 C．m > 0 D．m >1
4
【答案】A
【分析】结合二次函数的图像性质将问题等价于D < 0，由此可解.
【详解】令 f x x2 - x + m ，
则 x2 - x + m > 0在R 上恒成立等价于 f x 的图像全在 x 轴上方，
2 1
而 f x 开口向上，所以问题等价于D < 0，即 -1 - 4m < 0，解得m > ，
4
即 x2 - x + m > 0在R 上恒成立等价于m
1
> ，
4
故 x2
1
- x + m > 0在R 上恒成立的一个充要条件为m > .4
故选：A.
3-6．（2024 高二下·上海闵行·期末）不等式mx2 - mx - 2 < 0对任意 ∈ 恒成立的充要条件是m ．
【答案】 -8,0
【分析】先根据一元二次不等式恒成立得m -8,0 ，再根据充要条件概念即可得答案.
【详解】解：当m 0时，显然满足条件，
ìm2 + 8m < 0
当m 0 时，由一元二次不等式恒成立得： í ，解得：-8 < m < 0
m < 0
综上，m -8,0 ，
所以不等式mx2 - mx - 2 < 0对任意 ∈ 恒成立的充要条件是m -8,0 ，
故答案为： -8,0
【点睛】本题考查充要条件的求解，一元二次不等式恒成立问题，是基础题.
（四）
根据充分条件或必要条件求参数的范围
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：
①化简 p ，q两命题.
②根据 p 与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系.
③利用集合间的关系建立不等关系，
④求解参数范围.
题型 4：利用充分、必要条件求参数
4-1 2 2．（2024 高一上·湖南郴州·阶段练习）设集合 A x x + 3x + 2 0 ，B x x + m +1 x + m 0 ；
(1)用列举法表示集合A ；
(2)若 x B是 x A的充要条件，求实数m 的值.
【答案】(1) -1, -2
(2) 2
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）根据条件得 A B，可得-2 2是方程 x + m+1 x+m 0的根，进而可得实数m 的值.
2
【详解】（1）集合 A x x + 3x + 2 0 -1,-2 ，
即 A -1, -2 ；
（2）由已知 A -1, -2 2，B x x + m +1 x + m 0 x x +1 x + m 0 ，
若 x B是 x A的充要条件，则 A B，
\-m -2 ，
\m 2 .
4-2．（2024 高二下·湖南长沙·期中）已知 p : x k, q :
2 - x
0，如果 p 是 q的充分不必要条件，则实数 k 的
x +1
取值范围是（ ）
A． 2, + B． 1, +
C． 1, + D． - ,-1
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.
q : 2 - x【详解】 0，即 : < 1或 x 2，又 p : x k, p是 q的充分不必要条件，
x +1
所以 k 2，即 k 的取值范围是 2, + .
故选:A.
4-3．（2024 高一上·江西·期中）已知全集U R ，集合 A x 0 < x <1 ，B x a < x <1- a .
(1)当 a -1时，求 U A I B ；
(2)已知“ x A”是“ x B ”的必要条件，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) U A B {x | -1< x 0或1 x < 2} .
(2) a a 0
【分析】（1）根据集合运算法则进行运算即可；（2）把条件转化为集合之间的关系，列出不等式，解出即
可.
【详解】（1）当 a -1时，B x -1< x < 2 ，
又 A x 0 < x <1 ，则 U A {x | x 0 或 x 1}，
所以 U A B {x | -1< x 0或1 x < 2} .
（2）由“ x A”是“ x B ”的必要条件，知B A，
当B 时，显然B A，则 a
1
1- a ，即 a ；
2
ìa <1- a
1
当B 时，由B A得 ía 0 ，即0 a < ，
2
1- a 1
综上， a 0，即实数 a的取值范围为 a a 0 .
4-4．（2024·江苏连云港·二模）若不等式-a +1 < x < a +1的一个充分条件为0 < x <1，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． a > 0 B． a 0 C． a >1 D．a 1
【答案】D
【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可．
【详解】若不等式-a +1 < x < a +1的一个充分条件为0 < x <1，
ì0 -a +1

则 0,1 -a +1,a +1 ，所以 í-a +1 < a +1，解得a 1 .

a +1 1
则实数 a的取值范围是a 1 .
故选：D.
4-5．（2024 高一上·广东汕尾·期末）已知集合 A x -1 < x < 3 ，B x x < m -1或 x m +1 .
(1)当m 0时，求 A B ；
(2)若 x A是 x B的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) x 1 x < 3
(2) 4, + U - - 2
【分析】（1）求出B x x < -1或 ≥ 1}，从而求出交集；
（2）根据题意得到A 是 B 的真子集，从而得到不等式，求出实数m 的取值范围.
【详解】（1）m 0时，B x x < -1或 ≥ 1}，
故 A B x -1< x < 3 x x < -1或 ≥ 1}= x 1 x < 3
（2） x A是 x B的充分不必要条件，
故A 是 B 的真子集，
因为m -1< m +1，故要满足A 是 B 的真子集，
则 1 ≥ 3或m +1 -1，
解得：m 4或m -2
故实数m 的取值范围是 4, + U - - 2 .
4-6．（2024 高一下·吉林长春·开学考试）已知 p : x < a， q : x < 3， p 是 q的必要不充分条件，则实数 a的取
值范围为 .
【答案】 3, +
【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】因为 p : x < a， q : x < 3，因为 p 是 q的必要不充分条件，
所以 a > 3 .
所以实数 a的取值范围为 3, + .
故答案为： 3, + .
1 1
4-7．（2024 高一上·全国·课后作业）已知不等式m -1< x < m +1成立的充分条件是 < x < ，则实数m 的取
3 2
值范围是（ ）
ì 1 4ü ì 1 4ü
A． ím∣m < - 或m > B． ím∣m < - m
2
或
3 2 3
ì
C． ím
1 4ü ì 1
- < m < D． ím - m
4ü

2 3 2 3


【答案】D
1 1
【分析】由题意知 , ÷ m -1,m +1 ，根据子集关系列式解得参数范围即可.
è 3 2
1 , 1 【详解】由题意得 m -1,m +1 ，
è 3 2 ÷
ì
m -1
1

3 1 m 4所以 í ，且等号不能同时成立，解得- .
m +1 1 2 3
2
故选：D.
4-8．（2024 高一上·广东惠州·阶段练习）设集合 A {x∣-1 < x < 3}, B {x∣1- m < x m +1, m 0}，命题 : ∈ ，
命题 : ∈
(1)若 p 是 q的充要条件，求正实数m 的取值范围；
(2)若 p 是 q的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.
【答案】(1) 2
(2) 2, + .
【分析】（1）根据 p 是 q的充要条件转化为 A B求解即可；
（2）根据 p 是 q的充分不必要条件，得A 真包含于 B ，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件 A {-1 < x < 3}， p 是 q的充要条件，
ì1- m -1
得 A B，即 í ，解得m 2m ， +1 3
所以实数m 的取值范围是 2 .
（2）由 p 是 q的充分不必要条件，得A 真包含于 B ，
ìm > 0 ìm > 0

所以 í1- m -1，或 í1- m < -1，解得m > 2 ，
m +1 > 3 m +1 3
综上实数 a的取值范围是 2, + .
4-9．（2024 高一上·安徽淮北·阶段练习）已知集合 = { |1 < < 3}，集合 = { |2 < < 1 }．
(1)若 AI B ，求实数m 的取值范围；
(2)命题 : ∈ ，命题 : ∈ ，若 p 是 q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
【答案】(1) m∣m 0
(2) m∣m -2
【分析】（1）讨论B ，B 两种情况，结合交集运算的结果得出实数m 的取值范围；
（2）由 p 是 q 成立的充分不必要条件，得出A 是 B 的真子集，再由包含关系得出实数m 的取值范围．
【详解】（1）由 AI B ，得
1
①若 2m 1-m，即m 时，B ，符合题意；
3
ì m 1< ì m 1< 1
②若 2m <1-m，即m
1
< 时，需 í 3 或 í 3 ，解得0 m <3 ．
1- m 1 2m 3
3
综上，实数m 的取值范围为 m∣m 0 ．
ì1- m > 2m

（2）由已知A 是 B 的真子集，知 í 2m 1 两个端不同时取等号，解得m -2．

1- m 3
由实数m 的取值范围为 m∣m -2 ．
4-10．（2024 高一上·湖北武汉·期末）已知 p : x2 - 5x - 6 < 0， q :1- m x 3 + m ．
(1)若 p 是 q的充分条件，求实数m 的取值范围；
(2)若 p 是 q的必要条件，求实数m 的取值范围．
【答案】(1) 3, + ；
(2) - , 2
【分析】（1）先化简条件 p ，再利用 p 是 q的充分条件列出关于实数m 的不等式，解之即可求得实数m 的
取值范围；
（2）按实数m 分类讨论，利用 p 是 q的必要条件列出关于实数m 的不等式，解之即可求得实数m 的取值范
围.
【详解】（1）由 x2 - 5x - 6 < 0，可得-1 < x < 6，则 p : -1 < x < 6
又 q :1- m x 3 + m ，且 p 是 q的充分条件，
ì1- m -1
可得 í6 3 m ，解之得 ≥ 3，则实数
m 的取值范围为 3, + ；
+
（2）由（1）得 p : -1 < x < 6， q :1- m x 3 + m
当m < -1时，1- m > 3 + m ， q : x ，此时， p 是 q的必要条件，符合要求；
当 ≥ 1时，由 p 是 q的必要条件，
ì1- m > -1

可得 í6 > 3+ m ，解之得-1 m < 2，

m -1
综上，实数m 的取值范围为 - , 2 .
（五）
充要条件的证明
充要条件的证明策略
（1）要证明一个条件 p 是否是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若
p，则 q”为真且“若 q，则 p”为真.
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的解集是相同的，证明前必须分清楚充
分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
题型 5：充要条件的证明
5-1．（2024 高一上·贵州贵阳·阶段练习）求证： x=1是一元二次方程 ax2 + bx + c 0的一个根的充要条件是
a + b + c 0 a 0 .
【答案】证明见解析
【分析】先证明充分性，再证明必要性.
【详解】证明：（1）充分性：由 a + b + c 0 得 a 12 + b 1+ c 0 .
即 x=1满足方程 ax2 + bx + c 0 .
\ x 1是方程 ax2 + bx + c 0的一个根
（2）必要性：Q x 1是方程 ax2 + bx + c 0的一个根，
将 x=1代入方程 ax2 + bx + c 0得 a + b + c 0 .
故 x=1是一元二次方程 ax2 + bx + c 0的一个根的充要条件
是 a + b + c 0 a 0
5-2．（2024 高一上·贵州贵阳）求证：关于 x 的方程 ax2 + bx + c 0有一个根是 1 的充要条件是 + + = 0.
【答案】证明见解析
【分析】先证明必要性，再证明出充分性即可.
【详解】假设 p：方程 ax2 + bx + c 0有一个根是 1，q： + + = 0.
证明 p q ，即证明必要性：
∵ x 1是方程 ax2 + bx + c 0的根，
∴ a ×12 + b ×1+ c 0，即 + + = 0.
再证明 q p ，即证明充分性：
由 + + = 0，得 c -a - b .
∵ ax2 + bx + c 0，
∴ ax2 + bx 2- a - b 0，即 a x -1 + b x -1 0 .
故 x -1 ax + a + b 0 .
∴ x 1是方程的一个根．
故方程 ax2 + bx + c 0有一个根是 1 的充要条件是 + + = 0.
5-3．（2024 高一上·湖南长沙·阶段练习）VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，求证：
a2 - b2 - ac + bc 0的充要条件是 A B．
【答案】证明见解析.
【分析】先利用等腰三角形中等角对等边即可证得，再结合因式分解即可证得必要性.
【详解】（1）先证充分性：若 A B，则 a b，∴ a2 - b2 - ac + bc 0成立
（2）再证必要性：若 a2 - b2 - ac + bc 0成立，
∵ a2 - b2 - ac + bc (a + b) × (a - b) - c(a - b) (a - b)(a + b - c) ，∴ (a - b)(a + b - c) 0 ，又因为VABC 中，
a + b - c > 0，∴ a - b 0，∴ a b，∴ A B．
综上可知， a2 - b2 - ac + bc 0的充要条件是 A B．
5-4．（2024 高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知 ab 0，求证：a3 + b3 + ab - a2 - b2 0是a + b 1的充要条件.
【答案】证明见解析
【分析】先由 a3 + b3 + ab - a2 - b2 0推得a + b 1，再由a + b 1推得 a3 + b3 + ab - a2 - b2 0，即可得证.
【详解】设 p : a3 + b3 + ab - a2 - b2 0， q : a + b 1，
先证充分性 p q ：
∵ a3 + b3 + ab - a2 - b2 0，
∴ a + b a2 - ab + b2 - a2 - ab + b2 0 2，即 a - ab + b2 a + b -1 0，
2
∵ ab 0， a2 - ab + b2 a
1 3
- b 2
2 ÷
+ b > 0，
è 4
∴ a + b -1 0 ，即a + b 1；
再证必要性 q p ：
∵ a + b 1，
∴ b 1- a，
∴ a3 + b3 + ab - a2 - b2 a3 + 1- a 3 + a 1- a - a2 - 1- a 2 a3 +1- 3a + 3a2 - a3 + a - a2 - a2 -1+ 2a - a2 0；
综上： a3 + b3 + ab - a2 - b2 0是a + b 1的充要条件.
一、单选题
1．（2024 高二下·江苏南通·阶段练习）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故，
有之必无然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．不能确定
【答案】A
【分析】读懂古文的含义，根据充分条件和必要条件的定义进行判定，即可求解
【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也”
知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生，
所以“有之必然”所表述的数学关系一定是充分条件.
故选：A.
2．（2024 高三上·云南·阶段练习）唐代著名诗人杜牧在《赤壁》一诗中写有“东风不与周郎便，铜雀春深锁
二乔”，即杜牧认为，如果没有东风，那么东吴的二乔将会被曹操关进铜雀台，即赤壁之战东吴将输给曹
操．那么在杜牧认为，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】杜牧认为，东吴打败曹操说明一定有了东风，但仅有东风东吴不一定能打败曹操.
【详解】杜牧认为没有东风，则赤壁之战东吴将输给曹操，则说明东风是打败曹操的必要条件．但有了东
风，若没有其他的地利人和，也未必能打败曹操，故东风不是充要条件，
故选：C．
3．（2024 高二上·陕西西安·期末）“ 2 = 0”是“ x 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据方程的解结合充分条件与必要条件的定义得出答案.
【详解】 2 = 0解得 x 0或 x 1，
则 2 = 0可推出 x 0或 x 1，
x 1可推出 2 = 0，
故“ 2 = 0”是“ x 1”的必要不充分条件，
故选：B.
4．（2024 高三上·天津北辰·期末）已知 x R ，“ x > 2或 x<- 4 ”是“ x + 1 > 3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】C
【分析】先解不等式 x + 1 > 3，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】解不等式 x + 1 > 3，即 x +1< -3或 x+1 > 3，即 x<- 4或 x > 2，
故“ x > 2或 x<- 4 ”是“ x + 1 > 3”的充要条件.
故选：C.
ìx - ay 1
5．（2024 高一上·上海·阶段练习）设 ∈ R，关于 x, y的方程组 í .对于命题：①存在 a，使得该方
ax + y a
程组有无数组解；②对任意 a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【分析】通过解方程组的知识求得正确答案.
2
【详解】由 x - ay 1得 x ay +1，则 a ay +1 + y a ， a +1 y 0，所以 y 0 ，
ìx 1
则 í ，解得 x 1ax a ，
所以关于 x, y
ìx - ay 1 ìx 1
的方程组 í .
ax + y a
有唯一解
í y 0
所以①为假命题，②为真命题.
故选：D
6．（2024 高二下·四川绵阳·阶段练习）对于命题 p： m < 1，命题 q：方程mx2 - 2x + 3 0有两个同号且不等
实根，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先化简命题 p，q，分别求得 m 的范围，进而得到二者间的逻辑关系.
【详解】方程mx2 - 2x + 3 0有两个同号且不等实根，
ìm 0

3
则 í > 0 ，解之得 0
1 1
< m <
3 ，则命题 q：
0 < m <
m 3
，

-2
2 - 4 3m > 0
由 m < 1，可得 -1 < m < 1命题，则 p： -1 < m < 1，
则 p 是 q 的必要不充分条件.
故选：B
7．（2024 高二下·四川成都·阶段练习）若条件 p : -1 < b <1，条件 q : -2 < b < 2，则 p 是 q的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意可知， -1,1 -2,2 ，
所以 p 是 q的充分而不必要条件.
故选：B.
x
8．（2024 高一上·辽宁·期末）给出的下列条件中能成为 0的充分不必要条件是（
x 3 ）-
A． x 0 或 x > 3 B． x < -1或 x > 3 C． x -1或 x 3 D． x 0
【答案】B
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合集合的包含关系解决即可.
x
【详解】由题知， 0，
x - 3
ìx x - 3 0
所以 í ，解得 x 0 ，或 x > 3，
x - 3 0
x
对于 A，能成为 0的充分必要条件；
x - 3
x
对于 B, 能成为 0的充分不必要条件；
x - 3
x
对于 C，能成为 0的既不充分也不必要条件；
x - 3
x
对于 D，能成为 0的既不充分也不必要条件；
x - 3
故选：B
9．（2024·江西·模拟预测）设 x R ，则“ 2x -1 x ”是“ x2 + x - 2 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式，再判断“ 2x -1 x ”和“ x2 + x - 2 0 ”之间的逻辑推理关系，可得答案.
ì2x -1 0 ì2x -1< 0 1
【详解】由 2x -1 x，得 í 或 í x 1.
2x -1 x -2x +1 x
，解得
3
由 x2 + x - 2 0，解得-2 x 1，
1
当 x 1时，-2 x 1一定成立，反之，不一定成立，
3
所以“ 2x -1 x ”是“ x2 + x - 2 0 ”的充分不必要条件.
故选：A.
10．（2024 高二上·陕西西安·阶段练习）命题“ 2x2 - 5x - 3 < 0 ”的一个充分不必要条件是（ ）
1
A．- < x < 3
1
B．- < x < 4
2 2
C．-3 < x
1
< D．1< x < 2
2
【答案】D
【分析】先解不等式 2x2 - 5x - 3 < 0，不等式 2x2 - 5x - 3 < 0成立的一个充分不必要条件，对应的 x 范围应该
是其解集的真子集，即可得到答案.
1
【详解】由 2x2 - 5x - 3 < 0可得 2x +1 x - 3 < 0，解得- < x < 3 .2
ì 1
则不等式的解集为 A íx - < x < 3
ü
2
，

因此，不等式 2x2 - 5x - 3 < 0成立的一个充分不必要条件，对应的 x 范围应该是集合A 的真子集，只有选项 D
满足.
故选：D
11．（2024·山西·一模）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青
海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返
回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】A
【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件
的定义即可判断
【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但
是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；
即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件
故选：A
12．（2024·河南开封·模拟预测）设 a R ，则“ a3 < 27 ”是“ a -1 < 2 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要条
件
【答案】B
【分析】分别求解 a3 < 27 与 a -1 < 2，再根据充分性与必要性判断即可.
【详解】由“ a3 < 27 ”解得 a < 3，由“ a -1 < 2 ”解得-1 < a < 3，故“ a3 < 27 ”是“ a -1 < 2 ”的必要不充分条件.
故选：B
x -1
13．（2024 高二·广东·学业考试）“ (x -1)(x + 2) > 0 ”是“ > 0 ”的（ ）
x + 2
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
【答案】C
【分析】利用“ (x -1)(x + 2) > 0
x -1
” “ > 0 ”，即可判断出结论.
x + 2
【详解】解：“ (x -1)(x + 2) > 0
x -1
” “ > 0 ”，
x + 2
\“ (x -1)(x + 2) > 0
x -1
”是“ > 0 ”的充要条件.
x + 2
故选：C.
【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解法，属于基础题.
1
14．（上海市上海师范大学附属中学 2023-2024 学年高二下学期 3 月月考数学试题）“ x >1”是“ <1”的
x
（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
1
【分析】根据分数不等式求解 <1答范围，即可根据集合间的关系求解.
x
1 1 1- x【详解】由 < 可得 < 0 ，解得 x >1或 x < 0 ，故 x x >1 是 x x >1或 x < 0 的真子集，故“ x >1”是
x x
1
“ <1”的充分不必要条件，
x
故选：A
0 115．（2024 高一上·北京海淀·期中）使不等式 < <1成立的一个充分不必要条件是（
x ）.
A．0 < x
1
< B． x >1
2
C． x > 2 D． x < 0
【答案】C
【解析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．
1
【详解】解：不等式0 < <1，
x
ìx > 0
\ í1 ，解得 x >1，
<1 x
故不等式的解集为： (1, + )，
则其一个充分不必要条件可以是 x > 2，
故选：C ．
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 p 是 q的必要不充分条件，则 q对应集合是 p 对应集合的真子集；
（2） p 是 q的充分不必要条件， 则 p 对应集合是 q对应集合的真子集；
（3） p 是 q的充分必要条件，则 p 对应集合与 q对应集合相等；
（4） p 是 q的既不充分又不必要条件， q对的集合与 p 对应集合互不包含．
16．（2024 高一上·上海虹口·期中）“ a 0 ”是关于 x 的不等式 ax - b 1的解集为 R 的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】取 a 0，b 1时可判断充分性；当不等式 ax - b 1的解集为 R 时，分 a > 0， a < 0， a 0讨论可
判断必要性.
【详解】若 a 0，取b 1时，不等式 ax - b 1 -1 1，此时不等式解集为 ；
b +1
当 a > 0时，不等式 ax - b 1的解集为{x | x }，
a
b +1
当 a < 0时，不等式 ax - b 1的解集为{x | x }，
a
当 a 0，且b -1时，不等式 ax - b 1 -b 1 b -1，
所以，若关于 x 的不等式 ax - b 1的解集为 R，则 a 0 .
综上，“ a 0 ”是关于 x 的不等式 ax - b 1的解集为 R 的必要非充分条件.
故选：B
17．（2024 高二下·重庆沙坪坝·期中）设 x R ，则“ 2 - x 0 ”是“ x +1 1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：由 2 - x 0，解得 x 2，由 x +1 1，即-1 x +1 1，解得-2 x 0，
又 -2,0 - , 2 ，
由 2 - x 0推不出 x +1 1，故充分不成立，
由 x +1 1推得出 2 - x 0，即必要性成立，
所以“ 2 - x 0 ”是“ x +1 1”的必要不充分条件.
故选：B
18．（2024·天津红桥·二模）设 ∈ R，则“ a > 0 ”是“| | > 0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用绝对值的定义及充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意可知， a > 0 a > 0，
a > 0 a > 0或 a < 0，即 a > 0 不能推出 a > 0，
所以“ a > 0 ”是“| | > 0”的充分不必要条件.
故选：A.
3
19．（2024 高三上·山东菏泽·阶段练习）已知 p : x k, q : <1，如果 p 是 q的充分不必要条件，则实数 k
x +1
的取值范围是
A．[2, + ∞) B． (2,+ ) C．[1, + ) D． (- , -1]
【答案】B
【详解】由题意可得 q:x<-1 或 x>2,由 p 是 q的充分不必要条件，得 > 2，选 B.
20．（2024 高一上·重庆渝中·阶段练习）“关于 x 的不等式 ax2+ax-1<0 的解集为 R”的一个必要不充分条件是
（ ）
A．-4≤a≤0 B．-4C．-4≤a<0 D．-4【答案】A
【分析】分类讨论，a 0和 a 0时，使关于 x 的不等式 ax2+ax-1<0 的解集为 R 的 a的取值范围，再根据选
项找出其必要不充分条件．
【详解】解：关于 x 的不等式 ax2+ax-1<0 的解集为 R，
当 a 0时，-1 < 0，解集为 R；
ìa < 0
当 a 0时， í a2 4a 0，解得
-4 < a < 0
D + <
综合可得 -4 < a 0，
观察选项要找范围大的，可得 -4 < a 0的一个必要不充分条件是-4 a 0．
故选：A．
【点睛】本题考查二次不等式的解的问题，考查充分性，必要性的判断，注意不要忽略 a 0的情况，是中
档题．
21．（2024·湖南永州·二模）“不等式 x2 - x + m > 0在 R 上恒成立”的充要条件是（ ）
1 1
A．m > B．m <
4 4
C．m <1 D． m >1
【答案】A
1 1
【分析】根据不等式 x2 - x + m > 0在 R 上恒成立，求得m > ，再由m > ，说明不等式4 4 x
2 - x + m > 0在 R
上恒成立，即可得答案.
【详解】∵不等式 x2 - x + m > 0在 R 上恒成立，
∴ D＝(-1)2
1
- 4m < 0 ，解得m > ，
4
m 1又∵ > ，∴ D 1- 4m < 0，则不等式 x2 - x + m > 0在 R 上恒成立，4
1
∴“ m > ”是“不等式 2
4 x - x + m > 0
在 R 上恒成立”的充要条件,
故选:A.
1
22．（2024 高一上·河北唐山·期末）已知 x 是实数，那么“ x 1”是“ 1”成立的（
x ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
1
【分析】解不等式 1求出 x 的范围，再根据必要不充分条件定义判定可得答案.
x
1 1- x
【详解】由 1得 0，解得0 < x 1，
x x
所以“ x 1”是“ 0 < x 1”成立的必要不充分条件，
x 1 1即“ ”是“ 1”成立的必要不充分条件.
x
故选：B.
23．（2024 高三下·天津滨海新·阶段练习）设 ∈ ，则“ 0 < x < 3 ”是“ x -1 < 2 ” 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解绝对值不等式 x -1 < 2求得 x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项.
【详解】由 x -1 < 2，得-2 < x -1< 2，解得-1 < x < 3， 0,3 是 -1,3 的子集，故“ 0 < x < 3 ”是“ x -1 < 2 ”
的充分而不必要条件.故选 A.
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
二、多选题
24．（2024 高一·江苏·假期作业）（多选题）使 x > 3成立的充分条件是（　　）
A． x > 4 B． x > 5
C． x > 2 D． x >1
【答案】AB
【分析】根据充分条件的判断即可由选项求解.
【详解】 x > 4 x > 3,x > 5 x > 3, x > 2和 x >1不可推出 x > 3．所以使 x > 3成立的充分条件是 x > 4或
x > 5，
故选：AB
25．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知条件 p：{x | x2 + x - 6 0}，条件 q：{x | xm +1 0}，且 p 是 q 的必
要条件，则 m 的值可以是（ ）
1 1 1
A． B． C．- D．0
2 3 2
【答案】BCD
【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可.
【详解】设 A {x | x2 + x - 6 0} {-3,2}，B {x | xm +1 0} ,
因为 p 是 q 的必要条件，所以B A，
当B 时，由mx +1 0无解可得m 0，符合题意；
当B 时，B {2}或B {-3}，当B {2}
1
时，由 2m +1 0解得m - ，
2
当B {-3}时，由-3m +1 0 m 1解得 .3
1 1
综上，m 的取值为 0，- ， .
2 3
故选：BCD
26．（2024 高一上·江苏宿迁·阶段练习）二次函数 = 2 2 + 1的图像恒在 x 轴上方的一个必要条件是
（ ）
1 a 1 a 1A．- < < B．-1 a 1 C． D． > 1
2 2 2
【答案】BD
【分析】先由二次函数图象性质得出图像恒在 x 轴上方的充要条件，再根据必要条件定义即可求.
2
【详解】二次函数 = 2 2 + 1的图像恒在 x 轴上方的充要条件为D -2a - 4 < 0 a -1,1 ，
又 -1,1 -1,1 , -1,1 -1, + ，所以必要条件为-1 a 1、 > 1.
故选：BD
27．（2024 高一上·山东·阶段练习）“ x > 3”的必要不充分条件可以是（ ）
A． x > 0 B． x 2 C． x 3 D． x > 5
【答案】ABC
【分析】将必要不充分条件转化为包含关系即可得到结果.
【详解】由 x > 3，可得构成集合M x x > 3 ，结合选项可得集合 x x > 0 ， x x 2 ， x x 3 都真包含
M ，所以 x > 0， x 2， x 3都是 x > 3的必要不充分条件.
故选:ABC.
28．（2024高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知集合 A x | a +1< x < 2a - 3 ，B {x | x -2或x 7}，则 AI B
的必要不充分条件可能是（ ）
A． a < 7 B． a < 6 C． a 5 D． a < 4
【答案】AB
【分析】分 A 为空集和不为空集两种情况求得 AI B 的充要条件，然后根据选项逐一判断可得.
ìa +1< 2a - 3

【详解】若 AI B ，则 a +1 2a - 3或 ía +1 -2 ，解得 a 4或 4 < a 5，

2a - 3 7
所以， AI B 的充要条件为 a 5，
所以 AI B 的必要不充分条件可能为 a < 7， a < 6
故选：AB
29．（2024 高一上·四川绵阳·期中）下列选项中，满足 p 是 q 的充分条件的是（ ）
A． p : x > 2, q : x >1B． p : m 0,q : mn 0 C． p : x2 0, q : x 0 D． : > , : 2 > 2
【答案】ABC
【分析】根据充分条件的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于 A，由 x > 2 可推出 x >1，所以 x > 2 是 x >1的充分条件，A 正确，
对于 B，由m 0可推出mn 0，所以m 0是mn 0的充分条件，B 正确，
对于 C，由 x2 0可推出 x 0，所以 x2 0是 x 0的充分条件，C 正确，
对于 D，当 x 2， y -2时， > ，但是 2 = 2，所以 > 不是 2 > 2的充分条件，D 错误，
故选：ABC.
30．（2024 高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的是（　　）
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p 是 q 的必要条件
【答案】AC
【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】∵x＞3 x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A 是真命题；
∵x＝2 x2＝4，x2＝4 不能推出 x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B 是假命题；
∵A∩B＝B A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C 是真命题；
∵ac＞bc，c<0 时，a故选：AC.
31．（2024 高一上·河南商丘·期中）下列条件中，使“ x - 2 > 0 ”成立的充分条件的是（ ）
A． 0, + B． -1, + C． 3, + D． 4, +
【答案】CD
【分析】根据充分必要条件的定义对选项逐一分析即可.
【详解】假设使“ x - 2 > 0 ”成立的充分条件的是 p ，则 p x - 2 > 0，即求能推得 x - 2 > 0成立的条件，
对于 A，令 x 1 0,+ ，则 x - 2 1- 2 -1 < 0，故 A 错误；
对于 B，令 x 1 -1, + ，则 x - 2 1- 2 -1 < 0，故 B 错误；
对于 C，因为 x 3,+ ，即 x > 3，故 x - 2 >1 > 0，故 C 正确；
对于 D，因为 x 4, + ，即 x > 4，故 x - 2 > 2 > 0，故 D 正确；
故选：CD.
32．（2024 高三上·江苏盐城·阶段练习）“不等式 x2 - x + m > 0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
m 1A． > B．0 < m <1 C．m > 2 D．m >1
4
【答案】CD
【解析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为“不等式 x2 - x + m > 0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的 x2 - x + m 0判别式D 1- 4m < 0，
1
即m > .
4
所以 A 选项是充要条件，A 不正确；
1
B 选项中，m > 不可推导出0 < m <1，B 不正确；
4
1 1 1
C 选项中，m > 2 可推导m > ，且m > 不可推导m > 2 ，故m > 2 是m > 的充分不必要条件，故 C 正确；
4 4 4
1 1 1
D 选项中，m >1可推导m> ，且m> 不可推导m >1，故m>1是m > 的充分不必要条件，故 D 正确.
4 4 4
故选：CD.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 p 是 q的必要不充分条件，则 q对应集合是 p 对应集合的真子集；
（2） p 是 q的充分不必要条件， 则 p 对应集合是 q对应集合的真子集；
（3） p 是 q的充分必要条件，则 p 对应集合与 q对应集合相等；
（4） p 是 q的既不充分又不必要条件， q对的集合与 p 对应集合互不包含．
33．（2024 高一上·海南海口·阶段练习）若-1 < x < 2是-2 < x < a的充分不必要条件，则实数 的值可以是
（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】BCD
【分析】根据-1 < x < 2是-2 < x < a的充分不必要条件可得 (-1,2) (-2,a)，求得 a 的范围，可得答案.
【详解】由题意可知-1 < x < 2是-2 < x < a的充分不必要条件，
则 (-1,2) (-2,a)，故 a 2，
故 a 的值可取 2,3,4，
故选：BCD.
34．（2024 高一·全国·课后作业）设全集为U ，在下列条件中，是B A的充要条件的有（ ）
A． A B A B． U A B C． U A U B D． AU U B U
【答案】ABCD
【分析】结合 Venn 图，利用充分条件和必要条件的定义，对选项逐一判断即可.
【详解】对于 A，若 A B A，则B A；反过来，若B A，则 A B A，故互为充要条件，故正确；
对于 B，如下 Venn 图，
若 U A B ，则B A，若B A，则 U A B ，故正确；
选项 C 中，若 U A U B ，则B A；反过来，若B A，则 U A U B ，故互为充要条件，故正确；
选项D中，若 AU U B U ，则 U A U B ，故B A；反过来，若B A，则 U A U B ，故 AU U B U ，
故互为充要条件，故正确.
故选：ABCD.
三、填空题
35．（2024 高一·全国·单元测试）已知 p : -2 x 10 ，q :1- m x 1+ m(m > 0)，且 p 是 q的必要不充分条件，
则实数m 的取值范围是 ．
【答案】0 < ≤ 3
【分析】利用集合法，将 p 是 q的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于m 的不等式组，解
不等式组即可得到答案．
【详解】因为 p : -2 x 10 ， q :1- m x 1+ m(m > 0)，且 p 是 q的必要不充分条件，
所以{x |1- m x 1+ m}是{x | -2 x 10}的真子集，且{x |1- m x 1+ m}不是空集.
ì1- m -2

所以 í1+ m 10 且等号不同时成立，解得0 < ≤ 3，

m > 0
所以实数m 的取值范围是0 < ≤ 3，
故答案为:0 < ≤ 3.
【点睛】解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要
条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解.
36．（2024 高一·全国·课后作业）“ x <1”是“ x 1”的是 条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】若 x <1，则 x 1，但 x 1不能得到 x <1，故“ x <1”是“ x 1”的是充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
37．（2024 高一上·江苏徐州·期中）已知集合P x -1 x 4 ， S x 1- m x 1+ m ，则 ∈ 是 ∈ 的
充分不必要条件，则m 的取值范围为 .
【答案】 ≥ 3
【分析】分析可得 P S ，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.
ì1- m -1
【详解】由题意可知， P S ，则 í1 m 4 （等号不同时成立） ，解得 ≥ 3. +
故答案为： ≥ 3.
38．（2024 高三·全国·专题练习）下列命题中所有真命题的序号是
①“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的充分条件；
②“| | > | |”是“ a2 > b2 ”的必要条件；
③“ a > b ”是“ + > + ”的必要条件．
【答案】②③
【分析】根据充分性、必要性的定义进行求解即可.
【详解】对于①，若 a -1，b -2，则不满足 a2 > b2 ，故①是假命题；
对于②，若 a2 > b2 ，则 2 > 2，从而| | > | |，故②是真命题；
对于③，若 + > + ，则 + > + ，即 a > b，故③是真命题．
故答案为：②③
39．（2024 高三上·河南驻马店·阶段练习）在整数集中，被 4除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为
k ，即 k 4n + k n Z , k 0,1,2,3 .给出下列四个结论.
① 2021 1 ；② -1 1 ；③ Z 0 1 2 3 ；④“整数 a,b属于同一“类””的充要条件是“ a - b 0 ”.
其中正确的结论是 （填所有正确的结论的序号）.
【答案】①③④
【分析】根据“类”的定义可判断①②③的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断④
的正误.
【详解】对于①，Q2021 4 505 +1，则 2021 1 ，①正确；
对于②，Q-1 4 -1 + 3，则-1 3 ，②不正确；
对于③，Q任意整数除以 4，余数可以且只可以是0,1,2,3四类，
则Z 0 1 2 3 ，③正确；
对于④，若整数 a、b 属于同一“类”，
则整数 a、b 被 4除的余数相同，可设 a 4n1 + k ，b 4n2 + k ，其中 n1、 n2 Z ， k 0,1,2,3 ，
则 a - b 4 n1 - n2 ，故 a - b 0 ，
若 a - b 0 ，不妨令 a 4n1 + k1,b 4n2 + k2 n1,n2 Z ,k1,k2 0,1,2,3 ，
则 a - b 4(n1 - n2 ) + k1 - k2 ，
显然 n1 - n2 Z , k1 - k2 0,1,2,3 ，于是得 k1 - k2 0，\k1 k2 ，即整数 a,b属于同一“类”，
\“整数 a,b属于同一“类””的充要条件是“ a - b 0 ”，④正确．
\正确的结论是①③④.
故答案为：①③④.
40．（2024 高一上·江苏连云港·期末）若不等式| | < 的一个充分条件为-2 < x < 0，则实数 a 的取值范围
是 .
【答案】 a 2
【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.
【详解】由不等式| | < ，
当 a 0时，不等式| | < 的解集为空集，显然不成立；
当 a > 0时，不等式| | < ，可得-a < x < a，
要使得不等式| | < 的一个充分条件为-2 < x < 0，则满足{ | 2 < < 0} { | < < }，
所以 2 ≥ ，即 a 2
∴实数 a 的取值范围是 a 2 .
故答案为： a 2 .
四、解答题
41．（2024 高一上·四川眉山·阶段练习）已知集合 A {x | 0 x 4}，B x 1- a x 1+ a ，是否存在实数
a，使得 x A是 x B成立的______？
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的 a存在，求出 a的取值范围，若问题中的 a不存在，请说明
理由？
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题
中的 a存在，求出 a的取值范围，若问题中的 a不存在，请说明理由．
【答案】(1)不存在满足条件的 a，理由见解析
(2)若选①，问题中的 a存在，且 a的取值集合M a a 3 ，若选②，问题中的 a存在，且 a的取值集合
M {a | a 1}.
【分析】（1）转化为 A B，根据两个集合相等列式可求出结果；
（2）若选①，根据A 是 B 的真子集列式可求出结果；若选②，根据 B 是A 的真子集列式可求出结果.
【详解】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则 A B，则1- a 0且1+ a 4 ，方程组无解.
∴不存在满足条件的 a .
（2）若选①，则A 是 B 的真子集，则1- a 0且1+ a 4（两等号不同时取），且1- a 1+ a ，解得 a 3，
∴问题中的 a存在，且 a的取值集合M a a 3 .
选②，则 B 是A 的真子集，
当B 时，1- a >1+ a，即 a < 0，满足 B 是A 的真子集；
当B 时，1- a 1+ a ，即 a 0，由 B 是A 的真子集，得1- a 0且1+ a 4（两等号不同时取），解得0 a 1；
综上所述：a 1 .
所以问题中的 a存在，且 a的取值集合M {a | a 1}.
42．（2024 高一上·山东日照·期末）已知“ $x x -2 < x < 2 ，使等式 x2 - 2x - m 0 ”是真命题.
（1）求实数m 的取值范围M ：
（2）设关于 x 的不等式 (x - a)(x - a -1) < 0的解集为 N ，若“ x N ”是“ x M ”的充分条件，求 a的取值范围.
【答案】（1）M -1,8 ；（2）-1 a 7 .
【解析】（1）利用参数分离法将m 用 x 表示，结合二次函数的性质求出m 的范围即可求解；
（2）先求出集合 N ，有已知条件可得 N 是M 的子集，结合数轴即可求解
【详解】（1）若“ $x x -2 < x < 2 ，使等式 x2 - 2x - m 0 ”是真命题，
则m x2 - 2x x -1 2 -1，
因为-2 < x < 2，所以m x -1 2 -1 -1,8 ，
所以M -1,8 ，
（2）由不等式 (x - a)(x - a -1) < 0可得 a < x < a +1，
所以 N x | a < x < a +1 ，
若“ x N ”是“ x M ”的充分条件，
ìa -1
则 N 是M 的子集，所以 í 解得-1 a 7，
a +1 8
经检验 a -1、 a 7符合题意，
所以 a的取值范围是-1 a 7
【点睛】结论点睛：从集合的观点分析充分、必要条件，根据如下规则判断：
（1）若 p 是 q的必要不充分条件，则 q对应集合是 p 对应集合的真子集；
（2） p 是 q的充分不必要条件， 则 p 对应集合是 q对应集合的真子集；
（3） p 是 q的充分必要条件，则 p 对应集合与 q对应集合相等；
（4） p 是 q的既不充分又不必要条件， q对的集合与 p 对应集合互不包含．
43．（2024 高一上·浙江· 2期中）集合 A x - 3x - x + 2 > 0 ，B x 4x - 3 < 0 .
(1)求 R A B；
(2)设集合C x 2a < x <1- a ，若“ x B ”是“ ∈ ”的必要条件，求实数 a 的取值范围.
2 3ü
【答案】(1) x x -1或 x <3 4
é1
(2) ,+ ÷
ê4
2 3
【分析】（1）求解不等式得到 A
ì ü ì ü
íx -1 < x < ，B x x <3 í 4
，从而求出 R A B；

（2）根据“ x B ”是“ ∈ ”的必要条件得到C 是 B 的子集，分C 与C 两种情况，列出不等式组，求
出实数 a 的取值范围.
2
【详解】（1） A x - 3x - x + 2 0 ìx 1 x 2> í - < < ü3 ，
ì
所以 R A íx x
2
或 x -1 ，
3
B x 4x - 3 < 0 ì 3üíx x < 4 ，
A B 2 3 2 3 A ìx x x -1 ìx x < ü x x -1 x < ü故 R R í 或 í 或
3 4 3 4


（2）若“ x B ”是“ ∈ ”的必要条件，则C 是 B 的子集，
若C ，故 2a 1- a 1，解得： ≥ 3，
ì2a <1- a 1 1
若C

，则 í 3 ，解得： a < ，
1- a 4 3 4
1
综上： a
1
é ，故实数 a 的取值范围是
4 ê
,+ ÷
4
44 2．（2024 高一上·陕西西安·阶段练习）已知全集为R ，集合 A= x x -8x+12 0 ，B= x 3x-7 8-2x .
(1)求 A B ；
(2)若C= x a-4 x a+4 ，且“ ∈ ∩ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) 3,6
(2) 2 a 7
【分析】（1）先分别求出集合 A, B，然后再求交集即可；
（2）可分析出 A B 是C 的真子集，列出不等式求解即可.
【详解】（1）解： x2 -8x +12 0解得 2 x 6所以 A 2,6 ，
由3x - 7 8 - 2x 解得 x 3，所以B 3,+ ，
所以 A B 3,6
（2）解：因为“ ∈ ∩ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
所以 AI B C 且 A B C ，
ìa - 4 3
所以 í a 4 6 （等号不同时成立）得
2 a 7，
+
所以实数 a的取值范围是 2 a 7 .
45．（2024 2高一上·江苏常州·阶段练习）设集合 A x x + 2x - 3 < 0 ，B x -a -1< x < a -1,a > 0 ，命题
p： x A，命题 q： x B．
(1)若 p 是 q 的充要条件，求正实数 a 的取值范围；
(2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求正实数 a 的取值范围．
【答案】(1) 2
(2) 0,2
ì-a -1 -3
【分析】（1）通过解不等式可得 = { | 3 < < 1}，由 p 是 q 的充要条件，得 A B，即 ía ，从 -1 1
而即可求出实数 a 的取值范围；
（2）根据 p 是 q 的必要不充分条件，得 B A，从而即可求出实数 a 的取值范围．
【详解】（1）由 x2 + 2x - 3 < 0，得 x + 3 x -1 < 0 ，
解得-3 < x <1，所以 = { | 3 < < 1}，
ì-a -1 -3
由 p 是 q 的充要条件，得 A B，即 ía 1 1 ，解得 a 2， -
所以实数 a 的取值范围是 2 ；
（2）由 p 是 q 的必要不充分条件，得 B A，
ì-a -1 > -3

又 a > 0，则B ，所以 ía -1<1 ，解得0 < a < 2 ，

a -1 > -a -1
综上实数 a 的取值范围是 0,2 ．
46．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知集合 A x | -2 x 6 ， B x |1- m x 1+ m ，m > 0 .请在①
充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的
实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
(1)若 AU B A，求实数m 的取值范围；
(2)若 x A是 x B的________条件，判断实数m 是否存在？
【答案】(1) 0,3
(2)答案见解析
【分析】（1）由集合运算得出集合关系，通过包含得出结果；
（2）分别将题目中给出的三个不同条件转化为集合之间的包含（或相等）关系，根据集合之间的包含（或
相等）关系，得出结果.
【详解】（1）若 AU B A，则B A，
ìm > 0

则 í1+ m 6 ，解得0 < ≤ 3，

1- m -2
所以实数m 的取值范围是 0,3 ．
（2）若选择条件①，即 x A是 x B的充分条件，则 A B ，
ì1+ m 6
所以 í
1- m
，解得 ≥ 5，
-2
所以实数m 的取值范围是 5,+ ；
若选择条件②，即 x A是 x B的必要条件，则B A，
ì1+ m 6
所以 í ，解得m 3
1- m -2
．
又m > 0，所以0 < ≤ 3，
所以实数m 的取值范围是 0,3 ；
若选择条件③，即 x A是 x B的充要条件，则 A B，
ì1+ m 6
所以 í1 m 2 ，方程组无解， - -
所以不存在满足条件的实数m ．
47．（2024 高一上·河南郑州·阶段练习）已知M = x|a x a+3 ,N = x|x>1或 x<- 6 ．
(1)若M N ，求实数 a 的取值范围；
(2)若 x N 是 x M 的必要条件，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1) -6 a -2；
(2) a > 1或 a < -9 .
【分析】（1）由交集的定义得出关于 的不等式组，解出 的取值范围即可；
（2）利用必要条件的定义，结合子集的定义得出关于 的不等式组，解出即可.
【详解】（1）Q M = x|a x a+3 ,N = x|x>1或 x<- 6 ，M N ，
ì a -6
\í ，解得：-6 a -2，
a+3 1
\a的取值范围是-6 a -2；
（2）因为 x N 是 x M 的必要条件，
所以M N ，
\a >1或 a + 3 < -6，
\a的取值范围是 a > 1或 a < -9 .
48．（2024 高一上·安徽芜湖·期末）已知集合 A
ì 2x - 5 ü
íx <1 ，B x -k < x < 2k +1 .
x +1
(1)若 A B A，求实数 k 的取值范围；
(2)已知命题 : ∈ ，命题 : ∈ ，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 k 的取值范围.
5
【答案】(1) k
2
(2) k 1
【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合A ，根据集合之间的关系，可列不等式，可得答案；
（2）根据必要不充分条件，可得集合之间的关系，利用分类讨论，可列不等式，可得答案.
2x - 5 2x - 5 x - 6
【详解】（1）由 <1，移项可得 -1< 0，通分并合并同类项可得 < 0，等价于
x +1 x +1 x +1
x - 6 x +1 < 0，解得-1 < x < 6，则 A x -1< x < 6 ；
ì-k -1 5
由 A B A，则 A B ，即 í k .
6 2k
，解得
+1 2
（2）p 是 q 的必要不充分条件等价于B A .
1
①当B 时，-k 2k +1，解得 k - ，满足.
3
ì 1
k > -
3
②当B 时，原问题等价于 í-k -1 （不同时取等号）

2k +1 6

1
解得- < k 1 .
3
综上，实数 k 的取值范围是 k 1 .
1- x
49．（2024 高二下·江苏镇江·期末）不等式 > 0的解集是 A，关于 x 的不等式 2
x 2 x - 4mx - 5m
2 0 的解集是
+
B.
(1)若m 1时，求 A B ；
ì x2 - x - 6 0
(2)设命题 p：实数 x 满足 x2 - 4ax + 3a2 < 0，其中 a > 0；命题 q：实数 x 满足 í 2 .若 p 是 q 的必
x + 2x -8 > 0
要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
【答案】(1){x | -1 x < 1} ;
(2){a |1 < a 2} .
【分析】（1）m 1时，求出集合A ， B ，由此能求出 AIB．
（2）利用不等式的解法求解出命题 p ， q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母 a的不等式，
从而求解出 a的取值范围．
1- x
【详解】（1）解：不等式 > 0的解集为A ，关于 x 的不等式 x2 - 4mx - 5m2 < 0 的解集为 B
x + 2
\ A {x | 1- x > 0} { {x | -2 < x < 1}
x ，+ 2
m 1时， B {x | x2 - 4x - 5 0} {x | -1 x 5}，
\ AIB {x | -1 x < 1}．
（2）解：当 a > 0时， x2 - 4ax + 3a2 < 0的解集为 A (a,3a)；
若 p 是 q的必要不充分条件，
ìa 2
\(2，3] A，则 í 1< a 23a 3 ； >
故 a的取值范围是{a |1 < a 2}．

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