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1.1 集合的概念 7 题型分类
知识点 1 元素与集合的概念
1.元素与集合的概念
(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母 a，b，c，…表示，把一些元素
组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示．
(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
①确定性
给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就
确定了．简记为“确定性”．
②互异性
一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
(3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
知识点 2 元素与集合的关系
1.元素与集合的关系　
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合 属于 如果 a 是集合 A 中的元 a∈A “a 属于 A”
素，就说 a 属于 A
的关系 如果 a不是集合 A 中的元
不属于 a A “a 不属于 A”
素，就说 a 不属于 A
2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立.
知识点 3 常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或 N＋ Z Q R
知识点 4 集合的表示方法
1 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般
可将集合表示为{a，b，c，…}.
注：列举法表示的集合的结构：
2.描述法
一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表
示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈
A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.
注：描述法表示的集合的结构：
（一）
1、集合概念的理解
(1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明.
(2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各
样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.
(3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这
个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
2、判断一组对象是否为集合的三依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
题型 1：判断对象是否能构成集合
1-1．（2024 高一上·贵州铜仁·阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有 （填序号）．
①所有的好人；
②平面上到原点的距离等于 2 的点；
③正三角形；
④比较小的正整数；
⑤满足不等式 x +1 > 0的 x 的取值．
【答案】②③⑤
【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案.
【详解】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故
②③⑤正确，
故答案为：②③⑤.
1-2．（2024 高一下·云南·阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校 2020 - 2021学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果.
【详解】对于 ACD，集合中的元素具有确定性，但 ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误；
B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确.
故选：B.
1-3．（2024 高一·全国·课后作业）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身
高在 1.7 米的学生；（5）平面内到线段 AB 两端点距离相等的点的全体.
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案.
【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
（二）
1、集合中的元素的性质及应用
元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素 a 属于集合 A,记作 a∈A,读作“a 属于集合 A";元素 a 不属于集合
A.记作 a A,读作“a 不属于集合 A".
(1)a∈A 与 a A 取决于 a 是不是集合 A 中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何 a 与 A.在 a∈A 与
a A 这两种情况中必有一种且只有一种成立.
(2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记
准.
(3)a 与{a}的区别和联系:a 表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素 a;它们之间的联系为
a a .
2、元素与集合关系的判断
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此
时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
3、根据元素与集合的关系求参数
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
题型 2：元素与集合关系的判断
2-1．（2024 高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合 A=｛0，1，2｝，则（ ）
A．0 A B．1 A C．2=A D． A
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系进行判断即可
【详解】已知 A = 0,1,2 ，
所以0 A，1 A， 2 A，而 是任何集合的子集.
故选：A
2-2．（西藏林芝市第二高级中学 2023-2024 学年高一上学期第一学段考试（期中）数学试题）给出下列 6 个
关系：① 2 R，② 3 Z，③ 0 N* ，④ 4 N ，⑤p Q，⑥ -2 Z .其中正确命题的个数为（ ）
2
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】根据数的分类一一判断即可.
2 2
【详解】 为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以 R ，所以①正确；
2 2
3是无理数，所以 3 Z，所以②错误；
0 不是正整数，所以0 N* ，所以③正确；
4 = 2 N ，所以④正确；
π是无理数，所以 π Q，所以⑤正确；
-2 = 2 Z，所以⑥错误.
故选:A.
1
2-3．（河北专版学业水平测试专题一集合与常用逻辑用语）给出下列关系：① R ；② 2 R ；
2
③ -3 N；④ -3 Q．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】结合数的分类判断即可.
1
【详解】 是有理数， 2 是无理数，均为实数，①正确，②错误；2
-3 = 3，为自然数及有理数，③④正确.
故选：C.
题型 3：根据元素与集合的关系求参数
3-1．（2024 2高一上·上海虹口·期中）集合 A = x x -1 x + ax + 4 = 0, x R 中所有元素之和为3，则实数
a = ．
【答案】-4
2
【分析】由 x -1 x + ax + 4 = 0得 x1 + x2 + x3 =1- a ，即可求解参数．
【详解】由 x -1 x2 + ax + 4 = 0得 x -1 = 0或 x2 + ax + 4 = 0
所以 x1 =1 A，
x2 + ax + 4 = 0，当D = a2 -16 = 0时， x = 2是方程 x2 + ax + 4 = 0的根，解得 a = -4 ，
当D > 0时，若方程 x2 + ax + 4 = 0的一根为 1，则 a = -5，方程的另一根为 4，不合题意；
若 1 不是方程 x2 + ax + 4 = 0的根，则方程两根 x2 + x3 = -a = 2，此时 a = -2 不满足D > 0，舍去.
故答案为：-4．
3-2．（2024 高一上·四川泸州·期末）已知 (1, 2) (x, y) 2x + ay - 3 = 0 ，则 a 的值为 ．
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得 a 的值．
【详解】因为 (1, 2) (x, y) 2x + ay - 3 = 0 ，所以 2 1+ 2a - 3 = 0 ，解得： a = ，
2
1
故答案为： ．
2
3-3．（2024·河南·模拟预测）已知 A = x∣x2 - ax +1< 0 ，若 2 A，且3 A，则 a 的取值范围是（ ）
5
A ,+ B
5 ,10 ù é5． ÷ ． ú C． ê ,
10 10
÷ D． - ,
ù
è 2 è 2 3 2 3 è 3 ú
【答案】B
【分析】根据题意建立不等式求解即可.
【详解】由题意， 22 - 2a +1< 0且32 - 3a +1 0，
5 a 10解得 < ，
2 3
故选：B
题型 4：利用集合元素的互异性求参数
4-1．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，则实数 m=（ ）
A．0 B．-1 C．0 或-1 D．0 或 1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论 2m -1 = -3和m - 3 = -3两种情况，求解m 并检验集合的互异性，
可得到答案.
【详解】设集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，
Q-3 M ，\2m -1 = -3或m - 3 = -3，
当 2m -1 = -3时，m = -1，此时M = -3, -4 ；
当m - 3 = -3时，m = 0，此时M = -3, -1 ；
所以m = -1或0 .
故选：C
4-2．（2024·北京海淀· 2模拟预测）设集合 A = 2, a - a + 2,1- a ，若 4 A，则 a的值为（ ）．
A．-1，2 B．-3 C．-1，-3，2 D．-3，2
【答案】D
【分析】由集合中元素确定性得到： a = -1， a = 2或 a = -3，通过检验，排除掉 a = -1 .
【详解】由集合中元素的确定性知 a2 - a + 2 = 4或1- a = 4 ．
当 a2 - a + 2 = 4时， a = -1或 a = 2；当1- a = 4 时， a = -3．
当 a = -1时， A = 2,4,2 不满足集合中元素的互异性，故 a = -1舍去；
当 a = 2时， A = 2,4,-1 满足集合中元素的互异性，故 a = 2满足要求；
当 a = -3时， A = 2,14,4 满足集合中元素的互异性，故 a = -3满足要求．
综上， a = 2或 a = -3．
故选：D．
4-3．（2024 高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合A 中的元素 1，4， a，且实数 a满足 a2 A，求实数 a的
值.
【答案】-1, -2，2，0.
【解析】由实数 a满足：a2 {1，4， a}，得到 a2 =1或 a2 = 4，或 a2 = a ，结合互异性能求出实数 a的取值．
【详解】因为实数 a满足 a2 A，
所以 a2 = 4或 a2 =1或 a2 = a ，
解得 a = -2 或 a = 2或 a = -1或 a =1或 a = 0，
当 a =1时，集合A 中含有 1，4，1，不合题意；当 a = -1或 =± 2或 a = 0时，满足题意.所以实数 a的值为
-1, -2，2，0.
【点睛】本题主要考查已知集合与元素的关系求参数，解题时要认真审题，注意集合中元素互异性的合理
运用，是基础题．
4-4．（2024 2 2高三·全国·专题练习）已知 A = a + 2,(a +1) ,a + 3a + 3 ，若1 A，则实数 a构成的集合 B 的元
素个数是（ ）
A．0 B．1 C． 2 D．3
【答案】B
【解析】让集合A 中每个元素等于 1，求得 a，检验符号集合中元素的互异性，得 a的值，从而可得结论．
【详解】① a + 2 =1 a = -1，∴ (a +1)2 = 0，a2 +3a+3=1，则 A = 1,0,1 ，不可以，
② (a +1)2 = 1 a = 0，∴ a + 2 = 2， a2 + 3a + 3 = 3，则 A = 2,1,3 ，可以，
或 a = -2 ，∴ a + 2 = 0 ，a2 +3a+3=1，则 A = 0,1,1 ，不可以，
③ a2 +3a+3=1 a = -1， a + 2 =1， (a +1)2 = 0，则 A = 1,0,1 ，不可以，
或 a = -2 ，∴ a + 2 = 0 ， (a +1)2 = 1，则 A = 0,1,1 ，不可以，
∴ B = {0}，
故选：B．
【点睛】本题考查集合的概念，掌握集合元素的互异性是解题关键．
4-5 2．（2024 高一上·山东聊城·期中）若 a 1,3, a ，则 a的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断 a的可能取值.
【详解】 a = 0，则 a 1,3,0 ，符合题设；
a =1时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
a = 3时，则 a 1,3,9 ，符合题设；
∴ a = 0或 a = 3均可以.
故选：C
4-6．（2024 高一上·四川自贡·期末）若 a 2,a2 - a ，则 a的值为（ ）
A．0 B． 2 C．0 或 2 D．-2
【答案】A
【分析】分别令 a = 2和 a = a2 - a，根据集合中元素的互异性可确定结果.
【详解】若 a = 2，则 a2 - a = 2，不符合集合元素的互异性；
若 a = a2 - a，则 a = 0或 a = 2（舍），此时 2, a2 - a = 2,0 ，符合题意；
综上所述： a = 0 .
故选：A.
（三）
用列举法表示集合
1.列举法表示的集合的种类
(1)元素个数少且有限时.全部列举:如 1,2,3,4;
(2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从 1到 1000的所有自然数”可以表示为
1,2,3,...,1 000} ;
(3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集 N 可以表示为 10,1,2,3....
2.使用列举法表示集合时需注意
(1)元素之间用“,”而不用“、"隔开;
(2)元素不重复，满足元素的互异性;
(3)元素无顺序，满足元素的无序性;
(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表
述清楚后才能用省略号.
注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集.
（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然.
题型 5：用列举法表示集合
ìx + y =1
5-1．（2024 高一·全国·专题练习）方程组 í
x y 3
的解集是（
- = ）
A． 2, -1 B． x = 2, y = -1 C． x, y -2,1 D． 2, -1
【答案】D
【分析】根据点集的正确形式，判断选项.
ìx + y =1 ìx = 2
【详解】由方程组 íx y 3，解得： íy 1，集合应是点集，正确的形式是 2，-1 . - = = -
故选：D
12
5-2．（2024 高一上·北京海淀·期中）已知集合 A = {x | N ， x Z}7 x ，用列举法表示集合 A = ．-
【答案】 -5,1,3,4,5,6
【分析】根据元素特征即可得到结果.
【详解】由题意得7 - x =1，2，3，4，6，12
解得 x = 6，5，4，3，1，-5
A {x | 12所以集合 = N ， x Z} = { -57 x ，1，3，4，5，
6}．
-
故答案为： -5,1,3,4,5,6
ì 6 ü
5-3．（2024 高一上·四川·阶段练习）设集合 A = íx Z N ，则用列举法表示集合 A 为 .
x + 2


【答案】{-1,0,1,4}
【分析】根据自然数集N与整数集Z的概念分析集合 A 中的元素即可.
6
【详解】要使 N，则 x + 2 可取1,2,3,6，又 x Z，则 x 可取-1,0,1,4，
x + 2
故答案为： -1,0,1,4 .
5-4．（2024 高一·全国·课后作业）集合 x N x - 4 <1 用列举法表示为（ ）
A． 0,1,2,3,4 B． 1,2,3,4 C． 0,1,2,3,4,5 D． 1,2,3,4,5
【答案】A
【分析】根据集合的描述法得到集合的列举法.
【详解】∵ x - 4 <1，
∴ x < 5．
又 x N，
∴ x N x - 4 <1 = 0,1,2,3,4 ．
故选：A
（四）
用描述法表示集合
1.描述法的一般形式是 x I p x ,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程
x2 - 3x + 2 = 0 2的实数根为 x R x - 3x + 2 = 0 .如果从上下文的关系来看, x I 是明确的，那么 x I
也可省略，只写其元素 x.例如集合 A = {x R x > 5}也可表示为 A = {x x > 5} .
2.描述法表示集合的条件
对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特
征描述出来，即采用描述法.
3.使用描述法时应注意以下几点
(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等;
(2)说明该集合中元素的共同属性;
(3)不能出现未被说明的字母;
(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确.
注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,
且用“|”隔开.
(2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
题型 6：用描述法表示集合
6-1．（2024 高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于 2 且小于 5 的有理数组成的集合．
（2）24 的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由 0，1，2 这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【分析】（1）集合有无限个元素，利用描述法求解；
（2）集合中元素较少，利用列举法求解；
（3）集合有无限个元素，利用描述法求解；
（4）集合中元素较少，利用列举法求解；
【详解】（1）用描述法表示为{x|2（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．
（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．
（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
6-2．（2024 高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：
（1）被 3 除余 1 的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于 4 的所有偶数．
【答案】（1）{x | x = 3n +1,n N}；（2）{(x, y) | x > 0, y > 0}；（3）{x | x = 2n,n 3,n Z}．
【分析】集合用描述法表示，根据条件写代表元具有的性质.
【详解】（1）因为集合中的元素除以 3 余数为 1，所以集合表示为：{x | x = 3n +1,n N}；
（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于 0，所以集合表示为：{(x, y) | x > 0, y > 0}；
（3）大于 4 的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：{x | x = 2n,n 3,n Z}．
【点睛】集合用描述法表示时，注意代表元的元素特征，如果是点集，则代表元要用数对 (x, y)表示.
6-3．（2024 高一·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合:
（1）被 5 除余 1 的正整数组成的集合；
（2）由直线 y＝－x＋4 上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；
（3）方程(x2－9)x＝0 的实数解组成的集合；
（4）三角形的全体组成的集合.
【答案】（1）{x|x=5k+1，k∈N}；（2）{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；（3）{－3，0，3}；（4）{x|x 是三角
形}或{三角形}.
【分析】（1）（4）集合中有无限多个元素，用描述法表示，（2）是平面上点集，可用描述法也可用列举法，
（3）中只有有限个元素可以用列举法表示．
【详解】（1）{x | x = 5k +1,k N}；
（2）{(x, y) | y = -x + 4, x N , y N}；
（3） (x2 - 9)x = 0 x = 0或 x = ±3，解集为{-3,0,3}，
（4）{x | x 是三角形}或写成{三角形}．
【点睛】本题考查集合的表示，集合的表示方法有列举法，描述法，图示法．一个集合可能用多种方法表
示，表示方法不唯一．
6-4．（2024 高一上·陕西安康·阶段练习）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程 2x -1 + 2y +1 = 0的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被 5 除余 3 的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数 y = x2 + 2x -10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
ì(1 , 1【答案】(1) í - )
ü

2 2
(2) (x, y) xy 0
(3){x N+ | x = 5n + 3， n N}
(4){y | y = x2 + 2x -10}
【分析】根据题意逐项代入分析即可求解.
ì 1 1 ü
【详解】（1）方程 2x -1 + 2y +1 = 0的解集为 í ,- .
è 2 2
÷

（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为 x, y xy 0 .
（3）用描述法表示被 5 除余 3 的正整数组成的集合为{x N+ | x = 5n + 3， n N} .
（4）用描述法表示二次函数 y = x2 + 2x -10的图象上所有点的纵坐标组成的集合为{y | y = x2 + 2x -10}．
（五）
集合表示法的综合应用
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合 A＝{x|kx2－8x＋16＝
0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想．
题型 7：根据集合元素的个数求参数
7-1．（2024 高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合 A= x ax2 -3x+2=0 的元素只有一个，则实数 a 的值为
（ ）
9 9
A． B．0 C． 或 0 D．无解
8 8
【答案】C
【分析】集合A 有一个元素，即方程 ax2 - 3x + 2 = 0有一解，分 a=0， a 0 两种情况讨论，即可得解.
【详解】集合A 有一个元素，即方程 ax2 - 3x + 2 = 0有一解，
a=0 A= x ax2 - 3x+2=0 = x -3x+2=0 = ì2ü当 时， í ，符合题意，
3
当 a 0时， ax2 - 3x + 2 = 0有一解，
9
则D = 9 -8a = 0，解得： a = ，
8
9
综上可得： a=0或 a = ，
8
故选：C.
7-2．（2024 高一上· 2陕西西安·阶段练习）已知集合 A = x ax - 3x +1 = 0 ，其中 a为常数，且 ∈ R.若A 中至
多有一个元素，则实数 a的取值范围为 .
é9
【答案】 ê ,+

÷ U 0
4
【分析】分情况讨论集合A 中有零个元素和一个元素时 a的范围.
【详解】由 A = x ax2 - 3x +1 = 0 ，
2 9
若A 中有零个元素，即方程 ax2 - 3x +1 = 0无解，则 -3 - 4a < 0，解得 a > ；4
2 x 1若A 中有一个元素，即方程 ax - 3x +1 = 0只有一个解，当 a = 0时，方程为-3x +1 = 0 ，解得 = ，成立，
3
当 a 0时，D = -3 2 9- 4a = 0，解得 a = ，成立，
4
é9
综上所述，若A 中至多有一个元素，则实数 a ê ,+ ÷ U 0 ， 4
é9
故答案为： ê ,+ ÷ U 0 . 4
一、单选题
ìx + y = 2
1．（2024 高一·全国·课后作业）方程组 íx 2y 1 0的解集可以表示为（- + = ）
A．{x = 1, y = 1} B．{1} C．{(1,1)} D．{1,1}
【答案】C
【分析】由方程组的解即可求解解集.
ìx + y = 2 ìx =1 ìx + y = 2
【详解】由 íx - 2y 1 0得 íy 1，所以方程组+ = = í 的解集可以表示为
{(1,1)}，
x - 2y +1 = 0
故选：C
2．（2024 2高二下·河南焦作·阶段练习）已知集合M = 1, m,m + 3 ，且 4 M ，则m 取值构成的集合为（ ）
A． 1,4 B． -1,4 C． -1,1,4 D．
【答案】B
【分析】由 4 M 求出 m，再利用互异性即可求解
2
【详解】因为集合M = 1, m,m + 3 ，且 4 M ，
所以m = 4 或m2 + 3 = 4 .
当m2 + 3 = 4 时，解得：m =1或m = -1.
而m =1，不符合元素的互异性，故m = 4 或m = -1.
故选：B
3．（2024 高一上·四川成都·阶段练习）已知 A = a - 2,2a2 + 5a,12 其-3 A，则由 a的值构成的集合是（ ）
ì 3ü ì 3ü
A． B． í-1, - 2
C． - 1 D． í- 2
【答案】D
2
【分析】分 a - 2 = -3，2a2 + 5a = -3讨论，求出 a，再带入集合 A = a - 2,2a + 5a,12 看是否满足互异性即
可.
【详解】解：Q-3 A，
当 a - 2 = -3，即 a = -1时， A = -3, -3,12 ，集合中有相同元素，舍去；
7
当 2a2 + 5a = -3，即 a = -1（舍）或 a
3
= - 时， A =
ì
í- , -3,12
ü
，符合，2 2
故由 a ì
3ü
的值构成的集合是 í- 2
.

故选：D
【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题.
4．（2024 高一上·北京·阶段练习）已知集合 A = {a - 2,a2 + 4a,10}，若-3 A，则实数 a的值为（ ）
A．-1 B．-3 C．-3 或-1 D．无解
【答案】B
【分析】根据题意可得 a - 2 = -3或 a2 + 4a = -3解方程，再利用集合元素的互异性即可求解.
【详解】若-3 A，可得
当 a - 2 = -3时，解得 a = -1，此时 A = -3, -3,10 ，
不满足集合的互异性，故 a = -1（舍去），
当 a2 + 4a = -3，解得 a = -1（舍去）或 a = -3，此时 A = -5,-3,10 ，
满足题意，故实数 a的值为-3.
故选：B
【点睛】本题考查了由集合中的元素求参数值、集合的特征，属于基础题.
5．（2024 高一上·浙江·课后作业）下面四个命题正确的个数是（ ）.
①集合N*中最小的数是 1；
②若-a N*，则a N* ；
③若a N*,b N*，则 a + b 的最小值是 2；
④ x2 + 9 = 6x 的解集是 3,3 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由 N * 是正整数集可判断①②③，根据集合中元素的互异性知④错误.
【详解】 N * 是正整数集，最小的正整数是 1，故①正确；
当 a < 0时，-a N *，但a N *，故②错误；
若 a N * ，则 a 的最小值为 1.又b N *，则 b 的最小值为 1，当 a 和 b 都取最小值时，a + b 取最小值 2，故
③正确；
由集合中元素的互异性知④错误.
故选：C
【点睛】本题考查常用数集、集合中元素的性质，属于基础题.
6 2024 · · x ax2．（ 高一 全国 单元测试）若关于 的方程 + 2 a +1 x + 4 = 0的解集为单元素集合，则（ ）
A． a = 0 B． a =1
C． a = 0或 a =1 D． a 0且 a 1
【答案】C
【分析】分类讨论二次项系数的取值，确定方程只有一个解时参数的值即可得到答案.
【详解】 a = 0时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条件；
a 0时，原方程为一元二次方程，当判别式n= 0时，方程有一个解，此时，
n= 4 a +1 2 - 4 4a = 0，解得 a =1
所以当原方程的解集为单元素集合时， a = 0或a =1，选项 C 正确.
故选：C.
7．（2024 高一上·湖北·期末）已知集合 A = -1,0 , B = 1,2 , C = x x = a - b,a A,b B ，则 C 集合中元素
的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据定义列举出 C 中所有元素，即可判断.
【详解】 x = a - b, a A,b B，则可以为： x = -1-1 = -2， x = -1- 2 = -3， x = 0 -1 = -1， x = 0 - 2 = -2 .
故C = -3, -2, -1 ，有 3 个元素.
故选：B
ì 6
8．（2024 高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合 M= ía N*,且 a Z ，则 M 等于（ ）
5 - a
A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{ -1，2，3，4}
【答案】D
【分析】由元素具有的性质，5- a是 6 的正约数，由此可得 a的值．
ì
【详解】因为集合 M= ía
6
N*,且 a Z ，，所以 5-a 可能为 1，2，3，6，
5 - a
即 a 可能为 4，3，2，-1.所以 M={ -1，2，3，4}，
故选：D.
【点睛】本题考查集合的概念，确定集合的元素是解题关键．元素所具有的性质是解题的根据．
9．（2024 高一上·广东茂名·期中）若 2 {1, a2 +1,a +1}，则 a =（ ）
A．2 B．1 或－1 C．1 D．－1
【答案】D
【分析】分别令 a2 +1 = 2 ， a +1 = 2，求出 a值，代入检验．
【详解】当 a2 +1 = 2 时，a = ±1，当 a =1时，a +1 = a2 +1 = 2，不满足互异性，舍去，当 a = -1时，集合为
{1,2,0}，满足；
当 a +1 = 2时， a =1，不满足互异性，舍去.
综上 a = -1．
故选：D．
【点睛】本题考查集合的定义，掌握集合元素的性质是解题关键．求解集合中的参数值，一般要进行检验，
检验是否符合元素的互异性．如有其他运算也要满足运算的结论．
10．（2024 高一·全国·假期作业）方程 x2＝x 的所有实数根组成的集合为
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,1 D 2． x = x
【答案】C
【分析】解方程 x2＝x，得 x＝0 或 x＝1，由此能求出方程 x2＝x 的所有实数根组成的集合
【详解】解：解方程 x2＝x，得 x＝0 或 x＝1，
方程 x2＝x 的所有实数根组成的集合为 0,1 ．
故选：C．
【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.
11．（2024 高三上·安徽芜湖·期末）集合 A = x N* x - 5 < 0 中的元素个数是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】用列举法表示集合A ，即可知道其元素个数.
【详解】 A = x N* x - 5 < 0 = 1,2,3,4 ，
所以集合A 中的元素个数有 4 个，
故选：B.
12．（2024 高一·全国·课后作业）设有下列关系：① 2 R；② 4 Q；③ 0 N ；④ 0 0,1 ．其中正确
的个数为．
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
【答案】D
【分析】通过判断元素与集合的关系即可得到结果.
【详解】QR表示实数集 \ 2 R ，则①正确
QQ 表示有理数集 \4 Q，则②正确
Q N 表示自然数集 \0 N ，则③正确
Q0是集合 0,1 的一个元素 \0 0,1 ，则④正确
本题正确选项：D
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题.
13．（2024 高二下·浙江宁波·学业考试）已知集合M = 3,4 , N = x∣ x - 3 x + a = 0, a R ， 若M = N ， 则
a = （ ）
A．3 B．4 C．-3 D．-4
【答案】D
【分析】依题意可得3 N ，且 4 N ，即可得到 x = 3和 x = 4为方程 x - 3 x + a = 0的两个实数根，从而得
解；
【详解】解：因为M = 3,4 且M = N ，
所以3 N ，且 4 N ，
又 N = x∣ x - 3 x + a = 0,a R ，
所以 x = 3和 x = 4为方程 x - 3 x + a = 0的两个实数根，
所以 a = -4 ；
故选：D
14．（2024 高三下·河南新乡·开学考试）已知集合 A = 4, x, 2y ，B = -2, x2 ,1- y ，若 A = B，则实数 x 的取
值集合为（ ）
A．{-1,0,2} B．{-2,2} C． -1,0,2 D．{-2,1,2}
【答案】B
【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.
【详解】因为 A = B，所以-2 A .
当 x = -2时， 2y =1- y
1
，得 y = ；
3
当 2y = -2时，则 x = 2 .
故实数 x 的取值集合为 -2,2 .
故选：B
15 2．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x | x <1 ，且 a A，则 a的值可能为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】C
【解析】化简集合A 得 x 范围，结合 a A判断四个选项即可.
2
【详解】集合 A = x | x < 1 = x | -1 < x < 1 ，四个选项中，只有0 A，
故选：C．
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题
16．（2024 高一上·广东江门·期中）已知集合M = x | x x -1 = 0 ,那么（ ）
A．0 M B．1 M C．-1 M D．0 M
【答案】A
【分析】确定结合M = x | x x -1 = 0 的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.
【详解】由题意知集合M = x | x x -1 = 0 = {0,1}，
故0 M ，故 A 正确，D 错误，1 M ，故 B 错误，-1 M ，故 C 错误，
故选：A
17．（2024 高一上·海南·期中）下列表示正确的是（ ）
2
A．-3 N* B．0 N C． Z D． π Q7
【答案】B
【分析】利用常用数集符合的意义，逐项判断作答.
【详解】N* 表示正整数集，而-3 是负整数，A 不正确；
N表示自然数集，0 是自然数，B 正确；
2
Z表示整数集， 7 是分数，C 不正确；
Q表示有理数集， π是无理数，D 不正确.
故选：B
18．（2024·辽宁· M = a,0 N = a2模拟预测）设集合 ， ,b ，若M = N ，则 a + b =（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
【答案】B
【分析】根据集合相等的含义分别求出 a,b，然后可得答案.
【详解】因为M = a,0 , N = a2 ,b ，M = N ，
ìa = a2

b = 0 ìa =1
所以 í 2 ，解得 í ，所以 a + b = 1．
a b b = 0
a 0
故选：B．
19．（2024 高一上·云南西双版纳·期末）若不等式 3-2x<0 的解集为 M,则下列结论正确的是 (　　)
A．0∈M,2∈M B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M D．0 M,2 M
【答案】B
【详解】当 x=0 时,3-2x=3>0,所以 0 不属于 M,即 0 M;当 x=2 时,3-2x=-1<0,所以 2 属于 M,即 2∈M.
选 B
点睛：集合与元素的关系：若 a 属于集合 A，记作 a∈A；若 b 不属于集合 A，记作 b A.
20．（2024· 2贵州黔东南·三模）已知集合 S = y | y = x -1 ,T = (x, y) | x + y = 0 ,下列关系正确的是（ ）
A． -2 S B． 2,-2 T C．-1 S D． -1,1 T
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系求解.
2
【详解】因为 S = y | y = x -1 = y | y -1 ，
所以 A、C 错误，
因为 2 + -2 = 0 ，所以 2,-2 T ，所以 B 错误，
又-1+1 = 0 ，所以 -1,1 T ，所以 D 正确，
故选:D．
21．（2024 高一上·浙江·课后作业）下列四组对象中能构成集合的是（　　）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【答案】D
【分析】根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C 都不满足函数的确定性故排除，D 确定，满足．
【详解】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，
故 A 错误；
B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故 B 错误；
C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故 C 错误；
D：倒数等于它自身的实数为 1 与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
22．（陕西省榆林市府谷中学 2023-2024 学年高一上学期第一次月考数学试题）下列各组对象不能构成集合
的是（ ）
A．上课迟到的学生
B．2022 年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于 x 的正整数
【答案】B
【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要
是确定的.
【详解】对于 B 中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故 2022 年高考数学
难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.
其它选项的对象都可以构成集合.
故选：B
23．（2024 高一上·全国·课后作业）下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A． x x = 2020 y y - 2020 2B． = 0
C． x = 2020 D． 2020
【答案】C
【分析】根据集合的表示方法判断即可.
【详解】选项 A、B 是集合的描述法表示，选项 D 是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素
2020，都是数集．
选项 C 它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．
故选：C
24．（2024 高一·全国·课后作业）已知关于 x 的方程 x2 - mx + m2 - 3 = 0的解集只有一个元素，则 m 的值为
（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．不存在
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可.
【详解】因为关于 x 的方程 x2 - mx + m2 - 3 = 0的解集只有一个元素，
2
所以D = m - 4 m2 - 3 = 0，解得m = ±2 .
故选：C
25．（2024 高一·全国·课后作业）由 2， 2 - a ，3 组成的一个集合 A，若 A 中元素个数不是 2，则实数 a 的
取值可以是（ ）
A．-1 B．1 C． 3 D．2
【答案】D
【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得 a 的不可能取值，即得答案.
【详解】由题意由 2， 2 - a ，3 组成的一个集合 A，A 中元素个数不是 2，
因为 a2 = 2 - a = 3无解，故由 2， 2 - a ，3 组成的集合 A 的元素个数为 3，
故 a2 2 - a 3，即 a -2, a 1, a -1, a ± 3，即 a 可取 2，
即 A，B，C 错误，D 正确，
故选：D
26．（2024 高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
ì1 ü
A．方程 2x - 1 + 3 y + 3 = 0的解集是 í ,-1
2
B．方程 x2 - x - 6 = 0的解集为{(-2，3)}
C．集合 M={y|y=x2+1，x∈R}与集合 P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合
ì2x + y = 0
D．方程组 í 的解集是{(x，y)|x=-1 且 y=2}
x - y + 3 = 0
【答案】D
【解析】根据集合表示方法依次判断即可.
ì 1 ü
【详解】对于 A，方程 2x - 1 + 3 y 3 0
,-1 + = 的解集是 í ÷ ，故 A 错误；
è 2
对于 B，方程 x2 - x - 6 = 0的解集为 -2,3 ，故 B 错误；
对于 C，集合M 表示数集，集合 N 表示点集，故不是同一集合，故 C 错误；
ì2x + y = 0
对于 D，由 í 解得 x = -1, y = 2 ，故解集为{(x，y)|x=-1 且 y=2}，故 D .
x - y + 3 0
正确
=
故选：D.
27．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合 A = {-2, -1,0,1,2,3}，B = x A -x A ，则B =（ ）
A．{1,2} B．{-2, -1} C．{0,3} D．{3}
【答案】D
【分析】根据题意直接求解集合 B 即可.
【详解】∵ A = {-2, -1,0,1,2,3}，即集合 B 的可能元素-2, -1,0,1,2,3，则有：
由0 A，则-0 = 0 A，可得0 B；
由 1 ∈ ，且1 A，可得 1 ，且1 B ；
由-2 A，且 2 A，可得-2 B ，且 2 B；
由3 A，且-3 A，可得3 B；
综上所述：B = 3 .
故选：D.
28．（2024 高一·全国·课后作业）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）0 N ；（2） π Q；（3）由 3、4、5、5、6 构成的集合含有 5 个元素；（4）数轴上由 1 到 1.01 间的
线段的点集是有限集；（5）方程 x2 = 0的解能构成集合.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据集合的概念和性质判断即可.
【详解】0 是自然数，故0 N ，（1）正确；
π是无理数，故 π Q，（2）错误；
由 3、4、5、5、6 构成的集合为 3，4，5，6 有 4 个元素，故（3）错误；
数轴上由 1 到 1.01 间的线段的点集是无限集，（4）错误；
方程 x2 = 0的解为 x = 0，可以构成集合 0 ，（5）正确；
故选：A
29．（2024·湖南岳阳·一模）定义集合 A, B的一种运算： A B = {x | x = a2 - b,a A,b B}，若 A = -1,0 ，
B = 1,2 ，则 A B 中的元素个数为（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】C
【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.
【详解】因为 A B = {x | x = a2 - b,a A,b B}， A = -1,0 ，B = 1,2 ，
所以 A B = {0,-1,-2}，
故集合 A B 中的元素个数为 3，
故选：C.
30．（2024 高三·山西·阶段练习）设A 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a,b A，都有
a + b, a - b, ab, a A (除数b 0 )，则称A 是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
b
A．N B．Z C．Q D． x | x 0,x R
【答案】C
【分析】根据数域的定义，对选项进行验证.
1
【详解】1,2 N， N ，故 N 不是数域，A 选项错误，同理 B 选项错误；
2
任意 a,b Q
a
，都有 a + b, a - b, ab, Q (除数b 0 )，故 Q 是一个数域，C 选项正确；
b
对于集合 A = x | x 0,x R ，1 A，1-1 = 0 A，故 x | x 0,x R 不是数域，D 选项错误.
故选：C
31．（2024·全国）已知集合 A = x, y x2 + y2 3，x Z，y Z ，则A 中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
【详解】Q x2 + y2 3
\ x2 3,
Q x Z
\ x = -1,0,1
当 x = -1时， y = -1,0,1；
当 x = 0时， y = -1,0,1；
当 x =1时， y = -1,0,1；
所以共有 9 个，
故选：A.
【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
32．（2024 高一·全国·课前预习）已知集合 A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当 A＝
{2}时，集合 B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
【答案】D
2
【分析】根据集合的相等的意义得到 x2＋px＋q＝x 即 x + p -1 x + q = 0 有且只有一个实数解 = 2,由此求
得 p,q 的值，进而求得集合 B.
【详解】由 A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即 x2 + p -1 x + q = 0 有且只有一个实数解 = 2,
∴22＋2p＋q＝2，且 Δ＝(p－1)2－4q＝0.
计算得出 p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3 可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则 x－1＝0 或 x－1＝4，
计算得出 x＝1 或 x＝5.
所以集合 B＝{1，5}．
故选：D .
33．（2024 高一下·广西·阶段练习）若集合 A = {x R | ax2 - 3x + 2 = 0}中只有一个元素，则 a = (　　 )
9 9 9
A． B． C．0 D．0 或
2 8 8
【答案】D
【分析】分 a = 0与 a 0两种情况讨论元素的个数可得答案．
【详解】解：集合 A = {x R | ax2 - 3x + 2 = 0}中只有一个元素，
x 2 2当 a = 0时，可得 = ，集合A 只有一个元素为： ．
3 3
当 a 0时：方程 ax2 - 3x + 2 = 0只有一个解：即D = 9 -8a = 0，
9
可得： a = ．
8
故选：D．
【点睛】本题主要考查了集合描述法的意义，涉及集合元素的确定和个数的判断，属于基础题．
34．（2024 高一·全国·专题练习）由实数 x ，-x， | x |，- x2 ， 3 x3 所组成的集合，最多含元素个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】化简根式，再按 x 值的正负 0，分类讨论即可判断作答.
【详解】显然- x2 = - | x |， 3 x3 = x ，
当 x = 0时，集合中有 1 个元素 0；
当 x > 0时， | x |= x, - | x |= -x，集合中有 2 个元素 x ，-x；
当 x < 0 时， | x |= -x, - | x |= x，集合中有 2 个元素 x ，-x，
所以集合中最多含 2 个元素.
故选：A
35．（2024 高一·全国·课后作业）集合 A = x | x2 + px + q = 0, x R = 2 ，则 p + q =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据集合相等可知方程 x2 + px + q = 0有相等实根 2，即可由根与系数关系求解.
2
【详解】因为集合 A = x | x + px + q = 0, x R = 2 ，
所以方程 x2 + px + q = 0有相等实根 2，
ì2 + 2 = - p
根据根与系数的关系可知， í2 2 q ， =
所以 p + q = -4 + 4 = 0，
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题.
36．（2024 高一上·河北邯郸·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {(3,2)}， N = {(2,3)}
B．M = {2,3}， N = {3,2}
C．M = {(x, y∣) x + y = 1}， N = {y∣x + y = 1}
D．M = {2,3}， N = {(2,3)}
【答案】B
【分析】利用集合的定义和元素的三个性质，对 A、B、C、D 四个选项进行一一判断；
【详解】A. M 、 N 都是点集， 3,2 与 2,3 是不同的点，则M 、 N 是不同的集合，故错误；
B. M = 2,3 ， N = 3,2 ，根据集合的无序性，集合M ， N 表示同一集合，故正确；
C. M = (x, y∣) x + y =1 ，M 集合的元素表示点的集合， N = y∣x + y =1 ， N 表示直线 x + y =1的纵坐标，
是数集，故不是同一集合，故错误；
D. M = 2,3 集合 M 的元素是两个数字 2，3， N = (2,3) ，集合 N 的元素是一个点 2,3 ，故错误；
故选：B.
【点睛】本题主要考查集合的定义及元素的性质，属于基础题.
ì b ü
37 2．（2024 高一上·北京海淀·阶段练习）若 í1, a, = 0, a , a + b ，则 a2020+b2020的值为（a ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1 或﹣1
【答案】C
ì1, a, b ü 2【分析】根据 í = 0, a , a + b 即可求出 a，b 的值，然后即可求出 a2020+b2020的值.
a
ì b ü
【详解】∵ í1, a, = 0, a2 , a + b ，根据集合中元素的性质可得：
a
ì b
= 0
a
∴ 2í a =1 ，解得 a=﹣1，b=0，

a + b = a

∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.
故选：C.
ì m
38．（2024 高一上·重庆北碚·期末）定义 A B = íx | x = ,m A,n B
ü
,若 A = 1,2,4 , B = 2,4,8 A B
n
则

中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可.
m
【详解】因为 A B =
ì
íx | x = ,m A,n B
ü
,且 A = 1,2,4 , B = 2,4,8 n ，
当m =1时， n 可能为 2,4,8，此时 x
1 1 1
的取值为： ，，；
2 4 8
1 1
当m = 2 时， n 可能为 2,4,8，此时 x 的取值为：1, ， ；
2 4
1
当m = 4 时， n 可能为 2,4,8，此时 x 的取值为：2,1, ；
2
综上可知： A B = {
1 , 1 , 1 ,1,2}，所以集合 A B 中元素个数为 5，
8 4 2
故选：D.
39．（2024 高一上·陕西西安·阶段练习）下列关系中，正确的个数为（ ）
1
① 4 R ② Q ③ 0 N ④p Q ⑤ -3 Z 3
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用数集符号的意义及元素与集合的关系判断作答
【详解】R 是实数集， 4=2是整数，有 4 R ，故①正确，
Q 1 1是有理数集， 是分数，而 p是无理数，有 Q，p Q，故②正确，④不正确，
3 3
N表示自然数集，有0 N ，故③不正确；
Z表示整数集，-3 是整数，有-3 Z ，故⑤正确；
所以正确的个数是 3，
故选：C
40．（江西省五市九校协作体 2023 届高三第二次联考数学（文）试题）已知集合 A = 1,a,b ，
B = a2 ,a,ab ，若 A = B，则 a2023 + b2022 =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
ì a2 =1 ìa2 = b
【分析】根据 A = B，可得两集合元素全部相等，分别求 í 和 í ，再根据集合元素的互异性可确
ab = b ab =1
定 a，b 的值，进而得出答案.
ì a2 =1 ìa2 = b
【详解】由题意 A = B可知，两集合元素全部相等，得到 í 或 í ，又根据集合互异性，可知
ab = b ab =1
ìa = -1 ìa =1
a 1，解得 a =1 (舍)， í b 和= 0 í
(舍)，所以 a = -1，b = 0，则 a2023 + b2022 = (-1)2023 + 02022 = -1，
b =1
故选：A
41．（2024 高一上· 2山西运城·阶段练习）集合 A = x x - 3x + 2 = 0 ，用列举法表示为（ ）
A．1 B．2 C． 1,2 D． 2
【答案】C
【分析】解一元二次方程，再利用集合列举法表示即可得解.
【详解】 A = x x2 - 3x + 2 = 0 = x x -1 x - 2 = 0 = 1,2
故选：C
42．（江苏省南京市栖霞区南京师范大学附属实验学校 2023-2024 学年高一上学期 10 月月考数学试题）已知
集合 A = 0, m, m2 - 3m + 2 ，且 2 A，则实数m 为（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0,2,3
【答案】B
【分析】根据 2 A得m = 2 或m2 -3m+ 2 = 2，求出m 后验证集合中元素的互异性可得结果.
2
【详解】因为 A = 0, m, m - 3m + 2 且 2 A，
所以m = 2 或m2 -3m+ 2 = 2，
①若m = 2 ，此时m2 - 3m + 2 = 0，不满足互异性；
②若m2 -3m+ 2 = 2，解得m = 0或 3，
当m = 0时不满足互异性，当m = 3时， A = {0,3,2}符合题意.
综上所述，m = 3 .
故选：B
43．（2024 高一上·上海浦东新·期末）设Q是有理数，集合 X = {x | x = a + b 2,a,b Q, x 0}，在下列集合中；
（1）{y | y = 2x, x X} {y | y
x
；（2） = , x X}
1
；（3）{y | y = , x X}；（4）{y | y = x2 , x X}；与 X 相同的
2 x
集合有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【答案】B
【解析】将 x = a + b 2 分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断 , 与 a,b是否一一对应，再举反例判断
（4）.
【详解】对于（1），由 2(a + b 2) = p + q 2 ，得 p = 2a,q = 2b ，一一对应，则{y | y = 2x, x X} = X
a + b 2 a a x
对于（2），由 = b + × 2 = p + q 2 ，得 p = d ,q = ，一一对应，则{y | y = , x X} = X
2 2 2 2
1 a b
对于（3），由 = 2 2 + - 2 × 2 = p + q 2
a -b
，得 p = ,q = ，一一对应，则
a + b 2 a - 2b è a - 2b2 ÷ a2 - 2b2 a2 - 2b2
{y | y 1= , x X} = X
x
对于（4），-1- 2 X ，但方程-1- 2 = x2 无解，则{y | y = x2 , x X}与 X 不相同
故选：B
44．（2024 高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1
B． 与 0 是同一个集合
C 2 2．集合 x y = x -1 与集合 y y = x -1 是同一个集合
D．集合 x x2 + 5x + 6 = 0 x2与集合 + 5x + 6 = 0 是同一个集合
【答案】A
【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案
【详解】集合中的元素具有无序性，故 A 正确；
是不含任何元素的集合， 0 是含有一个元素 0 的集合，故 B 错误；
x y = x2集合 -1 = R，集合 y y = x2 -1 = y y -1 ，故 C 错误；
2
集合 x x + 5x + 6 = 0 = x x + 2 x + 3 = 0 2中有两个元素-2,-3，集合 x + 5x + 6 = 0 中只有一个元素，为
方程 x2 + 5x + 6 = 0，故 D 错误.
故选：A.
45．（2024 高一上·上海黄浦·阶段练习）直角坐标平面中除去两点 A(1,1) B(2,-2)可用集合表示为（ ）
A．{(x, y) | x 1, y 1, x 2, y -2}
x 1 ìx 2
B．{(x, y) |
ì
í 或 í }
y 1 y -2
C．{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ][(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}
D．{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ] + [(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}
【答案】C
【解析】直角坐标平面中除去两点 A(1,1) B(2,-2)，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
【详解】直角坐标平面中除去两点 A(1,1) 、B(2,-2)，其余的点全部在集合中，
A 选项中除去的是四条线 x = 1, y = 1, x = 2, y = -2；
B 选项中除去的是 A(1,1) 或除去B(2,-2)或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
C 选项{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ][(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}，则 (x -1)2 + (y -1)2 0且 (x - 2)2 + (y + 2)2 0，即除去
两点 A(1,1) B(2,-2)，符合题意；
D选项{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ] + [(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}，则任意点 x, y 都不能
[(x -1)2 + (y -1)2 ] + [(x - 2)2 + (y + 2)2 ] = 0，即不能同时排除A ， B 两点．
故选：C
【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．
二、多选题
46．（2024 高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法中不正确的是（ ）
A．0 与 0 表示同一个集合
B．集合M ＝ 3,4 与 N ＝ 3,4 表示同一个集合
C．方程 (x -1)2 x - 2 ＝0 的所有解的集合可表示为 1,1,2
D．集合{x | 4 < x < 5}不能用列举法表示
【答案】ABC
【分析】根据集合的概念，以及元素与集合的关系，以及元素的特征，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A 中，0 是一个元素（数），而 0 是一个集合，可得0 0 ，所以 A 不正确；
对于 B 中，集合M ＝ 3，4 表示数3,4构成的集合，集合 N ＝ 3，4 表示点集，
所以 B 不正确；
2
对于 C 中，方程 (x -1) x - 2 ＝0 的所有解的集合可表示为 1,1,2 ，根据集合元素的互异性，可得方程
(x -1)2 x - 2 ＝0 的所有解的集合可表示为 1，2 ，所以 C 不正确；
对于 D 中，集合{x | 4 < x < 5}含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以 D 正确.
故选：ABC.
47．（2024 高一上·广东佛山·期中）下列关系式正确的是（ ）
1
A． R B． | -3 | N C．- 3 Q D．0 {0}
2
【答案】AD
【分析】由常用集合的定义即可判断 ABC，由元素与集合的关系可判断 D.
1 1
【详解】对于 A， 是实数，即 R，A 正确；
2 2
对于 B， -3 = 3 N，B 错误；
对于 C，- 3 是无理数，C 错误；
对于 D，0 {0}，D 正确.
故选：AD.
48．（2024 高一上·广西百色·阶段练习）已知集合 A = x N x < 6 ，则下列关系式成立的是（ ）
A．0 A B．1.5 A C．-1 A D．6 A
【答案】ABC
【分析】先计算得到 A = 0,1,2,3,4,5 ，从而得到0 A，1.5 A，-1 A，6 A .
【详解】因为 A = x N x < 6 = 0,1,2,3,4,5 ，故0 A，1.5 A，-1 A，6 A .
故选：ABC
49．（2024 高一上·江苏常州·期中）已知集合 A = x x = m + 3n,m,n Z ，则下列说法中正确的是（ ）
A．0 A但 (1- 2 3)2 A
B．若 x1 = m1 + 3n1, x2 = m2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，则 x1 ± x2 A
C．若 x1 = m1 + 3n1, x2 = m2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，则 x1 × x2 A
x
D．若 x = m + 3n , x = m 1 A1 1 1 2 2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，则 x2
【答案】BC
【分析】A 选项，求出m =13， n = -4，故 (1- 2 3)2 A；BC 选项，通过计算可以得到 x1 ± x2 A，
x1 × x2 A；D 选项， x2 = m2 + 3n2 = 0时，不符合要求，D 错误.
2
【详解】 1- 2 3 =13- 4 3 ，故m =13， n = -4，所以 (1- 2 3)2 A，A 错误；
x1 ± x2 = m1 + 3n1 ± m2 + 3n2 = m1 ± m2 + 3 n1 ± n2 ，其中m1 ± m2 Z ，n1 ± n2 Z ，故 x1 ± x2 A，B 正
确；
x1 × x2 = m1 + 3n1 × m2 + 3n2 = m1m2 + 3n1n2 + m1n2 + m2n1 3 ，其中m1m2 + 3n1n2 Z ，m1n2 + m2n1 Z ，故
x1 × x2 A，C 正确；
x x
因为0 A，若 x2 = m2 + 3n = 0
1 1
2 ，此时 x 无意义，故
A，D 错误.
2 x2
故选：BC
50．（2024 高一上·江苏镇江·开学考试）已知 a Z， A = {(x, y) | ax - y 3}且， (2,1) A， (1, -4) A，则 a取
值可能为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D． 2
【答案】BCD
【分析】分别将各选项代入集合A ，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案.
【详解】选项 A：当 a = -1时，-2 -1 3，-1- 4 3，故 (2,1) A, (1, -4) A，A 错误；
选项 B：当 a = 0时，-1 3，-(-4) > 3，故 (2,1) A, (1, -4) A，B 正确；
选项 C：当 a =1时， 2 -1 3，1- (-4) > 3，故 (2,1) A, (1, -4) A，C 正确；
选项 D：当 a = 2时， 2 2 -1 3， 2 1- (-4) > 3，故 (2,1) A, (1, -4) A，D 正确.
故答案为：BCD.
51．（2024 高一上·甘肃庆阳·期中）已知集合 A = x N | - 3 x 3 ，则有（　　）
A．-1 A B．0 A
C． 3 A D． 2 A
【答案】AB
【分析】根据集合的描述列举出集合中的元素即可逐项判断.
【详解】解： A = x N | - 3 x 3 = 0,1 ，所以-1 A，0 A， 3 A， 2 A .
故选：AB.
1
52．（2024 高一下·湖南邵阳·开学考试）若对任意 x A， A，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影
x
子关系”集合的是（ ）
A -1,1 ì1 üB , 2 C x x2． ． í ． >1 D． x x > 0
2
【答案】ABD
【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.
【详解】根据“影子关系”集合的定义，
-1,1 ì1 ,2ü可知 ， í ， x x > 0 为“影子关系”集合，
2
由 x x2 >1 ，得 x x < -1 1或 > 1}，当 x = 2 2时， x x >1 ，故不是“影子关系”集合．2
故选：ABD
x k - 2x
53．（2024 高一上·辽宁大连·阶段练习）关于 的方程 = 2 的解集中只含有一个元素，则 k 的值可能x -1 x - x
是（ ）
A． 0 B． -1 C．1 D．3
【答案】ABD
【分析】由方程有意义可得 x 0且 x 1，并将方程化为 x2 + 2x - k = 0；根据方程解集中仅含有一个元素可
分成三种情况：方程 x2 + 2x - k = 0有且仅有一个不为 0 和1的解、方程 x2 + 2x - k = 0有两个不等实根，其中
一个根为 0 ，另一根不为1、方程 x2 + 2x - k = 0有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为 0 ；由此可解
得 k 所有可能的值.
ìx- 1 0
【详解】由已知方程得： í 2 ，解得： x 0且 x 1x x 0 ； -
x k - 2x
由 = 得： 2
x 1 x2 x x + 2x - k = 0
；
- -
x k - 2x
若 = 2 的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：x -1 x - x
①方程 x2 + 2x - k = 0有且仅有一个不为 0 和1的解，\D = 4 + 4k = 0，解得： k = -1，
此时 x2 + 2x - k = 0的解为 x = -1，满足题意；
②方程 x2 + 2x - k = 0有两个不等实根，其中一个根为 0 ，另一根不为1；
由0 + 2 0 - k = 0得： k=0，\ x2 + 2x = 0，此时方程另一根为 x = -2，满足题意；
③方程 x2 + 2x - k = 0有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为 0 ；
由1+ 2 1- k = 0得： k=3，\ x2 + 2x - 3 = 0，此时方程另一根为 x = -3，满足题意；
综上所述： k = -1或 0 或3 .
故选：ABD.
三、填空题
54．（2024 高三下·上海浦东新·阶段练习）已知集合 1, a = a, a2 ，则实数 a = ．
【答案】-1
【分析】利用集合相等以及集合元素满足互异性可得出关于实数 a的等式与不等式，解之即可.
ìa2 =1
【详解】因为 1, a = a, a2 2，则 ía a ，解得 a = -1 .

a 1
故答案为：-1.
55．（2024 高一上·江苏淮安·期中）集合 A = 3,1 ，B = m2 + 2m ,1 ，且 A = B，则实数 m= .
【答案】1 或-3 / -3或 1
【分析】由题意可得m2 + 2m = 3，求出m ，
【详解】因为 A = 3,1 ，B = m2 + 2m ,1 ，且 A = B，
所以m2 + 2m = 3，
由m2 + 2m = 3，得m2 + 2m - 3 = 0，解得m =1或-3
故答案为：1 或-3
1
56．（2024 高一上·全国·课后作业）已知① 5 R；② Q；③0={0}；④ 0 N；⑤ π Q；⑥ -3 Z，3
其中正确的个数为 .
【答案】3
【分析】根据集合的表示规则和常用集合的含义求解.
【详解】 5 是无理数，属于实数，①正确；
1
是分数，属于有理数，②正确；
3
0 表示一个元素， 0 表示一个集合，③错误；
N 表示从 0 开始的所有自然数集合，\0 N ，④错误；
π是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误；
Z 表示所有整数的集合，-3 是整数，\-3 Z，⑥正确；
故答案为：3.
57．（2024 高一上·广东汕头·期中）在整数集 Z 中，被 4 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，
即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；② - 2025∈[1] ； ③若 a∈[1]，
b∈[2]，则 3a+b∈[3] ；④若 a∈[1]，b∈[3]，则 a - 3b∈[0].其中正确的结论是 .
【答案】①④
【分析】根据给定的定义进行求解，确定被 4 除所得余数即可.
【详解】因为 2025 被 4 除所得余数为 1，所以①正确；
因为-2025 = -507 4 + 3，所以-2025 3 ，所以②不正确；
因为 a∈[1]，b∈[2]，设 a = 4k1 +1,b = 4k2 + 2， k1, k2 Z ，则
3a + b = 3 4k1 +1 + 4k2 + 2 = 4 3k1 + k2 + 5 = 4 3k1 + k2 +1 +1，且3k1 + k2 +1 Z ，所以3a + b 1 ，所以③不
正确；
因为 a∈[1]，b∈[3]，设 a = 4k1 +1,b = 4k2 + 3， k1, k2 Z ，则
a - 3b = 4k1 +1- 3 4k2 + 3 = 4 k1 - 3k2 -8 = 4 k1 - 3k2 - 2 + 0 ，且 k1 - 3k2 - 2 Z，所以 a - 3b 0 ，所以④
正确.
故答案为：①④
ì 12 ü
58．（2024 高一上·全国·专题练习）集合 A = íx Z∣y = ，y Z 的元素个数为 ．
x + 3
【答案】12
【分析】根据集合得表示可知： x +3 是 12 的因数，即可求解.
ì 12 ü
【详解】由 A = íx Z∣y = ，y Z 可知， x +3 是 12 的因数，故 x + 3 = ±1,±2,±3,±4,±6,±12 ，进而可
x + 3
得 x 可取0,1,3,9, -1, -2,-4, -5, -6, -7,-9, -15，
故答案为：12
59．（2023-2024 2学年河北成安一中高一上月考一数学试卷（带解析））已知集合 A = m + 2, 2m + m ,3 A，
则m 的值为 ．
3
【答案】-
2
【分析】根据集合的互异性，分别分析m + 2 = 3与 2m2 + m = 3是否满足条件即可.
【详解】当m + 2 = 3，解得m =1，此时 2m2 + m = 3，不满足集合的互异性，所以舍去；
3 3 1
当 2m2 + m = 3时，m =1（舍）或m = - ，当m = - 时，m + 2 = ，满足集合的互异性2 2 2
3
故答案为：- .
2
b
60 ì ü．（2.1.2集合间的基本关系（分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接）含有三个实数的集合可表示为 ía, ,1 ，
a
2
也可以示为 a ,a + b,0 ，则 a2013 + b2014 的值为 .
【答案】-1
【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】解：由题意，若 a = a2，则 a = 0或1，检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以 a = a + b，则b = 0，
所以 a2 =1，则 a = -1，
故 a2013 + b2014 = -1.
故答案为：-1.
61．（2024 高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 .
①上海市 2022 年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点 (0，0)的距离等于 1 的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式3x -10 < 0 的所有正整数解.
【答案】①②④
【分析】根据集合的概念即可判断.
【详解】解：对于①，“上海市 2022 年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，
能构成集合；
对于②，“在平面直角坐标系中，到定点 (0，0)的距离等于 1 的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定
义，能构成集合；
对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合；
对于④，“不等式3x -10 < 0 的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合.
故答案为：①②④.
62．（2024 高一上·吉林·期末）设 a,b R ，P = 1, a ，Q = 2a + 3,b ，若 P = Q，则 a - b = ．
【答案】0 或-4
【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.
ì2a + 3 =1
【详解】当 í 时， a = -1,b = -1，满足 P = Q，则 a - b = 0a b ； =
ì2a + 3 = a
当 í 时， a = -3,b =11 b ，满足
P = Q，则 a - b = -4；
=
故答案为：0 或-4
63．（2024 高一上·天津东丽·期中）若集合 A = a - 3,2a -1,a2 - 4 ，且-3 A，则实数 a = .
【答案】0 或1.
【分析】根据题意，分 a - 3 = -3、2a -1 = -3和 a2 - 4 = -3，三种情况讨论，结合元素的互异性，即可求解.
【详解】由题意，集合 A = a - 3,2a -1,a2 - 4 ，且-3 A，
若 a - 3 = -3时，可得 a = 0，此时集合 A = -3, -1, -4 ，符合题意；
若 2a -1 = -3时，可得 a = -1，此时 a2 - 4 = -3，不满足集合元素的互异性，舍去；
若 a2 - 4 = -3时，可得 a =1或 a = -1（舍去），
当 a =1时，集合 A = -2,1, -3 ，符合题意，
综上可得，实数 a的值为0 或1.
故答案为：0 或1.
四、解答题
64．（2024 高一·江苏·课后作业）用适当方法表示下列集合：
（1）从 1，2，3 这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；
（2）方程 2x +1 +|y﹣2|＝0 的解集；
（3）由二次函数 y＝3x2+1 图象上所有点组成的集合.
ì 1 ü
【答案】（1）{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2） í - , 2÷ ；
è 2
（3）{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.
【解析】（1）利用列举法求解即可；
（2）先解出方程的解，然后利用列举法；
（3）利用描述法即可
【详解】解：（1）当从 1，2，3 这三个数字中抽出 1 个数字时，自然数为 1，2，3；
当抽出 2 个数字时，可组成自然数 12，21，13，31，23，32；
当抽出 3 个数字时，可组成自然数 123，132，213，231，321，312.
由于元素个数有限，故用列举法表示为
{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.
（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：
ì2x +1 = 0 ì 1 x = -
í y 2 0 ，解得 í
2 ，
- = y = 2
1
因此该方程的解集为{（﹣ ，2）}.
2
（3）首先此集合应是点集，是二次函数 y＝3x2+1 图象上的所有点，
故用描述法可表示为{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.
65．（2024 高一·全国·专题练习）把下列集合用适当方法表示出来：
（1）{2,4,6,8,10}；
（2）{x N | 3 < x < 7}；
（3） A = x | x2 = 9 ；
（4）B = x N | 1 x 2 ；
5 C = x | x2（ ） - 3x + 2 = 0 .
【答案】（1）{ x | x = 2k, k Z 且1 k 5 }；（2）{4,5,6}；（3） -3,3 ；（4） 1,2 ；（5） 1,2 .
【分析】根据集合的元素个数和元素特征选择列举法和描述法即可解出．
【详解】（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{2,4,6,8,10} = { x | x = 2k,k Z 且1 k 5 }．
（2）{x N | 3 < x < 7} = {4,5,6} .
（3）由 x2 = 9 得 x = ±3 A = x | x 2，因此 = 9 = -3, 3 .
（4）由 x N，且1 x 2，得 x =1或 x = 2，因此B = x N | 1 x 2 = 1, 2 .
（5 2）由 x2 - 3x + 2 = 0 得 x =1或 x = 2，.因此C = x | x - 3x + 2 = 0 = 1, 2 .
66．（2024 2高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合C = x ax - 4x +1 = 0 .
(1)若C 是空集，求 a的取值范围；
(2)若C 中至多有一个元素，求 a的取值范围.
【答案】(1) 4, +
(2) 4, + U 0
【分析】分 a = 0与 a 0两种情况，结合根的判别式进行求解.
1
【详解】（1）由题意得：当 a = 0时，-4x +1 = 0，解得： x = ，解集不为空集，舍去；
4
当 a 0时，D =16 - 4a < 0，解得： a > 4，所以 a的取值范围是 4, + ；
1
（2）当 a = 0时，-4x +1 = 0， x
1
= ì ü，C =
4 í4
，满足题意；

当 a 0时，D =16 - 4a 0，解得： a 4，
综上： a的取值范围是 4, + U 0 .
67．（2024 高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合：
(1) 1,3,5,7,9 ；
(2) x R 3x 2 ；
(3) 3,5,7,11,13,17,19 .
【答案】(1)小于 10 的正奇数构成的集合；
2
(2)大于 的实数构成的集合；
3
(3)大于 2 且小于 20 的所有质数构成的集合.
【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解.
【详解】（1）解：因为集合 A = 1,3,5,7,9 表示：小于 10 的正奇数构成的集合；
（2）解：集合 x R 3x 2 2表示：大于 的实数构成的集合；
3
（3）解：集合 3,5,7,11,13,17,19 表示：大于 2 且小于 20 的所有质数构成的集合.
68．（2024 高一上·上海·课后作业）已知集合 = { | 为小于 6 的正整数}， = { | 为小于 10 的素数}，集合
C = {x | x 为 24 和 36 的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合M = x | x A且 x C ；
（2）试用列举法表示集合 N = x | x B 且 x C ．
【答案】(1) {1,2,3,4}；（2）{5,7} .
【分析】（1）求出集合 A, B,C ，则M = A C ，即可求出M ；
（2）根据集合 N 中元素的特征，即可写出 N .
【详解】由题意 A = 1,2,3,4,5 ，B = 2,3,5,7 ，C = 1,2,3,4,6,12 .
（1）M = A C = 1,2,3,4 .
（2）. M = x | x B且 x C
\ N = 5,7
【点睛】本题考查集合的表示法和集合的运算，属于基础题.
69．（2024 高一上·湖南岳阳·阶段练习）已知集合 A = x R | ax2 + 2x +1 = 0 ，其中 ∈ .
（1）1 是A 中的一个元素，用列举法表示 A；
（2）若A 中至多有一个元素，试求 a 的取值范围.
1
【答案】（1）{- ,1}（2） a = 0或a 1
3
【解析】（1）由1 A得 a = -3，代入 ax2 + 2x +1 = 0，解得A 的元素后，可得解；
（2）按照集合A 中元素的个数分类讨论，可求得结果.
【详解】（1）因为1 A，所以 a + 2 +1 = 0，得 a = -3，
1
所以 A = {x R | -3x2 + 2x +1 = 0} = {- ,1}.
3
（2）当A 中只有一个元素时， ax2 + 2x +1 = 0只有一个解，
ìa 0
所以 a = 0或 í ，
D = 4 - 4a = 0
所以 a = 0或 a =1，
ìa 0
当A 中没有元素时， ax2 + 2x +1 = 0无解，所以 í ，解得 a >14 4a 0 ， D = - <
综上所述： a = 0或a 1 .
【点睛】易错点点睛：容易忽视 a = 0的情况，错把方程默认为一元二次方程，造成漏解.
a
70．（2024 高一·全国·课后作业）定义满足“如果 a∈A，b∈A，那么 a±b∈A，且 ab∈A，且 ∈A(b≠0)”的集合 A
b
为“闭集”．试问数集 N，Z，Q，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
【答案】数集 N，Z 不是“闭集”，数集 Q，R 是“闭集”．举反例见解析
【详解】试题分析：根据给出的“闭集”的定义，验证给出的集合是否满足“如果 a∈A，b∈A，那么 a±b∈A，
a
且 ab∈A，且 ∈A(b≠0)”即可得到结论．
b
试题解析：
（1）数集 N，Z 不是“闭集”，
3
例如，3∈N,2∈N，而 ＝1.5 N；
2
3
3∈Z，－2∈Z，而 ＝－1.5 Z，故 N，Z 不是闭集．
-2
（2）数集 Q，R 是“闭集”．
由于两个有理数 a 与 b 的和，差，积，商，
a
即 a±b，ab， (b≠0)仍是有理数，
b
故 Q 是闭集．
同理 R 也是闭集．
点睛：与集合有关的新概念问题的解题思路
(1)理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则的含义；
(2)利用学过的数学知识进行逻辑推理；
(3)对选项进行筛选、验证，得出结论．
71．（2024 高一·全国·课后作业）（1）如果集合 A = {x | x = m + 2n}(m, n Z ) ， x1, x2 A，证明： x1x2 A．
（2）如果集合B = x x = m + 2n ，整数m, n 1互素，那么是否存在 x，使得 x 和 都属于 B？若存在，请写x
出一个；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） x = 3+ 2 2 （答案不唯一）.
【分析】(1)设， x1 = a1 + 2b1， x2 = a2 + 2b2 ，计算即可得．
1 m -n
(2)设 x = m + 2n （整数 m，n 互素），则有 = 2 2x m2 - 2n2
+ 2 ，由题意可得当 时，x B
m2 2n2 m - 2n = ±1-
1
且 B ，只需 m，n 取互素的整数即可.
x
【详解】解:（1）证明：因为 x1, x2 A，
所以可设 x1 = a1 + 2b1， x2 = a2 + 2b2 ，其中 a1， a2，b1，b2 Z，
则 x1x2 = a1 + 2b1 a2 + 2b2 = a1a2 + 2b1b2 + 2 a1b2 + a2b1 ．
由 a1， a2，b1，b2 Z，可知a1a2 + 2b1b2 Z，a1b2 + a2b1 Z ，
因此 x1x2 A．
（2）设 x B，则 x = m + 2n （整数 m，n 互素），
1 1 m
所以 = = + 2
-n

x m + 2n m2 - 2n2 m2 2n2
．
-
1
若 B
m -n
，则 与
x m2 - 2n2 m2 - 2n2
是互素的整数．
又 m 与 n 互素，所以m2 - 2n2 = ±1，
所以当 m，n 互素，且m2
1
- 2n2 = ±1时， x B且 B ．x
1
如取m = 3， n = 2，得 x = 3+ 2 2 ， = 3 - 2 2 ．x
1
综上，存在 x，使得 x 与 都属于集合 B，如 x = 3+ 2 2 ．（注：x 的取值不唯一．）x
x +1 2x - 4
72．（2024 高一上·上海虹口·阶段练习）设关于 x 的不等式 1+ 2 的解集为A .k k
(1)求A ；
(2)若 2 A，求实数 k 的取值范围.
【答案】(1)见详解
(2) 0,3
【分析】（1）利用分类讨论的数学思想即可求出A ,（2）利用 2 A分类讨论解出关于 k 的不等式即可得到 k
的取值范围
x +1 2x - 4
【详解】（1）因为关于 x 的不等式 1+ 2 解集为A ,k k
故 k 0，所以原不等式可化为 k - 2 x k 2 - k - 4 .
当 k=2时，不等式解集为R .
k > 2 x k
2 - k - 4 ék 2 - k - 4
当 时，解不等式为 即解集为 ê ，+ k - 2 k - 2
÷

2
k < 2 x k - k - 4
k 2 - k - 4ù
当 时，解不等式为 即解集为 - ，k - 2 è k - 2
ú

ék 2 - k - 4 k 2 - k - 4ù
综上所述： k=2时解集为R ， k > 2时解集为 ê ，+ ÷， k < 2时解集为k - 2
- ，
k - 2 ú è
2 ìx x +1 2x - 4ü 3（2）因为 2 A，所以 í 1+ 故 1
k k 2

k
当 k > 0 时，解得 k 3 .
当 k < 0时，解得f .
综上所述： k 的取值范围为 0,3
73．（2024 · · A = x | ax2高一上 上海奉贤 阶段练习）已知集合 + 4x + 4 = 0, a R, x R .
（1）若A 中只有一个元素，求 a及A ；
（2）若A 中至多有一个元素，求 a的取值范围.
【答案】（1） a = 0时， A = -1 ； a =1时， A = -2 ；（2） a 0 U 1, + ；
【分析】（1）分 a = 0和 a 0两种情况讨论，当A 中只有一个元素时，求 a的取值；
（2）讨论集合 A = f 或有一个元素时， a的取值范围.
【详解】（1）当 a = 0时， 4x + 4 = 0 ，解得： x = -1 ，
所以A 中只有一个元素，即 A = -1 ，
当 a 0时，D =16 -16a = 0 ，解得： a =1，
x2 + 4x + 4 = 0，解得： x = -2，此时 A = -2
综上可知 a = 0时 A = -1 ， a =1时 A = -2 .
（2）当集合 A = f 时，D =16 -16a < 0，解得： a >1
由（1）可知集合A 有 1 个元素时， a = 0或 a =1，
综上可知： a = 0或a 1，
即 a 0 U 1, + .
【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，涉及一元二次方程实数根与系数的关系，意在
考查讨论思想和计算能力，属于基础题型，本题容易忽略 a = 0的情况.
74 2．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x ax - 3x - 4 = 0 .
（1）若A 中有两个元素，求实数 a的取值范围；
（2）若A 中至多有一个元素，求实数的 a取值范围.
【答案】（1）{a | a
9 9
> - 且 a 0}；（2）{a | a - 或 a = 0}
16 16
【分析】（1）转化为关于 x 的方程 ax2 -3x-4 = 0有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解；
（2）分 a = 0， a 0两种情况讨论，当 a 0时用判别式控制范围，即得解；
【详解】（1）由于A 中有两个元素，
∴关于 x 的方程 ax2 -3x-4 = 0有两个不等的实数根，
9
∴ D = 9+16a > 0，且 a 0，即 a > - ，且 a 0 .
16
a {a | a 9故实数 的取值范围是 > - 且 a 0}
16
4
（2）当 a = 0时，方程为-3x-4 = 0， = 3，集合A 只有一个元素；
当 a 0时，若关于 x 的方程 ax2 -3x-4 = 0有两个相等的实数根，则A 中只有一个元素，即D = 9 +16a = 0，
a 9= - ，
16
若关于 x 的方程 ax2
9
-3x-4 = 0没有实数根，则A 中没有元素，即D = 9 +16a < 0， a <- .16
9
综上可知，实数 a的取值范围是{a | a - 或 a = 0}
161.1 集合的概念 7 题型分类
知识点 1 元素与集合的概念
1.元素与集合的概念
(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母 a，b，c，…表示，把一些元素
组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示．
(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
①确定性
给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就
确定了．简记为“确定性”．
②互异性
一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
(3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
知识点 2 元素与集合的关系
1.元素与集合的关系　
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合 属于 如果 a 是集合 A 中的元 a∈A “a 属于 A”
素，就说 a 属于 A
的关系 如果 a不是集合 A 中的元
不属于 a A “a 不属于 A”
素，就说 a 不属于 A
2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立.
知识点 3 常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或 N＋ Z Q R
知识点 4 集合的表示方法
1 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般
可将集合表示为{a，b，c，…}.
注：列举法表示的集合的结构：
2.描述法
一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表
示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈
A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.
注：描述法表示的集合的结构：
（一）
1、集合概念的理解
(1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明.
(2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各
样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.
(3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这
个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
2、判断一组对象是否为集合的三依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
题型 1：判断对象是否能构成集合
1-1．（2024 高一上·贵州铜仁·阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有 （填序号）．
①所有的好人；
②平面上到原点的距离等于 2 的点；
③正三角形；
④比较小的正整数；
⑤满足不等式 x +1 > 0的 x 的取值．
1-2．（2024 高一下·云南·阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校 2020 - 2021学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
1-3．（2024 高一·全国·课后作业）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身
高在 1.7 米的学生；（5）平面内到线段 AB 两端点距离相等的点的全体.
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
（二）
1、集合中的元素的性质及应用
元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素 a 属于集合 A,记作 a∈A,读作“a 属于集合 A";元素 a 不属于集合
A.记作 a A,读作“a 不属于集合 A".
(1)a∈A 与 a A 取决于 a 是不是集合 A 中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何 a 与 A.在 a∈A 与
a A 这两种情况中必有一种且只有一种成立.
(2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记
准.
(3)a 与{a}的区别和联系:a 表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素 a;它们之间的联系为
a a .
2、元素与集合关系的判断
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此
时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
3、根据元素与集合的关系求参数
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
题型 2：元素与集合关系的判断
2-1．（2024 高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合 A=｛0，1，2｝，则（ ）
A．0 A B．1 A C．2=A D． A
2-2．（西藏林芝市第二高级中学 2023-2024 学年高一上学期第一学段考试（期中）数学试题）给出下列 6 个
2
关系：① R，② 3 Z，③ 0 N* ，④ 4 N ，⑤p Q，⑥ -2 Z .其中正确命题的个数为（ ）
2
A．4 B．2 C．3 D．5
1
2-3．（河北专版学业水平测试专题一集合与常用逻辑用语）给出下列关系：① R ；② 2 R ；
2
③ -3 N；④ -3 Q．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型 3：根据元素与集合的关系求参数
3-1．（2024 高一上·上海虹口·期中）集合 A = x x -1 x2 + ax + 4 = 0, x R 中所有元素之和为3，则实数
a = ．
3-2．（2024 高一上·四川泸州·期末）已知 (1, 2) (x, y) 2x + ay - 3 = 0 ，则 a 的值为 ．
3-3．（2024·河南· 2模拟预测）已知 A = x∣x - ax +1< 0 ，若 2 A，且3 A，则 a 的取值范围是（ ）
5 , 5 ,10 ù é5 ,10 10A． + ÷ B． ú C． ê ÷ D
ù
． - ,
è 2 è 2 3 2 3 è 3 ú
题型 4：利用集合元素的互异性求参数
4-1．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，则实数 m=（ ）
A．0 B．-1 C．0 或-1 D．0 或 1
4-2．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合 A = 2, a2 - a + 2,1- a ，若 4 A，则 a的值为（ ）．
A．-1，2 B．-3 C．-1，-3，2 D．-3，2
4-3．（2024 高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合A 中的元素 1，4， a，且实数 a满足 a2 A，求实数 a的
值.
4-4．（2024 高三·全国·专题练习）已知 A = a + 2,(a +1)2 ,a2 + 3a + 3 ，若1 A，则实数 a构成的集合 B 的元
素个数是（ ）
A．0 B．1 C． 2 D．3
4-5．（2024 高一上· · a 1,3, a2山东聊城 期中）若 ，则 a的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
4-6 2．（2024 高一上·四川自贡·期末）若 a 2,a - a ，则 a的值为（ ）
A．0 B． 2 C．0 或 2 D．-2
（三）
用列举法表示集合
1.列举法表示的集合的种类
(1)元素个数少且有限时.全部列举:如 1,2,3,4;
(2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从 1到 1000的所有自然数”可以表示为
1,2,3,...,1 000} ;
(3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集 N 可以表示为 10,1,2,3....
2.使用列举法表示集合时需注意
(1)元素之间用“,”而不用“、"隔开;
(2)元素不重复，满足元素的互异性;
(3)元素无顺序，满足元素的无序性;
(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表
述清楚后才能用省略号.
注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集.
（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然.
题型 5：用列举法表示集合
ìx + y =1
5-1．（2024 高一·全国·专题练习）方程组 íx - y 3的解集是（= ）
A． 2, -1 B． x = 2, y = -1 C． x, y -2,1 D． 2, -1
5-2．（2024
12
高一上·北京海淀·期中）已知集合 A = {x | N ， x Z}7 x ，用列举法表示集合 A = ．-
A = ì5-3．（2024 高一上·四川·阶段练习）设集合 íx Z
6
Nü ，则用列举法表示集合 A 为 .
x + 2


5-4．（2024 高一·全国·课后作业）集合 x N x - 4 <1 用列举法表示为（ ）
A． 0,1,2,3,4 B． 1,2,3,4 C． 0,1,2,3,4,5 D． 1,2,3,4,5
（四）
用描述法表示集合
1.描述法的一般形式是 x I p x ,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程
x2 - 3x + 2 = 0 2的实数根为 x R x - 3x + 2 = 0 .如果从上下文的关系来看, x I 是明确的，那么 x I
也可省略，只写其元素 x.例如集合 A = {x R x > 5}也可表示为 A = {x x > 5} .
2.描述法表示集合的条件
对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特
征描述出来，即采用描述法.
3.使用描述法时应注意以下几点
(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等;
(2)说明该集合中元素的共同属性;
(3)不能出现未被说明的字母;
(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确.
注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,
且用“|”隔开.
(2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
题型 6：用描述法表示集合
6-1．（2024 高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于 2 且小于 5 的有理数组成的集合．
（2）24 的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由 0，1，2 这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
6-2．（2024 高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：
（1）被 3 除余 1 的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于 4 的所有偶数．
6-3．（2024 高一·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合:
（1）被 5 除余 1 的正整数组成的集合；
（2）由直线 y＝－x＋4 上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；
（3）方程(x2－9)x＝0 的实数解组成的集合；
（4）三角形的全体组成的集合.
6-4．（2024 高一上·陕西安康·阶段练习）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程 2x -1 + 2y +1 = 0的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被 5 除余 3 的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数 y = x2 + 2x -10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
（五）
集合表示法的综合应用
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合 A＝{x|kx2－8x＋16＝
0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想．
题型 7：根据集合元素的个数求参数
7-1．（2024 2高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合 A= x ax -3x+2=0 的元素只有一个，则实数 a 的值为
（ ）
9 9
A． B．0 C． 或 0 D．无解
8 8
7-2．（2024 高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合 A = x ax2 - 3x +1 = 0 ，其中 a为常数，且 ∈ R.若A 中至
多有一个元素，则实数 a的取值范围为 .
一、单选题
ìx + y = 2
1．（2024 高一·全国·课后作业）方程组 í 的解集可以表示为（ ）
x - 2y +1 = 0
A．{x = 1, y = 1} B．{1} C．{(1,1)} D．{1,1}
2．（2024 2高二下·河南焦作·阶段练习）已知集合M = 1, m,m + 3 ，且 4 M ，则m 取值构成的集合为（ ）
A． 1,4 B． -1,4 C． -1,1,4 D．
3．（2024 高一上·四川成都· A = a - 2,2a2阶段练习）已知 + 5a,12 其-3 A，则由 a的值构成的集合是（ ）
ì 1, 3 - - ü ì
3ü
A． B． í C． - 1 D． -
2
í
2
4．（2024 高一上·北京·阶段练习）已知集合 A = {a - 2,a2 + 4a,10}，若-3 A，则实数 a的值为（ ）
A．-1 B．-3 C．-3 或-1 D．无解
5．（2024 高一上·浙江·课后作业）下面四个命题正确的个数是（ ）.
①集合N*中最小的数是 1；
②若-a N*，则a N* ；
③若a N*,b N*，则 a + b 的最小值是 2；
④ x2 + 9 = 6x 的解集是 3,3 .
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024 2高一·全国·单元测试）若关于 x 的方程 ax + 2 a +1 x + 4 = 0的解集为单元素集合，则（ ）
A． a = 0 B． a =1
C． a = 0或 a =1 D． a 0且 a 1
7．（2024 高一上·湖北·期末）已知集合 A = -1,0 , B = 1,2 , C = x x = a - b,a A,b B ，则 C 集合中元素
的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
ì 6
8．（2024 高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合 M= ía N*,且 a Z ，则 M 等于（5 a ） -
A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{ -1，2，3，4}
9．（2024 高一上·广东茂名·期中）若 2 {1, a2 +1,a +1}，则 a =（ ）
A．2 B．1 或－1 C．1 D．－1
10．（2024 高一·全国·假期作业）方程 x2＝x 的所有实数根组成的集合为
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,1 D x2． = x
11．（2024 *高三上·安徽芜湖·期末）集合 A = x N x - 5 < 0 中的元素个数是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．6
12．（2024 高一·全国·课后作业）设有下列关系：① 2 R；② 4 Q；③ 0 N ；④ 0 0,1 ．其中正确
的个数为．
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
13．（2024 高二下·浙江宁波·学业考试）已知集合M = 3,4 , N = x∣ x - 3 x + a = 0, a R ， 若M = N ， 则
a = （ ）
A．3 B．4 C．-3 D．-4
14．（2024 2高三下·河南新乡·开学考试）已知集合 A = 4, x, 2y ，B = -2, x ,1- y ，若 A = B，则实数 x 的取
值集合为（ ）
A．{-1,0,2} B．{-2,2} C． -1,0,2 D．{-2,1,2}
15．（2024 2高一·全国·课后作业）已知集合 A = x | x <1 ，且 a A，则 a的值可能为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
16．（2024 高一上·广东江门·期中）已知集合M = x | x x -1 = 0 ,那么（ ）
A．0 M B．1 M C．-1 M D．0 M
17．（2024 高一上·海南·期中）下列表示正确的是（ ）
2
A．-3 N* B．0 N C． Z D． π Q7
18．（2024·辽宁· 2模拟预测）设集合M = a,0 ， N = a ,b ，若M = N ，则 a + b =（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
19．（2024 高一上·云南西双版纳·期末）若不等式 3-2x<0 的解集为 M,则下列结论正确的是 (　　)
A．0∈M,2∈M B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M D．0 M,2 M
20．（2024·贵州黔东南·三模）已知集合 S = y | y = x2 -1 ,T = (x, y) | x + y = 0 ,下列关系正确的是（ ）
A． -2 S B． 2,-2 T C．-1 S D． -1,1 T
21．（2024 高一上·浙江·课后作业）下列四组对象中能构成集合的是（　　）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
22．（陕西省榆林市府谷中学 2023-2024 学年高一上学期第一次月考数学试题）下列各组对象不能构成集合
的是（ ）
A．上课迟到的学生
B．2022 年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于 x 的正整数
23．（2024 高一上·全国·课后作业）下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A． x x = 2020 B． y y - 2020 2 = 0
C． x = 2020 D． 2020
24．（2024 高一·全国·课后作业）已知关于 x 的方程 x2 - mx + m2 - 3 = 0的解集只有一个元素，则 m 的值为
（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．不存在
25．（2024 高一·全国·课后作业）由 2， 2 - a ，3 组成的一个集合 A，若 A 中元素个数不是 2，则实数 a 的
取值可以是（ ）
A．-1 B．1 C． 3 D．2
26．（2024 高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
ì1 ü
A．方程 2x - 1 + 3 y + 3 = 0的解集是 í ,-1
2


B．方程 x2 - x - 6 = 0的解集为{(-2，3)}
C．集合 M={y|y=x2+1，x∈R}与集合 P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合
ì2x + y = 0
D．方程组 í 的解集是{(x，y)|x=-1 且 y=2}
x - y + 3 = 0
27．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合 A = {-2, -1,0,1,2,3}，B = x A -x A ，则B =（ ）
A．{1,2} B．{-2, -1} C．{0,3} D．{3} 28．（2024 高一·全国·课后作业）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）0 N ；（2） π Q；（3）由 3、4、5、5、6 构成的集合含有 5 个元素；（4）数轴上由 1 到 1.01 间的
线段的点集是有限集；（5）方程 x2 = 0的解能构成集合.
A．2 B．3 C．4 D．5
29．（2024·湖南岳阳·一模）定义集合 A, B的一种运算： A B = {x | x = a2 - b,a A,b B}，若 A = -1,0 ，
B = 1,2 ，则 A B 中的元素个数为（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
30．（2024 高三·山西·阶段练习）设A 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a,b A，都有
a + b, a - b, ab, a A (除数b 0 )，则称A 是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
b
A．N B．Z C．Q D． x | x 0,x R
31 2 2．（2024·全国）已知集合 A = x, y x + y 3，x Z，y Z ，则A 中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
32．（2024 高一·全国·课前预习）已知集合 A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当 A＝
{2}时，集合 B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
33．（2024 高一下·广西·阶段练习）若集合 A = {x R | ax2 - 3x + 2 = 0}中只有一个元素，则 a = (　　 )
9 9 9
A． B． C．0 D．0 或
2 8 8
34．（2024 高一·全国·专题练习）由实数 x ，-x， | x |，- x2 ， 3 x3 所组成的集合，最多含元素个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
35．（2024 2高一·全国·课后作业）集合 A = x | x + px + q = 0, x R = 2 ，则 p + q =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
36．（2024 高一上·河北邯郸·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {(3,2)}， N = {(2,3)}
B．M = {2,3}， N = {3,2}
C．M = {(x, y∣) x + y = 1}， N = {y∣x + y = 1}
D．M = {2,3}， N = {(2,3)}
ì b ü
37．（2024 高一上·北京海淀· 2阶段练习）若 í1, a, = 0, a , a + b ，则 a2020+b2020的值为（ ）
a
A．0 B．﹣1 C．1 D．1 或﹣1
ì m
38．（2024 高一上·重庆北碚·期末）定义 A B = íx | x = ,m A,n B
ü
,若 A = 1,2,4 , B = 2,4,8 A B
n
则

中元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
39．（2024 高一上·陕西西安·阶段练习）下列关系中，正确的个数为（ ）
1
① 4 R ② Q ③ 0 N ④p Q ⑤ -3 Z 3
A．5 B．4 C．3 D．2
40．（江西省五市九校协作体 2023 届高三第二次联考数学（文）试题）已知集合 A = 1,a,b ，
B = a2 ,a,ab ，若 A = B，则 a2023 + b2022 =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
41．（2024 高一上·山西运城· 2阶段练习）集合 A = x x - 3x + 2 = 0 ，用列举法表示为（ ）
A．1 B．2 C． 1,2 D． 2
42．（江苏省南京市栖霞区南京师范大学附属实验学校 2023-2024 学年高一上学期 10 月月考数学试题）已知
A = 0, m, m2集合 - 3m + 2 ，且 2 A，则实数m 为（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0,2,3
43．（2024 高一上·上海浦东新·期末）设Q是有理数，集合 X = {x | x = a + b 2,a,b Q, x 0}，在下列集合中；
x 1
（1）{y | y = 2x, x X}；（2）{y | y = , x X}；（3）{y | y = , x X}；（4）{y | y = x2 , x X}；与 X 相同的
2 x
集合有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
44．（2024 高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1
B． 与 0 是同一个集合
C x y = x2．集合 -1 与集合 y y = x2 -1 是同一个集合
D．集合 x x2 + 5x + 6 = 0 x2与集合 + 5x + 6 = 0 是同一个集合
45．（2024 高一上·上海黄浦·阶段练习）直角坐标平面中除去两点 A(1,1) B(2,-2)可用集合表示为（ ）
A．{(x, y) | x 1, y 1, x 2, y -2}
x 1 ìx 2
B．{(x, y) |
ì
í 或 í }
y 1 y -2
C．{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ][(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}
D．{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ] + [(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}
二、多选题
46．（2024 高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法中不正确的是（ ）
A．0 与 0 表示同一个集合
B．集合M ＝ 3,4 与 N ＝ 3,4 表示同一个集合
C．方程 (x -1)2 x - 2 ＝0 的所有解的集合可表示为 1,1,2
D．集合{x | 4 < x < 5}不能用列举法表示
47．（2024 高一上·广东佛山·期中）下列关系式正确的是（ ）
1
A． R B． | -3 | N C．- 3 Q D．0 {0}
2
48．（2024 高一上·广西百色·阶段练习）已知集合 A = x N x < 6 ，则下列关系式成立的是（ ）
A．0 A B．1.5 A C．-1 A D．6 A
49．（2024 高一上·江苏常州·期中）已知集合 A = x x = m + 3n,m,n Z ，则下列说法中正确的是（ ）
A．0 A但 (1- 2 3)2 A
B．若 x1 = m1 + 3n1, x2 = m2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，则 x1 ± x2 A
C．若 x1 = m1 + 3n1, x2 = m2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，则 x1 × x2 A
x
D．若 x1 = m1 + 3n1, x2 = m
1
2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，则 Ax2
50．（2024 高一上·江苏镇江·开学考试）已知 a Z， A = {(x, y) | ax - y 3}且， (2,1) A， (1, -4) A，则 a取
值可能为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D． 2
51．（2024 高一上·甘肃庆阳·期中）已知集合 A = x N | - 3 x 3 ，则有（　　）
A．-1 A B．0 A
C． 3 A D． 2 A
1
52．（2024 高一下·湖南邵阳·开学考试）若对任意 x A， A，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影
x
子关系”集合的是（ ）
A． 1-1,1 ì üB 2． í , 2 C． x x >1 D． x x > 0
2
x k - 2x
53．（2024 高一上·辽宁大连·阶段练习）关于 的方程 = 2 的解集中只含有一个元素，则 k 的值可能x -1 x - x
是（ ）
A． 0 B． -1 C．1 D．3
三、填空题
54．（2024 高三下·上海浦东新·阶段练习）已知集合 1, a = a, a2 ，则实数 a = ．
55．（2024 高一上·江苏淮安·期中）集合 A = 3,1 ，B = m2 + 2m ,1 ，且 A = B，则实数 m= .
1
56．（2024 高一上·全国·课后作业）已知① 5 R；② Q；③0={0}；④ 0 N；⑤ π Q；⑥ -3 Z，3
其中正确的个数为 .
57．（2024 高一上·广东汕头·期中）在整数集 Z 中，被 4 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，
即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；② - 2025∈[1] ； ③若 a∈[1]，
b∈[2]，则 3a+b∈[3] ；④若 a∈[1]，b∈[3]，则 a - 3b∈[0].其中正确的结论是 .
ì 12 ü
58．（2024 高一上·全国·专题练习）集合 A = íx Z∣y = ，y Z 的元素个数为 ．
x + 3
59．（2023-2024 2学年河北成安一中高一上月考一数学试卷（带解析））已知集合 A = m + 2, 2m + m ,3 A，
则m 的值为 ．
60 ì
b ü
．（2.1.2集合间的基本关系（分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接）含有三个实数的集合可表示为 ía, ,1 ，
a
2
也可以示为 a ,a + b,0 ，则 a2013 + b2014 的值为 .
61．（2024 高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 .
①上海市 2022 年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点 (0，0)的距离等于 1 的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式3x -10 < 0 的所有正整数解.
62．（2024 高一上·吉林·期末）设 a,b R ，P = 1, a ，Q = 2a + 3,b ，若 P = Q，则 a - b = ．
63．（2024 高一上·天津东丽·期中）若集合 A = a - 3,2a -1,a2 - 4 ，且-3 A，则实数 a = .
四、解答题
64．（2024 高一·江苏·课后作业）用适当方法表示下列集合：
（1）从 1，2，3 这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；
（2）方程 2x +1 +|y﹣2|＝0 的解集；
（3）由二次函数 y＝3x2+1 图象上所有点组成的集合.
65．（2024 高一·全国·专题练习）把下列集合用适当方法表示出来：
（1）{2,4,6,8,10}；
（2）{x N | 3 < x < 7}；
3 A = x | x2（ ） = 9 ；
（4）B = x N | 1 x 2 ；
（5）C = x | x2 - 3x + 2 = 0 .
66．（2024 高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合C = x ax2 - 4x +1 = 0 .
(1)若C 是空集，求 a的取值范围；
(2)若C 中至多有一个元素，求 a的取值范围.
67．（2024 高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合：
(1) 1,3,5,7,9 ；
(2) x R 3x 2 ；
(3) 3,5,7,11,13,17,19 .
68．（2024 高一上·上海·课后作业）已知集合 = { | 为小于 6 的正整数}， = { | 为小于 10 的素数}，集合
C = {x | x 为 24 和 36 的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合M = x | x A且 x C ；
（2）试用列举法表示集合 N = x | x B 且 x C ．
69．（2024 高一上·湖南岳阳·阶段练习）已知集合 A = x R | ax2 + 2x +1 = 0 ，其中 ∈ .
（1）1 是A 中的一个元素，用列举法表示 A；
（2）若A 中至多有一个元素，试求 a 的取值范围.
a
70．（2024 高一·全国·课后作业）定义满足“如果 a∈A，b∈A，那么 a±b∈A，且 ab∈A，且 ∈A(b≠0)”的集合 A
b
为“闭集”．试问数集 N，Z，Q，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
71．（2024 高一·全国·课后作业）（1）如果集合 A = {x | x = m + 2n}(m, n Z ) ， x1, x2 A，证明： x1x2 A．
（2）如果集合B = x x = m + 2n ，整数m, n 1互素，那么是否存在 x，使得 x 和 都属于 B？若存在，请写x
出一个；若不存在，请说明理由．
注：x 的取值不唯一．）
x +1 2x - 4
72．（2024 高一上·上海虹口·阶段练习）设关于 x 的不等式 1+ 2 的解集为A .k k
(1)求A ；
(2)若 2 A，求实数 k 的取值范围.
73．（2024 高一上· 2上海奉贤·阶段练习）已知集合 A = x | ax + 4x + 4 = 0, a R, x R .
（1）若A 中只有一个元素，求 a及A ；
（2）若A 中至多有一个元素，求 a的取值范围.
74 2．（2024 高一·全国·课后作业）已知集合 A = x ax - 3x - 4 = 0 .
（1）若A 中有两个元素，求实数 a的取值范围；
（2）若A 中至多有一个元素，求实数的 a取值范围.

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