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2.2 基本不等式 10 题型分类
一、基本不等式
a + b
1．如果 a>0，b>0， ab ，当且仅当 a = b 时，等号成立．
2
a + b
其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab 叫做正数 a，b 的几何平均数．
2
a + b
2
2 ．变形：ab≤ ÷ ，a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
è 2
a＋b≥2 ab ，a，b 都是正数，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
3.不等式 a2 + b2 … a + b2 ab 与不等式 ab ≤ 成立的条件一样吗？
2
a + b
不一样， a2 + b2… 2ab 成立的条件时 a，b∈R， ab ≤ 成立的条件是 a>0，b>0.
2
a + b
4. 不等式 a2 + b2 … 2 ab 与不等式 ab ≤ 中“＝”成立的条件相同吗？
2
相同.都是当且仅当 a＝b 时等号成立.
5.基本不等式成立的条件一正二定三相等.
二、基本不等式与最大值最小值
1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
x = y 1(1)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 时，积 xy 有最大值 S 2 .
4
(2)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P .
（一）
对基本不等式概念的理解
对基本不等式概念的理解
a + b
（1）基本不等式 ab ≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2
（2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
①定理成立的条件是 a、b 都是正数．
a + b a + b
②“当且仅当”的含义：当 a＝b 时， ab ≤ 的等号成立，即 a＝b ＝2 2 ab
；仅当 a＝b 时，
a + b a + b
≥ ab 的等号成立，即 ＝ ab a＝b.2 2
题型 1：对基本不等式概念的理解
1-1．（2024·宁夏银川·二模）下列不等式恒成立的是（ ）
x 1A． + 2 B．
x a + b 2 ab
2 2
C a + b a + b
2
． ÷ D． a
2 + b2 2ab
è 2 2
4
1-2．（2024 2高一上·河南·阶段练习）不等式 a + 2 4中，等号成立的条件是（ ）a
A． a = 4 B． a = 2 C． a = - 2 D． a = ± 2
1-3．（2024 高一上·湖北孝感·阶段练习）下列不等式中正确的是（ ）
4
A． a + 4 B． x2
3 2 3 a + b+ 2 C． ab D．a x 2 a
2 + b2 4ab
1-4．（2024 高三·全国·专题练习）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处
理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现
有图形如图所示，C 为线段 AB 上的点，且 AC＝a，BC＝b，O 为 AB 的中点，以 AB 为直径作半圆，过点 C
作 AB 的垂线交半圆于点 D，连接 OD，AD，BD，过点 C 作 OD 的垂线，垂足为点 E，则该图形可以完成
的无字证明为（ ）
a + b
A． ≤ ab (a>0，b>0)2
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
2
C． ab ≥ 1 1+ (a>0，b>0)
a b
a2 + b2 a + bD． ≥ (a>0，b>0)
2 2
1-5．（2024 高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
2 1 1
A． x + 5 + 2 22 B． x + 2 + 2 2x + 5 x + 2
2 1 | x | 3 1C． x + 2 D． + + 2
x2 | x | +3
1-6．（2024 高二上·陕西咸阳·期中）已知 a,b R ，且 ab 0，则下列结论恒成立的是（ ）
a b
A． a + b 2 ab B． + 2
b a
a b
C． a2 + b2 2ab D． + 2b a
（二）
利用基本不等式比较大小
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最
后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式
时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
题型 2：利用基本不等式比较大小
2-1．（2024 高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是
杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预
购买 20 g 黄金，售货员先将10 g的砝码放在天平左盘中，取出 x g 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10 g
的砝码放在天平右盘中，取 y g黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的 x g 和 y g黄金交给顾客，则
顾客购得的黄金重量（ ）
A．大于 20g B．等于 20g C．小于 20g D．无法确定
2-2．（2024 高一上·上海普陀·期中）已知 a，b R ，且 a < b < 0，则下列不等关系中正确的是（ ）
1 1 b a a + b
A． < B． + > 2 C． > ab D ． >
a b a b 2
2-3．（2024 高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价
最多的方案是（其中0 < q < p <1）（ ）
A．先提价 p% ，再提价 q% B．先提价 q%，再提价 p%
2 2 p + q
C p + q．分两次，都提价 % D．分两次，都提价 %
2 2
2-4．（2024 高一上·江苏镇江·阶段练习）如果0 < a < b，那么下列不等式正确的是（ ）
ab a + b a ab a + bA． < < a < b B． < < < b
2 2
C． ab < a
a + b
< < b a a + bD． < < ab < b
2 2
2-5．（2024 高三·全国·专题练习）已知 a,b (0,1) 且 a b，下列各式中最大的是 .(填序号)
① a2 + b2 ；② 2 ab ；③ 2ab；④ a + b .
题型 3：利用基本不等式证明不等式
3-1．（2024 高一下·上海嘉定·阶段练习）已知 a,b是实数.
(1)求证： a2 + b2 2a - 2b - 2，并指出等号成立的条件；
(2)若 ab =1，求 a2 + 4b2 的最小值.
3-2．（2024 高一上·陕西榆林·期末）已知 a > 0，b > 0 .
(1)若b
1 b
= 6 - ，求 的最大值；
a a
(2)若 a2 + 9b2 + 2ab = a2b2 ，证明： ab 8 .
3-3．（2024 高一·全国·课后作业）已知 x, y都是正数，且 x y .
y x
求证：（1） + >2x y ；
2xy
（2） < xyx+y .
3-4．（2024 高一·江苏·假期作业）已知 a > 0，b > 0， c > 0，且 a + b + c =1．求证：

a
1 1
+ ÷ +

b +

÷ + c
1
+ ÷≥10．
è a è b è c
bc ca ab
3-5．（2024 高一下·甘肃兰州·期末）已知 a > 0，b > 0， c > 0，求证： + + a + b + c .
a b c
1 1
3-6．（2024 高二下·河南洛阳·阶段练习）已知 > 0，b > 0，且a + b = 1，求证： 1+ ÷ 1+ ÷ 9 .
è a è b
（三）
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值
1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则．
a＋b
(1)一正：符合基本不等式 ≥ ab成立的前提条件：a>0，b>0.
2
(2)二定：化不等式的一边为定值．
(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解
答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．
3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造
出符合基本不等式的条件结构..
4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不
2 2 2
等式 a2 + b2 … 2ab的形式可以是 a2 … a + b b2ab - b2 ，也可以是 ab ，还可以是 a + … 2b ，
2 a
b2 … 2b - a(a > 0) 等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以
a
便应用．
题型 4：基本不等式的直接应用求最值
4-1．（2024 高二下·陕西榆林·期中）已知 a > 0,b > 0, a + 4b = 2，则 ab的最大值为（ ）
1 1
A． B4 ． C．1 D．22
4-2．（2024 高二下·福建·学业考试）已知 nm = 2 ，则m2 + n2 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
4-3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 x < 0 ，则 x + 的最大值为（
x ）
1 1
A． 2 B．- C．-2 D．
2 2
4-4．（2024 高三·全国·专题练习） 3 - a a + 6 ， -6 < a < 3 的最大值为 .
题型 5：配凑法求最值
2
5-1．（2024 3 + x + x高三·全国·专题练习）当 x > 0时，函数 y = 的最小值为（ ）
1+ x
A． 2 3 B． 2 3 -1
C． 2 3 +1 D．4
1
5-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知0 < x < ，则函数 y = x(1- 2x) 的最大值是（　　）
2
1 1 1 1
A． B． C4 ． D．2 8 9
2
5-3．（2024 · · 2x + x + 3高三 全国 专题练习）函数 f x = x < 0 的最大值为 .
x
2
5-4．（2024 高一上· x + x + 4湖南益阳·阶段练习）已知 x > -1，则函数 y = 的最小值是 ．
x +1
4
5-5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若 x > 0，则 x + 的最小值为 ．
x +1
2
5-6 2024 · · a >1 a - 3a +11．（ 高一上 江苏泰州 阶段练习）已知 ，则 的最小值为 .
a -1
题型 6：常数代换法求最值
1 4
6-1．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 a > 0，b > 0，a + b = 2，则 y = + 的最小值是（ ）
a b
7 9
A． B．4 C． D．5
2 2
x, y 1 26-2．（2024·浙江·模拟预测）已知正实数 满足 x + 2y =1，则 +x +1 y 1的最小值为（+ ）
1
A 3+ 2
9 34
． + 2 B． C． D．
2 2 4 15
1 2
6-3．（2024 高一上·江西景德镇·期中）已知 x， y R*，x＋2y＝1，则 +x y 的最小值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
1 9
6-4．（2024·安徽安庆·三模）已知非负数 x, y满足 x + y =1，则 +x 1 y 2 的最小值是 .+ +
6-5．（2024 高一上·重庆长寿·期末）已知正数m n，满足 2m + 3n - mn = 0，则 2m + 3n的最小值为 .
6-6．（2024 高一上·广东梅州·期末）已知 x > 0， y > 0，若 x + 3y + 4xy = 6，则 x + 3y 的最小值为 .
题型 7：消元法求最值
7-1．（2024·重庆·模拟预测）已知 x > 0， y > 0，且 xy + 2x + y = 6，则 2x + y 的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
7-2．（2024 高一上·四川眉山·阶段练习）设 b > 0,ab + b =1,则 a2b的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7-3．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 x > 0, y > 0, xy + 2x - y =10，则 x + y 的最小值为（ ）
A． 2 2 -1 B． 2 2 C．4 2 D． 4 2 -1
7-4．（2024 高二下·广西北海·期末）若正数 x，y 满足 x - xy + 2 = 0，则 x + y 的最小值是（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．4 D．6
题型 8：整体化求最值
1 1 xy
8-1．（2024 高三上·陕西榆林·阶段练习）已知 x > 0， y > 0，且 + =x y 4 ，则
x + y 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8-2．（2024 高二下·安徽·阶段练习）若正实数 x ， y
2
满足3x +12y - 2xy = 0，则 x y 的最大值为（+ ）
4 1 2 1
A． B． C． D．
27 3 27 27
8-3．（2024 高二下·北京丰台·期末）若 a > 0，b > 0，且 ab = a + b + 3，则 ab的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．10
（四）
基本不等式的恒成立问题
求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
题型 9：基本不等式的恒成立问题
2 1
9-1．（2024 高一·江苏·假期作业）若对 x > 0，y > 0，有 (x + 2y) × ( + ) mx y 恒成立，则
m 的取值范围是（　　）
A．m 4 B．m > 4
C．m < 0 D．m 8
1 4 y
9-2 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）若两个正实数 x, y满足 + =1，且不等式 x + < m - 3mx y 有解，则实数
m
4
的取值范围是（ ）
A． (-1,4) B． (-4,1)
C． (- , -1) U (4, + ) D． (- ,0) (3, + )
2 1
9-3．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 x > 0， y > 0，且 + =1，若 2x + y > mx y 恒成立，则实数
m 的取值范围是（ ）
A． - ,9 B．[7, + ∞) C． 9, + D． - ,7
9-4．（2024 高二下·重庆沙坪坝·期末）已知正实数 x，y 满足 2x + 3y - xy = 0，若3x + 2y t 恒成立，则实数 t
的取值范围是（ ）
A． t 25 B． t < 25 C． t ≤ 24 D． t 24
9-5．（2024 高一上·山东·期中）已知 x > 0， y > 0，且 x + y + xy = 3，若不等式 x + y m2 - m 恒成立，则实
数 m 的取值范围为（ ）
A． -2 m 1 B．-1 m 2
C．m -2或m 1 D．m -1或m≥ 2
1 4 l
9-6．（2024 高三上·江西·阶段练习）已知 a、b 0, + ，若 + 恒成立，则实数l 的取值范围为
a b a + b
（ ）
A． 5,+ B． 9, + C． - ,5 D． - ,9
x
9-7．（2024 高三上·山西·阶段练习）若对任意 x > 0， a 恒成立，则 a2 的取值范围是 ．x + 3x +1
（五）
利用基本不等式解决实际问题
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案．
题型 10：利用基本不等式解决实际问题
10-1．（2024 高三下·湖南·阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为 1800 平方
米的矩形 ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为 2 米的人行通道，则种
植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208 平方米 B．1448 平方米 C．1568 平方米 D．1698 平方米
10-2．（2024 高三·全国·专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获
得的总利润 y (单位：万元)与机器运转时间 x (单位：年)的关系为 y = -x2 +18x - 25 x N + ，则每台机器为
该公司创造的年平均利润的最大值是 万元.
10-3．（2024 高一上·江苏扬州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员
流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在
本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供 x(x 0,20 )
（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府 x （万元）补贴后，产量将增加到 t = (x + 3)（万
81 42
件）．同时波司登制衣有限公司生产 t（万件）产品需要投入成本为 (7t + + 3x)（万元），并以每件 (8 + )
t t
元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+ 政府专项补贴-成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益 y （万元）关于政府补贴 x （万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益 y （万元）最大？
10-4．（2024 高一下·山西太原·阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为 200 平方米的矩形泳池，其平面图
形如图所示，池深 1 米，四周的池壁造价为 400 元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为 100 元/米，泳
池底面造价为 60 元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为 x 米，写出泳池的总造价 f x ，问泳池的长
为多少米时，可使总造价 f x 最低，并求出泳池的最低造价．
10-5．（2024 高一上·湖南岳阳·期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草
沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减
污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维
护．若乡财政下拨一项专款 400 百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目
五年内带来的生态收益可表示为投放资金 x （单位：百万元）的函数M x （单位：百万元）：
M x 80x= ；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金 x （单位：百万元）的函数 N x
20 + x
（单位：百万元）： N x 1= x．
4
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为 x （百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为 y （百万元），写
出 y 关于 x 的函数解析式；
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出 y 的最大值，并
求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
一、单选题
a + 4
1．（2024 高二下·北京·期中）设 a > 0，则 a + 的最小值为（ ）
a
A．5 B．3 C．4 D．9
2．（2024 高一下·河南·期中）已知正实数 a，b 满足 2a + b - 9ab = 0，则a + 2b的最小值为（ ）
1
A．3 B．1 C．9 D．
3
3．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正数 x，y 满足 x + y = xy，则 x + 2y 的最小值是（ ）
A．6 B． 2 + 3 2 C．3+2 2 D． 2+2 3
2 1
4．（2024 高一·全国·专题练习）已知 x>0，y>0，且 ＋ y ＝1，若 x + 2y > m
2 恒成立，则实数 m 的取值范围
x
是（ ）
A．m≤－2 2 或 m≥2 2 B．m≤－4 或 m≥2
C．－2＜m＜4 D．－2 2 ＜m＜2 2
1
5．（2024 高三上·海南海口·阶段练习）当 x > 2时，不等式 x + a恒成立，则实数 a的取值范围是（
x 2 ）-
A． - , 2 B．[2, + ∞) C． 4, + D． - , 4
6．（2024 高一上·北京·期末）对任意的正实数 x, y，不等式 x + 4y m xy 恒成立，则实数m 的取值范围是
（ ）
A． (0,4] B． (0, 2] C． (- , 4] D． (- , 2]
7．（2024 高三上·重庆南岸·阶段练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆
十一中计划新建校园图书馆精品阅读区 A1B1C1D1，该项目由图书陈列区 ABCD（阴影部分）和四周休息区组
成．图书陈列区 ABCD的面积为1000m2 ，休息区的宽分别为 2m 和 5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅
读区 A1B1C1D1面积最小时，则图书陈列区BC 的边长为（ ）
A．20m B．50m C．10 10 m D．100m
8．（2024 高二下·河北·期末）“ m > 4 ”是“函数 f x = x m+ x > 0 的最小值大于 4”的（ ）．
x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4
9．（2024 高二上·江苏常州·期中）已知函数 f x = x + (x < 0) ，则下列结论正确的是（ ）x
A． f x 有最小值 4B． f x 有最大值 4 C． f x 有最小值-4 D． f x 有最大值-4
1 1
10．（2024 高一上·江西·阶段练习）已知实数 x 满足0 < x < ，则 y = 8x + 的最大值为（ ）
2 2x -1
A．-4 B．0 C．4 D．8
8
11．（2024 高三·全国·专题练习）当 x > a 时， 2x + 的最小值为 10，则 a =（ ）
x - a
A．1 B． 2 C．2 2 D．4
4
12．（2024·北京东城·一模）已知 x > 0，则 x - 4 + 的最小值为（ ）
x
A．－2 B．0 C．1 D． 2 2
13．（2024 高一上·全国·课后作业）已知0 < x <1，则当 x(5 - 5x)取最大值时， x 的值为（ ）
5 1 1 3
A． B． C． D．
4 2 3 4
14．（2024 高三下·湖南邵阳·学业考试）已知 a > 0,b > 0， a + b = 6，则 ab的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
15．（2024 高一·全国·课后作业）已知 x, y R+ , x + y = 2,c = xy ，那么 c 的最大值为（ ）
1 1
A．1 B． C 2． D．
2 2 4
a + 6b + 3
16．（2024 高二下·浙江温州·学业考试）已知正数 a，b 满足a + b = 1，则 最小值为（
ab ）
A．25 B．19 + 2 6 C．26 D．19
2 1
17．（2024 高一下·河南周口·期末）已知 a > 0，b > 0， + =1，则 a2 + 4b2 的最小值为（ ）a b
A．8 B．16 C．24 D．32
y 1
18．（2024·湖北·二模）若正数 x, y满足 x + 2y = 2，则 +x y 的最小值为（ ）
5
A． 2 +1 B． 2 2 +1 C．2 D． 2
a + b 2 1 1
19．（2024 高一·全国·课后作业）已知 a、b 为正实数， A = , = + ,G = ab ，则（
2 H a b ）
A．G H A B．H G A
C．G A H D．H A G
20．（湖南省张家界市民族中学 2023-2024 学年高一上学期第一次月考数学试题）设0 < a < b，则下列不等
式成立的是（ ）
ab a + b a + bA． < < a < b B． a < < ab < b
2 2
C． ab
a + b
< a < < b D． a < ab
a + b
< < b
2 2
21．（河南省 TOP 二十名校 2023-2024 学年高三上学期调研模拟卷二文科数学试题）若0 < a < b，则下列不
等式成立的是（ ）
ab a a + b a + bA． < < < b B． ab < a < b
2 2
C． a < ab
a + b b a a + b< < D． < ab < b
2 2
22．（2024 高一·全国·单元测试）下列不等式恒成立的是（ ）
A． a + b -2 ab ； B． a + b 2 ab ；
C． a2 + b2 2ab； D． a2 + b2 -2ab ．
二、多选题
23．（2024 高一上·广东珠海·期中）以下结论正确的是（ ）
(x +1)2A．函数 y = 的最小值是 4
x
B．若 a,b R
b a
且 ab > 0，则 + 2
a b
1
C．若 x R x2，则 + 3+ 2 的最小值为 3x + 2
1
D．函数 y = 2 + x + (x < 0)的最大值为 0
x
24．（江苏省南京师范大学附属中学 2023-2024 学年高一上学期期中数学试题）设 a,b为正实数，ab = 4，则
下列不等式中对一切满足条件的 a,b恒成立的是（ ）
2 2 1 1A． a + b 4 B． a + b 8 C． + 1 D．a b a + b 2 2
25．（2024 高三·山东·开学考试）若 a > 0,b > 0．且 a + b = 4 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
1 1
A．0 < B．
ab 4 ab < 2
1 1 1 1
C． + 1 D．
a b a2 + b2

8
26．（2024 高一上·河北邯郸·期末）若 a > 0,b > 0，且 a b，则（ ）
a + b a2 + b2 a + b a2 + b2A． > B． <
2 2 2 2
ab a + b ab a + bC． > D． <
2 2
27．（2024·河北唐山·模拟预测）已知b < a < 0，则下列不等式正确的是（ ）
1 1
A．b2 > ab B． a + < b +b a
b a
C + > 2 D a2 1． ． + < b2
1
+
a b a b
三、填空题
28．（2024 高三·全国·专题练习）已知0 < < 2，则 x 1- 2x2 的最大值为 .2
29．（2024 高三·全国·专题练习）已知m, n R+ ，若m n - 2 = 9 ，则m + n的最小值为
x + 5 x + 2
30．（2024· ·

天津河西 模拟预测）函数 y = (x > -1)的最小值为 .
x +1
1
31．（2024 高三·全国·课后作业）设 x -2,0 ，则 x + 的取值范围是 ．
x
2
32 x - 2x + 4．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x = x > 2 取得的最小值时， x 的值为 ．
x - 2
9
33．（2024·陕西榆林·三模）若不等式 ax2 - 6x + 3 > 0对 x R 恒成立，则 a 的取值范围是 ，a + a -1
的最小值为 ．
2
34．（2024 x + x + 3高三·全国·专题练习）函数 y = x > 2 的最小值为 ．
x - 2
2x
35．（2024 高一上·上海浦东新·期中）函数 y =
x2
的值域是 ．
- x + 4
36．（2024 高二下·广东广州·期中）已知 x 4， y 4，且 x + 4y - xy = 0 ，若不等式 a x + y 恒成立，则 a的
最大值为 ．
37．（2024 高一·全国·课后作业）若0 < a <1，0 < b <1， a b，则 a + b ， 2 ab ，2ab， a2 + b2 中最大的一
个是 ．
四、解答题
4
38．（2024 高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数 y = x + x >1 的最小值及此时 x 的值；
x -1
2
（2）已知函数 y x + 5x +10= ， x -2, + ，求此函数的最小值及此时 x 的值.
x + 2
39．（2024 高三上·甘肃兰州·期中）设 a，b ， c均为正数，且 a + b + c =1，证明：
1
(1) a2 + b2 + c2 ；
3
2
(2) a b
2 c2
+ + 1.
b c a2.2 基本不等式 10 题型分类
一、基本不等式
a + b
1．如果 a>0，b>0， ab ，当且仅当 a = b 时，等号成立．
2
a + b
其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab 叫做正数 a，b 的几何平均数．
2
a + b
2
2 ．变形：ab≤ ÷ ，a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
è 2
a＋b≥2 ab ，a，b 都是正数，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
3.不等式 a2 + b2 … a + b2 ab 与不等式 ab ≤ 成立的条件一样吗？
2
a + b
不一样， a2 + b2… 2ab 成立的条件时 a，b∈R， ab ≤ 成立的条件是 a>0，b>0.
2
a + b
4. 不等式 a2 + b2 … 2 ab 与不等式 ab ≤ 中“＝”成立的条件相同吗？
2
相同.都是当且仅当 a＝b 时等号成立.
5.基本不等式成立的条件一正二定三相等.
二、基本不等式与最大值最小值
1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x = y 1时，积 xy 有最大值 S 2 .
4
(2)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P .
（一）
对基本不等式概念的理解
对基本不等式概念的理解
a + b
（1）基本不等式 ab ≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2
（2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
①定理成立的条件是 a、b 都是正数．
a + b a + b
②“当且仅当”的含义：当 a＝b 时， ab ≤ 的等号成立，即 a＝b ＝ ab ；仅当 a＝b 时，2 2
a + b a + b
≥ ab 的等号成立，即 ＝2 2 ab
a＝b.
题型 1：对基本不等式概念的理解
1-1．（2024·宁夏银川·二模）下列不等式恒成立的是（ ）
x 1A． + 2 B．
x a + b 2 ab
2
C a + b a
2 + b2
． 2 2 ÷ D． a + b 2ab
è 2 2
【答案】D
【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：对于 A 选项，当 x < 0 时，不等式显然不成立，故错误；
对于 B 选项， a + b 2 ab 成立的条件为 a 0,b 0，故错误；
对于 C 选项，当a = -b 0时，不等式显然不成立，故错误；
对于 D
2
选项，由于 a2 + b2 - 2ab = a - b 0，故 a2 + b2 2ab，正确.
故选：D
4
1-2．（2024 高一上· 2河南·阶段练习）不等式 a + 2 4中，等号成立的条件是（ ）a
A． a = 4 B． a = 2 C． a = - 2 D． a = ± 2
【答案】D
【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解.
4 4 4
【详解】由基本不等式可知 a2 + 2 a2 × = 4 22 2 ，当且仅当 a = 2 ，a a a
即 a = ± 2 时等号成立，
故选：D .
1-3．（2024 高一上·湖北孝感·阶段练习）下列不等式中正确的是（ ）
4
A． a + 4
3 a + b
B． x2 + 2 2
a x2
2 3 C． ab D．
2 a + b 4ab
【答案】B
【解析】A. 由 a < 0时判断； B.直接利用基本不等式求解判断；C. 由 a > 0,b > 0时判断； D.由重要不等式
判断；
4
【详解】A. 当 a < 0时， a + < 0 ，故错误；
a
B. x2 3 2 x2 3 x2
3
+ 2 × 2 = 2 3 ，当且仅当 = 2 ，即 x = ±
4 3时，取等号，故正确；
x x x
a > 0,b > 0 ab a + bC. 当 时， ，故错误；
2
D.由重要不等式得 a2 + b2 2ab，故错误；
故选：B
【点睛】本题主要考查基本不等式的辨析和应用，属于基础题.
1-4．（2024 高三·全国·专题练习）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处
理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现
有图形如图所示，C 为线段 AB 上的点，且 AC＝a，BC＝b，O 为 AB 的中点，以 AB 为直径作半圆，过点 C
作 AB 的垂线交半圆于点 D，连接 OD，AD，BD，过点 C 作 OD 的垂线，垂足为点 E，则该图形可以完成
的无字证明为（ ）
a + b
A． ≤ ab (a>0，b>0)2
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
2
C． ab ≥ 1 1+ (a>0，b>0)
a b
2 2 a + b
D a + b． ≥ (a>0，b>0)
2 2
【答案】C
a + b
【分析】先明确 , ab 的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，
2
结合不等关系，即可证明A,C选项；由于 a2 + b2 在该图中没有相应的线段与之对应，可判断B,D选项.
【详解】由题意可知 AB = a + b,OA = OB = OD
a + b
= ，
2
CD AC
由RtVACD∽RtVDCB 可知 = ，即CD2 = AC × BC = ab，
BC CD
a + b
所以CD = ab ；在Rt△OCD 中，OD > CD ，即 > ab(a > 0,b > 0)2
a + b
当OD ^ AB时，O,C 点重合， a = b ，此时 = ab(a > 0,b > 0)，所以A 错误；
2
CD DE
在Rt△OCD 中，RtVDEC ∽RtVDCO可得 = 即 2 ，
DO CD CD = DE ×OD
CD2DE ab 2ab 2= =
所以 OD a + b
= =
a + b 1 1 ，+
2 a b
ab 1>
由于CD > DE，所以 1 1+ ，
a b
ab 1=
当 a = b时，CD = DE ,此时 1 1+ ，所以C 正确；
a b
由于 a2 + b2 在该图中没有相应的线段与之对应，故B,D中的不等式无法通过这种几何方法来证明，
故选：C.
1-5．（2024 高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
2
A． x + 5
1
+ 2 B x22 ． + 2
1
+ 2 2x + 5 x + 2
C． x2
1
+ 2 D． | x | +3
1
+ 2
x2 | x | +3
【答案】C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
1 1
【详解】解：对于 A，因为 x2 x
2
+ 5 > 0，所以 + 5 + 2 x
2 + 5 × = 2
2 2 ，当且仅当x + 5 x + 5
x2 + 5 1=
2 ，即 x
2 = -4 ，故等号不成立，故 A 不符合；
x + 5
1 1 2 1
对于 B，因为 x2 + 2 > 0 ，所以 x2 + 2 + 2 2 x2 + 2 × 2 = 2，当且仅当 x + 2 = 2 ，即 x2 = -1，x + 2 x + 2 x + 2
故等号不成立，故 B 不符合；
1
对于 C 1 1，因为 x2 > 0，所以 x2 + 2 x22 × 2 = 2
2
，当且仅当 x = 2 ，即 x = ±1时取等号，故 C 符合；x x x
1 1 1
对于 D，因为 x + 3 > 0 ，所以 x + 3+ 2 x + 3 × = 2x 3 x 3 ，当且仅当 x + 3 = x + 3 ，即 x = -2，故+ +
等号不成立，故 D 不符合.
故选：C.
1-6．（2024 高二上·陕西咸阳·期中）已知 a,b R ，且 ab 0，则下列结论恒成立的是（ ）
a b
A． a + b 2 ab B． + 2
b a
C． a2 + b2
a b
2ab D． + 2b a
【答案】D
【分析】由基本不等式，重要不等式，判断各选项正误即可.
【详解】对于 A 选项，由基本不等式，当 a，b > 0 时，有 a + b 2 ab ，当且仅当 a = b时取等号，故 A 错
误.
b
B a b a b对于 ，当 > 0时，由基本不等式， + 2 × = 2，当且仅当 a = b时取等号.故 B 错误.
a b a b a
C a - b 2对于 ，因 0，则 a2 + b2 2ab，故 C 错误.
b a b a b
对于 D，当 > 0时， + 2 × = 2，当且仅当 a = b时取等号.
a b a b a
b a b b a b a
当 < 0时， + = - - - ÷ -2 - ÷ × - ÷ = -2，当且仅当a = -b时取等号.a b a è a b è a è b
a b
则 ab 0时， + 2 .故 D 正确.
b a
故选：D
（二）
利用基本不等式比较大小
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最
后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式
时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
题型 2：利用基本不等式比较大小
2-1．（2024 高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是
杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预
购买 20 g 黄金，售货员先将10 g的砝码放在天平左盘中，取出 x g 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10 g
的砝码放在天平右盘中，取 y g黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的 x g 和 y g黄金交给顾客，则
顾客购得的黄金重量（ ）
A．大于 20g B．等于 20g C．小于 20g D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题意设出天平的两臂长，利用杠杆原理，即可解出．
【详解】设天平左臂长为x1，右臂长为 x2，且 x1 x2 ，
ìx 10x= 1
ì10x
\ 1
= xx2 x2
í \
yx1 =10x
， í
2 y 10x
，
= 2
x1
Q x x x y 10x2 10x ，\ + = + 1
10x
> 2 2 ·10x12 1 = 2 10 = 20 ，x1 x2 x1 x2
故选：A．
2-2．（2024 高一上·上海普陀·期中）已知 a，b R ，且 a < b < 0，则下列不等关系中正确的是（ ）
1 1 b a 2 a + b A． < B． + > C ． > ab D． >
a b a b 2
【答案】B
【分析】利用不等式性质判断 ACD，利用基本不等式判断 B.
1 1
【详解】对于 A，因为 a < b < 0，所以 > ，错误；
a b
b a
对于 B，因为 a < b < 0 > 0, > 0 b a b a，所以 ，所以 + 2 × = 2，
a b a b a b
b a 1 b a当且仅当 = = 即 a = b时，等号成立，又 a < b ，所以 + > 2，正确；
a b a b
a + b a + b
对于 C，因为 a < b < 0，所以 < 0， ab > 0，所以 < ab ，错误；2 2
1 1 1 1
对于 D，因为 a < b < 0，所以 < < 0，所以- > - > 0，
b a b a
1 1
又-a > -b > 0

，所以 - ÷ × -a >

- ÷ × -b > 0

即 > ，错误；
è b è a
故选：B.
2-3．（2024 高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价
最多的方案是（其中0 < q < p <1）（ ）
A．先提价 p% ，再提价 q% B．先提价 q%，再提价 p%
2 2 p + q
C p + q．分两次，都提价 % D．分两次，都提价 %
2 2
【答案】C
【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.
【详解】设原来的水价为 a，AB 选项中，两次提价后的水价为a 1 + p% 1 + q% ，
2
2 2
C 选项中，两次提价后的水价为 a 1
p + q
+ %÷ ，
è 2 ÷
p + q
2
D 选项中，两次提价后的水价为a 1 + %2 ÷
，
è
2 2 2 2
因为0 < q < p <1，则 p2 + q2 > 2 pq ，则 2 p + q > p + q + 2 pq = p + q 2，
p2 + q2 p + q
2 2 2
所以， > p + q p + q ÷ ，则 > ，2 è 2 2 2
2
2 2 2
即 a 1 p + q + %÷ > a 1 p + q+ % ， 2 ÷ 2 ÷è è
2
a 1+ p% 1+ q% < a 1 p + q+ % 由基本不等式可得 ÷ ，
è 2
2
p2 + q2 p + q 2
所以， a 1+ %÷ > a

÷ 1+ %÷ > a 1+ p% 1+ q% .
è 2 è 2
故选：C.
2-4．（2024 高一上·江苏镇江·阶段练习）如果0 < a < b，那么下列不等式正确的是（ ）
ab a + b a ab a + bA． < < a < b B． < < < b
2 2
C． ab a
a + b
< < < b D． a
a + b
< < ab < b
2 2
【答案】B
ab a + b【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出 < ，再结合0 < a < b可得出结果.
2
a + b
【详解】由已知0 < a < b，利用基本不等式得出 ab < ，
2
因为0 < a < b，则 a2 < ab < b2 ， a + b < 2b，
a + b
所以 a < ab < b ， < b，2
∴ a < ab
a + b
< < b .
2
故选：B
2-5．（2024 高三·全国·专题练习）已知 a,b (0,1) 且 a b，下列各式中最大的是 .(填序号)
① a2 + b2 ；② 2 ab ；③ 2ab；④ a + b .
【答案】④
【分析】根据不等式的性质和基本不等式可以得到相关结论.
【详解】因为 a,b (0.1) ，所以 a2 < a，b2 < b， a < a ，b < b ，
所以 a2 + b2 < a + b， ab < ab ，当 a b时，
a + b
由基本不等式可知 > ab ，所以
2 a + b > 2 ab
，
由上可知， a + b > 2 ab > 2ab， a + b > a2 + b2 ，所以四个式子中 a + b 最大．
故答案为：④.
题型 3：利用基本不等式证明不等式
3-1．（2024 高一下·上海嘉定·阶段练习）已知 a,b是实数.
(1)求证： a2 + b2 2a - 2b - 2，并指出等号成立的条件；
(2)若 ab =1，求 a2 + 4b2 的最小值.
【答案】(1)证明见解析，当且仅当 a =1，b = -1时，不等式等号成立
(2)4
【分析】（1）作差法证明即可；
（2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可.
【详解】（1）证明：因为 a2 + b2 - (2a - 2b - 2) = a2 + b2 - 2a + 2b + 2
= (a -1)2 + (b +1)2 0，
所以 a2 + b2 2a - 2b - 2，
当且仅当 a =1，b = -1时，不等式中等号成立.
（2） a2 + 4b2 = a2 + (2b)2 2 × a × (2b) = 4ab = 4，
ìa = 2 ìa = - 2

当且仅当 a = 2b，即 í
b 2
或 í
b 2
时，不等式中等号成立.
= = -
2 2
所以 a2 + 4b2 的最小值为 4.
3-2．（2024 高一上·陕西榆林·期末）已知 a > 0，b > 0 .
1 b
(1)若b = 6 - ，求 的最大值；
a a
(2)若 a2 + 9b2 + 2ab = a2b2 ，证明： ab 8 .
【答案】(1)9
(2)证明见解析
b 1
【分析】（1）由 = b 运用基本不等式求乘积得最大值；
a a
（2）直接由基本不等式a2 + 9b2 6ab对已知等式进行放缩，证得结果.
【详解】（1）因为b
1 1
= 6 - ，所以b + = 6 .
a a
2
1
b 1 b +

÷
= b a ÷ = 9，a a 2 ÷
è
b 1当且仅当 = ， a
1
= ，b = 3时，等号成立，
a 3
b
故 的最大值为 9.
a
（2）证明：因为 a2 + 9b2 + 2ab 2 a2 ×9b2 + 2ab = 8ab，
所以 a2b2 8ab ，又 a > 0,b > 0，
解得 ab 8，
2 6
当且仅当 a = 2 6,b = 时，等号成立.
3
故 ab 8 .
3-3．（2024 高一·全国·课后作业）已知 x, y都是正数，且 x y .
y + x求证：（1） >2x y ；
2xy
（2） < xyx+y .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
x y
【分析】（1）由已知得 >0, >0
y + x 2 y x × = 2
y x ，运用基本不等式得 ，可得证；x y x y
（2）由基本不等式得 x+y 2 xy ，可得证.
x y y x
【详解】（1）Q x>0, y>0 \ >0, >0
y + x 2 y x， ，\ × = 2，由于当且仅当 =y x x y ，即
x = y 时取等号，
x y x y
但 x y
y x
，因此不能取等号，\ + >2x y ；
2xy 2xy
（2）Q x>0, y>0，\ x+y 2 xy ，\ = xyx+y 2 xy ，当且仅当
x = y 时取等号，但 x y ，因此不能取
2xy
等号，\ < xyx+y .
【点睛】本题考查基本不等式的应用于不等式的证明，在运用时注意满足基本不等式所需的条件：“一正二
定三相等”，属于基础题.
3-4．（2024 高一·江苏·假期作业）已知 a > 0，b > 0， c > 0，且 a + b + c =1．求证：
a 1+ + b 1 c 1 ÷ + ÷ + +

÷≥10．
è a è b è c
【答案】证明见解析
b a c a c b
【分析】将证明式子中的 1 用 a + b + c =1代换，整理为 4 + ( + ) + ( + ) + ( + )，根据基本不等式即可
a b a c b c
证明．
【详解】因为 a，b，c 都为正实数，且 a + b + c =1，
1 1 1
所以 (a + ) + (b + ) + (c + )
a b c
(a a + b + c ) (b a + b + c a + b + c= + + + ) + (c + )
a b c
= 4 + (b a+ ) ( c a+ + ) + (c b+ ) b a 4 + 2 × + 2 c a c b× + 2 × = 4 + 2 + 2 + 2 =10，
a b a c b c a b a c b c
1
当且仅当 a = b = c = 时取等号，
3
a 1 1 1所以 +

a ÷
+ b + ÷ + c + ÷≥10．
è è b è c
bc ca ab
3-5．（2024 高一下·甘肃兰州·期末）已知 a > 0，b > 0， c > 0，求证： + + a + b + c .
a b c
【答案】证明见解析
【分析】三次利用基本不等式即可得证.
【详解】∵ a > 0，b > 0， c > 0，
∴ bc ca 2 bc ca+ × = 2c ，
a b a b
bc ca
当且仅当 = ，即 a = b时，等号成立，
a b
bc ab 2 bc ab同理： + × = 2b ca ab 2 ca ab， + × = 2a ，
a c a c b c b c
当且仅当 a = c ，b = c时，等号成立，
bc ca ab
以上三式相加得： 2 + +

a b c ÷
2(a + b + c)，
è
当且当且仅当 a = b = c时，等号成立，
bc ca ab
所以 + + a + b + c .
a b c
1 1 1 13-6．（2024 高二下·河南洛阳·阶段练习）已知 > 0 b ， > 0，且a + b = 1，求证： + ÷ + ÷ 9 .
è a è b
【答案】证明见解析
1 1 1 1+ + b a【分析】利用a + b = 1把 ÷ ÷ 化为 (2 + )(2 + )，展开利用基本不等式求最值即可证明.
è a è b a b
【详解】因为 > 0，b > 0，a + b = 1，
1 1 1 1 (1 a + b)(1 a + b b a所以 + ÷ + ÷ = + + ) = (2 + )(2 + ) = 5
2a 2b
+ +
è a è b a b a b b a
2b 2a 2b 2a 1
5 + 2 = 9 ，当且仅当 = ，即 a = b = 时等号成立.
a b a b 2
故原题得证.
（三）
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值
1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则．
a＋b
(1)一正：符合基本不等式 ≥ ab成立的前提条件：a>0，b>0.
2
(2)二定：化不等式的一边为定值．
(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解
答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．
3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造
出符合基本不等式的条件结构..
4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不
2 2 2
等式 a2 + b2 … a + b b2ab的形式可以是 a2 … 2ab - b2 ，也可以是 ab ，还可以是 a + … 2b ，
2 a
b2 … 2b - a(a > 0) 等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以
a
便应用．
题型 4：基本不等式的直接应用求最值
4-1．（2024 高二下·陕西榆林·期中）已知 a > 0,b > 0, a + 4b = 2，则 ab的最大值为（ ）
1 1
A． B． C4 ．1 D．22
【答案】A
【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为 a > 0,b > 0, a + 4b = 2，
1
由基本不等式可得 2 = a + 4b 2 4ab = 4 ab ，可得 ab ，4
1 1
当且仅当 a = 4b，即 a =1,b = 时，等号成立，所以 ab的最大值为 .
4 4
故选：A.
4-2．（2024 高二下·福建·学业考试）已知 nm = 2 ，则m2 + n2 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】m2 + n2 2mn = 4，当且仅当“ m = n ”时取等.
故m2 + n2 的最小值为 4 .
故选：D.
1
4-3．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 x < 0 ，则 x + 的最大值为（
x ）
1 1
A． 2 B．- C．-2 D．
2 2
【答案】C
x 1 [( x) 1【分析】根据题意化简得到 + = - - + ]，结合基本不等式，即可求解.
x -x
1 1 1
【详解】因为 x < 0 ，可得 -x > 0，则 x + = -[(-x) + ] -2 (-x) = -2，
x -x -x
x 1当且仅当- = 时，即 x = -1时，等号成立，
-x
即 x
1
+ 的最大值为-2 .
x
故选：C.
4-4．（2024 高三·全国·专题练习） 3 - a a + 6 ， -6 < a < 3 的最大值为 .
9
【答案】 / 4.5
2
【分析】根据题意，由基本不等式即可得到结果.
【详解】因为-6 < a < 3，所以3- a > 0 ， a + 6 > 0，由基本不等式可得
3 - a a 6 3- a + a - 6 9 3+ = ，当且仅当3- a = a + 6，即 a = - 时，等号成立．所以 3- a a + 6 ，
2 2 2
-6 < a < 3 9的最大值为 .
2
9
故答案为： .
2
题型 5：配凑法求最值
5-1 3 + x + x
2
．（2024 高三·全国·专题练习）当 x > 0时，函数 y = 的最小值为（ ）
1+ x
A． 2 3 B． 2 3 -1
C． 2 3 +1 D．4
【答案】B
y 3+ x + x
2
y 3+ x + x
2 3 3
【分析】使用变量分离，将 = 化为 = = + x = + x +1 -1，使用基本不等式解
1+ x 1+ x 1+ x 1+ x
决.
x > 0 y 3+ x + x
2 3 x 3【详解】因为 ，所以 = = + = + x +1 -1 2 3 × x +1 -1 = 2 3 -1，当且仅当
1+ x 1+ x 1+ x 1+ x
3
= x +1 ，即 x = 3 -1时，等号成立．1+ x
故选：B．
1
5-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知0 < x < ，则函数 y = x(1- 2x) 的最大值是（　　）
2
1 1 1 1
A． B． C D
2 4
． ．
8 9
【答案】C
1
【分析】将 y = x(1- 2x)化为 2x(1- 2x)，利用基本不等式即可求得答案.
2
1
【详解】∵ 0 < x < ，\1- 2x > 0 ,
2
∴ x(1 - 2x)
1
= 2x(1 2x) 1 [2x + (1- 2x)- ]2 1= ，
2 2 2 8
1
当且仅当 2x =1- 2x 时，即 x = 时等号成立，
4
y = x(1- 2x) (0 x 1 1因此，函数 , < < )的最大值为 ,
2 8
故选：C．
2
5-3．（2024 2x + x + 3高三·全国·专题练习）函数 f x = x < 0 的最大值为 .
x
【答案】1- 2 6 / -2 6 +1
f x 2x
2 + x + 3 2x 3【分析】首先化简可得 = = + +1 = -(-2x 3+ ) +1，由 -x > 0则可以利用基本不等式求最
x x -x
值即可.
【详解】因为 x < 0 ，则 -x > 0，
f x 2x
2 + x + 3 3 3
所以 = = 2x + +1 = -(-2x + ) +1
x x -x
≤ 2 2x 3- - × +1 =1- 2 6 ，
-x
3 6
当且仅当-2x = ，即 x = - 时等号成立，
-x 2
所以 f x 的最大值为1- 2 6 .
故答案为：1- 2 6 .
2
5-4 2024 · · x > -1 y x + x + 4．（ 高一上 湖南益阳 阶段练习）已知 ，则函数 = 的最小值是 ．
x +1
【答案】3
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为 x > -1，
x2 + x + 4 x +1 2 - (x +1) + 4y 4= = = x +1 + -1
x +1 x +1 x +1
2 x 4+1 -1 = 3
x +1
x 1 4当且仅当 + = ，即 x =1时，等号成立.
x +1
2
y x + x + 4所以函数 = 的最小值是3
x +1
故答案为: 3 .
4
5-5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若 x > 0，则 x + 的最小值为 ．
x +1
【答案】3
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.
4 4 4
【详解】因为 x > 0，由基本不等式得： x + = x +1+ -1 2 x +1 × -1 = 3，
x +1 x +1 x +1
x 1 4当且仅当 + = ，且 x > 0，即 x =1时等号成立．
x +1
故答案为：3
a25-6 - 3a +11．（2024 高一上·江苏泰州·阶段练习）已知 a >1，则 的最小值为 .
a -1
【答案】5
2
t = a -1 a - 3a +11【分析】利用换元法，令 ，将 转化为关于 t的分式，再利用基本不等式求解最小值即可.
a -1
【详解】令 t = a -1(t > 0)，则 a = t +1，
a2 - 3a +11 (t +1)2 - 3(t +1) +11 t 2 - t + 9 9 9
所以 = = = t + -1 9 2 t × -1 = 5，当且仅当 t = ，即 t = 3时取等号，
a -1 t t t t t
a2 - 3a +11
所以 的在最小值为5 .
a -1
故答案为：5 .
题型 6：常数代换法求最值
1 4
6-1．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 a > 0，b > 0，a + b = 2，则 y = + 的最小值是（ ）
a b
7 9
A． B．4 C． D．5
2 2
【答案】C
1 4
a b 2 a + b y = + y =
a + b 1 4
【分析】将 + = 化为 = 1，即可将 变形为 ÷ +2 a b ÷ ，结合基本不等式即可求得答案.2 a b è è
【详解】Qa > 0,b > 0, a + b = 2 ，
a + b
\ =1，
2
y 1 4 a + b 1 4\ = + = +
a b 2 ÷ a b ÷è è
5 b 2a 5 b 2a 5 9
= + + + 2 × = + 2 = （当且仅当b = 2a
4
= 时等号成立），
2 2a b 2 2a b 2 2 3
故选：C
1 2
6-2．（2024·浙江·模拟预测）已知正实数 x, y满足 x + 2y =1，则 +x 的最小值为（ ）+1 y +1
1
A + 2 B 3+ 2 9
34
． ． C． D．
2 2 4 15
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由题可得， x + 2y =1，则 x +1 + 2 y +1 = 4，
1 2 1 1 2
所以 + = + ÷ é x +1 + 2 y +1 ùx +1 y +1 4 è x +1 y +1
1 é5 2(y +1) 2(x +1) ù 1
é
5 2 2(y +1) 2(x +1)
ù 9
= ê + + 4 x +1 y +1 ú ê
+ × = ，
4 x +1 y +1
ú
4
2(y +1) 2(x +1)
当且仅当 = x y
1
= =
x 1 y 1 ，即 时，取得等号，+ + 3
故选:C.
1 2
6-3．（2024 高一上·江西景德镇·期中）已知 x， y R*，x＋2y＝1，则 +x y 的最小值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为 x， y R*，x＋2y＝1，
1 2 1 2 x 2y 1 2y 2x 4 5 2y 2x则 + = + ÷ + = + + + = + +x y è x y x y x y
5 2 2y 2x + × = 9，
x y
2y 2x
当且仅当 = ，即 x
1
= y =
x y 时取等.3
故选：B.
1 9
6-4．（2024·安徽安庆·三模）已知非负数 x, y满足 x + y =1，则 +x 1 y 2 的最小值是 .+ +
【答案】4
【分析】根据题意 x +1+ y + 2 = 4 ，再构造等式利用基本不等式求解即可.
1 9 1 1 9
【详解】由 x + y =1，可得 x +1+ y + 2 = 4, + = + ÷ x +1+ y + 2 x +1 y + 2 4 è x +1 y + 2
1 1 9 y + 2
9 x +1 1 y + 2 9 x +1
= + + + ÷ 10 + 2 × ÷ = 4，当且仅当 y + 2 = 3 x +1 ，即 x = 0, y =1 ÷ 时取等4 è x +1 y + 2 4 è x +1 y + 2
号.
故答案为：4
6-5．（2024 高一上·重庆长寿·期末）已知正数m n，满足 2m + 3n - mn = 0，则 2m + 3n的最小值为 .
【答案】 24
2 3
【分析】根据正数m ， n 满足 2m + 3n - mn = 0，可得 + =1，
n m
再由 2m + 3n = 2m + 3n 2 3 +

÷，利用基本不等式即可求解.
è n m
2 3
【详解】由正数m ， n 满足 2m + 3n - mn = 0，可得 + =1，
n m
所以 2m + 3n = 2m + 3n 2 3 4m 9n 4m 9n + ÷ = + +12 2 × +12 = 24，
è n m n m n m
4m 9n 2 3
当且仅当 = ， + =1，即m = 6,n = 4时取等号，
n m n m
所以 2m + 3n的最小值为 24 .
故答案为： 24 .
6-6．（2024 高一上·广东梅州·期末）已知 x > 0， y > 0，若 x + 3y + 4xy = 6，则 x + 3y 的最小值为 .
【答案】3
【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案
【详解】因为 x > 0， y > 0， x + 3y + 4xy = 6，
所以 4xy = 6 - x + 3y 4，即 x ×3y = 6 - x + 3y ；
3
4 4 x + 3y 2
x ×3y 因为 ÷ ，当且仅当 = 3 时取到等号，3 3 è 2
x + 3y 2
所以 6 - x + 3y ，
3
解得 x + 3y 3或 x + 3y -6（舍）
3
所以当 x = , y
1
= 时， x + 3y 有最小值 3.
2 2
故答案为：3
题型 7：消元法求最值
7-1．（2024·重庆·模拟预测）已知 x > 0， y > 0，且 xy + 2x + y = 6，则 2x + y 的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【详解】解：已知 x > 0，y > 0，且 xy+2x+y=6，
6 - 2x
y=
x +1
6 - 2x 8 8
2x+y=2x+ =2(x+1) + - 4 4，当且仅当 2 x +1 = , x =1时取等号，
x +1 x +1 x +1
故 2x+y 的最小值为 4.
故选:A
7-2．（2024 高一上·四川眉山·阶段练习）设 b > 0,ab + b =1,则 a2b的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
1 2 1
【分析】首先由等式把b 转化为 ，再应用常数分离得到 ab = a+1 + - 2，最后应用基本不等式得
a +1 a +1
到最小值.
【详解】由题意b > 0,ab + b =1 b=
1
，所以 ,a +1 > 0，
a +1
2 a2 a +1-1
2
得到 a b a 1= = = +1+ - 2 2 - 2 = 0，
a +1 a +1 a +1
a 1 1当且仅当 + = ，即 a = 0时， 等号成立，则 a2b的最小值为0 ．
a +1
故选：A.
7-3．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 x > 0, y > 0, xy + 2x - y =10，则 x + y 的最小值为（ ）
A． 2 2 -1 B． 2 2 C．4 2 D． 4 2 -1
【答案】D
【分析】用 y 表示 x + y 后，根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为 x > 0, y > 0，
y +10
由 xy + 2x - y =10 ，得 x = y 2 ，+
x y y +10 8所以 + = + y = + y + 2 -1
8
2 × (y + 2) -1 = 4 2 -1
y 2 y ，+ + 2 y + 2
当且仅当 y = 2 2 - 2时，等号成立.
故 x + y 的最小值为 4 2 -1.
故选：D
7-4．（2024 高二下·广西北海·期末）若正数 x，y 满足 x - xy + 2 = 0，则 x + y 的最小值是（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.
2
【详解】由题设及 x - xy + 2 = 0 ，可得 y = x + .
x
x y x x 2 1 1所以 + = + + = 2 x + ÷ 4 x × = 4，x è x x
1
当且仅当 x = ，即 x =1时，等号成立，此时 y = 3 > 0符合题意.
x
所以 x + y 的最小值为 4.
故选：C.
题型 8：整体化求最值
1 1 xy
8-1．（2024 高三上·陕西榆林·阶段练习）已知 x > 0， y > 0，且 + =x y 4 ，则
x + y 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
4 x + y = xy 2【分析】先得出 ，再利用基本不等式求解即可.
1 1 xy
【详解】因为 + =x y 4 ，
é x + y 2
2 4
4 x + y = xy 2
ù x + y
所以 ê 2 ÷ ú
= ，
ê è ú 16
所以 x + y 3 64，所以 x + y 4，
当且仅当 x = y = 2时取等号，
所以 x + y 的最小值为 4 .
故选：C.
2
8-2．（2024 高二下·安徽·阶段练习）若正实数 x ， y 满足3x +12y - 2xy = 0，则 x y 的最大值为（+ ）
4 1 2 1
A． B． C． D．
27 3 27 27
【答案】A
3 12
【分析】根据等式计算得出 + = 2y x ，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值．
3 12
【详解】Q x > 0 ， y > 0，3x +12y - 2xy = 0，\ + = 2y x ，
3 12 1 3x 12y 1
\ x + y = x + y 3x 12y 1 27 + ÷ = +12 + 3 + ÷ 2 +15÷ = ，
è y x 2 è y x 2 ÷è y x 2 2
3x 12y 9
当且仅当 =y x ，即 x = 9 ，
y = 时等号成立，
2
2 4
\
x + y 27 .
故选：A.
8-3．（2024 高二下·北京丰台·期末）若 a > 0，b > 0，且 ab = a + b + 3，则 ab的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式变形求解．
【详解】∵ a > 0,b > 0，
所以 ab = a + b + 3 2 ab + 3，当且仅当 a = b时等号成立，
( ab - 3)( ab +1) 0，所以 ab 9，当且仅当 a = b = 3时取等号，
故选：C．
（四）
基本不等式的恒成立问题
求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
题型 9：基本不等式的恒成立问题
2 1
9-1．（2024 高一·江苏·假期作业）若对 x > 0，y > 0，有 (x + 2y) × ( + ) mx y 恒成立，则
m 的取值范围是（　　）
A．m 4 B．m > 4
C．m < 0 D．m 8
【答案】D
2 1 2 1
【分析】首先由基本不等式求出 (x + 2y) × ( + ) (x + 2y) × ( + ) m mx y 的最小值，由 x y 恒成立即可求出 的范围．
【详解】因为 x > 0， y > 0，
所以 (x + 2y)
2 1
× ( + ) 2 x 4y x 4y= + + + 2 4 + 2 × = 8，
x y y x y x
当且仅当 2y = x时取等号，
所以m 8，
故选：D．
1 4
9-2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）若两个正实数 x, y满足 + =1 x
y
+ < m2
x y ，且不等式
- 3m有解，则实数m
4
的取值范围是（ ）
A． (-1,4) B． (-4,1)
C． (- , -1) U (4, + ) D． (- ,0) (3, + )
【答案】C
x y x y 1 4 + = + y【分析】由题意可得
4 4 ÷
+ ÷ ，化简后利用基本不等式可求出 x + 的最小值，然后将问题转
è è x y 4
y
化为m2 - 3m大于 x + 的最小值，从而可求出实数m 的取值范围
4
1 4
【详解】因为两个正实数 x, y满足 + =1x y ，
x y x y 1 4 2 4x y 2 2 4x y所以 + = + ÷ + ÷ = + + + × = 4 ，4 è 4 è x y y 4x y 4x
4x y
当且仅当 =y 4x ，即
x = 2, y = 8时取等号，
y 2
因为不等式 x + < m - 3m有解，
4
y
所以m2 - 3m大于 x + 的最小值，即m2 - 3m > 4，
4
解得m < -1或m > 4 ，
即实数m 的取值范围是 (- , -1) U (4, + )，
故选：C
2 1
9-3．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 x > 0，y > 0，且 + =1，若 2x + y > mx y 恒成立，则实数
m
的取值范围是（ ）
A． - ,9 B．[7, + ∞) C． 9, + D． - ,7
【答案】A
2 1
【分析】将 2x + y 与 +x y 相乘，展开后利用基本不等式可求得
2x + y 的最小值，即可求得m 的取值范围.
2 1 2 1 2x 2y 2x 2y
【详解】因为 x > 0， y > 0，且 + =1，则 2x + y + ÷ = 5 + + 5 + 2 × = 9x y ，è x y y x y x
当且仅当 x = y = 3时，等号成立，即 2x + y 的最小值为9，
因为 2x + y > m 恒成立，则m < 9 .
故选：A.
9-4．（2024 高二下·重庆沙坪坝·期末）已知正实数 x，y 满足 2x + 3y - xy = 0，若3x + 2y t 恒成立，则实数 t
的取值范围是（ ）
A． t 25 B． t < 25 C． t ≤ 24 D． t 24
【答案】A
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案.
2 3
【详解】由正实数 x，y， 2x + 3y - xy = 0，则 + =1y x ，
即3x + 2y = 3x + 2y 2 3 6x 9 4 6y 13 2 6x 6y + = + + + + × = 25，
è y x
÷
y x y x
6x 6y
当且仅当 = ，即 x = y = 5时，等号成立，则 t 25y x ，
故选：A.
9-5．（2024 高一上·山东·期中）已知 x > 0， y > 0，且 x + y + xy = 3，若不等式 x + y m2 - m 恒成立，则实
数 m 的取值范围为（ ）
A． -2 m 1 B．-1 m 2
C．m -2或m 1 D．m -1或m≥ 2
【答案】B
【分析】首先根据基本不等式得到 x + y = 2 2，结合题意得到m - m x + ymin min ，即m2 - m 2，再解不
等式即可.
x + y
2
【详解】 xy = 3 x - + y ，当且仅当 x = y =1时等号成立，
4
解得 x + y 2 ，即 x + y = 2min .
因为不等式 x + y m2 - m 恒成立，
所以m2 - m x + y min ，即m2 - m 2，解得-1 m 2 .
故选：B
9-6．（2024 高三上·江西·阶段练习）已知 a、b 0, + 1 4 l，若 + 恒成立，则实数l 的取值范围为
a b a + b
（ ）
A． 5,+ B． 9, + C． - ,5 D． - ,9
【答案】D
l a b 1 4 【分析】由已知可得出 + + ÷，利用基本不等式可求得实数l 的取值范围.
è a b
1 4
【详解】因为 a、b 0, + ，由已知可得l a + b + ÷，
è a b
1 4 a b b 4a 5 2 b 4a因为 + ÷ + = + + × + 5 = 9，当且仅当b = 2a时等号成立，
è a b a b a b
故实数l 的取值范围为 - ,9 ，
故选：D．
x
9-7．（2024 高三上·山西·阶段练习）若对任意 x > 0， 2 a 恒成立，则 a的取值范围是 ．x + 3x +1
【答案】a
1

5
x 1
=
【解析】利用基本不等式求出 x2 + 3x +1 x 1+ + 3 的最大值，即可得出结果.
x
【详解】Q x > 0 ，
x 1 1 1
\ 2 = =x + 3x +1 x 1
1
+ + 3 52 x 1× + 3 ，当且仅当
x = ，即 x =1时等号成立，
x xx
a 1\ .
5
1
故答案为：a .
5
x 1
=
【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是化简式子 x2 + 3x +1 x 1+ + 3 利用基本
x
不等式求出最大值.
（五）
利用基本不等式解决实际问题
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案．
题型 10：利用基本不等式解决实际问题
10-1．（2024 高三下·湖南·阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为 1800 平方
米的矩形 ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为 2 米的人行通道，则种
植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208 平方米 B．1448 平方米 C．1568 平方米 D．1698 平方米
【答案】C
【分析】设 AB = x 米，则可表示出种植花卉区域的面积，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】设 AB = x 米, (x > 0)，
1800 7200
则种植花卉区域的面积 S = x - 4 - 2÷ = -2x - +1808．
è x x
7200
因为 x > 0，所以 2x + 2 14400 = 240，当且仅当 x = 60时，等号成立，
x
则 S -240 +1808 =1568，即当 AB = 60米， BC = 30米时，
种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是 1568 平方米,
故选：C
10-2．（2024 高三·全国·专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获
得的总利润 y (单位：万元)与机器运转时间 x (单位：年)的关系为 y = -x2 +18x - 25 x N + ，则每台机器为
该公司创造的年平均利润的最大值是 万元.
【答案】8 .
y 25
【分析】由题意可知年平均利润 =18 - x + ÷，然后利用基本不等式求其最值.x è x
x y =18 - x 25 y【详解】每台机器运转 年的年平均利润为 +
x x ÷
，而 x > 0，故 18 - 2 25 = 8，当且仅当 x = 5
è x
时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.
故答案为：8
【点睛】本题考查基本不等式的应用，较易，在应用基本不等式时注意“=”成立的条件.
10-3．（2024 高一上·江苏扬州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员
流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在
本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供 x(x 0,20 )
（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府 x （万元）补贴后，产量将增加到 t = (x + 3)（万
件）．同时波司登制衣有限公司生产 t（万件）产品需要投入成本为 (7t
81
+ + 3x) 42（万元），并以每件 (8 + )
t t
元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+ 政府专项补贴-成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益 y （万元）关于政府补贴 x （万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益 y （万元）最大？
81
【答案】(1) y = 45 - x -
x + 3
(2)6 万元
【分析】（1）依题意求解即可；
81 é 81
（2）由 y = 45 - x - = - ê x + 3 +
ù
ú + 48结合基本不等式求解即可.x + 3 x + 3
42 81 81
【详解】（1） y = 8 + ÷ × t + x -t
7t + + 3x ÷ = t + 42 - 2x - ．
è è t t
因为 t = x + 3 ，所以 y = x + 3+ 42 2x 81- - = 45 x 81- -
x + 3 x + 3
81
（2）因为 y = 45 x
81
- - = -
é
ê x + 3 +
ù
ú + 48．x + 3 x + 3
又因为 x 0,20 x 3 81，所以 + > 0, > 0，
x + 3
所以 x 3 81+ + 2 x 81+ 3 =18（当且仅当 x + 3 81= 即x = 6时取“ = ”）
x + 3 x + 3 x + 3
所以 y -18 + 48 = 30
即当 x = 6万元时， y 取最大值 30 万元．
10-4．（2024 高一下·山西太原·阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为 200 平方米的矩形泳池，其平面图
形如图所示，池深 1 米，四周的池壁造价为 400 元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为 100 元/米，泳
池底面造价为 60 元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为 x 米，写出泳池的总造价 f x ，问泳池的长
为多少米时，可使总造价 f x 最低，并求出泳池的最低造价．
【答案】 f (x) = 800
x 225+ ÷ +12000, (x (0, + ))，泳池的长设计为 15 米时，可使总造价最低，最低总造
è x
价为 36000 元．
【分析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解.
200
【详解】因为泳池的长为 x 米，则宽为 米．
x
f (x) 400 2x 2 200= 200则总造价 + ÷ +100 + 60 200(x (0, + )) ，
è x x
整理得到 f (x) = 800
225 x + ÷ +12000 1600 15 +12000 = 36000(x (0,+ ))，
è x
当且仅当 x =15时等号成立．
故泳池的长设计为 15 米时，可使总造价最低，最低总造价为 36000 元．
10-5．（2024 高一上·湖南岳阳·期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草
沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减
污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维
护．若乡财政下拨一项专款 400 百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目
五年内带来的生态收益可表示为投放资金 x （单位：百万元）的函数M x （单位：百万元）：
M x 80x= ；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金 x （单位：百万元）的函数 N x
20 + x
1
（单位：百万元）： N x = x．
4
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为 x （百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为 y （百万元），写
出 y 关于 x 的函数解析式；
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出 y 的最大值，并
求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
80x 1
【答案】(1) y = - x +100， x 0,400
20 + x 4
(2) y 的最大值为 145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为 60（百万元），340（百
万元）．
【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为 400 - x百万元，即可求出 N 400 - x ，从而求出 y 关于 x
的函数解析式；
（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为 400 - x百万元，
M x 80x N 400 x 1 400 x 100 1则 = ， - = - = - x
20 + x 4 4
y 80x 1\ = - x +100 ， x 0,400 ．
20 + x 4
y 80x 1（2）解：由（1）可得， = - x +100 =180
1 x 1600- -
20 + x 4 4 20 + x
185 1 é x 20 6400 ù 1= - ê + + ú 185 - 20 + x
6400
× =145，
4 20 + x 2 20 + x
6400
当且仅当 20 + x = ，即 x = 60时等号成立，此时 400 - x = 340．
20 + x
所以 y 的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60 （百万元），340
（百万元）．
一、单选题
a + 4
1．（2024 高二下·北京·期中）设 a > 0，则 a + 的最小值为（ ）
a
A．5 B．3 C．4 D．9
【答案】A
【分析】先将函数化简，然后利用基本不等式即可求解.
a + 4 4 4
【详解】因为 a > 0，所以 a + = a + +1 2 a × +1 = 5，
a a a
a 4当且仅当 = ，即 a = 2时取等号，
a
a + 4
所以 a + 的最小值为5，
a
故选：A.
2．（2024 高一下·河南·期中）已知正实数 a，b 满足 2a + b - 9ab = 0，则a + 2b的最小值为（ ）
1
A．3 B．1 C．9 D．
3
【答案】B
1 2
【分析】将条件 2a + b - 9ab = 0转化为 + = 9，然后利用“1 的代换”和基本不等式可得.
a b
1 2
【详解】因为 2a + b - 9ab = 0，变形得 + = 9 .
a b
(a 2b) 1 2+ + 5 2b 2a+ + 2b 2a 1
由题意 a b ÷è a b 5 + 2 4 ，当且仅当 = ，即 a = b =a 2b 1 时，等号成立．+ = = = a b 3
9 9 9
故选：B.
3．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正数 x，y 满足 x + y = xy，则 x + 2y 的最小值是（ ）
A．6 B． 2 + 3 2 C．3+2 2 D． 2+2 3
【答案】C
1 1
【分析】对 x + y = xy变形得到 + =1y x ，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为正数 x，y 满足 x + y = xy，
x + y 1 1
所以 = + =1xy y x ，
x 2y x 2y 1 1 x 2y x 2y所以 + = + + ÷ = + + 3 2 × + 3 = 2 2 + 3，
è y x y x y x
x 2y
= x 2 1, y 2 + 2当且仅当 y x ，即 = + = 时，等号成立，2
所以 x + 2y 的最小值为3+2 2
故选：C
2 1
4．（2024 高一·全国·专题练习）已知 x>0，y>0，且 ＋ y ＝1，若 x + 2y > m
2 恒成立，则实数 m 的取值范围
x
是（ ）
A．m≤－2 2 或 m≥2 2 B．m≤－4 或 m≥2
C．－2＜m＜4 D．－2 2 ＜m＜2 2
【答案】D
【分析】由基本不等式得出 x + 2y 的最小值，进而得出实数 m 的取值范围.
2 1
【详解】∵x>0，y>0 且 + =1x y ，
x 2y (x 2y) 2 1 4 4y x 4y x\ + = + + ÷ = + + 4 + 2 × = 8,
è x y x y x y
4y x
当且仅当 =x y ，即 x＝4，y＝2 时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使 x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即 8>m2，解得-2 2 < m < 2 2 .
故选：D
1
5．（2024 高三上·海南海口·阶段练习）当 x > 2时，不等式 x + a恒成立，则实数 a的取值范围是（
x 2 ）-
A． - , 2 B．[2, + ∞) C． 4, + D． - , 4
【答案】D
1
【分析】利用基本不等式可求得 x + 的最小值，由此可得 a的范围.
x - 2
1 1 1
【详解】当 x > 2时， x + = x - 2 + + 2 2 x - 2 × + 2 = 4（当且仅当 x = 3时取等号），
x - 2 x - 2 x - 2
\a 4，即 a的取值范围为 - , 4 .
故选：D.
6．（2024 高一上·北京·期末）对任意的正实数 x, y，不等式 x + 4y m xy 恒成立，则实数m 的取值范围是
（ ）
A． (0,4] B． (0, 2] C． (- , 4] D． (- , 2]
【答案】C
x + 4y x + 4y
【解析】先根据不等式 x + 4y m xy 恒成立等价于m ÷÷ ，再根据基本不等式求出xy
÷÷ ，即
è min è xy min
可求解.
【详解】解：Q x + 4y m xy ，
即m
x + 4y

xy ，
x + 4y
即m xy ÷
÷
è min
x + 4y x 4 y x 4 y
又Q = + 2 × = 4
xy y x y x
x 4 y
当且仅当“ = ”，即“ x = 2y ”时等号成立，
y x
即m 4，
故m (- , 4] .
故选：C.
7．（2024 高三上·重庆南岸·阶段练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆
十一中计划新建校园图书馆精品阅读区 A1B1C1D1，该项目由图书陈列区 ABCD（阴影部分）和四周休息区组
成．图书陈列区 ABCD的面积为1000m2 ，休息区的宽分别为 2m 和 5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅
读区 A1B1C1D1面积最小时，则图书陈列区BC 的边长为（ ）
A．20m B．50m C．10 10 m D．100m
【答案】B
【分析】设BC = xm, AB
1000 m, A B C D S (x 10)(1000则 = 可得阅读区 1 1 1 1面积 = + + 4)，展开后利用基本不等x x
式求解即可.
【详解】设BC = xm, x > 0 1000,则 AB = m,
x
A B 1000所以阅读区 1 1C1D1的面积 S = (x +10)( + 4)x
10000
=1040 + 4x +
x
1040 + 2 4x 10000× =1440.
x
当 4x
10000
= ,即 x = 50 时取等号，
x
当校园图书馆精品阅读区 A1B1C1D1面积最小时，则图书陈列区BC 的边长为50m，
故选：B.
m
8．（2024 高二下·河北·期末）“ m > 4 ”是“函数 f x = x + x > 0 的最小值大于 4”的（ ）．
x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
m
【详解】解：若m > 4 ，则 f x = x + x > 0 的最小值为
x 2 m > 2 4 = 4
；
f x x m若 = + x > 0 的最小值大于 4，则m > 0，且 2 m > 4，则m > 4 ，
x
故选：C．
4
9．（2024 高二上·江苏常州·期中）已知函数 f x = x + (x < 0) ，则下列结论正确的是（
x ）
A． f x 有最小值 4B． f x 有最大值 4 C． f x 有最小值-4 D． f x 有最大值-4
【答案】D
【解析】根据基本不等式即可求出．
【详解】解：Q x < 0，\-x > 0，
\ f x = x 4 4+ = - éê -x +
ù
x -x ú -2
4
-x × = -4 ，
-x
4
当且仅当 -x = x ，即 x = -2时取等号，-
\ f x 有最大值-4 .
故选：D．
1
10．（2024 高一上·江西·阶段练习）已知实数 x 满足0 < x < ，则 y
1
= 8x + 的最大值为（ ）
2 2x -1
A．-4 B．0 C．4 D．8
【答案】B
【分析】由已知得到0 <1- 2x <1，对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值.
1
【详解】由0 < x < 得到-1 < 2x -1 < 0，则0 <1- 2x <1，
2
y = 8x 1+ = 4(2x 1) 1 1- + + 4 = -[4(1- 2x) + ]+ 4 1 -2 4(1- 2x) × + 4 = 0，
2x -1 2x -1 1- 2x 1- 2x
1 1
当且仅当 x = 上式取等号，则 y = 8x + 的最大值为 0.
4 2x -1
故选：B.
x > a 2x 811．（2024 高三·全国·专题练习）当 时， + 的最小值为 10，则 a =（ ）
x - a
A．1 B． 2 C．2 2 D．4
【答案】A
【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.
【详解】当 x > a 时
2x 8 8 8+ = 2 x - a + + 2a 2 2 x - a + 2a = 8 + 2a ,
x - a x - a x - a
即8 + 2a =10，故 a =1 .
故选:A.
4
12．（2024·北京东城·一模）已知 x > 0，则 x - 4 + 的最小值为（
x ）
A．－2 B．0 C．1 D． 2 2
【答案】B
【分析】由基本不等式求得最小值．
4 4 4
【详解】∵ x > 0，∴ x + - 4 2 x - 4 = 0，当且仅当 x = 即 x = 2时等号成立．
x x x
故选：B．
13．（2024 高一上·全国·课后作业）已知0 < x <1，则当 x(5 - 5x)取最大值时， x 的值为（ ）
5 1 1 3
A． B． C． D．
4 2 3 4
【答案】B
【分析】由 x(5 - 5x) = 5x(1- x) 5 (
x +1- x
× )2，结合等号成立的条件，即可求解.
2
【详解】由0 < x <1，可得1- x > 0，
则 x(5 - 5x) = 5x(1
x +1- x 5 1
- x) 5 × ( )2 = ，当且仅当 = 1 ，即 x = 时取等号，
2 4 2
1
所以 x = 时， x(5 - 5x)取得最大值.
2
故选：B.
14．（2024 高三下·湖南邵阳·学业考试）已知 a > 0,b > 0， a + b = 6，则 ab的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
【答案】B
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为 a > 0，b > 0且 a + b = 6，
a + b
由基本不等式可得 ab ( )2 = 9，当且仅当 a = b = 3时，等号成立，
2
所以 ab的最大值为9 .
故选：B.
15．（2024 高一·全国·课后作业）已知 x, y R+ , x + y = 2,c = xy ，那么 c 的最大值为（ ）
1 1
A．1 B． C 2． D．
2 2 4
【答案】A
【分析】直接利用基本不等式即可得解.
2
【详解】由于 x, y R+ x + y ，所以 c = xy ÷ =1，
è 2
当且仅当 x = y =1时，等号成立，即 c 的最大值为 1，
故选：A.
a + 6b + 3
16．（2024 高二下·浙江温州·学业考试）已知正数 a，b 满足a + b = 1，则 最小值为（
ab ）
A．25 B．19 + 2 6 C．26 D．19
【答案】A
a + 6b + 3 4 9
【分析】先进行化简得 = + ，再利用乘“1”法即可得到答案.
ab b a
【详解】因为正数 a，b 满足a + b = 1，
a + 6b + 3 a + 6b + 3a + 3b 4a + 9b 4 9 9 4
所以 = = = + = + a + b
ab ab ab b a a b ֏
9b 4a 9b 4a 9b 4a
=13 + + 13 + 2 × = 25，当且仅当 = ，联立a + b = 1，
a b a b a b
a 3 2即 = ,b = 时等号成立，
5 5
故选：A.
2 1
17．（2024 高一下·河南周口·期末）已知 a > 0，b > 0， + =1，则 2 2 的最小值为（ ）
a b a + 4b
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
2 1
【分析】由题意利用“1”的妙用，可先求出a + 2b的最小值，再由 a + 4b2 a + 2b 2求出答案.
2
【详解】由 a + 2b = a 2 1 4b a 4b a+ 2b + ÷ = + + 4 2 + 4 = 8
è a b a b a b
（当且仅当 a = 4,b = 2时取等号），
2 1
又由 a + 4b2 a + 2b 2（当且仅当 a＝4，b＝2 时取等号），有 a22 + 4b
2 32，
可得 a2 + 4b2 的最小值为 32．
故选：D．
y 1
18．（2024·湖北·二模）若正数 x, y满足 x + 2y = 2，则 +x y 的最小值为（ ）
5
A． 2 +1 B． 2 2 +1 C．2 D． 2
【答案】A
【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.
【详解】因为正数 x, y满足 x + 2y = 2，
x + 2y
所以 =1.
2
y 1 y x + 2y y x y x
所以 + = + = + +1 2 × +1 = 2 +1 ,
x y x 2y x 2y x 2y
ìx2 = 2y2
当且仅当 í ，即 x = 2 2 - 2, y = 2 - 2 时，取等号，
x + 2y = 2
y 1
当 x = 2 2 - 2, y = 2 - 2 时， +x y 取得的最小值为 2 +1.
故选：A.
a + b 2 1 1
19．（2024 高一·全国·课后作业）已知 a、b 为正实数， A = , = + ,G = ab ，则（
2 H a b ）
A．G H A B．H G A
C．G A H D．H A G
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算出H G A .
【详解】因为 a、b 为正实数，
A a + b所以 = ab = G，当且仅当 a = b时，等号成立，
2
2 1 1 1 1 2
= + 2 × = ，所以H ab ，当且仅当 a = b时，等号成立，
H a b a b ab
综上：H G A .
故选：B
20．（湖南省张家界市民族中学 2023-2024 学年高一上学期第一次月考数学试题）设0 < a < b，则下列不等
式成立的是（ ）
a + b
A． ab < < a
a + b
< b B． a < < ab < b
2 2
ab a a + b b a ab a + bC． < < < D． < < < b
2 2
【答案】D
【分析】根据基本不等式的性质，结合作差比较法逐一判断即可.
a + b
【详解】因为0 < a < b，所以 ab < ；
2
a + b a b - a因为 - = > 0,
a + b b a - b- = < 0，
2 2 2 2
a + b
所以 > a,
a + b b a a + b< ，即 < < b，
2 2 2
因为0 < a < b，
所以 ab - a = ab - a2 = a b - a > 0，即 ab > a，
因此 a < ab
a + b
< < b，
2
故选：D
21．（河南省 TOP 二十名校 2023-2024 学年高三上学期调研模拟卷二文科数学试题）若0 < a < b，则下列不
等式成立的是（ ）
A． ab < a
a + b
< < b B． ab
a + b
< a < b
2 2
a + b
C． a < ab < < b a
a + b
D． < ab < b
2 2
【答案】C
a + b
【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出 ab < ，再结合0 < a < b可得出结果.
2
a + b
【详解】由已知0 < a < b，利用基本不等式得出 ab < ，
2
因为0 < a < b，则 a2 < ab < b2 ， a + b < 2b，
a + b
所以 a < ab < b ， < b，2
a ab a + b∴ < < < b .
2
故选：C.
22．（2024 高一·全国·单元测试）下列不等式恒成立的是（ ）
A． a + b -2 ab ； B． a + b 2 ab ；
C． a2 + b2 2ab； D． a2 + b2 -2ab ．
【答案】D
【分析】对于 A、B、C：取特殊值否定结论；对于 D：利用基本不等式直接证明.
【详解】对于 A：取 a = -2 ，b = -1，则 a + b = -3，-2 ab = -2 2 ，此时 a + b < -2 ab .
故 A 错误；
对于 B：取 a = 2，b =1，则 a + b = 3， 2 ab = 2 2 ，此时 a + b > 2 ab .
故 B 错误；
对于 C：取 a = 2，b =1，则 a2 + b2 = 5， 2ab = 4，此时 a2 + b2 > 2ab .
故 C 错误；
2
对于 D：因为 a + b = a2 + 2ab + b2 0 ，所以 a2 + b2 -2ab .
故 D 正确.
故选：D
二、多选题
23．（2024 高一上·广东珠海·期中）以下结论正确的是（ ）
A y (x +1)
2
．函数 = 的最小值是 4
x
B．若 a,b R
b a
且 ab > 0，则 + 2
a b
1
C．若 x R ，则 x2 + 3+ 2 的最小值为 3x + 2
1
D．函数 y = 2 + x + (x < 0)的最大值为 0
x
【答案】BD
【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
2
【详解】A.对于函数 y (x +1)= ，当 x < 0 时， y < 0，所以 A 选项错误.
x
B.由于 ab
b
> 0，所以 > 0,
a
> 0，
a b
b a b a b a
所以 + 2 × = 2 = ,a2 = b2，当且仅当 时等号成立，所以 B 选项正确.
a b a b a b
C. x2 3 1 1+ + 2 = x
2 + 2 + 2 +1 2 x2 1+ 2 × 2 +1 = 3，x + 2 x + 2 x + 2
x2 1但 + 2 = 2 无解，所以等号不成立，所以 C 选项错误.x + 2
1 1 1
D. é ù由于 x < 0 ，所以 y = 2 + x + = 2 -
x ê
-x + ú 2 - 2 -x × = 0， -x -x
1
当且仅当-x = , x = -1时等号成立，所以 D 选项正确.
-x
故选：BD
24．（江苏省南京师范大学附属中学 2023-2024 学年高一上学期期中数学试题）设 a,b为正实数，ab = 4，则
下列不等式中对一切满足条件的 a,b恒成立的是（ ）
1 1
A． a + b 4 B． a2 + b2 8 C． + 1 D．a b a + b 2 2
【答案】AC
【分析】根据特殊值以及基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A 选项，由基本不等式得 a + b 2 ab = 4，当且仅当 a = b = 2时等号成立，A 选项正确.
B 选项， a =1,b = 4时， ab = 4，但 a2 + b2 =17 > 8，B 选项错误.
C 1 1 1 1
1 1
选项，由基本不等式得 + 2 × =1，，当且仅当 = ,a = b = 2时等号成立，C 选项正确.
a b a b a b
D 选项， a =1,b = 4时， ab = 4，但 a + b = 3 > 2 2 ，D 选项错误.
故选：AC
25．（2024 高三·山东·开学考试）若 a > 0,b > 0．且 a + b = 4 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
0 1 1A． < B．
ab 4 ab < 2
1 1 1 1
C． + 1 D．
a b a2

+ b2 8
【答案】CD
【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项.
a + b 2 2ab a + b
2
【详解】 ÷ ，当且仅当 a = b = 2时等号成立，
è 2 2
2 2 2 2
则 ab 4 4 4 a + b ÷ = 或 ÷ ，
è 2 è 2 2
1 1
则 , ab 2, a2 + b2
1 1
8, 2 2 ，ab 4 a + b 8
即 AB 错误，D 正确.
1 1 a + b 4 1
对于 C 选项， + = = 4 =1，C 选项正确.
a b ab ab 4
故选：CD
26．（2024 高一上·河北邯郸·期末）若 a > 0,b > 0，且 a b，则（ ）
A a + b a
2 + b2 B a + b a
2 + b2
． > ． <
2 2 2 2
ab a + b ab a + bC． > D． <
2 2
【答案】BD
【分析】根据作差法结合条件可判断 AB，利用基本不等式可判断 CD.
【详解】Qa > 0,b > 0，且 a b，
a2 + b2 (a + b)2 (a - b)2
- = > 0 a + b a
2 + b2
所以 ，即 < ，故 A 错误，B 正确；
2 4 4 2 2
a + b
所以 a + b > 2 ab ，即 ab < ，故 C 错误，D 正确.2
故选：BD.
27．（2024·河北唐山·模拟预测）已知b < a < 0，则下列不等式正确的是（ ）
1 1
A．b2 > ab B． a + < b +b a
b a
C． + > 2 D． a2
1 b2 1+ < +
a b a b
【答案】ACD
【分析】作差法比较 A、B、D 的大小，利用基本不等式判断 C 即可.
【详解】b2 - ab = b(b - a) > 0，则b2 > ab ，A 对；
a 1+ - (b 1) (a b) a - b+ = - + = (a - b)(1 1+ ) > 0 1，而 a - b > 0,1+ > 0，
b a ab ab ab
1 1 1
所以 a + - (b
1
+ ) > 0，即 a + > b + Bb a ， 错；b a
b a b a b , a 0 b a+ 2 × = 2且 > ，仅当 a = b等号成立，而b < a < 0，故 + > 2，C 对；
a b a b a b a b
a2 1 1 b - a 1 1+ - (b2 + ) = a2 - b2 + = (a - b)(a + b - )，而 a - b > 0,a + b - < 0a b ab ab ab ，
a2 1 (b2 1+ - + ) < 0 a2 1+ < b2 1所以 + D .a b ，即 a b ， 对
故选：ACD
三、填空题
28．（2024 高三·全国·专题练习）已知0 < < 2，则 x 1- 2x2 的最大值为 .2
2
【答案】
4
2
【分析】变形 x 1- 2x2 = × 2x2 1- 2x2 ，利用基本不等式求解.2
2
【详解】Q0 < x < ,\ x2 > 0,1- 2x2 > 0，
2
2 2
\ x 1- 2x2 2= × 2x2 1 2x2 2 2x2 1 2x2 2 2x +1- 2x 2- = × - × = ，2 2 2 2 4
1
当且仅当 2x2 =1- 2x2 ，即 x = 时等号成立.2
2
故答案为： .
4
29．（2024 高三·全国·专题练习）已知m, n R+ ，若m n - 2 = 9 ，则m + n的最小值为
【答案】8
9
【分析】根据题意，由条件可得 n = + 2，然后结合基本不等式即可得到结果.
m
9
【详解】因为m, n R+ ，且m n - 2 = 9 ，所以 n = + 2，m
9
则m + n = m 9 2 9+ + 2 m × + 2 = 8，当且仅当m = ，即m = 3时等号成立，
m m m
则m + n的最小值为 8．
故答案为:8
x + 5 x + 230 ．（2024·天津河西·模拟预测）函数 y = (x > -1)的最小值为 .
x +1
【答案】9
【分析】由题意得 x +1 > 0，原函数表达式可化为关于 x +1的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式
求最值的问题，即可得答案.
【详解】因为 x > -1，则 x +1 > 0，
x2y + 7x +10 (x +1)
2 + 5(x +1) + 4
所以 = =
x +1 x +1
= (x 4+1) + + 5 2 (x +1) 4× + 5 = 9 ，
x +1 x +1
4
当且仅当 x +1 = 即 x =1时等号成立，
x +1
∴已知函数的最小值为 9.
故答案为：9.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行
配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题.
1
31．（2024 高三·全国·课后作业）设 x -2,0 ，则 x + 的取值范围是 ．
x
【答案】 - , -2
1
【分析】根据对勾函数的单调性，分别求得 x [-2,-1]和 x -2,0 时 x + 的取值范围，即可得答案.
x
【详解】设函数 f (x) = x
1
+ ，则当 x [-2,-1]时， f (x)
1
= x + 单调递增，此时 f (x) [
5
- ,-2]；
x x 2
当 x -1,0 时， f (x) = x 1+ 单调递减，此时 f x - ,-2 ，
x
故 x -2,0 ，则 x 1+ 的取值范围是 - , -2 ，
x
故答案为： - , -2
2
32 2024 · · f x x - 2x + 4．（ 高三 全国 专题练习）函数 = x > 2 取得的最小值时， x 的值为 ．
x - 2
【答案】4
x2 - 2x + 4 4
【分析】将函数 f x = 化成 x - 2 + + 2的形式，然后用均值不等式可求出答案.
x - 2 x - 2
f x x 4 x 2 4 2 2 4 2 6 4【详解】 = + = - + + + = .当且仅当 x - 2 = ，即 x = 4时，
x - 2 x - 2 x - 2
等号成立.故 f x 的最小值为 6.
故答案为：4
9
33．（2024·陕西榆林·三模）若不等式 ax2 - 6x + 3 > 0对 x R 恒成立，则 a 的取值范围是 ，a + a -1
的最小值为 ．
【答案】 (3, + ) 7
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得 a > 3，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】当 a = 0时，不等式-6x + 3 > 0对 x R 不恒成立，不符合题意（舍去）；
当 a 0时，要使得 ax2 - 6x + 3 > 0对 x R 恒成立，
ìa > 0
则满足 í ，解得 a > 3，所以实数 a的取值范围为 (3, + ) .
Δ = 36 -12a < 0
9 9
因为 a > 3，可得 a - 3 > 0 ，所以 a + = a -1+ +1 2 9 +1 = 7 ，
a -1 a -1
当且仅当 a = 4时，等号成立，所以 a
9
+ 的最小值为7 ．
a -1
故答案为： (3, + )；7 .
2
34．（2024 · · x + x + 3高三 全国 专题练习）函数 y = x > 2 的最小值为 ．
x - 2
【答案】11
9
【分析】将函数化为 y = x - 2 + + 5，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
x - 2
y (x - 2)
2 + 5(x - 2) + 9 9
【详解】由 = = x - 2 + + 5，又 x - 2 > 0，
x - 2 x - 2
9
所以 y 2 (x 9- 2) × + 5 =11，当且仅当 x - 2 = ，即 x = 5时等号成立，
x - 2 x - 2
所以原函数的最小值为11.
故答案为：11
2x
35．（2024 高一上·上海浦东新·期中）函数 y = 2 的值域是 ．x - x + 4
é 2 2ù
【答案】 ê- , 5 3ú
【分析】分 x = 0, x > 0, x < 0三种情况讨论，运用基本不等式求值域.
【详解】当 x = 0时， y = 0
y 2xx 0 = 2 =
2
当 ， x - x + 4 x 4-1+ .
x
4
若 x > 0 x 4 4时， + 2 x × = 4，当且仅当 x = ，即 x = 2时等号成立，此时
x x x
y 2 2 2= = 2
x 1 4- + 4 -1 3 ，即0 < y .
x 3
x 0 x 4 é x 4 ù 4 4若 < 时， + = - - + - ê ÷ú -2 -x ×
- ÷ = -4，当且仅当-x = - ，即 x = -2时等号成立，此时x è x è x x
y 2 2 2= 4 = - 2x -1+ -4 -1 5 ，即- y < 0 .
x 5
é 2 2ù
综上所述，函数的值域为 - , .
ê 5 3 ú
é 2 , 2ù故答案为： ê- 5 3 ú
36．（2024 高二下·广东广州·期中）已知 x 4， y 4，且 x + 4y - xy = 0 ，若不等式 a x + y 恒成立，则 a的
最大值为 ．
28 1
【答案】 / 9
3 3
【分析】根据 x + 4y - xy = 0 对 x + y 进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解.
【详解】当 x = 4时， x + 4y - xy = 4 + 4y - 4y = 0不成立，所以 x 4 .
由 x + 4y - xy = 0 得 y
x
= .
x - 4
x
因为 x 4， y 4，所以 4 4 x
16
，解得 < ，即 0
4
< x - 4 .
x - 4 3 3
a x y x x x - 4 + 4 4 4所以 + = + = x + = x +1+ = x - 4 + + 5，
x - 4 x - 4 x - 4 x - 4
4 4
令 t = x - 4，则0 < t ，于是 a t + + 5 .
3 t
令 f (t) = t
4 4
+ + 5，0 < t ，则 a f (t) .
t 3 min
4 4
由对勾函数的图象知， f (t)
0, ù 4 28在 ú 上单调递减，故 f (t)3 min
= f 3 ÷
= + 3 + 5 = .
è è 3 3
a 28 28所以 ，即 a的最大值为 .
3 3
28
故答案为： .
3
37．（2024 高一·全国·课后作业）若0 < a <1，0 < b <1， a b，则 a + b ， 2 ab ，2ab， a2 + b2 中最大的一
个是 ．
【答案】 a + b / b + a
【分析】确定 a + b > 2 ab ， 2 ab > 2ab ， a + b > a2 + b2 ，得到答案.
【详解】0 < a <1，0 < b <1， a b，则 a + b > 2 ab ， 2 ab > 2ab ， a + b > a2 + b2 ，
综上所述：最大的一个是 a + b .
故答案为： a + b
四、解答题
4
38．（2024 高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数 y = x + x >1 的最小值及此时 x 的值；
x -1
2 y x
2 + 5x +10
（ ）已知函数 = ， x -2, + ，求此函数的最小值及此时 x 的值.
x + 2
【答案】（1）函数 y 的最小值为 5，此时 x = 3；（2）函数 y 的最小值为 5，此时 x = 0 .
4
【解析】（1）整理 y = x + = x -1
4
+ +1，利用基本不等式求解即可；（2）令 t = x + 2 t > 0 ，将 x = t - 2
x -1 x -1
4
代入整理得 y = t + +1，利用基本不等式求解即可；
t
【详解】（1）∵ x >1，
∴ y 4= x + = x 4 4-1+ +1 2 x -1 × +1 = 4 +1 = 5，
x -1 x -1 x -1
4
当且仅当 x -1 = 即 x = 3时，等号成立.
x -1
故函数 y 的最小值为 5，此时 x = 3；
（2）令 t = x + 2 t > 0 ，
将 x = t - 2代入得：
t - 2 2 + 5 t - 2y +10 4= = t + +1，
t t
∵ t > 0，
∴ y t 4 4= + +1 2 t × +1 = 4 +1 = 5，
t t
4
当且仅当 t = ，
t
4
即 x + 2 = ，
x + 2
即 x = 0时，等号成立.
故函数 y 的最小值为 5，此时 x = 0 .
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.
39．（2024 高三上·甘肃兰州·期中）设 a，b ， c均为正数，且 a + b + c =1，证明：
(1) a2 + b2
1
+ c2 ；
3
2 2 2
(2) a b c+ + 1.
b c a
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由 a + b + c =1，则 a + b + c 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc =1，根据 2ab a2 + b2 ，
2ac a2 + c2 ， 2bc b2 + c2 ，即可得证；
2 2 2
（2
a
）根据 + b 2a b， + c 2c c， + a 2c ，即可得证.
b c a
2
【详解】（1）由 a + b + c =1，得 a + b + c = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc =1，
又由基本不等式可知当 a，b ， c均为正数时， 2ab a2 + b2 ， 2ac a2 + c2 ， 2bc b2 + c2 ，
1
当且仅当 a = b = c = 时，上述不等式等号均成立，
3
所以 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 3a2 + 3b2 + 3c2 ，
即3 a2 + b2 + c2 1，
2
所以 a + b2 c2
1 1
+ ，当且仅当 a = b = c = 时等号成立；
3 3
（2）因为 a，b ， c均为正数，
a2 b2 2 1
则 + b 2a ， + c 2c c， + a 2c ，当且仅当 a = b = c = 时，不等式等号均成立，
b c a 3
a2 b2 c2
则 + + + b + c + a 2a + 2b + 2c ，
b c a
a2 b2 c2
即 + + a + b + c =1，当且仅当 a
1
= b = c = 时等号成立.
b c a 3
a2 b2 c2
所以 + + 1.
b c a

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