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2.1 等式性质与不等式性质 5 题型分类
一、等式的基本性质
(1)如果 a＝b，那么 b＝a.
(2)如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.
(3)如果 a＝b，那么 a±c＝b±c.
(4)如果 a＝b，那么 ac＝bc
a b
(5)如果 a＝b，c≠0，那么 ＝ .
c c
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
a > bü
ac>bc
c > 0
4 可乘性 c 的符号
a > bü
acc < 0
a > bü
5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向c > d
a > b > 0ü
6 同向同正可乘性
c > d > 0
ac>bd 同向

7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
【思考 1】若 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d 成立吗？a－c>b－d 呢？
a＋c>b＋d 成立，a－c>b－d 不一定成立，但 a－d>b－c 成立.
【思考 2】若 a>b，c>d，那么 ac>bd 成立吗？
不一定，但当 a>b>0，c>d>0 时，一定成立.
（一）
用不等式（组）表示不等关系
(1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)
表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等
关系。思维要严密、规范.
(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换
大于，高于,超 小于，低于，少 大于等于，至少， 小于等于，至多，
文字语言
过 于 不低于 不超过
符号语言 > < ≥ ≤
(3)用不等式(组)表示不等关系的步骤
①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等.
②适当的设未知数表示变量.
③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，
如由变量的实际意义限制的范围.
题型 1：用不等式（组）表示不等关系
1-1．（2024 高一上·河北邢台·阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒 0.5 厘米，人跑
开的速度为每秒 4 米，距离爆破点 150 米以外（含 150 米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安
全区，导火索的长度 x （单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
4 x x x xA． <150 B． 4 150 C． 4 150 D． 4 >150
0.5 0.5 0.5 0.5
【答案】B
【分析】安全区距离爆破点要大于等于 150 米，结合题意可构建不等式.
x
【详解】由题意知导火索的长度 x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为 秒，
0.5
4 x 4 x人在此时间内跑的路程为 ÷米，由题意可得 150 .
è 0.5 0.5
故选：B.
1-2．（2024 高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入 x 不高于 2 000 元可表示为“x<2 000”
B．某变量 y 不超过 a 可表示为“y≤a”
C．某变量 x 至少为 a 可表示为“x>a”
D．小明的身高 x cm，小华的身高 y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
【答案】B
【分析】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案.
【详解】对于 A，某人收入 x 不高于 2000 元可表示为 x 2000，A 错误；
对于 B，变量 y 不超过 a 可表示为 y a ，B 正确；
对于 C，变量 x 至少为 a 可表示为 x a，C 错误；
对于 D，小明身高 xcm，小华身高 ycm，小明比小华矮表示为 x < y ，D 错误.
故选：B.
1-3．（2024 高一上·福建泉州·阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，
图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母 a,b a b 的不
等式表示出来（ ）
1
A a2 + b2． > ab 1 a2 1 1B． + b2 < ab C 2 2． a + b ab D 2 2． a + b ab2 2 2 2
【答案】A
【分析】
利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．
【详解】
1 1
解：图（1 2 2）是由两个等腰直角三角形构成的，面积 S1 = a + b ．2 2
图（2）是一个矩形，面积 S2 = ab．
1 (a2可得： + b2 ) > ab(a b)2 ．
故选：A
1-4．（2024 高一·全国·课后作业）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力
1
会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的
k k N
* ，已知一个铁钉受击 3 次后全部进
4
入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ，请从这个实例中提炼出一个不等式组： ．
7
ì4 4
+ <1, 7 7k
【答案】 í
4 4 4+ + 1
7 7k 7k 2
【分析】由第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板可得．
【详解】解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以
ì4 4+ <1,
7 7k
í
4 4 4+ + 1.
7 7k 7k 2
ì4 4
+ <1, 7 7k
故答案为： í
4 4 4+ + 1.
7 7k 7k 2
1-5．（2024·河北衡水·模拟预测）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，
买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱 576，买竹子 78 根，拟分大 小两种竹子为单
位进行计算，每根大竹子比小竹子贵 1 钱，问买大 小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个
问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A．6 钱 B．7 钱 C．8 钱 D．9 钱
【答案】C
【分析】根据题意设买大竹子 x ，每根单价为m ，可得576 = mx + 78 - x m -1 ，由0 x 78，解不等式
组即可求解.
【详解】依题意可设买大竹子 x ，每根单价为m ，
购买小竹子78 - x，每根单价为 1，
所以576 = mx + 78 - x m -1 ，
即78m + x = 654，即 x = 6 109 -13m ，
因为0 x 78，
ì 109
ì109 -13m 0 m
13 96 109所以 í m 6 109 -13m 78
í
96
，
m 13 13
13
根据选项m = 8， x = 30，
所以买大竹子30根，每根8元.
故选：C
【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.
1-6．（2024 高一上·四川眉山·阶段练习）将一根长为5m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为 x m，若两
段绳子长度之差不小于1m，则 x 所满足的不等关系为（ ）
ì2x - 5 > 0
A． í B． 2x - 5 1或5 - 2x 1
0 < x < 5
ì5 - 2x 1 ì 2x - 5 1
C． í
0 < x 5
D．
< í 0 < x < 5
【答案】D
【分析】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案.
【详解】由题意,可知另一段绳子的长度为 5 - x m .
ì x - 5 - x 1
因为两段绳子长度之差不小于1m，所以 í ，
0 < x < 5
ì 2x - 5 1
化简得： í .
0 < x < 5
故选：D
（二）
利用不等式的性质判断命题的真假
(1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以
通过举反例的方法.
(2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧
①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质．
②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原
则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
题型 2：利用不等式的性质判断命题的真假
2-1．（2024 高一下·安徽宿州·期中）下列命题中正确的是（ ）
a b
A．若 a > b，则 ac2 > bc2 B．若 a > b， c < d ，则 >
c d
1 1
C．若 a > b， c > d ，则 a - c > b - d D．若 ab > 0， a > b，则 <
a b
【答案】D
【分析】举反例排除 ABC；利用作差法即可判断 D.
【详解】A 选项，当 c = 0时， ac2 = bc2 ，故 A 错误；
a 1 b a b
B 选项，当 a =1，b = 0， c = -2， d = -1时， = - , = 0， < ，故 B 错误；
c 2 d c d
C 选项，当 a =1，b = 0， c =1， d = 0 时， a - c = b - d ，故 C 错误；
1 1 b - a 1 1
D 选项，若 ab > 0， a > b，则 - = < 0，即 < ，故 D 正确．
a b ab a b
故选：D.
71．（2024·山东·二模）若 a < b < 0，则下列不等式成立的是（ ）
1 1 1 1
A． a2 < b2 B． a + b < b + c C． < D． <
a b a b
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于 A, 由于 a < b < 0， a2 > b2 ,故 A 错误，
对于 B，由于a,c关系不确定，故 a + b < b + c不一定成立，故 B 错误，
1 1
对于 C，由于 a < b < 0，所以 > ，C 错误，
a b
1 1
对于 D，由于 a < b < 0，则 a > b > 0，故 故选；D
2-2．（2024 高一上·山西朔州·阶段练习）如果 a < b < 0， c < 0，那么下列不等式正确的是（ ）
1 1
A． -a < -b B． <
a b
1 1 c cC． < 2 2 D． >a b
【答案】C
【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解.
【详解】如果 a < b < 0， c < 0，
对于 A，-a > -b > 0， -a > -b ，故 A 错误；
1 1 b - a 1 1
对于 B， - = > 0 ，即 > ，故 B 错误；
a b ab a b
C 1 1 b
2 - a2
- = < 0 1 1对于 ， 2 2 2 2 ，即 2 < 2，故 Ca b a b
正确；
D c c
c b - a c c
对于 ， - = < 0，即 < ，故 D 错误.
a b ab a b
故选：C.
2-3．（25-26 高一上·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（ ）
1 1 a b
A．若 a2 > b2 , ab > 0，则 < B．若 2 ，则 a < b
C．若b > a > 0, m > 0
a + m a
，则 > D．若 a > b,c < d ，则 a - c > b - d
b + m b
【答案】A
【分析】举出反例即可判断 A；根据不等式的性质即可判断 BD；利用作差法即可判断 C.
【详解】对于 A，取 a = -3,b = -2
1 1
，则 > ，故 A 错误；
a b
B c2
a b
对于 ，由 > 0, 2 < 2 ，得 a < b ，故 B 正确；c c
a + m a ab + bm - ab - am m b - a
对于 C， - = =b + m b b b + m b b ，+ m
m b - a
由b > a > 0, m > 0 > 0
a + m a
，得 b b m ，所以 > ，故 C 正确；+ b + m b
对于 D，由 c < d ，得-c > -d ，又 a > b，所以 a - c > b - d ，故 D 正确．
故选：A．
2-4．（2024 高二下·北京·期中）若 a，b ， c R 且 a > b > c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a - b > b - c B．a + b > 2c C． ac > bc D． a2 > b2 > c2
【答案】B
【分析】运用不等式的性质及特值法求解.
【详解】对于 A，令，所以 a - b =1,b - c =1，所以 A 不正确；
对于 B，因为 a > b > c，所以 a > c , b > c ，所以由不等式的可加性知：a + b > 2c，所以 B 正确；
对于 C，令 a = 2,b =1,c = 0 ，所以 ac = bc = 0，所以 C 不正确；
对于 D，令 a =1,b = 0,c = -1，所以 a2 =1,b2 = 0，c2 =1，所以 D 不正确.
故选：B.
2-5．（2024 高一下·江苏扬州·开学考试）对于实数 a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若 a > b，则 ac2 > bc2
B．若 a > b，则 a2 > b2
C．若 a > b，则 a | a |> b | b |
b c
D．若 a > b > c > 0，则 < ．
a - b a - c
【答案】C
【分析】ABD 选项，由做差法可判断大小；C 选项，分 a > b > 0, a > 0 > b, 0 > a > b三种情况讨论即
可判断大小.
2 2
【详解】A 选项， ac - bc = a - b c2 0，故 A 错误；
B 2 2选项， a - b = a - b a + b ，因不清楚 a + b 的正负情况，故 B 错误；
C 选项，当 a > b > 0时， a | a | -b | b |= a2 - b2 = a - b a + b > 0；
当a > 0 > b时， a | a | -b | b |= a2 + b2 > 0，
当0 > a > b 时， a | a | -b | b |= -a2 + b2 = b - a a + b > 0，
综上 a | a |> b | b |，故 C 正确；
b c a b - c
D 选项， - = > 0，故 D 错误.
a - b a - c a - b a - c
故选：C
（三）
比较两个实数的大小
作差法 作商法 平方法
a
a>0，b>0，则 >1 a
a－b>0 a>b； b a<0，b<0，则 >1 aa b a>b；依据 － ＝0 a＝b； b a2>b2，且 a>0，b>0 a>b
a b<0 ab
b b b b
a题型 3：数（式）比较大小
3-1．（2024 高二下·全国·专题练习）已知 c＞1，且 x＝ c+1－ c ，y＝ c － c -1 ，则 x，y 之间的大小
关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y 的关系随 c 而定
【答案】C
x
【分析】应用作商法比较 ,1y 的大小关系即可.
x y 0 x c +1 - c c + c -1【详解】由题设，易知 ， ＞ ，又 = = <1，
y c - c -1 c +1 + c
∴x＜y.
故选：C.
3-2．（2024 高一上·山东泰安·阶段练习）设M = 2a a - 2 + 7 ， N = a - 2 a - 3 ，则有（ ）
A． M > N B．M N
C．M < N D．M N
【答案】A
【分析】根据作差法判断两式大小.
2
【详解】M - N = 2a2 - 4a + 7 - a2 - 5a + 6 = a2 + a +1 1 3= a + ÷ + > 0，∴ M > N .
è 2 4
故选：A.
3-3．（2024 高一·江苏·假期作业）已知a 1，试比较M = a +1 - a 和 N = a - a -1的大小.
【答案】M < N
【分析】方法 1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法 2：先计算
1
= a +1 + a , 1 = a + a -1 1 1，从而可得 > > 0 ，进而可求解.
M N M N
【详解】（方法 1）因为a 1，所以M = a +1 - a > 0, N = a - a -1 > 0 .
M a +1 - a a + a -1
所以 = = .
N a - a -1 a +1 + a
M
因为 a +1 + a > a + a -1 > 0 ，所以 <1，即M < N ；N
（方法 2）所以M = a +1 - a > 0, N = a - a -1 > 0，
1 1
又 = = a +1 + a ,
1 1
= = a + a -1
M ，a +1 - a N a - a -1
1 1
所以 > > 0 , 所以M < N .
M N
2 2 a - b
3-4．（2024 · a - b高一下 黑龙江鹤岗·期末）设 a > b > 0，比较 与 的大小
a2 + b2 a + b
a2 - b2 a - b
【答案】
a2
>
+ b2 a + b
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与 1 进行比较即可.
【详解】Qa > b > 0 a + b > 0,a - b > 0，
a2 - b2 a + b a - b
\ 2 2 = 2 2 > 0,
a - b
> 0，
a + b a + b a + b
a2 - b2
a2 + b2 (a + b)
2
1 2ab\ a b = = + >1- ，a2 + b2 a2 + b2
a + b
a2 - b2 a - b
\ 2 > .a + b2 a + b
3-5．（2024 高三·全国·专题练习）设 t = a + 2b ， s = a + b2 +1，则 s 与 t 的大小关系是 .
【答案】 s t
【分析】作差后变形，判断符号即可得解.
【详解】Q s - t = a + b2 +1- (a + 2b) = b2 - 2b +1 = (b -1)2 0 ,
\s t .
故答案为： s t .
a - b a
3-6．（2024 高一上·广东清远·期末）“ a > c > b > 0 ”是“ > ”的（ ）
c - b c
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】做差可判断充分性，取 a > c > b > 0可判断必要性可得答案.
a - b a c a - b - a c - b b a - c
【详解】 - = =c - b c c c b c c b ，- -
a - b a b a - c
当 a > c > b > 0时， a - c > 0,c - b > 0，所以 - = > 0c - b c c c ，- b
a - b a
可得 > ，所以充分性成立；
c - b c
a - b a b a - c a - b a
但当a > 0 > c > b 时， - = > 0 >c - b c c c - b 即 也成立，c - b c
所以必要性不成立．
因此“ a
a - b a
> c > b > 0 ”是“ > ”的充分不必要条件．
c - b c
故选：B.
（四）
利用不等式的性质证明不等式
利用不等式的性质证明不等式应注意的事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不
等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更
不能随意构造性质与法则．
题型 4：利用不等式的性质证明不等式
1 1 1
4-1．（2024 高一·全国·课后作业）设 a，b ， c R ， a + b + c = 0 ， abc < 0，证明： + + > 0．
a b c
【答案】证明见解析
1 1 1
【分析】根据题意证明 ab + bc + ca < 0，进而通分 + + ，结合已知条件即可证明.
a b c
【详解】证明：因为 a + b + c = 0 ，所以 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0 ．
又 abc 0，所以 a2 + b2 + c2 > 0，
所以 ab + bc + ca < 0．
1 1 1 ab + bc + ca
因为 + + = ， abc < 0， ab + bc + ca < 0，
a b c abc
1 1 1
所以 + + > 0．
a b c
a a
4-2．（2024 高一上·河南·阶段练习）（1）已知a < b < c ，且 a + b + c = 0 ，证明： < ．
a - c b - c
（2）证明： a - a - 2 < a -1 - a - 3 ． (a 3)
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明 a + a - 3 < a -1 + a - 2 ，对不等式两边同时平方后只需证明 a a - 3 < a -1 a - 2 ，
再平方即可证明.
【详解】证明：（1）由a < b < c ，且 a + b + c = 0 ，
所以 a<0，且 a - c < b - c < 0,
a - c b - c
所以 (a - c)(b - c) > 0，所以 < a - c b - c a - c b - c ，
1 < 1 a即 ；所以 >
a a
，即 <
a
．
b - c b - c a - c a - c b - c
（2）要证 a - a - 2 < a -1 - a - 3 ， (a 3)
只需证 a + a - 3 < a -1 + a - 2 ，
即证 a + (a - 3) + 2 a(a - 3) < (a -1) + (a - 2) + 2 (a -1)(a - 2) ；
即证 a a - 3 < a -1 a - 2 ，
即证 a(a - 3) < (a -1)(a - 2)；即证 0 < 2 ，显然成立；
所以 a - a - 2 < a -1 - a - 3 ．
4-3．（2024 高一上·内蒙古呼和浩特·期中）证明不等式．
(1)bc - ad 0
a + b c + d
，bd＞0，求证： ；
b d
b b c
(2)已知 a＞b＞c＞0，求证： > > ．
a - b a - c a - c
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；
b b b c
（2）先用作差法证明 > ，然后根据不等式的性质证明 > 即可得到.
a - b a - c a - c a - c
a + b c + d a + b d - b c + d1 ad - bc【详解】（ ）证明： - = = ，
b d bd bd
因为，bc - ad 0，所以， ad - bc 0，
ad - bc
又 bd＞0，所以， 0，
bd
a + b c + d
即 .
b d
（2）证明：因为 a＞b＞c＞0，
所以有，-b < -c ，0 < a - b < a - c，b - c > 0，
b b b a - c - b a - b b b - c
则， - = = > 0a - b a - c a - c a - b a ，- c a - b
b b
即有， > 成立；
a - b a - c
1
因为， a - c > 0，所以， > 0，
a - c
b c
又b > c，所以， > 成立.
a - c a - c
b b c
所以，有 > > .
a - b a - c a - c
（五）
利用不等式的性质求参数范围
(1)利用不等式的性质求取值范围的策略
①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
②同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，
就有可能扩大其取值范围．
注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
(2)利用不等式性质求范围的方法:
①借助性质，转化为同向不等式相加进行解答;
②所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件;
③结合不等式的传递性进行求解.
(3)求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示
所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去
求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围.
题型 5：利用不等式的性质求参数范围
5-1．（2024 高一·全国·专题练习）已知0 a - b 1,2 a + b 4，则 4a - 2b 的取值范围是（ ）
A．1 4a - 2b 5 B． 2 4a - 2b 7
C．1 4a - 2b 6 D．0 4a - 2b 9
【答案】B
【分析】用含 a - b,a + b 的代数式表示 4a - 2b ，结合已知利用不等式的性质即可求得答案.
【详解】设 4a - 2b = m a - b + n a + b = m + n a - m - n b ，
ìm + n = 4 ìm = 3
所以 í ，解得 í
m - n = 2 n =1
，
所以 4a - 2b = 3 a - b + a + b ，
又 a - b 0,1 , a + b 2,4 ，
所以3 a - b 0,3 , 4a - 2b 2,7 ，故 A，C，D 错误，
故选：B.
5-2．（2024 高三·全国·对口高考）已知-1 a + b 1,-1 a - b 1，求 2a + 3b的取值范围 ．
【答案】[-3,3]
【分析】利用待定系数法设 2a + 3b = l(a + b) + m(a - b) ，得到方程组，解出l, m ，再根据不等式基本性质即
可得到答案.
ìl 5= ,
2a 3b (a b) (a b) ì
l + m = 2,
+ = l + + m - , 2【详解】设 则 í
l - m = 3,
解得 í
m 1= - .
2
故 2a
5
+ 3b = (a + b) 1- (a - b) ，
2 2
5 5
由-1 a + b 1 ,故- (a + b)
5
，
2 2 2
1 1 1
由-1 a - b 1 ,故- - (a - b) ，
2 2 2
所以 2a + 3b [-3,3] .
故答案为：[-3,3] .
a
5-3．（2024 高三·全国·专题练习）已知2 < < 3， 2 < < 1，分别求 a + b ，2a - b ，ab， 的取值范围．
b
【答案】详见解析.
【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.
【详解】因为2 < < 3， 2 < < 1，
所以 2 + -2 < a + b < 3 + -1 ，
即 a + b 的取值范围是 0,2 ．
由4 < 2 < 6，1 < < 2，
得5 < 2a - b < 8，
所以 2a - b 的取值范围是(5,8)．
由2 < < 3，1 < < 2，
得 2 < -ab < 6，
所以 ab的取值范围是 -6, -2 ．
1 1
易知 < - < 12 b ，
而2 < < 3
则1
a
< - < 3，
b
a
所以 的取值范围是 -3, -1 ．
b
5-4．（2024 高一上·湖南长沙·阶段练习）已知实数 x，y 满足 4 ≤ ≤ 1，-1 2x - y 5，则 y 的取值
范围是（ ）
A． y 0 y 9 B． y - 5 y 4
C． y 1 y 13 D． y 0 y 13
【答案】C
ìx = n - m
【分析】令 x - y = m、 2x - y = n 得 íy n ，利用不等式的性质进行运算即可得答案． = - 2m
x - y = m ìx = n - m【详解】令 ， 2x - y = n ，则 íy n 2m ， = -
∵ 4 ≤ ≤ 1，-1 2x - y 5，即 4 ≤ ≤ 1， 1 ≤ ≤ 5，
∴ 2 -2m 8，则1 n - 2m 13，即1 y 13 .
故选：C
5-5．（2024 高一上·湖北荆州·阶段练习）已知-1 a + b 4， 2 a - b 3，则3a - 2b 的取值范围为
9
【答案】[ ,
19]
2 2
【分析】令m(a + b) + n(a - b) = 3a - 2b求出 m、n，再应用不等式的性质求3a - 2b 的范围.
【详解】令m(a + b) + n(a - b) = 3a - 2b，则 (m + n)a + (m - n)b = 3a - 2b，
ì 1
ìm + n = 3 m = 2 1 5
所以 ím n 2，可得 í ，故
3a - 2b = (a + b) + (a - b) ，
- = - n 5= 2 2
2
1 1 5 15
而 (a + b) [- , 2], (a - b) [5, ]，故3a - 2b [
9 ,19] .
2 2 2 2 2 2
[9 ,19故答案为： ]
2 2
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知1 a 2, -1 b 4 ,则 a- 2b的取值范围是（　　）
A．[-7,4] B．[-6,9] C．[6,9] D．[-2,8]
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案
【详解】因为-1 b 4 ,所以-8 -2b 2 ,
由1 a 2 ,得-7 a - 2b 4 ,
故选：A
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 p∈R，M = (2 p +1)( p - 3) ，N = ( p - 6)( p + 3) +10 ，则 M，N 的大小关
系为（　　）
A．MN
C．M≤N D．M≥N
【答案】B
【分析】作出 M，N 的差，变形并判断符号作答.
【详解】M - N = (2 p +1)( p - 3) -[( p - 6)( p + 3) +10] = p2 - 2 p + 5 = ( p -1)2 + 4 > 0，
所以M > N .
故选：B.
3．（2024 高一上·天津滨海新·期末）下列命题为真命题的是（）
A．若 a > b > 0，则 ac2 > bc2 B．若 a > b > 0，则 a2 > b2
1 1
C．若 a < b < 0，则 a2 < b2 D．若 a < b < 0，则 <
a b
【答案】B
【分析】根据 c = 0排除选项 A；取 = 2, = 1计算验证，排除选项 C，D 得到答案.
【详解】对于 A，若 a > b > 0，则 ac2 > bc2 ，当 c = 0时不成立，故 A 错误；
2 2
对于 B，若 a > b > 0，所以 a - b = a + b a - b > 0，则 a2 > b2 ，故 B 正确；
对于 C，若 a < b < 0，则 a2 < b2 ，取 = 2, = 1，计算知不成立，故 C 错误；
1 1
对于 D，若 a < b < 0，则 < ，取 = 2, = 1，计算知不成立，故 D 错误.
a b
故选：B.
4．（2024 高二下·山东滨州·阶段练习）下列说法中正确的是（　　）
A．如果 a > b，则 ac > bc B．如果 a > b，则 ac2 > bc2
C．如果 ac2 > bc2 ，则 a > b D．如果 a > b， c > d ，则 ac > bd
【答案】C
【分析】ABD 可举出反例，C 选项，可利用不等式的性质进行证明.
【详解】AB 选项，若 a = 2,b =1,c = 0 ，满足 a > b，但此时 ac = bc ， ac2 = bc2 ，AB 错误；
C 选项，如果 ac2 > bc2 ，则 c 0，故 2 > 0，不等式两边同时除以 2，则 a > b，C 正确；
D 选项，若 a = 4,b = -1,c = -2,d = -3，满足 a > b， c > d ，但 ac = -8,bd = 3， ac < bd ，D 错误.
故选：C
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列不等式正确的是（　　）
A．若 ac2 bc2，则 a b
c c
B．若 > ，则 a < b
a b
C．若 a + b > 0， c - b > 0，则 a > c
D．若 a > 0，b > 0
a + m a
，m > 0，且 a < b ，则 >
b + m b
【答案】D
【分析】举例说明选项 ABC 错误；利用作差法证明选项 D 正确.
【详解】对于 A，当 c = 0， a = -1，b = 2 时满足 ac2 bc2，但 a < b ，所以 A 错误；
c c
对于 B，当 = 1， a = -2 ，b = -3时，满足 > ，但 a > b，所以 B 错误；
a b
3
对于 C，由不等式的基本性质易知 a + c > 0，当 a = -1， b = ， c = 2时满足 a + b > 0， c - b > 0，但 a < c ，
2
所以 C 错误；
a + m a a + m b - a b + m b - a m a + m a
对于 D， - = = > 0 >b m b b m b b m b ，所以 ，故 D 正确．+ + + b + m b
故选：D．
6．（2024 高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的为（　　）
1 1
A．若 a > b，则 <
a b
B．若 2 = ，则b2 > a 或b2 > c
C．若 x < y ，则 2 < 2
D．若 a = b，则 a = b
【答案】C
【分析】ABD 可举出反例，C 可用不等式的性质证明.
【详解】对于 A，若 a =1,b = -2
1 1
，则 > ，故 A 是假命题．
a b
对于 B，当 a = b = 0,c =1时，满足 2 = ，但b2 > a 或b2 > c不成立，故 B 是假命题．
对于 C，因为 y > x 0，根据不等式的性质得 2 < 2，故 C 是真命题．
对于 D，当 a = b = -2时， a 与 b 没有意义，故 D 是假命题．
故选：C
7．（2024 高一上·河南·阶段练习）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资
300万；方案 B 为第一年投资80万，以后每年投资 20万.下列不等式表示“经过 n 年之后，方案 B 的投入不
大于方案A 的投入”的是（ ）
A．80 + 20n 300 B．80 + 20n 300
C．80 + 20 n -1 300 D．80 + 20 n -1 300
【答案】D
【分析】由不等关系求解即可.
【详解】经过 n 年之后，方案 B 的投入为80 + 20 n -1 ，故经过 n 年之后，方案 B 的投入不大于方案A 的投
入，即80 + 20 n -1 300
故选：D
8．（2024 高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、
宽、高之和不超过 130cm，且体积不超过72000cm3 ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为 a，b，c（单
位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A． a + b + c <130且 abc < 72000 B． a + b + c >130且 abc > 72000
C． a + b + c 130且 abc 72000 D． a + b + c 130且 abc 72000
【答案】C
【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.
【详解】由长、宽、高之和不超过 130cm 得 a + b + c 130，由体积不超过72000cm3 得 abc 72000 .
故选：C.
9．（2024 高一下·江西抚州·阶段练习）若0 < b < a，下列不等式中不一定成立的是（　　）
1 1 1 1
A． > B． < C．
a b b a > b
D．-a < -b < 0
- a b
【答案】A
【分析】利用作差、作商法即可判断 A、B 的正误，由不等式的性质可判断 C、D 的正误.
1 1 b - (a - b) 2b - a
【详解】A： - = = ，又0 < b < a，知：b(a - b) > 0a b b b(a b) b(a b) ，但 2b - a 无法确定符号，错误；- - -
1 1 b 1 1 1B： = < ，0 < b < a，故 < ，正确；
a b a a b
C：由0 < b < a，知 ( a )2 > ( b)2 > 0 ，即 a > b ，正确；
D：由0 < b < a，有-a < -b < 0，正确；
故选：A
10．（2024 高一上·贵州毕节·阶段练习）某学生月考数学成绩 x 不低于 100 分，英语成绩 y 和语文成绩 z
的总成绩高于 200 分且低于 240 分，用不等式组表示为（ ）
ì x >100 ì x 100
A． í200 y z 240 B． < + <
í
200 y + z 240
ì x >100 ì x 100
C． í200 y z 240 D． +
í
200 < y + z < 240
【答案】D
【分析】利用题设条件即得.
【详解】数学成绩 x 不低于 100 分表示为 x 100，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于 200 分且低于 240
x 100
分表示为 200 < y + z < 240
ì
，即 í
200 < y + z < 240
.
故选：D.
11．（2024 高一·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人 50 元，请瓦工需付工资每人 40
元，现有工人工资预算 2000 元，设木工 人，瓦工 y 人，则请工人满足的关系式是（ ）
A．5x + 4y < 200 B．5x + 4y 200
C．5x + 4y = 200 D．5x + 4y 200
【答案】D
【分析】根据工资预算以及工人工资列出不等式.
【详解】依题意，请工人满足的关系式是50x + 40y 2000，
即5x + 4y 200 .
故选：D
12．（2024 高三上·福建福州·开学考试）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部
尺寸长、宽、高之和不超过160cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为 a、b 、 c（单位： cm），这个
规定用数学关系式可表示为（ ）
A． a + b + c > 160 B． a + b + c < 160 C． a + b + c 160 D． a + b + c 160
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式即可．
【详解】由题意可知 a + b + c 160．
故选：D．
13．（2024 高一上·河北唐山·阶段练习）如果 a,b,c, d R,ab 0，则下列命题为真命题的是（ ）
1 1
A．若 a > b，则 < B．若 a > b，则 ac2 > bc2
a b
1 1
C．若a > b,c > d ，则 ac > bd D．若 a > b，则 >
ab2 a2b
【答案】D
【分析】对于 A，B，C 取反例即可判断结果，根据作差法即可判断 D.
【详解】对 A，取 a =1,b = -1
1 1
，则 > ，故 A 错；
a b
对 B，取 c = 0，则 ac2 = bc2 ，故 B 错；
对 C，取 a = 2,b = -1,c = 0,d = -2 ，则 ac = 0,bd = 2，故 C 错；
1 1 a - b a - b
对 D，由于 a > b，所以 2 - 2 = 2 2 ， ∵ > ，且 ab 0，则 > 0，ab a b a b a2b2
1 1
则 2 > 2 ，故 D 正确；ab a b
故选：D.
14．（2.1 等式与不等式的性质（精练）-《一隅三反》）已知 a,b R ，则“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】通过反例可说明充分性和必要性均不成立，由此可得结论.
【详解】当 a = 0，b = -2时，满足 a > b，此时 a2 < b2 ；
当 a = -2 ，b = 0时，满足 a2 > b2 ，此时 a < b ；
\a > b a2 > b2， a2 > b2 a > b ，
\“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
15．（2024 高三上·广西钦州·阶段练习）已知 a > 0，b > 0，设m = a - 2 b + 2, n = 2 a - b ，则（ ）
A．m n B．m > n C．m n D．m < n
【答案】A
【分析】利用作差法判断m- n的正负即可得出结果.
2 2
【详解】由题意可知，m - n = a - 2 b + 2 - 2 a + b = a -1 + b -1 0
当且仅当 a = b =1时，等号成立；
即m n .
故选：A
16．（2024 高三·全国·专题练习）已知 a>0，b>0，M＝ a + b ，N＝ a + b ，则 M 与 N 的大小关系为（　　）
A．M>N B．M【答案】B
【分析】平方后作差比较大小即可.
M 2 - N 2【详解】 = a + b - a + b + 2 ab = -2 ab < 0，
∴M故选：B.
17．（2024 高一上·陕西咸阳·期末）已知 a,b,c,d ，为实数，满足 a > b，且 c > d ，则下列不等式一定成立的
是（ ）
1 1
A． ac bd a
1
> B． + ≥ 2 C． a - d > b - c D． 【答案】C
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及作差比较和特殊值法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A 中，例如 a = -1,b = -2,c = -3,d = -4 ，此时满足 a > b且 c > d ，此时 ac < bd ，所以 A 不正确；
1 1 1
对于 B 中，当 a < 0时，可得 a + = -[(-a) + ] -2 ，当且仅当-a = 时，即 a = -1时，等号成立，所以
a -a -a
B 不正确；
对于 C 中，由 a > b且 c > d ，可得 a + c > b + d ，所以 a - d > b - c ，所以 C 正确；
1 1 b - a
对于 D 中，由 - = ，因为 a > b，可得b - a < 0，但 ab的符号不确定，所以 D 不正确.
a b ab
故选：C.
18．（2024 高一上·安徽蚌埠·期末）已知0 < x <1，则下列不等式成立的是（ ）
x2 1 x 1 x2 x x 1 1A． > > B． > > C． > > x2 D． > x > x2
x x x x
【答案】D
【分析】利用作差法判断即可.
1 1- x2 1- x 1+ x 1
【详解】因为0 < x <1，则1- x > 0，所以 - x = = > 0 ，所以 > x，
x x x x
x - x2又 = x 1- x > 0，所以 x > x2 ，
1 2
所以 > x > x .
x
故选：D
19．（2023-2024 学年河南省濮阳市高二上学期期末考试数学（理）试卷（带解析））若 a > b > 0,c < d < 0,则
一定有
a b a b a b a b
A． > B． < C． > D． <
c d c d d c d c
【答案】D
【详解】本题主要考查不等关系．已知 a > b > 0,c < d < 0
1 1 a b a b
,所以- > - > 0 ，所以- > - ，故 < ．故
d c d c d c
选D
20．（2024·江西抚州·模拟预测）2021 年是中国共产党成立 100 周年，为了庆祝建党 100 周年，学校计划购
买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红 黄 蓝 绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿
色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（ ）个
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】B
【分析】分别设红 黄 蓝 绿各有 a，b ， c， d 个，根据题意列出不等式可分别求出 a,b,c,d 范围，即可求
出.
【详解】分别设红 黄 蓝 绿各有 a，b ， c， d 个，且 a，b ， c， d 为正整数，
则由题意得 a c +1， c d +1， d b +1， 2b a +1，可得b 4，
所以 ≥ 7， c 6， d 5，即至少有 4 + 5 + 6 + 7 = 22个.
故选：B.
21．（2024 高一下·广西·期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a < b < 0，则 2 < 2 B．若 a < b < 0，则 a2 < ab < b2
c c
C．若 a > b， c > d ，则 ac > bd D．若 a > b > c > 0，则 <
a b
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于 A：当 c = 0时， ac2 = bc2 = 0，A 错误；
对于 B：当 a < b < 0时， a2 > ab > b2，B 错误；
对于 C：取 a = 2,b =1,c = -2,d = -3满足 a > b， c > d ，而 ac = -4,bd = -3，此时 ac < bd ，C 错误；
a 1 b 1 1 1 c c对于 D：当 a > b > 0时，则 ab > 0，所以 × > × ，即 < ，又 c > 0，所以 < ，D 正确.
ab ab a b a b
故选：D.
22．（2024 高一·全国·课后作业）如图，在一个面积为 200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓
库的长 a 大于宽 b 的 4 倍，则表示上述的不等关系正确的是（ ）
A． a > 4b B． (a + 4)(b + 4) = 200
ìa > 4b ìa > 4b
C． í
(a + 4)(b + 4) = 200
D． í
4ab = 200
【答案】C
【分析】由已知条件及矩形面积公式即可求解.
【详解】解：由题意知 a > 4b，根据面积公式可以得到 (a + 4)(b + 4) = 200 .
故选:C．
23．（2024 高三下·上海宝山·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若 a > b ，则 a2 > b2 B．若 > | |，则 a2 > b2
C．若 a > b，则 a2 > b2 D．若 a2 > b2 ，则 a > b
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法进行判断即可.
【详解】取 a = 2,b = -2，
则 a > b ，但是 a2 = b2 ，A 错误， a > b，但是 a2 = b2 ，C 错误，
取 a = -3,b = 2，则 a2 > b2 ，但是 a < b ，D 错误，
2
由 > | |，可得 a > b 0，所以 a2 > b 0，
故 a2 > b2 ，B 正确，
故选：B.
24．（2024 高一·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度
为每秒 4 米，距离爆破点 100 米以外（含 100 米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导
火索的长度 x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A． 4
x
<100 B． 4
x x x
100 C． 4 100 D． 4 >100
0.5 0.5 0.5 0.5
【答案】B
【分析】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到 100 米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得
答案.
x
【详解】由题意知导火索的长度 x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为 秒，
0.5
x
人在此时间内跑的路程为 4 ÷米，由题意可得 4
x
100
0.5 ．è 0.5
故选：B．
25．（2024 高一上·江苏盐城·期中）设 p = 2 ，Q = 7 - 3 ，R = 6 - 2 ，则 P，Q，R 的大小顺序是
（ ）
A．P > Q > R B．P > R > Q
C．R > P > Q D．Q > R > P
【答案】B
【分析】对P, R作差可求出P > R ，再对R,Q 作差可求出 R > Q ，即可得出答案.
【详解】解：QP - R = 2 - ( 6 - 2) = 2 2 - 6 = 8 - 6 > 0，
\P > R，
R - Q = 6 - 2 - ( 7 - 3) = ( 6 + 3) - ( 7 + 2) ，
而 ( 6 + 3)2 = 9 + 2 18 ， ( 7 + 2)2 = 9 + 2 14 ，
而18 > 14，
\ 6 + 3 > 7 + 2 ，即 R > Q ，
综上，P > R > Q .
故选：B.
1 1
26．（2024 高三上·江苏盐城·期中）若 a,b R 且 ab 0 .则 2 > 2 成立的一个充分非必要条件是（ ）a b
A． a > b > 0 B．b > a
C．b < a < 0 D． ab a - b < 0
【答案】C
【分析】根据充分非必要条件的定义，依次排除选项.
【详解】A.当 a > b > 0时， a2 1 1> b2 ，则 2 < A 2，故 错误；
B.当b =1, a = -2
1 1
时，不满足 2 > 2 ，故 B 错误；a b
1 1 1 1
C.当b < a < 0时，0 < a2 < b2 2，则 2 > 2 ，反过来， 2 > 2 时，a < b
2 a < b ，推不出b < a < 0，所以
a b a b
1 1
b < a < 0是 2 > 2 成立的一个充分非必要条件，故 C 正确；a b
a = 2,b = -1 1 1D.当 时，不满足 > ，故 D 错误.
a2 b2
故选：C
27．（2024·北京海淀·一模）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于1km）按逆时针方向跑步，他从起点出
发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑
了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方
程，即可求解.
【详解】设公园的环形道的周长为 t，刘老师总共跑的圈数为 x ，（ x N*），
ì1< t < 2

2t < 3 4 3
则由题意 í ，所以 < t < ，
3t > 4 3 2
4t > 5
2 1 3 22 11 33
所以 < < ，因为 xt =11，所以 < x = < ，又 x N*，所以 x = 8，3 t 4 3 t 4
即刘老师总共跑的圈数为 8.
故选：B
28．（2024 高三上·上海·阶段练习）已知集合 S = { x, y, z | x, y, z Z，且 x < y < z, y < z < x, z < x < y 恰有一
个成立}；若 x, y, z S 且 z, w, x S ，则下列选项正确的是（ ）
A． y, z, w S , x, y, w S
B． y, z, w S , x, y, w S
C． y, z, w S , x, y, w S
D． y, z, w S , x, y, w S
【答案】A
【分析】由集合新定义，结合不等式性质讨论w < x < y < z 、 x < y < z < w、 y < z < w < x、 z < w < x < y，
进而判断元素与集合关系.
【详解】 x, y, z S ，则 x < y < z或 y < z < x或 z < x < y，
z, w, x S ，则 z < w < x或w < x < z或 x < z < w，
当w < x < y < z 时，则w < y < z ，w < x < y ，此时 y, z, w S , x, y, w S ；
当 x < y < z < w时，则 y < z < w， x < y < w ，此时 y, z, w S , x, y, w S ；
当 y < z < w < x时，则 y < z < w， y < w < x ，此时 y, z, w S , x, y, w S ；
当 z < w < x < y时，则 z < w < y，w < x < y ，此时 y, z, w S , x, y, w S ；
综上， y, z, w S , x, y, w S .
故选：A
29．（2024 高一上·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（ ）
A．若 a > b > 0,c < d < 0
a b a b
，则一定有 > B．若 2 > 2 ，则 a > bc d c c
C．若b > a > 0, m > 0
a + m a
，则 > D．若 a > b,c < d ，则 a - c > b - d
b + m b
【答案】A
【分析】对 A 举反例即可判断；对 B 和 D，利用不等式基本性质即可判断；对 C，利用作差法即可判断.
【详解】对于 A，若 a = 2,b =1,c = -2,d = -1
a b
，则 = ，故 A 错误.
c d
a b
对于 B，由 2 > ，可知 2 ，所以 2 > 0，所以 a > b .故 B 正确.c c2 c 0
a + m a ab + bm - ab - am m(b - a)
对于 C， - = = b > a > 0, m > 0b + m b b × (b + m) b × (b + m) ，因为 ，
m(b - a)
所以 > 0
a + m a
b × (b + m) ，所以 > .故 C 正确.b + m b
对于 D，因为 c < d ，所以-c > -d .又 a > b，所以 a - c > b - d .故 D 正确.
故选：A.
30．（2024 高二上·辽宁沈阳·期中）已知 2 < a + b < 5,0 < a - b <1，某同学求出了如下结论：①1 < a < 3；
1 5
②1 < b < 2 ；③ < b < ；④ -4 < a - 2b < 2；⑤ -3 < a - 2b <1；⑥1< 2a - b < 4；，则下列判断中正确的
2 2
是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②⑤ D．①③⑥
【答案】D
1 1
【详解】a = (a + b) + (a - b) , 2 < a + b < 5,1
1
< (a b) 5 1 1+ < , 0 < a - b <1,0 < (a - b) < ,则1< a < 3，①正确；
2 2 2 2 2 2
1
b= (a + b)
1 (a b) 1 1- - ， < (a
5 1 1
+ b) < ， 0 < (a - b) < ，
2 2 2 2 2 2
1 1
- < - (a - b) 1 5< 0，则 < b < ，③正确；
2 2 2 2
a 2b 1- = - (a b) 3 5 1 3 3+ + (a - b) ，- < - (a+b)< -1，0 < (a - b) < ，
2 2 2 2 2 2
5 a 2b 1则- < - < ，②④⑤错误，
2 2
2a - b 1= (a + b) 3+ (a 1 5 3 3- b)，1< (a + b) < ，0 < (a - b) < ，则1< 2a - b < 4
2 2 2 2 2 2
⑥正确；判断中正确的是①③⑥，选 D.
二、多选题
31．（2024 高二下·福建三明·期中）若 a > b > 0， c R ，则下列结论正确的有（ ）
A． a - b > 0 B． a2 > b2
1 1
C． ac > bc D． <
a b
【答案】ABD
【分析】利用不等式的基本性质可判断 ABC 选项；利用作差法可判断 D 选项.
【详解】因为 a > b > 0， c R ，
对于 A 选项， a - b > 0，A 对；
对于 B 选项， a2 > b2 ，B 对；
对于 C 选项，当 c < 0时， < ，C 错；
1 1 b - a 1 1
对于 D 选项， - = < 0，则 < ，D 对.
a b ab a b
故选：ABD.
32．（2024 高一上·四川广安·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ac2 > bc2 ，则 a > b B．若 a > b， c > d ，则 a + c > b + d
c d ac bd b a 0 c 0 a a + cC．若 a > b， > ，则 > D．若 > > ， > ，则 >
b b + c
【答案】AB
【分析】对于 A、D 项运用作差法判断，对于 B 项由不等式性质可判断，对于 C 项举反例可判断.
【详解】对于 A 项，因为 ac2 - bc2 = c2 (a - b) > 0，所以 2 > 0且 a - b > 0，即：c 0且 a > b，故 A 项正确；
对于 B 项，运用不等式的性质可知，若 a > b， c > d ，则 a + c > b + d 正确，故 B 项正确；
对于 C 项，当 a = -2 ，b = -3， c = 2， = 1时，满足 a > b， c > d ，但不满足 ac > bd ，故 C 项错误；
a a + c a(b + c) - b(a + c) (a - b)c
对于 D 项，因为 - = =b b + c b(b + c) b(b ，+ c)
又因为b > a > 0， c > 0，所以 a - b < 0，b + c > 0，
(a - b)c
< 0 a a + c所以 b(b c) ，即：
< ，故 D 项错误.
+ b b + c
故选：AB.
33．（2024 高一上·江苏镇江·期末）对于实数 a，b ， c，正确的命题是（ ）
a a + bA．若 a > b，则 > > b B．若 a > b > 0，则
2 a > ab > b
1 1
> a 0 b 0 a b 0 c 0 a a + cC．若 ，则 > ， < D．若 > > ， > ，则 >
a b b b + c
【答案】ABD
【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.
a + b a - b a + b a - b
【详解】对选项 A，因为 a > b，所以 a - = > 0， - b = > 0，
2 2 2 2
a a + b所以 > > b ，故 A 正确；
2
对选项 B
a a
， a > b > 0， = >1，所以 a > ab ，
ab b
ab a
因为 = >1，所以 ab > b ，即 a > ab > b，故 B 正确；
b b
1 1
对选项 C，令 a = 2，b = 3，满足 > ，不满足 a > 0，b < 0 .
a b
对选项 D，因为 a > b > 0， c > 0，
a a + c a b + c - b a + c c a - b
所以 - = = > 0b b c b b c b b c ，故 D 正确.+ + +
故选：ABD
1 1
34．（2024 高一上·山东威海·期末）已知 a,b R ，则下列选项中能使 > 成立的是（
a b ）
A．b > a > 0 B． a > b > 0 C．a > 0 > b D．b < a < 0
【答案】AC
【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.
b a 1 1
【详解】对于 A：Qb > a > 0，\ba > 0，\ > ，\ > ，故 A 正确；
ab ab a b
a b 1 1
对于 B：Qa > b > 0，\ba > 0，\ > ，\ > ，故 B 错误；
ab ab b a
1 1
对于 C：Qa > 0 > b，\ > 0 > ，故 C 正确；
a b
b a 1 1
对于 D：Q b < a < 0，\ba > 0，\ < ，\ > ，故 D 错误；
ab ab b a
故选：AC.
35．（2024 高一上·福建三明·期末）已知 a > b >1， c < 0，则下列四个不等式中，一定成立的是（ ）
c c
A． < B． < C． a b - c > b a - c D． a > b - c
a b
【答案】BC
【分析】根据不等式基本性质逐个判断即可.
1 1 c c
【详解】对 A， a > b >1，则 < ，则 > ，A 错；
a b a b
对 B， a > b >1，则 < ，B 对；
对 C， a > b >1，则-a < -b ，则-ac > -bc，则 ab - ac > ab - bc，则 a b - c > b a - c ，C 对；
对 D， a > b >1，则 a - c > b - c ，又 c < 0，则 a - c > a，故 a 与b - c的大小关系不确定，D 错.
故选：BC.
36．（2024·全国·模拟预测）若m > n > 0 > p，m + p 0，则（ ）．
p p
A． > B．m2 - p2 > 0
m n
1 1
C． >m + n m + p D．m
2 - n > n2 - m
【答案】AD
【分析】由不等式的性质可判断 A；利用特值法可判断 B，C；利用作差法可判断 D.
1 1
【详解】对于 A：由题意可得 < ，因为 p < 0
p p
，所以 > ，故 A 正确；
m n m n
对于 B：当m = 2 ， p = -3时，满足已知条件，但m2 - p2 < 0，故 B 错误；
1 1
对于 C：当m = 3， n = 2， p = -1时，满足已知条件，但 D m2 - n - (n2 - m) = m2对于 ： - n2 + m - n = m - n m + n +1 ，因为m > n > 0 ，可得 m - n m + n +1 > 0，
所以m2 - n > n2 - m，故 D 正确．
故选：AD.
37．（2024 高一上·广东梅州·期末）下列结论正确的是（ ）
A．若 a > b，则 a2 > b2 B．若 2 < 2，则 a < b
C．若 a > b， c > d ，则 a + c > b + d D．若 a > b， c > d ，则 ac > bd
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】A. 取特殊值， a = -1，b = -2，显然不满足结论；
B. 由 2 < 2可知， 2 > 0，由不等式性质可得 a < b ，结论正确；
C. 由同向不等式的性质知， a > b， c > d 可推出 a + c > b + d ，结论正确；
D. 取 a = 3,b = 0,c = -1,d = -2，满足条件，显然 ac > bd 不成立，结论错误.
故选：BC.
38．（2024 高三·全国·专题练习）若 a > 0 > b > -a ， c < d < 0，则下列结论正确的是（　　）
a b
A． ad > bc B． + < 0
d c
C． a - c > b - d D． a d - c > b d - c
【答案】BCD
【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于 A 选项，因为a > 0 > b， c < d < 0，则 ad < 0 ，bc > 0，所以， ad < bc，A 错；
对于 B 选项，因为0 > > ，所以 a > -b > 0 ，
因为 c < d < 0，所以-c > -d > 0，所以-ac > -b × -d = bd ，则 ac + bd < 0 ， cd > 0，
a b ac + bd
所以， + = < 0，B 对；
d c cd
对于 C 选项，因为 c < d ，则-c > -d ，因为 a > b，则 a - c > b - d ，C 对；
对于 D 选项，因为a > 0 > b， d - c > 0，所以， a d - c > b d - c ，D 对.
故选：BCD.
39．（2024 高一上·广东湛江·期末）已知实数 a，b ， c满足 c < b < a ， ac < 0，那么下列选项中错误的是
（　　）
A． ac a - c > 0 B． cb2 < ca2
C． ab > ac D． c b - a < 0
【答案】ABD
【分析】由已知可得 a > 0,c < 0，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可.
【详解】因为实数 a，b ， c满足 c < b < a ， ac < 0，所以 a > 0， c < 0 .
对于 A：因为 a > c ，所以 a - c > 0，因为 ac < 0，所以 ac a - c < 0，所以 A 错误；
对于 B，若 a > b > 0，则 a2 > b2 ，因为 c < 0，所以 ca2 < cb2，所以 B 错误；
对于 C，因为b > c， a > 0，所以 ab > ac ，所以 C 正确；
对于 D，因为b < a ，所以b - a < 0，因为 c < 0，所以 c b - a > 0，所以 D 错误.
故选：ABD
40．（2024 高三下·河北衡水·阶段练习）设 a,b为正实数，则下列命题正确的是（ ）
2 2 1 1A．若 a - b =1，则 a - b <1 B．若 - =1，则 a - b <1b a
C．若 a > b +1，则 a2 > b2 +1 D．若a 1，b 1，则| a - b | |1- ab |
【答案】AC
【分析】根据已知条件及不等式的性质逐一判断选项即可.
【详解】对于 A，由 a2 - b2 =1及 a,b为正实数，
可知 a - b
1
= ， 2
a b a = b
2 +1 >1，则 a >1，
+
由 a >1,b > 0
1
，可得 a + b >1，所以 a - b = <1，故 A 正确；
a + b
b 1 3= =
对于 B，若 a = 3，则 1 1+ 4 ，所以 a - b >1，故 B 错误；
a
对于 C，若 a > b +1，则 a2 > b +1 2 > b2 +1，故 C 正确；
对于 D，若 a = b 1，则| a - b |= 0 |1- ab |，故 D 错误.
故选：AC
41．（2024 高一上·江苏常州·阶段练习）生活经验告诉我们，a 克糖水中有 b 克糖 (a > 0,b > 0,且 a > b) ，若再
添加 c 克糖 (c > 0)
b + c b
后，糖水会更甜，于是得出一个不等式： > .趣称之为“糖水不等式”．根据生活经
a + c a
验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
b
A．若 a > b > 0 m > 0 + ， ，则 + 与 的大小关系随 m 的变化而变化a
B + ．若b > a > 0，m > 0，则 >
+
C．若 a > b > 0， c > d > 0 b + d b + c，则 D．若 a > 0，b > 0 a b a b，则一定有 + < +1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b
【答案】BCD
【分析】由作差法可判断 ABC，由不等式的性质可判断 D
【详解】对于 A，Qa > b > 0，m > 0，
b + m b m(a - b)
\ - = > 0 b + m b
a m a a(a m) ，
\ > ，故 A 错误，
+ + a + m a
对于 B，Qb > a > 0，m > 0，
b + m b m(a - b)
\ - = < 0 b b + m，\ >a m a a(a ，故 B 正确，+ + m) a a + m
对于 C，Qa > b > 0， c > b > 0，
\a - b > 0， c - d > 0，
b + c b + d (b + c)(a + d ) - (b + d )(a + c) (a - b)(c - d )
\ - = = > 0
a + c a + d (a ，+ c)(a + d ) (a + c)(a + d )
b + d b + c
\ < ，故 C 正确，
a + d a + c
对于 D，Q0 <1+ a <1+ a + b，0 <1+ b <1+ a + b ，
a a b b
\ > ， > ，
1+ a 1+ a + b 1+ b 1+ a + b
a b a b
\ + > + ，故 D 正确，
1+ a 1+ b 1+ a + b 1+ a + b
故选：BCD
42．（2024 高三·北京·强基计划）设 a，b，c 均为大于零的实数，若一元二次方程 ax2 + bx + c = 0有实根，则
（ ）
A．max{a,b,c}
1 4
(a + b + c) B．max{a,b,c} (a + b + c)
2 9
min{a,b,c} 1C． (a + b + c) D．min{a,b,c}
1
(a + b + c)
4 3
【答案】BCD
【分析】根据对称性可设 a c，利用不等式放缩及双勾函数可判断各项正误.
【详解】因为 a，b，c 均为大于零的实数，
故方程 ax2
2
+ bx + c = 0与 a + bx-1 + c x-1 = 0的根互为倒数.
故不妨设 a c，则b2 4ac 4c2 ，
于是b 2c，因此a + b + c a + 2c + c 4c = 4 min{a,b,c}，
故选项 CD 成立．
情形一 若 a b c，则b2 4ac 4bc，
1 5 9 9
于是b 4c，从而a + b + c a + b + b = a + b a = max{a,b,c}．
4 4 4 4
情形二 若b 4a c，则a + b c 9 9+ b = max{a,b,c}．
4 4
情形三 若4a > b > a c ，
2 b
注意a b+ 是关于 a 的对勾函数，当 < a < b时，上确界在 a 取区间端点时取到．
4a 4
b2 5
故 a + < b，
4a 4
b2a b c a b b 5 b 9则 + + + + < + = max{a,b,c}．
4a 4 4
综上所述，选项 B 成立．
故选：BCD.
43．（2024 高一上·四川凉山·期末）下列四个命题中，正确的是（ ）
1 1
A．若 ac2 bc2，则 a b B．若 a>b，且 > ，则 ab<0a b
b + c b a b
C．若 a>b>0，c>0，则 > D．若 c > a > b > 0，则 >
a + c a c - a c - b
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质判断各选项．
【详解】选项 A，例如 a = -2 ，b =1， c = 0时， ac2 bc2成立，但 a b 不成立，A 错误；
1 1 1 1 b - a
选项 B， a > b， > - = > 0，而b - a < 0，因此 ab < 0 ，B 正确；
a b a b ab
选项 C， a > b > 0,c > 0， a - b > 0， a + c > 0，
b + c b a b + c - b a + c c a - b b + c b
则 - = = > 0a + c a a a + c a a c ，即 > ，C 正确；+ a + c a
选项 D， c > a > b > 0，则 c - a > 0,c - b > 0,a - b > 0 ，
a b a c - b - b c - a c a - b
- = = > 0 a b>
c a c b c a c b c a c b ，则 ，D 正确．- - - - - - c - a c - b
故选：BCD．
44．（2024 高三·全国·专题练习）下列是假命题的是（　　）
A．若 ac2 bc2，则 a b
c c
B．若 > ，则 a < b
a b
C．若 a + b > 0， c - b > 0，则 a > c
a + m a
D．若 a > 0，b > 0，m > 0，且 a < b ，则 >
b + m b
【答案】ABC
a + m a b - a m
【分析】举反例得到 ABC 错误，利用作差法计算 - = > 0b + m b b + m b 得到 D 正确，得到答案.
【详解】对选项 A：当 c = 0， a = -1，b = 2 时满足 ac2 bc2，但 a < b ，错误；
c c
对选项 B：当 = 1， a = -2 ，b = -3时，满足 > ，但 a > b，错误；
a b
3
对选项 C：当 a = -1，b = ， c = 2时满足 a + b > 0， c - b > 0，但 a < c ，错误；
2
a + m a a + m b - a b + m b - a m a + m a
对选项 D： - = = > 0 >b + m b b + m b b m b ，所以 ，正确．+ b + m b
故选：ABC
三、填空题
45．（2024 高一·全国·课后作业）某同学拿 50 元钱买纪念邮票，票面 8 角的每套 5 张，票面 2 元的每套 4 张，
如果每种邮票至少买两套，那么买票面 8 角的 x 套与票面 2 元的 y 套用不等式组可表示为 .
ìx 2, x N+

【答案】 íy 2, y N+

0.8 5x + 2 4y 50
【分析】根据不等关系列出不等式组.
【详解】每种邮票至少买两套，则有 x 2, x N+ , y 2, y N+，又因为 50 元钱买纪念邮票，
所以0.8 5x + 2 4y 50，
ìx 2, x N+

故 íy 2, y N+

0.8 5x + 2 4y 50
46．（2024 高三·全国·专题练习）若1< a < 3 , -4 < b < 2 ,则 2a + b 的取值范围是 .
【答案】 2,10
【分析】
根据绝对值定义求 b 范围,再根据不等式性质求出结果.
【详解】
因为-4 < b < 2 ,
所以0 b < 4 ,
又1< a < 3 ,
所以 2 < 2a < 6 ,
所以 2 < 2a + b <10 .
故答案为: 2,10 .
47．（2024 高一上·云南怒江·期末）已知1 < a < 3，-2 < b <1，则a + 2b的取值范围是 .
【答案】 -3,5
【分析】根据不等式的性质可得.
【详解】解：∵ -2 < b <1，∴ -4 < 2b < 2，
∵1 < a < 3，∴ -3 < a + 2b < 5 .
故答案为： -3,5 .
48．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知1 a + b 4，-1 a - b 2 ，则3a + 2b的取值范围是 ．
【答案】 2,11
5 1
【分析】利用待定系数法可得3a + 2b = a + b + a - b ，利用不等式的基本性质可求得3a + 2b的取值范
2 2
围.
【详解】设3a + 2b = x a + b + y a - b = x + y a + x - y b ，
ì 5
ìx + y = 3 x = 2
所以 íx y 2 ，解得 ， - =
í
y 1=
2
5 1
\3a + 2b = a + b + a - b
2 2
5 5 1 1
因为1 a + b 4，-1 a - b 2 ，则 (a + b) 10 ，- a - b 1，
2 2 2 2
因此， 2 3a + 2b 11 .
故答案为： 2,11 .
49．（2024 高三·全国·专题练习）设 2 < a < 7 ，1 < b < 2 ，则 a + 3b的取值范围是 ，ab的取值范围是 .
【答案】 (5,13) (2,14)
【分析】利用不等式的性质求目标式的范围即可.
【详解】由3 < 3b < 6 ， 2 < a < 7 ，同向不等式的可加性，得5 < a + 3b <13；
由 2 < a < 7 ，1 < b < 2 ，同向同正不等式的可乘性，得 2 < ab <14；
故答案为： (5,13), (2,14)
50．（江苏省扬州市仪征中学 2023-2024 学年高三下学期 3 月学情测试数学试题）若 -1 < a + b < 3,2 < a - b < 4 ，
则 2a + 3b的取值范围为 ．
9
【答案】 - ,
13
è 2 2 ÷
【分析】设 2a + 3b = x(a + b) + y(a - b) = (x + y)a + (x - y)b ，利用系数相等求得 x, y的值，结合不等式的基本
性质，即可求解.
【详解】由题意，设 2a + 3b = x(a + b) + y(a - b) = (x + y)a + (x - y)b ，
ìx + y = 2
x 5 1则 í ，解得 = , y = -x y 3 ， - = 2 2
因为 -1 < a + b < 3,2 < a - b < 4 ，
5 5 (a b) 15 1可得- < + < , -2 < - (a - b) < -1
2 2 2 2
9 5
所以- < (a b)
1 (a b) 13 9 13+ - - < ，即 2a + 3b 的取值范围是 - ,

÷ .2 2 2 2 è 2 2
9 13
故答案为： - , ÷ .
è 2 2
51．（2024 高一上·辽宁葫芦岛·期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课
余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，
加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的
过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学
生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师
人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为7 ，则女学生人数的最小值为 ；若男学
生人数未知，则该小组人数的最小值为 .
【答案】 5 12
【分析】设男学生、女学生、教师的人数分别为 x 、 y 、 z ，可得出 z < y < x < 2z ，当 x = 7时，讨论 z 的取
值，结合不等式的性质可求得 y 的最小值；当 x 的值未知时，讨论 z 的取值，结合不等关系可求得 x + y + z
的最小值.
【详解】设男学生、女学生、教师的人数分别为 x 、 y 、 z ，则 z < y < x < 2z .
ì7 > y > z
若 x = 7
7
，则 í2z 7 ，可得
< z < 7 ，则 z 4,5, 6 ，当 z = 4 时， y 取最小值5，
> 2
即男学生人数为7 ，则女学生人数的最小值为5；
若 x 的值未知，当 z =1时，则1= z < y < x <2，不满足题意，
当 z = 2 时，则2 = z < y < x < 4，不合乎题意，
当 z = 3时，则3 = z < y < x < 6，此时 y = 4 ， x = 5，则 x + y + z =12，合乎题意.
故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为12 .
故答案为：5；12 .
x2 x
52．（2024 高二上·宁夏吴忠·期末）设 x，y 为实数，满足3 xy2 8， 4 9，则 的最小值是 .
y y3
1
【答案】
2
n
x m x2
【解析】利用方程组形式，可得 = xy2 × ÷ ，求得m, n
x
3 后结合不等式性质即可求得 y3 的最小值.y è y
n
x 2 m x
2
【详解】设 = xy ×
y3 y ֏
即 xy-3 = xm+2n × y 2m-n
ìm + 2n =1 ìm = -1
所以 í2m n 3，解得 - = -
í
n =1
x 2 -1 xy x
2
所以 3 = ×y ÷è y
2
因为3 xy2 8 4
x
， 9，
y
1
所以 -1xy28
1

3
1 2 -1 x2
由不等式性质可知 xy ×2 3è y ÷
ì x2
= 4
1 x 7 4
即 3
y
2 y3 ，当且仅当 í 时取等号，解得 5 5 . 2 -1 1
x = 2 , y = 2
xy = 8
x 1
综上可知， y3 的最小值为 .2
1
故答案为： .
2
【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属
于中档题.
1
53．（2024 高一·安徽宣城·强基计划）若关于 x 的不等式 a - 2 < 2a - x < 只有一个整数解 2，则实数 a的取
2
值范围为 ．
3
【答案】 a 1
4
【分析】求出不等式的解后可得端点满足的不等式组，从而可求参数的取值范围.
【详解】 a - 2 < 2a
1 1
- x < 的解为 2a - < x < a + 2 ，
2 2
ì1 2a 1 - < 2 3
因为不等式的整数解只有 2，故 í 2 ，故 a 1，
2 < a + 2 3
4
3
故答案为： a 1.
4
54．（2024 高三·全国·对口高考）已知 a，b，c，d 为实数，以下 6 个命题中，真命题的序号是 ．
①若 a > b，则 ac2 > bc2 ； ②若 ac2 > bc2 ，则 a > b；
③若0 a b
b b + x
< < ，则 2 > ab > b2；
1 1
⑤若 a < b < 0，则 < ； ⑥ 若 a < b < 0 ，则 >
a b
；
【答案】②④
【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质一一判断即可.
【详解】对①，当 c = 0时， ac2 = bc2 ，故①不成立；
对②，若 ac2 > bc2 ，则 c2 0，即 2 > 0，则 a > b，故②成立；
对③，若 a =1,b = 2, x =1
b 2 b + x 3
b b + x
，则 = , =a a x 2 ，则
> ，故③不成立.
+ a a + x
对④，若 a < b < 0，则a2 > ab 且 > 2，故 a2 > ab > b2，故④成立；
对⑤，若 a < b < 0，则 ab > 0
1 1
，故 < ，即 > ，故⑤不成立， a b
对⑥，Qa < b 0,
a b b a
< \ >1, <1,\ < ，故⑥不成立，
b a a b
故②④为真命题.
故答案为：②④.
55．（2024 高二下·上海浦东新·期末）已知 x R ，定义： x 表示不小于 x 的最小整数，如： 2 = 2 ，

- 2 = -1， 2 = 2 ，若 2x × x = 5，则 x 的取值范围是 .

【答案】 1,
5
è 4 ú
【分析】由已知得 2 < x
5
× x ，再利用 x 的定义分类讨论可得其范围，解不等式可得解.
2
【详解】由 2x × x = 5，可得 4 < 2x × x 5，即 2 < x
5
× x ；
2
当 x =1 5时，即0 < x 1时， 2 < x 2 （舍去）；
当 x = 2 时，即1< x 2 1 x 5时， < ，满足题意；4
当 x = 3 2 5时，即 2 < x 3时， < x （舍去）；
3 6
同理可知，当 x 0或 x 4时不合题意，
5
所以实数 x 的取值范围是1 < x .
4
5
故答案为： 1,
è 4 ú
四、解答题
ì 1 a + b 3
56．（2024·广东汕头·一模）已知 a，b R ，且满足 í ，则 4a + 2b1 a b 1 的取值范围是？ - -
【答案】[2,10]
【分析】由4a + 2b = 3(a + b) + (a - b)，再结合同向不等式的可加性求解即可.
ìA + B = 4 ìA = 3
【详解】设 4a + 2b = A a + b + B a - b ，则 í
A - B 2
，解得 íB 1，= =
所以4a + 2b = 3(a + b) + (a - b)，
又1 a + b 3，所以3 3(a + b) 9，
又-1 a - b 1，
所以3 -1 4a + 2b 9 + 1，
即 2 4a + 2b 10 .
故 4a + 2b的取值范围为[2,10] .
57．（2024 高一·全国·专题练习）用比较法证明以下各题：
1 1 2
(1)已知 a > 0，b > 0．求证： + a b ab ．
b a
(2)已知 a > 0，b > 0．求证： + a + b ．
a b
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
2
1 1 2 1 1
【分析】（1）作差可得 + - =
a b ab
- ÷ ，由完全平方的性质可得；
è a b
b a
（2）作差变形可得 + - a - b = (b - a)
b - a
，可证不等式．
a b ab
【详解】（1）证明：Qa > 0，b > 0，
1 1 2
\ + -
a b ab
2 2
1 2 1 1 1 = - +
è a
÷
a b
÷
è b
2
1 1
= - ÷ 0，
è a b
1 1 2
\ +
a b ab ；
（2）Qa > 0，b > 0，则b - a与 b - a 符号相同，且 ab > 0，
b a
\ + - a - b
a b
b a
= - a + - b
a b
b - a a - b
= +
a b
= b a 1 1 - - ÷
è a b
b a b - a= - 0，
ab
b a
\ + a + b .
a b
2
58．（2024 高一·全国·单元测试）（1）已知 x R ，比较 x2 +1 与 x4 + x2 +1的大小．
（2）已知 x <1，比较 x3 -1与2x2 - 2x的大小．
2
【答案】（1） x2 +1 x4 + x2 +1；（2） x3 -1< 2x2 - 2x
【分析】由作差法及因式分解比较大小即可
2
【详解】（1） x2 +1 - x4 + x2 +1 = x4 + 2x2 +1 - x4 + x2 +1 = x2．
2
∵ x2 0 ，∴ x2 +1 - x4 + x2 2 2+1 0 ，即 x +1 x4 + x2 +1，当且仅当 x = 0时取等号．
1 2 3
（2 3 2 2 2

） x -1 - 2x - 2x = x -1 x + x +1 - 2x x -1 = x -1 x - x +1 = x -1 ê x - ÷ + ú ．
ê è 2 4ú
1 2
2
x <1 3
1 3
因为 ，所以 x -1< 0；又 x - ÷ + > 0 ，所以 x -1 ê x - ÷ + < 0，
è 2 4 ê è 2 4
ú
ú
所以 x3 -1< 2x2 - 2x．
2
59．（2024 高二下·广东清远·阶段练习）已知 a > b > c，且 a + b + c = 0 b - ac，求证： < 3 ．
a
【答案】证明见解析
【分析】由条件推出 a > 0， c < 0，从而将问题转化为 b2 - ac < 3a ，化简验证是否成立即可.
【详解】因为 a > b > c，且 a + b + c = 0 ，所以 a > 0， c < 0，
要证明原不等式成立，只需证明 b2 - ac < 3a ，即证b2 - ac < 3a2 ，
从而只需证明 (a + c)2 - ac < 3a2 ，即 (a - c)(2a + c) > 0，
因为 a - c > 0， 2a + c = a + c + a = a - b > 0，
所以 (a - c)(2a + c) > 0成立，故原不等式成立．
60．（2024 高三·全国·对口高考）设实数 a，b ，c满足① b + c = 6 - 4a + 3a2 ，② c - b = 4 - 4a + a2 ，试确定
a，b ， c的大小关系．
【答案】 c b > a ，当且仅当 a = 2时 c = b．
【分析】根据作差法，结合完全平方公式判断大小.
【详解】因 c - b = 4 - 4a + a2 = a - 2 2 0，
所以 c b，当且仅当 a = 2时，b = c，
2b = b + c - c - b = 6 - 4a + 3a2 - 4 - 4a + a2 = 2a2 + 2，
所以b = a2 +1，
2
b - a = a2 - a +1 = 1 3 a - ÷ + > 0，
è 2 4
所以b > a ，
综上可知： c b > a ，当且仅当 a = 2时 c = b．
61．（2024 高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小 a b .
a 2+ b
（1） 与 1 1 ， (a > 0,b > 0)+ ；2 a b
（2） a4 - b4 4a3与 a - b .
a + b 2
>
【答案】（1） 2 1 1 2 a4 - b4 < 4a3 a - b+ ；（ ） .
a b
【解析】利用作差法求解即可.
2 2
a + b 2 a + b 2ab a + b - 4ab a - b
【详解】（1） -2 1 1
= - = =
+ 2 a + b 2 a + b 2 a + b ，
a b
Q a > 0，b > 0且 a b，
\ a + b > 0， a - b 2 > 0 .
a - b\
2 a + b 2
>
> 0，即 2 1 1
2 a + b +
.
a b
（2 a4 - b4 - 4a3） a - b
= a - b a + b a2 + b2 - 4a3 a - b
= a - b a3 + a2b + ab2 + b3 - 4a3
= a - b a2b - a3 + ab2 - a3 + b3 - a3
= a - b a
2 b - a + a b - a b + a + b - a a2 + ab + b2
= - a - b 2 3a2 + 2ab + b2
= - a - b 2 2a
2 + a + b 2
Q 2a2 + a + b 2 0（当且仅当 a = b = 0时取等号），
又 a b，\ a - b 2 > 0 ， 2a2 + a + b 2 > 0 .
\ - a - b 2 2a2 + a + b 2 < 0
\ a4 - b4 < 4a3 a - b .
【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于较难题.
62．（2024 高一·上海·专题练习）已知 a,b,c, d (0,1)，试比较 abcd 与 a + b + c + d - 3的大小，并给出你的证
明．
【答案】 abcd > a + b + c + d - 3，证明见解析.
【分析】先证明 ab > a + b -1，然后用 ab， c分别替换 ab > a + b -1中的 a,b可证明
abc > a + b + c - 2，再用 abc， d 分别替换 ab > a + b -1中再利用已证的不等式放缩即可求证.
【详解】 abcd > a + b + c + d - 3
证明如下：
因为 a,b (0,1) ，
所以 ab - a + b -1 = ab - a - b +1 = a -1 b -1 > 0，
即 ab > a + b -1
因为 a,b,c (0,1)，所以 ab 0,1 ，
所以 abc = ab × c > ab + c -1 > a + b -1+ c -1，
即 abc > a + b + c - 2，
因为 a,b,c, d (0,1)，所以 abc 0,1 ，
abc × d > abc + d -1 > a + b + c - 2 + d -1 = a + b + c + d - 3，
即证得 abcd > a + b + c + d - 3
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是首先利用 a,b (0,1) ，证明 ab > a + b -1，通过类比和放缩即可
证明.
a b
63．（2024 高一·全国·课后作业）已知 a > 0，b > 0，试比较 a + b 与 + 的大小；b a
【答案】 a + b
a b
+ （当且仅当 a = b时取等号）
b a
a b
【分析】因为 a + b 与 + 都大于 0，故相除再和 1 比较大小即可，在变形过程中要用到立方和公式b a
以及基本不等式.
a b
+
【详解】由题意 b a a a + b b x3 3= ，由立方和公式 + y = x + y x2 - xy + y2 ，
a + b ab a + b
可得分子 a a + b b = a 3 + 3b = a + b a - ab + b ，
a a + b b a + b a + b - ab a + b - ab
将其代入原式得 = =
ab a + b ，ab a + b ab
进一步对其分子利用基本不等式可得 a + b - ab 2 ab - ab = ab ，且等号成立当且仅当 a = b，
a + b - ab
将其代入原式得 1，
ab
a b a b综上所述 + + （当且仅当 a = b时取等号）.
b a2.1 等式性质与不等式性质 5 题型分类
一、等式的基本性质
(1)如果 a＝b，那么 b＝a.
(2)如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.
(3)如果 a＝b，那么 a±c＝b±c.
(4)如果 a＝b，那么 ac＝bc
a b
(5)如果 a＝b，c≠0，那么 ＝ .
c c
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
a > bü
ac>bc
c > 0
4 可乘性 c 的符号
a > bü
acc < 0
a > bü
5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向c > d
a > b > 0ü
6 同向同正可乘性
c > d > 0
ac>bd 同向

7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
【思考 1】若 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d 成立吗？a－c>b－d 呢？
a＋c>b＋d 成立，a－c>b－d 不一定成立，但 a－d>b－c 成立.
【思考 2】若 a>b，c>d，那么 ac>bd 成立吗？
不一定，但当 a>b>0，c>d>0 时，一定成立.
（一）
用不等式（组）表示不等关系
(1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)
表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等
关系。思维要严密、规范.
(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换
大于，高于,超 小于，低于，少 大于等于，至少， 小于等于，至多，
文字语言
过 于 不低于 不超过
符号语言 > < ≥ ≤
(3)用不等式(组)表示不等关系的步骤
①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等.
②适当的设未知数表示变量.
③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，
如由变量的实际意义限制的范围.
题型 1：用不等式（组）表示不等关系
1-1．（2024 高一上·河北邢台·阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒 0.5 厘米，人跑
开的速度为每秒 4 米，距离爆破点 150 米以外（含 150 米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安
全区，导火索的长度 x （单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A． 4
x
<150 4 x x xB． 150 C． 4 150 D． 4 >150
0.5 0.5 0.5 0.5
1-2．（2024 高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入 x 不高于 2 000 元可表示为“x<2 000”
B．某变量 y 不超过 a 可表示为“y≤a”
C．某变量 x 至少为 a 可表示为“x>a”
D．小明的身高 x cm，小华的身高 y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
1-3．（2024 高一上·福建泉州·阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，
图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母 a,b a b 的不
等式表示出来（ ）
1
A． a2 + b2 ab 1> B． a2 + b2 < ab 1C．2 2 2 a
2 + b2 ab 1D 2 2． a + b ab2
1-4．（2024 高一·全国·课后作业）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力
1 *
会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的 k N ，已知一个铁钉受击 3 次后全部进
k
4
入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ，请从这个实例中提炼出一个不等式组： ．
7
1-5．（2024·河北衡水·模拟预测）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，
买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱 576，买竹子 78 根，拟分大 小两种竹子为单
位进行计算，每根大竹子比小竹子贵 1 钱，问买大 小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个
问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A．6 钱 B．7 钱 C．8 钱 D．9 钱
1-6．（2024 高一上·四川眉山·阶段练习）将一根长为5m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为 x m，若两
段绳子长度之差不小于1m，则 x 所满足的不等关系为（ ）
ì2x - 5 > 0
A． í B． 2x - 5 10 x 5 或
5 - 2x 1
< <
ì5 - 2x 1 ì 2x - 5 1
C． í0 x 5 D．< < í 0 < x < 5
（二）
利用不等式的性质判断命题的真假
(1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以
通过举反例的方法.
(2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧
①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质．
②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原
则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
题型 2：利用不等式的性质判断命题的真假
2-1．（2024 高一下·安徽宿州·期中）下列命题中正确的是（ ）
a b
A．若 a > b，则 ac2 > bc2 B．若 a > b， c < d ，则 >
c d
1 1
C．若 a > b， c > d ，则 a - c > b - d D．若 ab > 0， a > b，则 <
a b
71．（2024·山东·二模）若 a < b < 0，则下列不等式成立的是（ ）
1 1 1 1
A． a2 < b2 B． a + b < b + c C． < D． <
a b a b
2-2．（2024 高一上·山西朔州·阶段练习）如果 a < b < 0， c < 0，那么下列不等式正确的是（ ）
1 1
A． -a < -b B． <
a b
C 1 < 1
c c
． 2 2 D． >a b
2-3．（25-26 高一上·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（ ）
2 1 1 a bA．若 a > b2 , ab > 0，则 < B．若 2 < 2 ，则 a < ba b c c
C．若b > a > 0, m > 0
a + m a
，则 > D．若 a > b,c < d ，则 a - c > b - d
b + m b
2-4．（2024 高二下·北京·期中）若 a，b ， c R 且 a > b > c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a - b > b - c B．a + b > 2c C． ac > bc D． a2 > b2 > c2
2-5．（2024 高一下·江苏扬州·开学考试）对于实数 a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若 a > b，则 ac2 > bc2
B．若 a > b，则 a2 > b2
C．若 a > b，则 a | a |> b | b |
b c
D．若 a > b > c > 0，则 < ．
a - b a - c
（三）
比较两个实数的大小
作差法 作商法 平方法
a
a>0，b>0，则 >1 a
a－b>0 a>b； b a<0，b<0，则 >1 aa b a>b；依据 － ＝0 a＝b； b a2>b2，且 a>0，b>0 a>b
a b<0 ab
b b b b
a题型 3：数（式）比较大小
3-1．（2024 高二下·全国·专题练习）已知 c＞1，且 x＝ c+1－ c ，y＝ c － c -1 ，则 x，y 之间的大小
关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y 的关系随 c 而定
3-2．（2024 高一上·山东泰安·阶段练习）设M = 2a a - 2 + 7 ， N = a - 2 a - 3 ，则有（ ）
A． M > N B．M N
C．M < N D．M N
3-3．（2024 高一·江苏·假期作业）已知a 1，试比较M = a +1 - a 和 N = a - a -1的大小.
2 2 a - b
3-4．（2024 a - b高一下·黑龙江鹤岗·期末）设 a > b > 0，比较 与 的大小
a2 + b2 a + b
3-5．（2024 高三·全国·专题练习）设 t = a + 2b ， s = a + b2 +1，则 s 与 t 的大小关系是 .
a - b a
3-6．（2024 高一上·广东清远·期末）“ a > c > b > 0 ”是“ > ”的（
c b c ）-
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
（四）
利用不等式的性质证明不等式
利用不等式的性质证明不等式应注意的事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不
等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更
不能随意构造性质与法则．
题型 4：利用不等式的性质证明不等式
1 1 1
4-1．（2024 高一·全国·课后作业）设 a，b ， c R ， a + b + c = 0 ， abc < 0，证明： + + > 0．
a b c
a a
4-2．（2024 高一上·河南·阶段练习）（1）已知a < b < c ，且 a + b + c = 0 ，证明： < ．
a - c b - c
（2）证明： a - a - 2 < a -1 - a - 3 ． (a 3)
4-3．（2024 高一上·内蒙古呼和浩特·期中）证明不等式．
(1)bc - ad 0
a + b c + d
，bd＞0，求证： ；
b d
b b c
(2)已知 a＞b＞c＞0，求证： > > ．
a - b a - c a - c
（五）
利用不等式的性质求参数范围
(1)利用不等式的性质求取值范围的策略
①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
②同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，
就有可能扩大其取值范围．
注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
(2)利用不等式性质求范围的方法:
①借助性质，转化为同向不等式相加进行解答;
②所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件;
③结合不等式的传递性进行求解.
(3)求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示
所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去
求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围.
题型 5：利用不等式的性质求参数范围
5-1．（2024 高一·全国·专题练习）已知0 a - b 1,2 a + b 4，则 4a - 2b 的取值范围是（ ）
A．1 4a - 2b 5 B． 2 4a - 2b 7
C．1 4a - 2b 6 D．0 4a - 2b 9
5-2．（2024 高三·全国·对口高考）已知-1 a + b 1,-1 a - b 1，求 2a + 3b的取值范围 ．
a
5-3．（2024 高三·全国·专题练习）已知2 < < 3， 2 < < 1，分别求 a + b ，2a - b ，ab， 的取值范围．
b
5-4．（2024 高一上·湖南长沙·阶段练习）已知实数 x，y 满足 4 ≤ ≤ 1，-1 2x - y 5，则 y 的取值
范围是（ ）
A． y 0 y 9 B． y - 5 y 4
C． y 1 y 13 D． y 0 y 13
5-5．（2024 高一上·湖北荆州·阶段练习）已知-1 a + b 4， 2 a - b 3，则3a - 2b 的取值范围为
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知1 a 2, -1 b 4 ,则 a- 2b的取值范围是（　　）
A．[-7,4] B．[-6,9] C．[6,9] D．[-2,8]
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 p∈R，M = (2 p +1)( p - 3) ，N = ( p - 6)( p + 3) +10 ，则 M，N 的大小关
系为（　　）
A．MN
C．M≤N D．M≥N
3．（2024 高一上·天津滨海新·期末）下列命题为真命题的是（）
A．若 a > b > 0，则 ac2 > bc2 B．若 a > b > 0，则 a2 > b2
1 1
C．若 a < b < 0，则 a2 < b2 D．若 a < b < 0，则 <
a b
4．（2024 高二下·山东滨州·阶段练习）下列说法中正确的是（　　）
A．如果 a > b，则 ac > bc B．如果 a > b，则 ac2 > bc2
C．如果 ac2 > bc2 ，则 a > b D．如果 a > b， c > d ，则 ac > bd
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列不等式正确的是（　　）
A．若 ac2 bc2，则 a b
c c
B．若 > ，则 a < b
a b
C．若 a + b > 0， c - b > 0，则 a > c
D．若 a > 0，b > 0
a + m a
，m > 0，且 a < b ，则 >
b + m b
6．（2024 高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的为（　　）
1 1
A．若 a > b，则 <
a b
B．若 2 = ，则b2 > a 或b2 > c
C．若 x < y ，则 2 < 2
D．若 a = b，则 a = b
7．（2024 高一上·河南·阶段练习）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资
300万；方案 B 为第一年投资80万，以后每年投资 20万.下列不等式表示“经过 n 年之后，方案 B 的投入不
大于方案A 的投入”的是（ ）
A．80 + 20n 300 B．80 + 20n 300
C．80 + 20 n -1 300 D．80 + 20 n -1 300
8．（2024 高一上·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、
宽、高之和不超过 130cm，且体积不超过72000cm3 ，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为 a，b，c（单
位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A． a + b + c <130且 abc < 72000 B． a + b + c >130且 abc > 72000
C． a + b + c 130且 abc 72000 D． a + b + c 130且 abc 72000
9．（2024 高一下·江西抚州·阶段练习）若0 < b < a，下列不等式中不一定成立的是（　　）
1 1 1 1
A． > B． < C．
a b b a > b
D．-a < -b < 0
- a b
10．（2024 高一上·贵州毕节·阶段练习）某学生月考数学成绩 x 不低于 100 分，英语成绩 y 和语文成绩 z
的总成绩高于 200 分且低于 240 分，用不等式组表示为（ ）
ì x >100 ì x 100
A． í200 B．< y + z < 240 í 200 y + z 240
ì x >100 ì x 100
C． í200 y z 240 D． + í 200 < y + z < 240
11．（2024 高一·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人 50 元，请瓦工需付工资每人 40
元，现有工人工资预算 2000 元，设木工 人，瓦工 y 人，则请工人满足的关系式是（ ）
A．5x + 4y < 200 B．5x + 4y 200
C．5x + 4y = 200 D．5x + 4y 200
12．（2024 高三上·福建福州·开学考试）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部
尺寸长、宽、高之和不超过160cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为 a、b 、 c（单位： cm），这个
规定用数学关系式可表示为（ ）
A． a + b + c > 160 B． a + b + c < 160 C． a + b + c 160 D． a + b + c 160
13．（2024 高一上·河北唐山·阶段练习）如果 a,b,c, d R,ab 0，则下列命题为真命题的是（ ）
1 1
A．若 a > b，则 < B．若 a > b，则 ac2 > bc2
a b
1 1
C．若a > b,c > d ，则 ac > bd D．若 a > b，则
ab2
>
a2b
14．（2.1 等式与不等式的性质（精练）-《一隅三反》）已知 a,b R ，则“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（2024 高三上·广西钦州·阶段练习）已知 a > 0，b > 0，设m = a - 2 b + 2, n = 2 a - b ，则（ ）
A．m n B．m > n C．m n D．m < n
16．（2024 高三·全国·专题练习）已知 a>0，b>0，M＝ a + b ，N＝ a + b ，则 M 与 N 的大小关系为（　　）
A．M>N B．M17．（2024 高一上·陕西咸阳·期末）已知 a,b,c,d ，为实数，满足 a > b，且 c > d ，则下列不等式一定成立的
是（ ）
1 1 1
A． ac > bd B． a + ≥ 2 C． a - d > b - c 18．（2024 高一上·安徽蚌埠·期末）已知0 < x <1，则下列不等式成立的是（ ）
A． x2
1 1
> > x B． > x2
1 1
> x C． x > > x2 D 2． > x > x
x x x x
19．（2023-2024 学年河南省濮阳市高二上学期期末考试数学（理）试卷（带解析））若 a > b > 0,c < d < 0,则
一定有
a b a b a b a b
A． > B． < C． > D． <
c d c d d c d c
20．（2024·江西抚州·模拟预测）2021 年是中国共产党成立 100 周年，为了庆祝建党 100 周年，学校计划购
买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红 黄 蓝 绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿
色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（ ）个
A．20 B．22 C．24 D．26
21．（2024 高一下·广西·期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a < b < 0，则 2 < 2 B．若 a < b < 0，则 a2 < ab < b2
c c
C．若 a > b， c > d ，则 ac > bd D．若 a > b > c > 0，则 <
a b
22．（2024 高一·全国·课后作业）如图，在一个面积为 200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓
库的长 a 大于宽 b 的 4 倍，则表示上述的不等关系正确的是（ ）
A． a > 4b B． (a + 4)(b + 4) = 200
ìa > 4b ìa > 4b
C． í
(a + 4)(b 4) 200
D．
+ = í 4ab = 200
23．（2024 高三下·上海宝山·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若 a > b ，则 a2 > b2 B．若 > | |，则 a2 > b2
C．若 a > b，则 a2 > b2 D．若 a2 > b2 ，则 a > b
24．（2024 高一·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度
为每秒 4 米，距离爆破点 100 米以外（含 100 米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导
火索的长度 x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
4 x 100 4 xA． < B． 100
x
C． 4 100
x
D． 4 >100
0.5 0.5 0.5 0.5
25．（2024 高一上·江苏盐城·期中）设 p = 2 ，Q = 7 - 3 ，R = 6 - 2 ，则 P，Q，R 的大小顺序是
（ ）
A．P > Q > R B．P > R > Q
C．R > P > Q D．Q > R > P
a,b R 1 126．（2024 高三上·江苏盐城·期中）若 且 ab 0 .则 2 > 2 成立的一个充分非必要条件是（ ）a b
A． a > b > 0 B．b > a
C．b < a < 0 D． ab a - b < 0
27．（2024·北京海淀·一模）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于1km）按逆时针方向跑步，他从起点出
发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑
了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
28．（2024 高三上·上海·阶段练习）已知集合 S = { x, y, z | x, y, z Z，且 x < y < z, y < z < x, z < x < y 恰有一
个成立}；若 x, y, z S 且 z, w, x S ，则下列选项正确的是（ ）
A． y, z, w S , x, y, w S
B． y, z, w S , x, y, w S
C． y, z, w S , x, y, w S
D． y, z, w S , x, y, w S
29．（2024 高一上·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（ ）
a b a b
A．若 a > b > 0,c < d < 0，则一定有 > B．若 >
c d c2 c2
，则 a > b
C．若b > a > 0, m > 0
a + m a
，则 > D．若 a > b,c < d ，则 a - c > b - d
b + m b
30．（2024 高二上·辽宁沈阳·期中）已知 2 < a + b < 5,0 < a - b <1，某同学求出了如下结论：①1 < a < 3；
1 5
②1 < b < 2 ；③ < b < ；④ -4 < a - 2b < 2；⑤ -3 < a - 2b <1；⑥1< 2a - b < 4；，则下列判断中正确的
2 2
是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②⑤ D．①③⑥
二、多选题
31．（2024 高二下·福建三明·期中）若 a > b > 0， c R ，则下列结论正确的有（ ）
A． a - b > 0 B． a2 > b2
1 1
C． ac > bc D． <
a b
32．（2024 高一上·四川广安·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ac2 > bc2 ，则 a > b B．若 a > b， c > d ，则 a + c > b + d
a a + c
C．若 a > b， c > d ，则 ac > bd D．若b > a > 0， c > 0，则 >
b b + c
33．（2024 高一上·江苏镇江·期末）对于实数 a，b ， c，正确的命题是（ ）
a + b
A．若 a > b，则 a > > b B．若 a > b > 0，则
2 a > ab > b
1 1
C．若 > ，则 a > 0，b < 0 D．若 a > b > 0， c > 0 a a + c，则 >
a b b b + c
1 1
34．（2024 高一上·山东威海·期末）已知 a,b R ，则下列选项中能使 > 成立的是（ ）a b
A．b > a > 0 B． a > b > 0 C．a > 0 > b D．b < a < 0
35．（2024 高一上·福建三明·期末）已知 a > b >1， c < 0，则下列四个不等式中，一定成立的是（ ）
c c
A． < B． < C． a b - c > b a - c D． a > b - c
a b
36．（2024·全国·模拟预测）若m > n > 0 > p，m + p 0，则（ ）．
p p
A． > B．m2 - p2 > 0
m n
1 1
C． >m D．+ n m + p m
2 - n > n2 - m
37．（2024 高一上·广东梅州·期末）下列结论正确的是（ ）
A．若 a > b，则 a2 > b2 B．若 2 < 2，则 a < b
C．若 a > b， c > d ，则 a + c > b + d D．若 a > b， c > d ，则 ac > bd
38．（2024 高三·全国·专题练习）若 a > 0 > b > -a ， c < d < 0，则下列结论正确的是（　　）
a b
A． ad > bc B． + < 0
d c
C． a - c > b - d D． a d - c > b d - c
39．（2024 高一上·广东湛江·期末）已知实数 a，b ， c满足 c < b < a ， ac < 0，那么下列选项中错误的是
（　　）
A． ac a - c > 0 B． cb2 < ca2
C． ab > ac D． c b - a < 0
40．（2024 高三下·河北衡水·阶段练习）设 a,b为正实数，则下列命题正确的是（ ）
1 1
A．若 a2 - b2 =1，则 a - b <1 B．若 - =1，则 a - b <1b a
C．若 a > b +1，则 a2 > b2 +1 D．若a 1，b 1，则| a - b | |1- ab |
41．（2024 高一上·江苏常州·阶段练习）生活经验告诉我们，a 克糖水中有 b 克糖 (a > 0,b > 0,且 a > b) ，若再
添加 c 克糖 (c > 0)
b + c b
后，糖水会更甜，于是得出一个不等式： > .趣称之为“糖水不等式”．根据生活经
a + c a
验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
b
A．若 a > b > 0，m > 0 + ，则 m + 与 的大小关系随 的变化而变化a
B b > a > 0 m > 0 ．若 ， ，则 > +
+
C a > b > 0 c > d > 0 b + d b + c．若 ， ，则 D．若 a > 0，b > 0 a b a b，则一定有 + < +1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b
42．（2024 高三·北京·强基计划）设 a，b，c 均为大于零的实数，若一元二次方程 ax2 + bx + c = 0有实根，则
（ ）
1 4
A．max{a,b,c} (a + b + c) B．max{a,b,c} (a + b + c)
2 9
min{a,b,c} 1C． (a + b + c) D．min{a,b,c}
1
(a + b + c)
4 3
43．（2024 高一上·四川凉山·期末）下列四个命题中，正确的是（ ）
1 1
A．若 ac2 bc2，则 a b B．若 a>b，且 > ，则 ab<0a b
b + c b a b
C．若 a>b>0，c>0，则 > D．若 c > a > b > 0，则 >
a + c a c - a c - b
44．（2024 高三·全国·专题练习）下列是假命题的是（　　）
A．若 ac2 bc2，则 a b
c c
B．若 > ，则 a < b
a b
C．若 a + b > 0， c - b > 0，则 a > c
a + m a
D．若 a > 0，b > 0，m > 0，且 a < b ，则 >
b + m b
三、填空题
45．（2024 高一·全国·课后作业）某同学拿 50 元钱买纪念邮票，票面 8 角的每套 5 张，票面 2 元的每套 4 张，
如果每种邮票至少买两套，那么买票面 8 角的 x 套与票面 2 元的 y 套用不等式组可表示为 .
46．（2024 高三·全国·专题练习）若1< a < 3 , -4 < b < 2 ,则 2a + b 的取值范围是 .
47．（2024 高一上·云南怒江·期末）已知1 < a < 3，-2 < b <1，则a + 2b的取值范围是 .
48．（2024 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知1 a + b 4，-1 a - b 2 ，则3a + 2b的取值范围是 ．
49．（2024 高三·全国·专题练习）设 2 < a < 7 ，1 < b < 2 ，则 a + 3b的取值范围是 ，ab的取值范围是 .
江苏省扬州市仪征中学 2023-2024 学年高三下学期 3 月学情测试数学试题）若 -1 < a + b < 3,2 < a - b < 4 ，则
2a + 3b的取值范围为 ．
51．（2024 高一上·辽宁葫芦岛·期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课
余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，
加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的
过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学
生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师
人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为7 ，则女学生人数的最小值为 ；若男学
生人数未知，则该小组人数的最小值为 .
x2 x
52．（2024 高二上·宁夏吴忠·期末）设 x，y 为实数，满足3 xy2 8， 4 9，则 y3 的最小值是 .y
1
53．（2024 高一·安徽宣城·强基计划）若关于 x 的不等式 a - 2 < 2a - x < 只有一个整数解 2，则实数 a的取
2
值范围为 ．
54．（2024 高三·全国·对口高考）已知 a，b，c，d 为实数，以下 6 个命题中，真命题的序号是 ．
①若 a > b，则 ac2 > bc2 ； ②若 ac2 > bc2 ，则 a > b；
③若0 a b
b b + x
< < ，则 < ； ④若 a < b < 0，则 a2a a + x > ab > b
2；
1 1
⑤若 a < b < 0，则 < ； ⑥ 若 a < b < 0 ，则 > ；
a b
55．（2024 高二下·上海浦东新·期末）已知 x R ，定义： x 表示不小于 x 的最小整数，如： 2 = 2 ，
- 2 = -1， 2 = 2 ，若 2x x = 5，则 x 的取值范围是 .
四、解答题
ì 1 a + b 3
56．（2024·广东汕头·一模）已知 a，b R ，且满足 í ，则 4a + 2b1 a b 1 的取值范围是？ - -
57．（2024 高一·全国·专题练习）用比较法证明以下各题：
1 1 2
(1)已知 a > 0，b > 0．求证： + a b ab ．
b a
(2)已知 a > 0，b > 0．求证： + a + b ．
a b
2
58．（2024 高一·全国·单元测试）（1）已知 x R ，比较 x2 +1 与 x4 + x2 +1的大小．
（2）已知 x <1，比较 x3 -1与2x2 - 2x的大小．
2
59 b - ac．（2024 高二下·广东清远·阶段练习）已知 a > b > c，且 a + b + c = 0 ，求证： < 3 ．
a
60．（2024 高三·全国·对口高考）设实数 a，b ，c满足① b + c = 6 - 4a + 3a2 ，② c - b = 4 - 4a + a2 ，试确定
a，b ， c的大小关系．
61．（2024 高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小 a b .
a b 2+
（1） 与 1 1 ， (a > 0,b > 0)；
2 +a b
（2 3） a4 - b4与 4a a - b .
62．（2024 高一·上海·专题练习）已知 a,b,c, d (0,1)，试比较 abcd 与 a + b + c + d - 3的大小，并给出你的证
明．
a b
63．（2024 高一·全国·课后作业）已知 a > 0，b > 0，试比较 a + b 与 + 的大小；b a

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