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5.3 诱导公式 6 题型分类
一、角的对称
(1)角 π＋α 的终边与角 α 的终边关于原点对称，如图(a)；
(2)角－α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称，如图(b)；
(3)角 π－α 的终边与角 α 的终边关于 y 轴对称，如图(c)．
二、诱导公式
公式二 sin(π＋α)＝－sinα cos(π＋α)＝－cosα tan(π＋α)＝tanα
公式三 sin(－α)＝－sinα cos(－α)＝cosα tan(－α)＝－tanα
公式四 sin(π－α)＝sinα cos(π－α)＝－cosα tan(π－α)＝－tanα
(1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一
个把 α 看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负
号；“看象限”是指假设 α 是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如 sin(π＋α)，若把 α 看
成锐角，则 π＋α 在第三象限，正弦在第三象限取负值，故 sin(π＋α)＝－sinα.
(2)利用诱导公式一和三，还可以得到如下公式：
sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，
tan(2π－α)＝－tanα.　
三、诱导公式五、六
(1)公式五、六中的角 α 是任意角．
π
(2)诱导公式一～六中的角可归纳为 k· ±α 的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．
2
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
π
②“奇”“偶”是对诱导公式 k· ±α 中的整数 k 来讲的．
2
π π
③“象限”指 k· ±α 中，将 α 看成锐角时，k· ±α 所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，
2 2
四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：
(3π 3πsin －α)＝－cosα，cos( －α)＝－sinα，2 2
sin(3π 3π＋α ＝－cosα，cos ＋α ＝sinα.2 ) ( 2 )
（一）
给角求值
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为 0°到 360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
题型 1：给角求值
1-1．（2024 高一·全国·专题练习）求下列各式的值．
(1) sin1470°；
(2) cos
9π
；
4
(3) tan
11π
- 6 ÷．è
sin 43p(4) - 6 ÷；è
(5) cos -120° sin -150° + tan855° .
1-2．（2024 高一·全国·课堂例题）利用公式求下列三角函数值：
(1) cos 225°：
8π
(2) sin ；
3
sin 16π (3) - ÷；
è 3
(4) tan -2040° .
1-3．（2024 高一·全国·随堂练习）求值：
(1) sin150°；
(2) tan1020°；
3π
(3) sin(- )；
4
(4) sin -750° .
1-4．（2024 高一·全国·专题练习）求下列各值.
(1) sin
π
- 6 ÷
；
è
cos π (2) - 4 ÷
；
è
(3) tan
7π
- 6 ÷
；
è
sin 7π (4) - 4 ÷è
47
(5) cos π；
6
sin 7π(6) -

÷；
è 3
(7) tan -855° ．
（二）
给式(值)求值
1、解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的
差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2、解答此类题目的关键在于利用数学中化归的思想来探究两个角(或整体)之间的关系，当寻
找到角与角之间的联系后，未知角这一整体的三角函数值可以通过已知角的三角函数值和有关
的三角公式求得，这是三角函数解题技巧之一.
题型 2：给式(值)求值
1
2-1．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 sin(π -a ) = ，则 sin(a - 2021π)3 的值为（ ）
A 2 2． B 2 2．-
3 3
1 1
C． D．-
3 3
2-2．（2024 高二下·陕西榆林·期末）已知 tanq = 2，则 sinq sin
3π
+q ÷ = .
è 2
π 3
2-3．（2024 ·

高二下 湖南株洲·开学考试）已知a , π ÷， sina = ，则 cos π -a = .
è 2 5
π
2-4．（2024 高三上·上海黄浦·开学考试）若a ( , π),cos(π -a )
3
= ，则 tana = .
2 5
（三）
三角函数式的化简
1、三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
π
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
4
(4)用诱导公式进行化简时，若遇到 kπ±α 的形式，需对 k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式
进行化简．
2、三角函数式的化简注意:
(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;
(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数;
(3)注意“1”的变形应用.
题型 3：三角函数式的化简
4
3-1．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 cosa = - ，且a 为第三象限角．求
5
sin 5π a cos 7π- -a ÷ tan -π +a
f a = è 2 的值．
- tan -19π -a sin -a
sin π -a tan 2π -a cos 2π -a
3-2．（2024 高一·全国·课堂例题）化简： × ×tan π +a cos π -a sin π ．+a
3-3．（2024 高三上·江西·阶段练习）已知a 是第三象限角，且 tan2 a + 2 tana - 3 = 0，则
4sin(π +a )
=
cos π +a

÷ - cos(-a )
．
è 2
cos q 3π- ×sin 7π +q
3-4 2024 ÷ ÷．（ 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知 f q = è 2 è 2 .
sin -q - π
(1)若 f q 1= ，求 tanq 的值；
3
π 1
(2)若 f -q ÷ = ，求 f
5π +q
6 3 6 ÷
的值.
è è
3-5．（安徽省马鞍山市红星中学 2023-2024 学年高一下学期 3 月月考数学试题）已知
sin π -a cos 2π -a cos 3π -a ÷
f a = è 2 .
cos π -a ÷sin -π -a
è 2
(1)化简 f a ；
1
(2)若a 是第三象限角，且 sin a - π = ，求 f a 的值.
5
3-6．（2024 高二上·安徽·开学考试）已知在平面直角坐标系中，点M 2,4 在角a 终边上，则
sin3 π -a + cos3 -a
= （3 ）sin a - 2cos3 a
2 3 3 5
A． B． C．- D．-
3 2 5 3
1
3-7．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 cosa = - ，且a 为第二象限角, tanb = 2 ，则
3
sinacosb + 3sin π +a

÷sinb
è 2 的值为（ ）
cos π +a cos -b - 3sinasinb
A 2 2 - 4．－ B 3 2．－
11 11
C 2 3 2． D．－
11 13
（四）
由已知角求未知角的三角函数值
①观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将会不同名的函数化为同名的函数，将不同
的角化为相同的角是解决问题的关键;
②对于有条件的三角函数求值题，求解的一般方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已
知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式完成求值;
③当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这
个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系.
题型 4：由已知角求未知角的三角函数值
π 2 2π
4-1．（2024 高三·全国·专题练习）已知 cos +a = ，则 cos -a 的值等于（ ）
è 3 ÷ 3 3 ÷
è
2 2
A． B．- C 5 5． D．±
3 3 3 3
4-2．（2024 高一下·四川眉山·阶段练习）若 cos
π +a 1= sin
π
÷ ，则 -a

6 3 ÷等于（3 ）è è
7 7 1
A．- B 2 2． C． D．
9 3 9 3
sin π a 3 a
π π
- , sin π 4-3．（2024 高一下·安徽芜湖·期中）已知 + = ，且6 ÷ 3 4 4 ÷
，则 -a ÷ = （ ）
è è è 3
A 3 B 3 C 2．- ． ． D 6．
3 3 3 3
π 1 5π
4-4．（2024 高一下·上海嘉定·期中）已知 cos x + ÷ = ，则 cos - x
2 π
÷ + cos - x

÷的值为 ；
è 6 4 è 6 è 3
（五）
利用诱导公式证明恒等式
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的
差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
题型 5：利用诱导公式证明恒等式
cos 6p +q sin -2p -q tan 2p -q
= - tanq
5-1．（2024 高一·全国·课后作业）求证： cos 3p q sin 3p q . + ÷ + ÷
è 2 è 2
tan 2p -a cos 3p -a cos 6p -a
è 2 ÷5-2．（2024 高一· 全国·课后作业）求证： =1
tan a sin 3p 3p
．
p - a + ÷cos2
a + ÷
è è 2
2sin(q 3p- ) cos(q p+ ) -1 tan(9p +q ) +1
5-3．（2024 高一·全国·课前预习）求证： 2 2 ＝
1- 2sin2 (p +q ) tan(p q ) 1
．
+ -
（六）
诱导公式的综合应用
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
题型 6：诱导公式的综合应用
sin π +a

÷cos π +a sin -a
6-1 2024 è
2
．（ 高一上·重庆长寿·期末）已知 f a = .
sin 3π -a

÷cos 2π -a tan π -a
è 2
(1)化简 f a ；
(2)若 f a 10= ，且a 为第四象限角，求 2sin2a + 3sinacosa 的值.
10
6-2．（2024 高一下·江苏扬州·开学考试）给出下列三个条件：①角a 的终边经过点P(3m,-4m)(m 0)；②
sina + cosa 1
= ；
sina - cosa 7
③ 3cos2a - 4sinacosa = 3(a kπ,k Z) ．
请从这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)若a 为第四象限角，求 sina - 2cosa 的值；
sin(π -a )
(2)求 sin2 (π +a )cos( π-a ) + sin(2π -a )sin2 -a 的值．
è 2 ÷
6-3．（2024 高三上·江苏·开学考试）若VABC 的内角 A，B，C 满足 sinA = cosB = tanC ， 则 A 与 B 的关系为
（ ）
A． A - B
π π
= B． A + B
π
= C B - A = D A + B π=
2 2
． ．
2 3
6-4 x-2．（2024 高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数 f x = a + 2（ a > 0且 a 1）的图像过定点 P ，且角a
cos 11π 9π
x
-a ÷sin +a ÷
的始边与 轴的正半轴重合，终边过点 P ，则 è 2 è 2 等于（ ）
sin2 -π -a
2 2 3 3
A．- B． C． D．-
3 3 2 2
一、单选题
1．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 和角 b 的顶点均与原点 O 重合，始边均与 x
2
轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线 y = -x 对称，若cosa = ，则 sin b =（ ）
3
2 2
A 5． - B．- C D 5． ．
3 3 3 3
3π 1 π
2．（2024 高一下·河南驻马店·期中）已知 sin +a ÷ = ，则 cos8 3
-a ÷ =（ ）
è è 8
1 1
A - B C 3． ． ．- D 3．
3 3 3 3
3．（2024 高一下·河南驻马店·期中） tan 300° = （ ）
A 3 B 3．- ． C．- 3 D． 3
3 3
4．（2024 高一下·新疆阿克苏·期中） cos150° 等于（ ）
3 1 1A．- B．- C． D 3．
2 2 2 2
o
5 sin 300．（2024 高二上·江西·开学考试）
tan135o
=（ ）
1 1
A．- B 3．- C． D 3．2 2 2 2
6．（2024 高一上·新疆塔城·期末） sin 240°的值是（ ）
A 3 B 3
1 1
．- ． C．- D．
2 2 2 2
89π
7．（2024 高一下·四川自贡·期中） sin =（ ）
6
1 1
A B 3 3． ．- C． D．
2 2
-
2 2
8．（2024 高一上·河北保定·阶段练习）已知函数 f (x) = a sin(p x +a ) + bcos(p x + b ) + 4， x R ，且
f (2023) = 3，则 f (2024)的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
sin π a 2 sin 5π9．（2024 高二上·江苏常州·开学考试）已知 - ÷ = +a

，则 ÷ =（ ）
è 6 3 è 6
2 2
A． B．- C 5 5． - D．
3 3 3 3
10 2024 · · P sin 2022o - cos 2022o ,sin 2022o cos 2022o．（ 高三 全国 专题练习）点 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2024 · · sin -1200o o高三 全国 专题练习）求值： cos585 + cos -300o sin -750o =（ ）
A 6－1 B 6+1 C 6+1 D 6－1． ． ． ．
4 4 2 2
12．（2024 高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）点 A cos2021°, tan 2021° 在直角坐标平面上位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．（2024 高三上·北京·开学考试）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 以Ox 为始边，终边与单位圆交于点
3 6
- , ÷÷，则 cos(
p
+a ) = （
3 3 ）è 2
A 3 B 3 C 6 6．- ． ．- D．
3 3 3 3
5π 2
14．（2024 高一下·新疆伊犁·期末） sin +a ÷ = ，那么 cos π +a =（ ）
è 2 5
3 3 2 2
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
15．（2024 高三上·山东日照·开学考试）已知角a 的终边经过点P 1, -2 ，则si n α +π = （ ）
2 5 1A 2 5．-2 B．- C．- D．
5 2 5
16．（2024 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知a 的终边上有一点P(1,3) ，则 cos(π + a ) 的值为（ ）
1
A B 10 C 10 3 10． ． ．
3 -
D．-
10 10 10
17．（2024 2 5高一上·山西运城·期末）已知q 为第二象限角，且 cos q - π = ，则
5
1+ cosq 1- cosq
-
1 sin π- -q 1+ sin q 3π- 的值是（ ）
è 2 ÷ ÷ è 2
1 1
A．-4 B． 4 C． D4 ．- 4
18．（2024 高三上·湖南·阶段练习）已知a 是第四象限角，且 2 tan2 a - tana -1 = 0，则
cos 2π -a - sin π -a
=
3cos π +a + cos -a （ ） 2 ÷è
1 1 3 3
A．- B． C．- D．
3 3 5 5
sin π -q
=
19．（2024 高一上·浙江金华·阶段练习）已知角q 的终边经过点P(1, 2)，则 cos π -q ÷ + cosq
（ ）
è 2
1 1 2 2
A．- B． C．- D．
3 3 3 3
20．（2024 高三上·重庆铜梁·阶段练习）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若 a=f
12p 5p 2p
（sin ），b=f（cos ），c=f（tan ），则（　　）
7 7 7
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
二、多选题
21．（2024 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知角a 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，它的终
3 4 π
边过点P - , ÷，角 b 的终边与角a 的终边关于 y 轴对称，将 OP 绕原点逆时针旋转 后与角q 的终边重
è 5 5 2
合，则（ ）
4
A． sina = B．a = π - b C． cosa + cos b = 0 D． sina + cosq = 0
5
22．（2024 高一下·山东潍坊·期中）以下各式化简结果正确的是（ ）
sinq - cosq
A． = cosq B． 1- 2sin 20°cos20° = cos20° - sin 20°
tanq -1
C． sin -36° + cos54 p p° = 0 D． sin -q ÷cos +q ÷ = sinq cosq
è 2 è 2
23．（2024 高一上·重庆九龙坡·阶段练习）已知a R ，则下列式子恒成立的是（ ）
A． cos -1800 +a = -cosa B． sin(2p -a ) = sina
C． sin
9p
+a ÷ = cosa D． cos -p -a = cosa
è 2
1
24．（2024 高一下·山东日照·阶段练习）下列各式中值为 的是（ ）
2
A． cos30o B． sin150o
C． cos300o D． sin120o
25．（2024 高一下·新疆·期末）已知角a 的终边经过点 P(-3,4)，则（ ）
3
A． cosa = - B． tana
4
= -
5 3
4
C．sin(a + π) = D． cos(a π- ) 4= -
5 2 5
26．（2024 高一下·安徽·开学考试）已知锐角三角形 ABC 中，设 a = tan A tan B， f (x) = loga x则下列判断正
确的是（ ）
A． sin A > cos B B． a >1
sin A sin B
C． + > 2 D． f (cos A) > f (sin B)
cos B cos A
27．（2024 高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论正确的有（ ）
sin p p 5p 2pA． +a
= cos -a cos +q ÷ ÷ B． ÷ + sin

-q
= 0
è 6 ÷ è 3 è 6 è 3
C． sin2 15o -a + cos2 75o +a =1 D 2． sin 15o -a + sin2 75o +a =1
三、填空题
o o
28．（2024 高一上·甘肃武威· sin 210 + cos120期中）已知 =
tan 45o
29．（2024 高一上·全国·课后作业）如图，A，B 是单位圆 O 上的点，且 B 在第二象限，C 是圆 O 与 x 轴
5 12
的正半轴的交点，A 点的坐标为 , ，13 13 ÷ AOB = 90
o ，则 tan COB = .
è
30．（2024 高一下·江西萍乡·期中）若 tan
π
+a
π
÷ = 3，则 tan -a ÷ = 4 ．è 4 è
π 1 π
31．（2024 高一·全国·

课堂例题）（1）已知 sin -a ÷ = ，则 cos +a ÷ = 3 2 ；è è 6
π 3 5π
（2）已知 tan -a6 ÷
= ，则 tan
3
+a ÷ =
è è 6
．

π
32．（2024 高一·全国·课堂例题）若3sina - sin b = 10 ，a + b = ，则 sina = ．
2
33．（2024 高一上·全国·单元测试）已知 sina 是方程 2x2 - x -1 = 0的根，α 是第三象限角，则
sin 3 -a - π
cos 3 π -a
è 2 ÷ 2 ÷ è × tan2
π π -a ＝ .cos -a sin π ÷ + a
è 2 è 2 ÷
q π 34．（2024 高三上·广东深圳·阶段练习）若 0, ÷ ， tan π +q
1
= ，则 sinq - cosq = ．
è 2 2
1 π
35．（2024 高三上·上海浦东新·开学考试）已知 sin x = - , tan x > 0 ，则 sin + x ÷ = ．3 è 2
36．（2024 高三上·浙江·开学考试）已知角a 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与射线 y = 2x
（ x 0 ）重合，则 sin
3p
-a ÷ = .
è 2
37．（2024 高一·全国·专题练习） tan420° + tan510° = ．
4π π
38．（2024 高一下·上海浦东新·开学考试）已知下列三角比：（1） sin nπ + ÷；（2） cos 2nπ + ÷ ；（3）
è 3 è 6
sin 2nπ
π
+ é÷；（4） cos ê 2n +1 π
π
- ùú ；（5） sin
é
ê 2n +1 π
π
- ùú， n Z ，其中与 sin
π
的值相同的
è 3 6 3 3
是 ．
1
39．（2024 高三·全国·专题练习）已知 sin 3π +q = ，则
3
cos π +q cos q - 2π
+
cosq écos π +q -1 ù sin q 3π- cos q - π - sin 3π 的值为 ． 2 ÷ +qè è 2 ÷
sina + 5cos 2π -a
=
40．（2024 高一下·上海浦东新·期中）已知 tana = -2，则 3sin 3π +a
．
2 ÷
+ sina
è
41．（2024 高一上·四川遂宁·阶段练习）已知角a 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过
sin π +a + cos 3π -a
函数 f x = -3- a x-3 （ a > 0且 a 1 ）的定点 M.则 è 2 ÷ =
cos 2π -a + sin -a
A B + C
42．（2024 高一·全国·课后作业）VABC 中，若 sin = sin ，则VABC 形状为 ．
2 2
2π 3 7π
43．（2024 高一下·河南省直辖县级单位·

阶段练习）已知 sin + x
= cos + x
è 3 ÷ 5
，则 ÷等于 ． è 6
p p
44．（2024 高一下·上海宝山·阶段练习）已知 f (sin x) = 2x +1 (x [- , ])，那么 f (cos10) =
2 2
ìx2 + sin x p+ ÷ , x > 045．（2024·上海崇明·模拟预测）已知函数 f (x) = í è 3 ,a [0, 2p )是奇函数，则a = ．
-x
2 + cos(x +a ), x < 0
1 3
46．（2024 2高三下·海南·阶段练习）已知函数 f x = loga x +1 + x + x + a > 0,a 1 ，若a -1 2
f sin p a 1 p f cos a 2p - ÷÷ = （a kp + , k Z），则 - ÷÷ = ．
è è 6 3 6 è è 3
四、解答题
tan(kπ -a ) tan(kπ +a ) sina
47．（2024 高一·全国·课后作业）求证：当 k = 2或 3 时， =cos(2kπ -a )sin[(2k .+1)π +a ] cos3 a
48．（2024 高一上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 以 Ox 为始边，它的终边与单位圆交于
第二象限内的点P m,n .
2sin π +a + cosa
12
(1)若 n = tana13 ，求 及 cos π +a + 2cosa 的值；
è 2 ÷
sina cosa 1(2)若 + = ，求点 P 的坐标.
5
49．（2024 高一·全国·课堂例题）计算：
(1) sin2 120° + cos180° + tan 45° - cos2 -330° + sin -210° ；
1+ cos100°sin170°
(2) ；
cos370° + 1- sin2 170°
(3) cos
π
+ cos 2π + cos 3π 4π+ cos + cos 5π 6π+ cos ．
7 7 7 7 7 7
sin 2π +a cos π -a cos π -a cos
7π
-a
è 2 ÷ 2 ÷50．（2024 高一·全国· è 专题练习）（1）化简： .
cos π -a sin 3π a sin π+a sin 5π- - +a 2 ÷è
cos(a - π)
×sin a π- cos π （2）化简 +a
sin(π -a ) 2 ÷ 2 ÷
；
è è
tan(2π -a )sin(-2π -a )sin 3π +a ÷
3 è 2 （ ）化简 ．
sin(a - π)cos 3π -a

÷
è 2
-sin 180° + a + sin -a
（4）化简1+ cos -a + cos 180 ；° -a
cos a
π
-
2 ֏
（5）化简 ×sin π -a ×cos 2π +a
sin 5π
；
+a

÷
è 2
sin π -a + 5cos 2π -a
（6）已知 sin a - 3π = 2cos a - 4π ，求 2sin 3π -a
的值.
2 ÷
- sin -a
è
7π 13π
51 π 3 2．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 cos( -a ) = ，求 cos( -a ) - sin (a - )的值.
6 3 6 6
sin(kπ -a ) cos(kπ +a )
52．（2024 高一·全国·课后作业）若 k Z ，求证： = -1sin[(k +1)π +a ]cos[(k +1)π -a ] .
53．（2024 高一·全国·专题练习）54．（2024 高一下·四川眉山·期中）（1）已知方程
sin π -a + 5cos 2π -a
sin a - 3π = 2cos a - 4π ，求 2sin 3π -a ÷ - sin -a
的值．
è 2
π
（2）已知 - < x < 0,sin x + cos x
1
= ，求 sin x - cos x2 5 的值；
sin 5π +a
π 2 ÷
55．（2024 高三上·北京·

开学考试）已知 sina 2 5 a , π tan a + π + è = ， .
5 è 2
÷，求 的值
cos 5π -a ÷
è 2
56．（2024 高一·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，钝角a 的始边与 x 轴的非负半轴重合，
2
终边与半径为1的圆相交于点A ，过点A 作 x 轴的垂线，垂足为点 B ， OB = ．
3
(1)求 sina 的值；
2sin π -a + sin π +a
(2)求 cos 2π -a 的值．
tan(2p -a )sin(-2p -a )cos(6p -a )
57．（2024 高一上·全国·课后作业）（1）求证： sin(a 3p )cos(a 3
= - tana
p
+ + ) ；
2 2
sin(15p8p + a ) + 3cos(a
13p
- )
7 7 m + 3（2）设 tan(a + ) = m，求证 20 =p .7 sin( -a ) - cos(a 22p+ ) m +1
7 7
58．（2024 高一·全国·课堂例题）求值：
7π
(1) sin ；
6
(2) cos
11π
；
4
(3) tan -1560° .
59．（2024 高一·全国·课堂例题）求下列各三角函数值：
(1) sin
π
-

；
è 6 ÷
(2) cos
2π
；
3
5p
(3) tan ；
4
cos 35π(4) ．
6
15
60．（2024 高一上·全国·课后作业）已知a 的终边与单位圆交于点P m, ÷÷，且a 为第二象限角，试求
è 4
sin a π -

÷
è 2
的值．
sin π +a - sin 3π -a ÷ +1
è 2
1 1
61．（2024 高一下·河南驻马店·阶段练习）（1）已知 = -sin sina 且 lga cosa 有意义，若角a 的终边与单位
M 3,m 圆相交于点 ÷，求m 的值及 sina 的值；
è 5
ì
π π sin 3π -a
π
= 2 cos - b
（2）是否存在角a - , ÷ , b 0, π
÷
，使等式 è 2 同时成立.若存在，求出a , b
è 2 2
í

3 cos -a = - 2 cos π + b
的值；若不存在，说明理由.（注：对任意角 x ，有 sin2x + cos2x =1成立）
sin 2π - a cos π - a 2 ÷
62 è ．（2024 高一下·广东佛山·阶段练习）已知 f a = ．
cos a 3π- ÷ tan π + a
è 2
(1)若 f a 1= - ，且 a 0, π ，求 a 的值；
2
(2)若 f
π 1 2 2π π
a + ÷ = ，求 sin - a ÷ + sin - a ÷ 的值．
è 3 4 è 3 è 6
sin π 3π
63 2024 · ·
+a ÷cos -a ÷ tan π-a
．（ 高一上 安徽合肥 期末）已知函数 f a = è 2 è 2 .
tan π+a sin 2π-a
(1)化简 f a
(2)若 f a × f a
3π 3 3π
- ÷ = -
3π a π，且- < < - ，求 f a + f a - ÷ 的值.
è 2 8 4 2 è 2
29 12
64．（2024 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）求 sin - π ÷ + cos π × tan4π的值.
è 6 5
2 1- tan
2q
（ ）求证： = cos2q - sin2q .
1+ tan2q
65．（2024 高一下·江西赣州·期中）已知角a 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过函数
f x = -2 - a x-4 （ a > 0且 a 1）的定点 M.
(1)求 sina - 2cosa 的值；
sin π +a + cos π +a
(2) 2 ÷求 è - tan

5π +a 的值.
cos 2π +a + sin -a
1
66．（2024 高一下·四川广安·阶段练习）已知角 A 为锐角， sin Acos A tan A = ，
2
(1)求角 A 的大小；
2023π
(2)求 sin π + A cos - A2 ÷的值．è
sin a + 15p 13p
8p 7 ÷
+ 3cos a -
è è 7 ÷ m + 367．（2024 高一·全国·课后作业）设 tan a + ÷ = m .7 求证：
= .
è sin -a +
20p - cos a + 22p m +1
7 ÷ ÷è è 7
sin(a p- ) cos(3p +a ) tan(2p -a )
68．（2024 高一下·辽宁·期中）已知函数 f (a ) = 2 2 .
tan(a +p )sin(a +p )
（1）化简 f (a)；
（2）若 f (a ) × f (a
p 1
+ ) = - 5p a 3p p，且 4 2 ，求
f (a ) + f (a + )
2 的值；2 8
（3）若 f (a
p
+ ) = 2 f (a )，求 f (a ) × f (a
p
+ ) 的值.
2 25.3 诱导公式 6 题型分类
一、角的对称
(1)角 π＋α 的终边与角 α 的终边关于原点对称，如图(a)；
(2)角－α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴对称，如图(b)；
(3)角 π－α 的终边与角 α 的终边关于 y 轴对称，如图(c)．
二、诱导公式
公式二 sin(π＋α)＝－sinα cos(π＋α)＝－cosα tan(π＋α)＝tanα
公式三 sin(－α)＝－sinα cos(－α)＝cosα tan(－α)＝－tanα
公式四 sin(π－α)＝sinα cos(π－α)＝－cosα tan(π－α)＝－tanα
(1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一
个把 α 看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负
号；“看象限”是指假设 α 是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如 sin(π＋α)，若把 α 看
成锐角，则 π＋α 在第三象限，正弦在第三象限取负值，故 sin(π＋α)＝－sinα.
(2)利用诱导公式一和三，还可以得到如下公式：
sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，
tan(2π－α)＝－tanα.　
三、诱导公式五、六
(1)公式五、六中的角 α 是任意角．
π
(2)诱导公式一～六中的角可归纳为 k· ±α 的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．
2
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
π
②“奇”“偶”是对诱导公式 k· ±α 中的整数 k 来讲的．
2
π π
③“象限”指 k· ±α 中，将 α 看成锐角时，k· ±α 所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，
2 2
四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：
(3π 3πsin －α)＝－cosα，cos( －α)＝－sinα，2 2
sin(3π 3π＋α ＝－cosα，cos ＋α ＝sinα.2 ) ( 2 )
（一）
给角求值
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为 0°到 360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
题型 1：给角求值
1-1．（2024 高一·全国·专题练习）求下列各式的值．
(1) sin1470°；
cos 9π(2) ；
4
(3) tan
11π
- 6 ÷．è
sin 43p(4) -

÷；
è 6
(5) cos -120° sin -150° + tan855° .
1
【答案】(1)
2
(2) 2
2
(3) 3
3
1
(4) ；
2
3
(5) -
4
【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数即可得到答案.
【详解】（1） sin1470° = sin 4 360° + 30 1° = sin30° =
2
（2）cos
9π
= cos 2π π π 2+ = cos =
4 4 ֏ 4 2
（3） tan
11π
-
= tan -2π π π 3+ = tan =
è 6 ÷ 6 ÷ è 6 3
（4） sin
- 43π =-sin 7π 7π π π 1 6 ÷
6π+ =-sin =-sin π+ =sin = .
è è 6 ÷ ÷ 6 è 6 6 2
（5 °）原式= -cos 180 - 60° ×sin 180° - 30° + tan 135° + 2 360°
= - -cos60° sin 30° + tan135°
= cos60° sin 30° + tan 180° - 45°
= cos60° sin 30° - tan 45°
1 1 3
= -1 = - .
2 2 4
1-2．（2024 高一·全国·课堂例题）利用公式求下列三角函数值：
(1) cos 225°：
sin 8π(2) ；
3
sin 16π (3) - 3 ÷
；
è
(4) tan -2040° .
2
【答案】(1) -
2
(2) 3
2
(3) 3
2
(4) - 3
【分析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得出答案.
2
【详解】（1） cos 225° = cos 180° + 45° = -cos 45° = - ；
2
sin 8π sin 2π 2π（2） = +

÷ = sin
2π
= sin π π- π 3 ；
3 è 3 3 è 3 ÷
= sin =
3 2
sin 16π sin 16π（3） - ÷ = - = -sin
5π π+ ÷ = -

-sin
π 3
÷ = ；è 3 3 è 3 è 3 2
（4） tan -2040° = - tan 2040° = - tan 6 360° -120°
= tan120° = tan 180° - 60° = - tan 60° = - 3 .
1-3．（2024 高一·全国·随堂练习）求值：
(1) sin150°；
(2) tan1020°；
3π
(3) sin(- )；
4
(4) sin -750° .
1
【答案】(1)
2
(2) - 3
(3) 2-
2
1
(4) -
2
【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：由三角函数的诱导公式，可得 sin150° = sin(180° - 30°) = sin 30
1
° = .
2
（2）解：由三角函数的诱导公式，可得 tan1020° = tan(1080° - 60°) = - tan(60°) = - 3 .
3π 3π π π 2
（3）解：由三角函数的诱导公式，可得 sin - ÷ = -sin = -sin π - ÷ = -sin = - .
è 4 4 è 4 4 2
1
（4）解：由三角函数的诱导公式，可得 sin -750° = -sin 720° + 30° = -sin 30° = - .
2
1-4．（2024 高一·全国·专题练习）求下列各值.
(1) sin
π
- ÷；
è 6
π
(2) cos - ÷ ；
è 4
7π
(3) tan - ÷；
è 6
(4) sin
7π
- 4 ֏
(5) cos
47 π；
6
7π
(6) sin - ÷；
è 3
(7) tan -855° ．
1
【答案】(1) - ；
2
(2) 2 ；
2
(3) 3- ；
3
(4) 2 ；
2
(5) 3 ；
2
(6) 3- ；
2
(7)1.
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）根据诱导公式，代入计算，即可得到结果；
sin π π 1【详解】（1） - ÷ = -sin = - ；
è 6 6 2
cos π cos π 2（2） - ÷ = = ；
è 4 4 2
tan 7π（3 - ） ÷ = - tan
π
π + ÷ = - tan
π 3
= - ；
è 6 è 6 6 3
sin 7π π π 2（4） - 4 ÷
= -sin 2π - ÷ = sin = ；
è è 4 4 2
cos 47 π （5） π = cos 8π - ÷ = cos
π 3
= ；
6 è 6 6 2
sin 7π 7π π π 3（6） -

÷ = -sin = -sin

2π +

÷ = -sin = - ；
è 3 3 è 3 3 2
（7） tan -855° = - tan855° = - tan 2 360° +135° = - tan135° = - tan 180° - 45° = tan 45° =1 .
（二）
给式(值)求值
1、解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的
差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2、解答此类题目的关键在于利用数学中化归的思想来探究两个角(或整体)之间的关系，当寻
找到角与角之间的联系后，未知角这一整体的三角函数值可以通过已知角的三角函数值和有关
的三角公式求得，这是三角函数解题技巧之一.
题型 2：给式(值)求值
1
2-1．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 sin(π -a ) = ，则 sin(a - 2021π)3 的值为（ ）
A 2 2 B 2 2． ．-
3 3
1 1
C． D．-
3 3
【答案】D
1
【分析】根据题意得到 sina = ，再结合诱导公式，准确运算，即可求解.
3
【详解】由 sin(π -a ) = sina sina
1
，可得 = ，
3
则 sin(a - 2021π) = sin[(a - π) - 2020π] = sin(a π) sina
1
- = - = - .
3
故选：D.
3π
2-2．（2024 高二下·陕西榆林·期末）已知 tanq = 2，则 sinq sin +q ÷ = .
è 2
2
【答案】- / -0.4
5
【分析】由已知利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式即可求解.
【详解】因为 tanq = 2，
sinq cosq sinq cosq tanq 2所以原式= - = - = - = -
sin2 q + cos2 q tan2 q +1 5
2
故答案为：- .
5
π
2-3．（2024 高二下·湖南株洲·开学考试）已知a , π
3
÷， sina = ，则 cos π -a = .
è 2 5
4
【答案】 /0.8
5
【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
π
【详解】因为a , π
sina 3= cosa = - 1- sin2 4÷， ，所以 a = -
è 2
，
5 5
又因为 cos(p -a ) = -cosa
4
，所以 cos π -a = ，
5
4
故答案为:
5
π
2-4．（2024 高三上·上海黄浦·开学考试）若a ( , π),cos(π -a )
3
= ，则 tana = .
2 5
4 1
【答案】- / -1
3 3
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.
【详解】由 cos(π -a )
3 3 3 4
= ，得-cosa = ，解得 cosa = - ，而a (π ,π) ，则 sina = 1-cos2 a = ，
5 5 5 2 5
sina 4
所以 tana = = - .
cosa 3
4
故答案为：-
3
（三）
三角函数式的化简
1、三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
π
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
4
(4)用诱导公式进行化简时，若遇到 kπ±α 的形式，需对 k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式
进行化简．
2、三角函数式的化简注意:
(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;
(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数;
(3)注意“1”的变形应用.
题型 3：三角函数式的化简
4
3-1．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 cosa = - ，且a 为第三象限角．求
5
sin 5π -a cos 7π -a tan -π +a
f a = è 2
÷
的值．
- tan -19π -a sin -a
3
【答案】-
5
【分析】根据三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】 f a
sina -sina tana
= = sina 3= -
tana sin 5 .- a
sin π -a tan 2π -a cos 2π -a
3-2．（2024 高一·全国·课堂例题）化简： × ×tan π +a cos π -a sin π ．+a
【答案】-1
【分析】利用诱导公式进行求解即可.
sina - tana cosa
【详解】原式= × × = -1．
tana -cosa -sina
3-3．（2024 高三上·江西·阶段练习）已知a 是第三象限角，且 tan2 a + 2 tana - 3 = 0，则
4sin(π +a )
=
cos π +a ． 2 ÷
- cos(-a )
è
【答案】2
【分析】先解方程得 tana =1，然后利用诱导公式化简，再弦化切可得.
【详解】由 tan2 a + 2 tana - 3 = 0得 tana -1 tana + 3 = 0，
解得 tana =1或 tana = -3，
又a 是第三象限角，所以 tana =1，
4sin π +a -4sina 4sina 4 tana 4 1
= = = = = 2
故 cos π +a - cos -a -sina - cosa sina + cosa tana +1 1+1 ．
è 2 ÷
故答案为：2
cos q 3π sin 7π- × +q
3-4．（2024 高一上·江苏苏州· ÷ ÷阶段练习）已知 f q = è 2 è 2 .
sin -q - π
1
(1)若 f q = ，求 tanq 的值；
3
f π -q 1 5π (2)若 = ，求 f +q 的值.
è 6 ÷ 3 ÷ è 6
【答案】(1) ±2 2
1
(2) -
3
【分析】（1）先利用诱导公式化简，再根据平方关系及商数关系即可得解；
（2）找出已知角和所求角得关系，再利用诱导公式化简即可得解.
cos q 3π sin 7π- × +q ÷ ÷
【详解】（1） è 2 è 2 -sinq × -cosqf q = = = cosq ，
sin -q - π sinq
由 f q 1= 2 2，得
3 sinq = ± 1- cos
2 q = ± ，
3
所以 tanq = ±2 2 ；
f π（2）由 -q
1= cos π -q 1
6 ÷
，得
3 ÷
= ，
è è 6 3
f 5π 则 +q ÷ = cos
5π +q cos éπ π q ù= - - = -cos π 1 ÷ ê ÷ú -q ÷ = - .è 6 è 6 è 6 è 6 3
3-5．（安徽省马鞍山市红星中学 2023-2024 学年高一下学期 3 月月考数学试题）已知
sin π -a cos 2π -a cos 3π -a ÷
f a = è 2 .
cos π -a ÷sin -π -a
è 2
(1)化简 f a ；
1
(2)若a 是第三象限角，且 sin a - π = ，求 f a 的值.
5
【答案】(1) f α = - cos α ；
(2) 2 6 .
5
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.
【详解】（1）根据诱导公式
sin π -a cos 2π 3π-a cos -a ÷
f a = è 2
cos π -a

÷sin -π -a
è 2
sina ×cosa × -sina
= = -cosa ，
sina ×sina
所以 f a = -cosa ;
1 1
（2）由诱导公式可知 sin a - π = -sina = ，即 sina = - ，
5 5
又a 是第三象限角，
所以 cosa = - 1- sin2a 2 6= - ，
5
所以 f a = -cosa 2 6= .
5
3-6．（2024 高二上·安徽·开学考试）已知在平面直角坐标系中，点M 2,4 在角a 终边上，则
sin3 π -a + cos3 -a
3 3 = （ ）sin a - 2cos a
2 3 3 5
A． B． C．- D．-
3 2 5 3
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义及诱导公式，结合同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】由题意可得 tana = 2 ，
sin3 a + cos3 a tan3 a +1 8 +1 3
所以原式= = = = .
sin3 a - 2cos3 a tan3 a - 2 8 - 2 2
故选：B.
1
3-7．（2024 高一上·全国·课后作业）已知 cosa = - ，且a 为第二象限角, tanb = 2 ，则
3
sinacosb + 3sin π +a

÷sinb
è 2 的值为（ ）
cos π +a cos -b - 3sinasinb
A 2 2 - 4．－ B 3 2．－
11 11
C 2． D 3 2．－
11 13
【答案】C
【分析】先根据同角三角函数关系求正弦，再弦化切应用 tanb = 2 ，结合诱导公式代入求值即可.
cosa 1= - 2 2【详解】因为 ，且a 为第二象限角，所以 sina = ，3 3
sinacosb + 3sin π +a
sinb
则 è 2 ÷
cos π +a cos -b - 3sinasinb
= sinacosb + 3cosasinb
-cosacosb - 3sinasinb
= sina + 3cosa tanb
-cosa - 3sina tanb
2 2
+ 3 1 -

÷ 2
= 3 è 3 2=
-
1
-
2 2 11
÷ - 3 2
è 3 3
故选:C.
（四）
由已知角求未知角的三角函数值
①观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将会不同名的函数化为同名的函数，将不同
的角化为相同的角是解决问题的关键;
②对于有条件的三角函数求值题，求解的一般方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已
知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式完成求值;
③当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这
个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系.
题型 4：由已知角求未知角的三角函数值
π 2
4-1．（2024 高三·全国·专题练习）已知 cos +a ÷ = ，则 cos
2π
3 3
-a ÷ 的值等于（ ）
è è 3
2 2
A B - C 5 5． ． ． D．±
3 3 3 3
【答案】B
【分析】根据诱导公式求解即可.
2π é π ù π 2
【详解】因为 cos( -a ) = cos êπ - ( +a )ú = -cos( +a ) = - .3 3 3 3
故选：B.
π 1 π
4-2．（2024

高一下·四川眉山·阶段练习）若 cos +a ÷ = ，则 sin -a6 3 ÷等于（3 ）è è
7
A - B 2 2
7 1
． ． C． D．
9 3 9 3
【答案】D
π π
-a π +a sin -a
π
【分析】 和 互余，所以
3 6 3 ÷
= cos +a ÷ .
è è 6
π
【详解】 sin -a ÷ = sin
é π π a ù π 1ê - +

3 2 6 ÷ú
= cos +a ÷ =
è è è 6 3
故选：D.
π 3 π π π
4-3．（2024 高一下·安徽芜湖·期中）已知 sin +a

÷ = ，且a - , ÷，则 sin -a = （4 4 3 ÷ ）è 6 3 è è
A 3 B 3 C 2 D 6．- ． ． ．
3 3 3 3
【答案】D
sin π a sin é π π- = - +a ù【分析】利用诱导公式 ÷ ê ÷ú ，再结合同角三角函数基本关系式，即可求解.è 3 2 è 6
a π π - , π a π , 5π+ - sin π +a 3【详解】因为 ÷，所以 ÷，又 ÷ = > 0，所以è 4 4 6 è 12 12 è 6 3
sin π é π π ù π -a ÷ = sin ê - +a ÷ú = cos +a

÷ = 1- sin
2 π 6
3 2 6 6
+a ÷ = .
è è è è 6 3
故选：D
π 1 5π π
4-4．（2024 高一下·上海嘉定·期中）已知 cos x + ÷ = ，则 cos - x ÷ + cos
2
- x ÷的值为 ；
è 6 4 è 6 è 3
11
【答案】
16
5π π 2 π
【分析】利用诱导公式求出 cos - x ÷和 cos - x ÷的值,再求得 cos - x ÷的值,即可得到
è 6 è 3 è 3
cos 5π - x

÷ + cos
2 π
- x ÷的值.
è 6 è 3
π 1
【详解】Qcos x + ÷ = ，
è 6 4
\cos 5π é π ù - x
= cos p - x + = -cos x π 1+ = - ，
è 6 ÷ ê ÷ú ÷ è 6 è 6 4
cos π - x
= cos é π - x π ù π+ = sin x + ，
è 3 ÷ ê 2 ÷ ÷ è 6
ú
è 6
\cos2 π - x ÷ = sin
2 x π+ ÷ =1- cos
2 x π +

÷ =1
1 15
- = ，
è 3 è 6 è 6 16 16
cos 5π\ - x + cos2 π x 1 15 11 ÷ - ÷ = - + = .
è 6 è 3 4 16 16
11
故答案为： .
16
（五）
利用诱导公式证明恒等式
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的
差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
题型 5：利用诱导公式证明恒等式
cos 6p +q sin -2p -q tan 2p -q
= - tanq
5-1．（2024 高一·全国·课后作业）求证： cos 3p q sin 3p . + ÷ +q

÷
è 2 è 2
【答案】证明见解析
【解析】直接利用诱导公式化简即可.
cosq sin -q tan -q cosq sinq tanq
【详解】证明：左边= = = - tanq =右边
sinq (-cosq ) -sinq cosq
所以原等式成立
tan 2p -a cos 3p -a ÷cos 6p -a 2
5-2 2024 · · è ．（ 高一 全国 课后作业）求证： =1．
tan p -a sin a 3p+ 3p ÷cos2 a + ÷è è 2
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式化简即可证明；
tan a é p ù- -cos ê -a

÷
è 2 ú
cos -a

【详解】证明：左边=
tana é sin p a ù é- - + -cos p ùê ÷ú ê +a

÷
è 2 è 2 ú
- tana -sina cosa
=
tana cos =a sina =1 右边，所以原式成立．- -
2sin(q 3p- ) cos(q p+ ) -1 tan(9p +q ) +1
5-3．（2024 高一·全国·课前预习）求证： 2 2 ＝
1- 2sin2 (p +q ) tan(p +q )
．
-1
【答案】证明见解析
【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题.
2sin(q p+ ) -sinq -1 2 2
【详解】左边 2 -2sinq cosq -1 -2sinq cosq - sin q + cos q = = =
1- 2sin2 q 1- 2sin2 q sin2 q + cos2 q - 2sin2 q
- sinq + cosq 2 sinq + cosq
= = .
cosq + sinq cosq - sinq sinq - cosq
sinq
tan(p +q ) +1 tanq +1 +1cosq sinq + cosq
右边= = = = .
tan(p +q ) -1 tanq -1 sinq -1 sinq - cosq
cosq
∴左边＝右边，故原等式成立．
（六）
诱导公式的综合应用
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
题型 6：诱导公式的综合应用
sin π +a

÷cos π +a sin -a
6-1．（2024 高一上·重庆长寿·期末）已知 f a = è 2 .
sin 3π -a

÷cos 2π -a tan π -a
è 2
(1)化简 f a ；
(2) f a 10若 = ，且a 为第四象限角，求 2sin2a + 3sinacosa 的值.
10
【答案】(1) f a = cosa
9
(2)
10
【分析】（1）根据诱导公式化简可得.
（2）由 f a = cosa 10和同角三角函数关系得到 cosa = ,sina 3 10= - ，代入可得.
10 10
sin π +a ÷cos π +a sin -a
è 2 cosa × -cosa × -sina 【详解】（1） f a = = = cosa
sin 3π -a cos 2π -a tan π -a -cosa ×cosa × -tana 2 ÷è
（2）由题知， cosα 10=
10
因a 为第四象限角，
2
10 sina 3 10= - 1- cos2 a = - 1- 10 ÷÷
= - ，
è 10
2sin2

则 a + 3sinacosa
9 3 10 10 9
= 2 + 3 - ÷÷ = .10 è 10 10 10
6-2．（2024 高一下·江苏扬州·开学考试）给出下列三个条件：①角a 的终边经过点P(3m,-4m)(m 0)；②
sina + cosa 1
= ；
sina - cosa 7
③ 3cos2a - 4sinacosa = 3(a kπ,k Z) ．
请从这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)若a 为第四象限角，求 sina - 2cosa 的值；
sin(π -a )
(2)求 sin2 (π +a )cos(-a ) + sin(2π a )sin2 π- -a
的值．
2 ֏
【答案】(1)-2
25
(2) -
21
【分析】（1）选①应用任意角三角函数定义计算三角函数值可得; 选②③根据齐次式求正切,再联立方程
组求解
（2）先根据诱导公式化简,再根据三角函数值代入计算即可.
【详解】（1）选①，
方法一：角a 的终边经过点P(3m,-4m)(m 0)，因为a 为第四象限角，故m > 0，
点 P 到原点的距离为 (3m)2 + (-4m)2 = 5 | m |= 5m，
sina -4m 4 cosa 3m 3所以 = = - ， = =
5m 5 5m 5
故 sina - 2cosa
4 6
= - - = -2
5 5
方法二：角a
-4m 4
的终边经过点P(3m,-4m)(m 0)，所以 tana = = - ，
3m 3
ì
sina
4
= - cosa
所以 í 3 ，解得 cosa
3
= ± ，
sin
2a + cos2a =1 5
又a
3 4
为第四象限角，所以 cosa = ,sina = -
5 5
sina 2cosa 4 6故 - = - - = -2
5 5
ì
sina + cosa 1 tan α +1 1 4 sina
4
= - cosa
选②，由 = 得 = ，\ tana = - ，所以 3
sina - cosa 7 tan α í-1 7 3 sin
2a + cos2a =1
cosa 3 ,sina 4所以 = = -
5 5
故 sina - 2cosa
4 6
= - - = -2
5 5
选③，由3cos2a - 4sinacosa = 3得-4sinacosa = 3 - 3cos2a = 3sin2a ，
ì sina 4= - cosa
因为a kπ ， k Z，所以 sina 0，故 tana
4
= - ，所以 3
3 í
sin
2a + cos2a =1
解得 cosa
3 3
= ± ，又a 为第四象限角，所以cosa = ， sina
4
= - ，
5 5 5
故 sina - 2cosa
4 6
= - - = -2．
5 5
4
（2）方法一：由（1）得 tana = - ，
3
sin(π -a ) sina
= 2 2
sin2 (π +a )cos(-a ) + sin(2π -a )sin2 π -a sin acosa - sinacos a ÷
è 2
1
= sin
2a + cos2a tan2a +1 25
= = = -
sinacosa - cos2a sinacosa - cos2a tana -1 21
sin(π -a ) sina
=
π 2 2 1方法二： sin2 (π +a )cos( -a ) + sin(2π -a )sin2 sin acosa - sinacos a = (*) -a2 ÷ sinacosa - cos
2a
è
由（1）得 tana
4
= - < 0 ，所以a 为第二或第四象限角
3
选①②③都可得，若a 为第二象限角，则 cosa
3
= - ， sina
4 3
= ．a 为第四象限角，则cosa = ，
5 5 5
sina 4= - ．
5
1 25 1 25
= 2 = - = 2 = -
所以*式 4 21 , * 21 - 3 - 3 或 式 4 3 3
5 5 ÷
- ÷ - ÷ -
è è 5 è 5 5 è 5 ÷
6-3．（2024 高三上·江苏·开学考试）若VABC 的内角 A，B，C 满足 sinA = cosB = tanC ， 则 A 与 B 的关系为
（ ）
A． A - B
π π π= B． A
π
+ B = C．B - A = D． A + B =
2 2 2 3
【答案】A
π π
【分析】依题意由 sin A = cos B可得 A = B + 或 A + B = ，再分类讨论，即可判断.
2 2
【详解】因为 sinA = cosB ，且 A，B，C 为VABC 的内角，因为 sinA = cosB > 0, 所以0
π
< B < ,
2
π π
所以 A = B + 或 A + B = ，
2 2
若 A + B
π C π= ，则 = ，此时 tanC 不存在，故舍去；
2 2
A π∴ = + B .
2
故选：A.
6-4．（2024 高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数 f x = a x-2 + 2（ a > 0且 a 1）的图像过定点 P ，且角a
cos 11π -a
sin 9π
x 2 ÷
+a
的始边与 轴的正半轴重合，终边过点 P ，则 è è 2 ÷ 等于（ ）
sin2 -π -a
2 2 3 3
A．- B． C． D．-
3 3 2 2
【答案】A
f 2 = a2-2 0 x-2【分析】先化简所要求的式子，又由于 + 2 = a + 2 =1+ 2 = 3，所以 f x = a + 2过定点
P 2,3 ，进一步结合题意可以求出与a 有关的三角函数值，最终代入求值即可.
11π 9π cos écos a sin a 6π -
π ù é π ù é π ù π
- ÷ + ÷ ê a +

÷ú sin ê4π +
a + cos - ÷ú ê a +

÷ú sin

a +

÷
【详解】 è 2 è 2 è 2= è 2 è 2= è 2
sin2 -π -a é-sin a + π
2
ù sin
2 π+a
é π ù
又因为 cos ê- a + ÷ú = cos
a π+ = -sina sin π 2 2 ÷ ， a + ÷ = cosa ， sin π +a = sin a ，
è 2 è 2 è 2
-sina ×cosa 1
故原式= 2 = - ;又 f x = a
x-2 + 2过定点P 2,3 ,所以 tana 3= ，代入原式得原式=
sin a tana 2
1 2
- = - .
tana 3
故选：A .
一、单选题
1．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 和角 b 的顶点均与原点 O 重合，始边均与 x
2
轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线 y = -x 对称，若cosa = ，则 sin b =（ ）
3
A 5
2 2
． - B．- C． D 5．
3 3 3 3
【答案】B
【分析】由角的终边得出两角的关系，然后由诱导公式求值．
π π
【详解】角a 和角 b 的终边关于直线 y = -x 对称，则a + b =2(kπ - )=2kπ - ， k Z．
4 2
sin b =sin[2kπ π- ( + a )] = -sin(π + a )= - cosa 2= -
2 2 3
故选：B．
3π 1 π
2．（2024 高一下·河南驻马店·期中）已知 sin +a ÷ = ，则 cos -a ÷ =（ ）
è 8 3 è 8
1 1
A - B C 3 3． ． ．
3 -
D．
3 3 3
【答案】B
【分析】根据诱导公式计算.
π π π 3π 1
【详解】 cos -a ÷ = sin[ - ( -a )] = sin( +a ) = .
è 8 2 8 8 3
故选：B．
3．（2024 高一下·河南驻马店·期中） tan 300° = （ ）
A 3．- B 3． C．- 3 D． 3
3 3
【答案】C
【分析】由正切的诱导公式计算．
【详解】 tan 300° = tan(360° - 60°) = - tan 60° = - 3．
故选：C．
4．（2024 高一下·新疆阿克苏·期中） cos150° 等于（ ）
3 1 1A．- B．- C 3． D．
2 2 2 2
【答案】A
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】 cos150° = cos 180° - 30° = -cos30 3° = - .
2
故选：A.
5 2024 · · sin 300
o
．（ 高二上 江西 开学考试） =（ ）
tan135o
1 1
A - B 3 C D 3． ． ． ．
2 - 2 2 2
【答案】D
【分析】利用诱导公式直接化简求解即可.
3
【详解】 sin 300
o sin 360o - 60o -sin 60o -
= = = 2 3= .
tan135o tan 180o - 45o - tan 45o -1 2
故选：D.
6．（2024 高一上·新疆塔城·期末） sin 240°的值是（ ）
A 3
1 1
．- B 3． C．- D．
2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用诱导公式进行求解.
【详解】 sin 240° = sin 180 60 3° + ° = -sin 60° = - .
2
故选：A.
89π
7．（2024 高一下·四川自贡·期中） sin =（ ）
6
1 1
A． B．- C 3 D 3． ．-
2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用诱导公式得到答案.
【详解】 sin
89π
= sin 15π
π π 1- ÷ = sin = .6 è 6 6 2
故选：A.
8．（2024 高一上·河北保定·阶段练习）已知函数 f (x) = a sin(p x +a ) + bcos(p x + b ) + 4， x R ，且
f (2023) = 3，则 f (2024)的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由诱导公式可得 f (2024) - 4 = - f (2023) - 4 ，可求 f (2024)的值.
【详解】∵ f (2023) = asin(2023p + a ) + bcos(2023p + b ) + 4 = 3，
∴ a sin 2023π +a + b cos 2023π + b = -1，
∴ f 2024 = a sin 2023π +a + π + bcos 2023π + b + π + 4
= -a sin 2023π +a - bcos 2023π + b + 4 =1+ 4 = 5．
故选：C
π 2 5π
9．（2024 高二上·江苏常州·开学考试）已知 sin -a ÷ = ，则 sin +a6 3 6 ÷
=（ ）
è è
2 2
A 5 5． B．- C． - D．
3 3 3 3
【答案】A
【分析】根据诱导公式求解即可.
sin 5π a sin éπ 5π a ù sin π a 2【详解】 + ÷ =6 ê
- +6 ÷
= - ÷ = .
è è
ú
è 6 3
故选：A
10．（2024 高三·全国·专题练习）点P sin 2022o - cos 2022o ,sin 2022o cos 2022o 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据诱导公式结合正余弦函数的范围求解分析 sin 2022o - cos 2022o ,sin 2022o cos 2022o 的正负即可.
sin 2022o - cos 2022o o o o o【详解】 = sin 5 360 + 222 - cos 5 360 + 222
= sin 222o - cos 222o = sin 180o + 42o - cos 180 + 42 o = -sin 42o + cos 42o > 0 .
o o
同理， sin 2022 cos 2022 = -sin 42o × -cos 42o = sin 42o cos 42o > 0，
所以点 P 位于第一象限．
故选：A．
11．（2024 · o o o o高三 全国·专题练习）求值： sin -1200 cos585 + cos -300 sin -750 =（ ）
A 6－1 B 6+1 C 6+1 D 6－1． ． ． ．
4 4 2 2
【答案】A
【分析】
根据诱导公式将任意角转化为锐角，再计算可得结果.
【详解】
原式＝-sin 3 360o +120o cos 2 360o -135o + cos 360o - 60o é -sin 2 360o + 30o ù
= -sin120o cos(-135o ) - cos(-60o )sin 30o
= -sin 60o cos135o - cos 60o sin 30o
= -sin 60o cos(180o - 45o ) - cos 60o sin 30o
= -sin 60o × -cos 45o - cos 60o sin 30o
= sin 60o ×cos 45o - cos 60o sin 30o
3 2 1 1 6 -1
= - = .
2 2 2 2 4
故选：A
12．（2024 高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）点 A cos2021°, tan 2021° 在直角坐标平面上位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简A 的坐标并判断横纵坐标的符号，即可确定所在象限.
【详解】 cos 2021° = cos(360° 5 + 221°) = cos 221° = cos(180° + 41°) = -cos 41° < 0 ，
tan 2021° = tan(180° 11+ 41°) = tan 41° > 0，
所以 A cos2021°, tan 2021° 在第二象限.
故选：B
13．（2024 高三上·北京·开学考试）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 以Ox 为始边，终边与单位圆交于点
3
- ,
6 p
÷÷，则 cos( +a ) = （3 3 ）è 2
A 3 3 6 6．- B． C．- D．
3 3 3 3
【答案】C
【分析】由三角函数诱导公式 cos(
p
+a ) = -sina 并结合正弦函数的定义即可得解.
2
6 cos(p【详解】依题意得 sina = ,又因为 +a ) = -sina cos(p a ) 6，所以有2 + = -sina = -
.
3 2 3
故选：C .
5π 2
14．（2024 高一下·新疆伊犁·期末） sin +a ÷ = ，那么 cos π +a =（2 5 ）è
3 3 2 2
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
【答案】D
【分析】根据题意利用诱导公式运算求解.
5π π
【详解】因为 sin +a ÷ = sin +a ÷ = cosa
2
= ，
è 2 è 2 5
cos π a cosa 2所以 + = - = - .
5
故选：D.
15．（2024 高三上·山东日照·开学考试）已知角a 的终边经过点P 1, -2 ，则si n α +π = （ ）
A -2 B 2 5
1 2 5
． ．- C．- D．
5 2 5
【答案】D
【分析】利用诱导公式及对应角终边上的点求目标式的函数值即可.
【详解】 sin a + π
-2 2 5
= -sina = - = .
12 + (-2)2 5
故选：D
16．（2024 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知a 的终边上有一点P(1,3) ，则 cos(π + a ) 的值为（ ）
1
A B 10 10 3 10． ． C．
3 -
D．-
10 10 10
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算.
【详解】因为a 的终边上有一点P(1,3) ，
cosa 1 10所以 = = ，
12 + 32 10
cos(π +a ) = -cosa 10= - ，
10
故选：C
17．（2024 高一上·山西运城·期末）已知q cos q π 2 5为第二象限角，且 - = ，则
5
1+ cosq 1- cosq
-
1- sin π -q 1+ sin q 3π- 的值是（ ） ÷ ÷
è 2 è 2
1 1
A．-4 B． 4 C． D4 ．- 4
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得出 cosq 的值，利用同角三角函数的基本关系可求得sinq 的值，再利用诱导公式
化简所求代数式，代值计算即可得出所求代数式的值.
cos q π cosq 2 5 cosq 2 5【详解】因为 - = - = ，则 = - ，
5 5
2

又因为q 2 5 5为第二象限角，则 sinq = 1- cos2 q = 1- - ÷÷ = ，
è 5 5
1+ cosq 1- cosq 1+ cosq 1- cosq
- = -
因此， 1- sin π -q

÷ 1+ sin
q 3π 1- cosq 1+ cosq
2
- ÷
è è 2
1+ cosq 1- cosq 1+ cosq 1- cosq 1- cos2 q 1- cos2 q
= - = -
1- cosq 2 1+ cosq 2 1- cosq 1+ cosq
sinq sinq sinq 1+ cosq - sinq 1- cosq 2sinq cosq 2cosq
= - = =
1- cosq 1+ cosq 1- cosq 1+ cosq sin2
=
q sinq

2 2 5

- 5 ÷
= è = -4 .
5
5
故选：A.
18．（2024 高三上·湖南·阶段练习）已知a 是第四象限角，且 2 tan2 a - tana -1 = 0，则
cos 2π -a - sin π -a
=
3cos π +a

÷ + cos -a
（ ）
è 2
1 1 3 3
A．- B． C．- D．
3 3 5 5
【答案】D
【分析】利用已知条件化简求出 tana 的值，然后利用诱导公式及弦化切，计算即可.
【详解】由 2 tan2
1
a - tana -1 = 0，解得 tana = - 或 tana =12 ．
因为a
1
是第四象限角，所以 tana = - 2 ，
cos 2π -a - sin π -a cosa - sina 1- tana 3
= = =
故 3cos π +a + cos -a -3sina + cosa -3tana +1 5 ．
è 2 ÷
故选：D.
sin π -q
=
19．（2024 高一上·浙江金华·阶段练习）已知角q 的终边经过点P(1, 2)，则 cos π -q （ ） 2 ÷
+ cosq
è
1 1 2 2
A．- B． C．- D．
3 3 3 3
【答案】D
【分析】先应用诱导公式化简，再弦化切代入计算即可.
【详解】由三角函数的定义可得 tanq = 2，
sin π -q sinq tanq 2
= = =
则 cos π sinq + cosq tanq +1 3 . -q ÷ + cosq
è 2
故选：D
20．（2024 高三上·重庆铜梁·阶段练习）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若 a=f
12p 5p 2p
（sin ），b=f（cos ），c=f（tan ），则（　　）
7 7 7
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】B
【详解】根据题意，
12p 2p 2p 12p 2p
sin =sin（2π﹣ ）=﹣sin ，则 a=f（sin ）=f（﹣sin ），
7 7 7 7 7
5p 2p 2p 2p
cos =cos（π﹣ ）=﹣cos ，b=f（﹣cos ），
7 7 7 7
又由函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，
12p 2p 2p
则 a=f（sin ）=f（﹣sin ）=f（sin ），
7 7 7
2p 2p p 2p p
b=f（﹣cos ）=f（cos ），又由 ＜ ＜ ，
7 7 4 7 2
2p 2p 2p
则有 0＜cos ＜sin ＜1＜tan ，又由函数在[0，+∞）上是增函数，
7 7 7
则有 c＞a＞b；故选 B．
二、多选题
21．（2024 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知角a 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，它的终
P 3 4 π边过点 - , ÷，角 b 的终边与角a 的终边关于 y 轴对称，将 OP 绕原点逆时针旋转 后与角q 的终边重
è 5 5 2
合，则（ ）
A． sina =
4
B．a = π - b C． cosa + cos b = 0 D． sina + cosq = 0
5
【答案】ACD
4
【分析】A 选项，由三角函数的定义得到 sina = ；B 选项，由位置关系得到a + b = π + 2kπ ， k Z；C 选
5
π
项，利用诱导公式得到答案；D 选项，先求出q = a + 2 ，由诱导公式得到 D 正确.
4
【详解】A 选项，由题意得 sina
5 4= =
2 2 ，A 正确；
3 4 5
- 5 ÷
+ ÷
è è 5
B 选项，角 b 的终边与角a 的终边关于 y 轴对称，故a + b = π + 2kπ ， k Z，
故a = π + 2kπ - b ， k Z，B 错误；
C 选项，由 B 可知 cosa = cos π + 2kπ - b = -cos b ，故 cosa + cos b = 0，C 正确；
π π
D 选项，q = a + ，故 cosq = cos a + ÷ = -sina ，故 sina + cosq = 0，D2 正确.è 2
故选：ACD
22．（2024 高一下·山东潍坊·期中）以下各式化简结果正确的是（ ）
sinq - cosq
A． = cosq B． 1- 2sin 20°cos20° = cos20° - sin 20°
tanq -1
sin -36° + cos54° = 0 sin p -q C． D． cos
p +q
2 ÷ 2 ÷
= sinq cosq
è è
【答案】ABC
【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.
sinq - cosq = sinq - cosq = cosq
【详解】 tanq -1 sinq -1 ，故 A 正确；
cosq
1- 2sin 20°cos 20° = sin 20° - cos 20° 2 = cos 20° - sin 20°，故 B 正确；
sin -36° + cos54° = -sin 36° + cos54° = -sin 36° + sin 36° = 0，故 C 正确；
sin p p -q ÷cos +q ÷ = cosq × -sinq = -sinq cosq ，故 D 错误；
è 2 è 2
故选：ABC
23．（2024 高一上·重庆九龙坡·阶段练习）已知a R ，则下列式子恒成立的是（ ）
A． cos -1800 +a = -cosa B． sin(2p -a ) = sina
C． sin
9p
+a ÷ = cosa D． cos -p -a = cosa
è 2
【答案】AC
【分析】根据三角函数的诱导公式，逐项判定，即可求解.
cos -1800【详解】由 +a = cos 1800 -a = -cosa ，所以 A 正确；
由 sin(2p -a ) = sin(-a ) = -sina ，所以 B 不正确；
由 sin
9p
+a

÷ = sin(4p
p
+ +a ) p= sin( +a ) = cosa ，所以 C 正确；
è 2 2 2
由 cos -p -a = cos(p +a ) = -cosa ，所以 D 不正确.
故选：AC.
1
24．（2024 高一下·山东日照·阶段练习）下列各式中值为 的是（ ）
2
A． cos30o B． sin150o
C． cos300o D． sin120o
【答案】BC
【分析】利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果.
3
【详解】对于 A， cos30o = ，故 A 错误；
2
对于 B， sin150o = sin 30o
1
= ，故 B 正确；
2
对于 C， cos300o = cos 60o
1
= ，故 C 正确；
2
对于 D， sin120o = sin 60o 3= ，故 D 错误；
2
故选：BC
25．（2024 高一下·新疆·期末）已知角a 的终边经过点 P(-3,4)，则（ ）
A． cosa
3 tana 4= - B． = -
5 3
sin(a π) 4C． + = D． cos(a π- ) 4= -
5 2 5
【答案】AB
【分析】根据三角函数的定义求得 cosa ,sina , tana ，结合诱导公式确定正确答案.
【详解】Q角a 的终边经过点 P(-3,4)，\| OP |= 9 +16 = 5，
4
\cosa -3 3= = - ， sina = ，\sin(π +a ) = -sina
4
= -
5 5 ，5 5
cos(a π) sina 4 tana 4 4\ - = = ， = = - ，故 AB 正确、CD 错误，
2 5 -3 3
故选：AB
26．（2024 高一下·安徽·开学考试）已知锐角三角形 ABC 中，设 a = tan A tan B， f (x) = loga x则下列判断正
确的是（ ）
A． sin A > cos B B． a >1
sin A sin B
C． + > 2 D． f (cos A) > f (sin B)
cos B cos A
【答案】ABC
【分析】根据锐角三角形分析角的范围与关系，并利用诱导公式，以及对数函数的单调性，即可判断正误.
p π π
【详解】解：因为三角形 ABC 为锐角三角形，所以 A + B > ，则 > A > - B > 0，
2 2 2
所以 sin A > sin
π
- B2 ÷
= cos B > 0，A 选项正确；
è
sin A
同理 sin B > cos A > 0，则 >1
sin B
， > 1，
cos B cos A
tan A tan B sin A sin B因此 = × >1
sin A sin B
， + > 2，B，C 选项正确；
cos B cos A cos B cos A
由于 a >1，所以 f (x) = loga x在 (0, + )是增函数，
又 sin B > cos A > 0，所以 f (sin B) > f (cos A) ，D 选项错误．
故选：ABC．
27．（2024 高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论正确的有（ ）
A． sin
p a cos p a cos 5p + ÷ = -

÷ B． +q + sin
2p -q = 0
è 6 è 3 è 6 ÷ è 3 ÷
C sin2． 15o -a + cos2 75o +a =1 D． sin2 15o -a + sin2 75o +a =1
【答案】ABD
sin p +a cos p 5p 【解析】本题可通过诱导公式将 ÷转化为 -a3 ÷，
A 正确，然后通过诱导公式将 cos +q6 6 ÷è è è
sin 2p转化为- -q

÷ ，B 正确，最后根据 sin 15o -a = cos 75o +a 以及同角三角函数关系判断出 C 错误以
è 3
及 D 正确.
【详解】A 项： sin
p
+a
p p p p
÷ = sin
+a - = cos a - ÷ ÷ = cos

6 2 3 3
-a ÷ ，A 正确；
è è è è 3
5p
B 项：因为 cos +q ÷ = -sin
p +q = -sin ép - 2p -q ù ÷ ê = -sin
2p
6 3 3 ÷ú
-q ÷，
è è è è 3
所以 cos
5p q sin 2p+ + -q ÷ ÷ = 0，B 正确；
è 6 è 3
p
C o项：因为 sin 15 -a = sin é - 75o ù oê +a ú = cos 75 +a ， 2
2
所以 sin 15o -a + cos2 75o +a = 2cos2 75o +a 1，C 错误；
D 项： sin2 15o -a + sin2 75o +a = cos2 75o +a + sin2 75o +a =1，D 正确，
故选：ABD.
sin p 【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有 + a ÷ = cosa
è 2
、

cosa = cos -a p 、 sin -a ÷ = cosa 、 cos2 a + sin2 a =1等，考查化归与转化思想，是中档题.
è 2
三、填空题
o o
28．（2024 sin 210 + cos120高一上·甘肃武威·期中）已知 o = tan 45
【答案】-1
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值.
1 1
o
【详解】 sin 210 + cos120o sin 180o + 30o + cos 180o - 60o -sin 30o - cos 60o - -= 2 2 .
tan 45o tan 45o
= = = -1
tan 45o 1
故答案为：-1
29．（2024 高一上·全国·课后作业）如图，A，B 是单位圆 O 上的点，且 B 在第二象限，C 是圆 O 与 x 轴
5 12
的正半轴的交点，A 点的坐标为 , ， o ，则 tan COB = .
è13 13 ÷
AOB = 90

5
【答案】-
12
【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式计算即可.
5 ,12 【详解】因为 A 点的坐标为
è13 13 ÷
，

所以 cos AOC
5
= ,sin AOC 12= ，
13 13
又因为 AOB = 90o ，
所以 cos COB = cos 90o + AOC = -sin AOC 12= - , sin COB = sin 90o 5+ AOC = cos AOC =13 13
tan COB sin COB 5故 = = - .
cos COB 12
5
故答案为：-
12
π π
30．（2024 高一下·江西萍乡·期中）若 tan +a

÷ = 3，则 tan

-a

÷ = ．
è 4 è 4
1
【答案】
3
【分析】利用同角三角函数的商数关系及诱导公式计算即可；
sin π
π
+a ÷ π π
【详解】由 tan +a
è 4
÷ = 3 = 3，即 sin

+a
= 3cos +a ，
è 4 cos π +a è 4
÷ ÷
è 4
4 ֏
ì
sin
π
+a
π π π
÷ = sin - -a

÷÷ = cos

-a

4 2 ÷ è è è 4 è 4
而 í ，
cos π a cos π π π + ÷ = -

-a ÷÷ = sin

-a

è 4 è 2 è 4
÷
è 4
sin π -a
cos π -a = 3sin π -a tan π

è 4 ÷ 1
故 ÷ ÷ -a ÷ = = .
è 4 è 4 è 4 cos π -a 3 ÷
è 4
1
故答案为：
3
π 1 π
31．（2024 · · 1 sin -a 高一 全国 课堂例题）（ ）已知 ÷ = ，则 cos +a ÷ = è 3 2
；
è 6
tan π
5π
（2）已知 -a
3
÷ = ，则 tan +a ÷ = ．
è 6 3 è 6
1
/ 0.5 3【答案】
2 - 3
【分析】（1）、（2）利用诱导公式求得正确答案.
π
【详解】（1）∵ -a
+
π a π÷ + ÷ =3 ，
è è 6 2
cos π a cos éπ π a ù π 1∴ + ÷ = - - = sin

ê ÷ -a
=
è 6 2 3
÷ ．
è ú è 3 2
π a 5π（2）∵ - ÷ +

+a ÷ = π，
è 6 è 6
tan 5 π a tan éπ π ù∴ + ÷ =
π 3
è 6 ê
- -a6 ÷ú
= - tan
è
-a ÷ = - ．
è 6 3
1 3
故答案为： ；-
2 3
π
32．（2024 高一·全国·课堂例题）若3sina - sin b = 10 ，a + b = ，则 sina = ．
2
3 10 3
【答案】 / 10
10 10
【分析】将已知条件转化为只含a 的形式，然后结合 sin2 a + cos2 a =1求得正确答案.
a b π π【详解】因为 + = ，所以 b = -a ，
2 2
所以3sina - sin b = 3sina - sin
π
-a

÷ = 3sina - cosa = 10 ，
è 2
则 cosa = 3sina - 10 ．
2
又 sin2 a + cos2 a =1，所以 sin2 a + 3sina - 10 =1，
2
化简得 10 sina - 3 = 0 sina 3 10，所以 = ．10
3 10
故答案为：
10
33．（2024 高一上·全国·单元测试）已知 sina 是方程 2x2 - x -1 = 0的根，α 是第三象限角，则
sin a 3 π cos 3- - π -a ÷ ÷
è 2 è 2 × tan2 π -aπ π ＝ .cos -a ÷sin + a 2 è è 2 ÷
1
【答案】-
3
1 3
【分析】解方程得到 sina = - 2 ，从而求出 tana = ，从而利用诱导公式化简求出答案.3
1
【详解】 2x2 - x -1 = 0，解得 x = - 或 1，2
1
又 α 是第三象限角，∴ sina < 0， cosa < 0，故 sina = - 2 ，
∴ cosa 3= - 1- sin2 a = - ，
2
∴ tana sina 3= = ，
cosa 3
sin 3 -a - π ÷cos
3
π -a

÷
è 2 è 2 cosa × -sina∴ × tan2 π a 1- = × tan2 a = - tan2 a = -
cos π
.
-a sin π + a sina × cosa 3 ÷ ÷
è 2 è 2
1
故答案为：-
3
q π 34．（2024 高三上·广东深圳·阶段练习）若 0, ÷ ， tan π +q
1
= ，则 sinq - cosq = ．
è 2 2
5
【答案】-
5
【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系求解即可.
π
【详解】因为q 0, ÷，则 sinq > 0， cosq > 0，
è 2
又 tan π +q = tanq sinq 1= = ，则 cosq = 2sinq ，
cosq 2
因为 sin2 q + cos2 q =1，
1
所以 sin2 q + 4sin2 q =1，即 sin2 q = ，5
所以 sinq 5 2 5= （负舍）， cosq = ，
5 5
则 sinq - cosq 5 2 5 5= - = - .
5 5 5
5
故答案为：- .
5
1 π
35．（2024 高三上·上海浦东新·开学考试）已知 sin x = - , tan x > 0 ，则 sin + x ÷ = ．3 è 2
2 2 2
【答案】- / - 2
3 3
【分析】应用诱导公式及平方关系求目标式的值.
π 1 2 2
【详解】由 sin + x2 ÷
= cos x，又 sin x = - , tan x > 0 ，故
3 cos x = - 1- sin
2 x = - .
è 3
2 2
故答案为：-
3
36．（2024 高三上·浙江·开学考试）已知角a 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与射线 y = 2x
3p
（ x 0

）重合，则 sin -a ÷ = .
è 2
5
【答案】-
5
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值可知 tana = 2 ，再根据同角三角函数基本关系、诱导公式解
得答案即可.
ìsin2 a + cos2 a =1
【详解】由题意， tana = 2 ，且 sina > 0 ， cos 0

a > ， 则由 í ，
tana
sina
= = 2
cosa
5 sin 3p a cosa 5解得 cosa = ， 则 - ÷ = - = - .5 è 2 5
5
故答案为：- .
5
37．（2024 高一·全国·专题练习） tan420° + tan510° = ．
2 3 2
【答案】 / 3
3 3
【分析】由三角函数的诱导公式化简即可得出答案.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得：
tan420° + tan510° = tan 60° + 2 180° + tan -30° + 3 180°
= tan60° + tan -30° 2 3= tan60° - tan30° = ．
3
2 3
故答案为： .
3
4π π
38．（2024 高一下·上海浦东新·开学考试）已知下列三角比：（1） sin nπ + ÷；（2） cos 2nπ + ÷ ；（3）
è 3 è 6
sin 2nπ π+ é π ù é π ù ÷；（4） cos ê 2n +1 π - ú ；（5） sin ê 2n +1 π - ú， n Z ，其中与 sin
π
的值相同的
è 3 6 3 3
是 ．
【答案】（2）（3）（5）
【分析】利用三角函数诱导公式计算各式即可得解.
【详解】因为 sin π 3=
3 2
对于（1），当 n = 2k, k Z时， sin nπ
4π sin 2kπ 4π+ = + = sin 4π = sin π π+ π 3 ÷ ÷ ÷ = -sin = - ，
è 3 è 3 3 è 3 3 2
当 n = 2k +1, k Z
4π
时，sin nπ + ÷ = sin
2kπ π 4π sin π 4π π π 3 + + ÷ = + ÷ = sin

2π +

÷ = sin = ，故（1）不
è 3 è 3 è 3 è 3 3 2
满足要求；
对于（2）， cos 2nπ
π
+ = cos π 3= ，故（2）满足要求；
è 6 ÷ 6 2
π
对于（3）， sin 2nπ + ÷ = sin
π 3
= ，故（3）满足要求；
è 3 3 2
对于（4）， cos éê 2n +1 π
π
- ù = cos π ú π - ÷ = -cos
π 3
= - ，故（4）不满足要求；
6 è 6 6 2
对于（5）， sin éê 2n +1 π
π
- ù ú = sin π
π
- ÷ = sin
π 3
= ，故（5）满足要求；
3 è 3 3 2
故答案为：（2）（3）（5）.
1
39．（2024 高三·全国·专题练习）已知 sin 3π +q = ，则
3
cos π +q cos q - 2π
+
cosq é cos π +q -1 ù sin q 3π- cos q - π - sin 3π +q 的值为 ． 2 ÷ è è 2 ÷
【答案】18
【分析】利用诱导公式化简已知条件和所求的式子可得答案.
1
【详解】由 sin 3π +q = ，可得 sinq 1= - ，
3 3
cos π +q cos q - 2π
+
∴ cosq é cos π +q -1ù sin q
3π
-
3π
2 ÷
cos q - π - sin +q ÷
è è 2
= -cosq cosq 1 1
cosq -cosq -1 + -cos2 =q + cosq 1+ cosq + 1- cosq
= 2 = 2 = 2 =181+ cosq 1- cosq 1- cos2 q sin2 q ．
故答案为：18.
sina + 5cos 2π -a
=
40．（2024 高一下·上海浦东新·期中）已知 tana = -2，则 3sin 3π +a ÷ + sina
．
è 2
3
【答案】- /－0.6
5
【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算．
【详解】因为 tana = -2，
sina + 5cos 2π -a sina + 5cosa tana + 5 -2 + 5 3
= = = = -
所以 3sin 3π +a + sina -3cosa + sina -3 + tana -3 - 2 5 ． ÷
è 2
3
故答案为：- ．
5
41．（2024 高一上·四川遂宁·阶段练习）已知角a 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过
sin π 3π+a + cos -a
函数 f x = -3- a x-3 （ a > 0且 a 1）的定点 M. ÷则 è 2 =
cos 2π -a + sin -a
8 1
【答案】 /1
7 7
【分析】求出定点 M 的坐标，利用三角函数定义求出 sina , cosa ，再利用诱导公式计算作答.
【详解】由 x - 3 = 0，得 x = 3， f (3) = -4，即点M (3, -4)， | OM |= 32 + (-4)2 = 5，
因此 sina
4
= - , cosa 3= ，
5 5
sin(π +a ) + cos(3π -a ) 2 4 (- )
所以 2 =
-sina - sina 2sina 8
= = 5 = .
cos(2π -a ) + sin(-a ) cosa - sina sina - cosa 4 3- - 7
5 5
8
故答案为：
7
A B + C
42．（2024 高一·全国·课后作业）VABC 中，若 sin = sin ，则VABC 形状为 ．
2 2
【答案】直角三角形
B + C
【分析】根据三角形内角和定理得到 A + B + C = π，利用诱导公式化简，得到 tan =1，求出
2
A = B + C π= ，即可确定出三角形形状．
2
A π B + C
【详解】解：Q A + B + C = π ，\ = - ，
2 2 2
sin A π B + C B + C B + C\ = sin - = cos = sin tan B + C B + C ，即 =1，又 0, π 2 è 2 2 ÷ 2 2 2 2
\ B + C π π= ，即 A = B + C = ，
2 4 2
则VABC 为直角三角形．
故答案为：直角三角形.
2π 3 7π 43．（2024 高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知 sin + x ÷ = ，则 cos
è 3 5
+ x ÷等于 ．
è 6
3
【答案】- / -0.6
5
【分析】利用诱导公式确定目标式函数值与已知函数值的关系，即可得答案.
7π π π π π 2π 3
【详解】 cos + x ÷ = cos(π + + x) = -cos( + x) = -sin( + + x) = -sin( + x) = - .
è 6 6 6 2 6 3 5
3
故答案为：-
5
p p
44．（2024 高一下·上海宝山·阶段练习）已知 f (sin x) = 2x +1 (x [- , ])，那么 f (cos10) =
2 2
【答案】 21- 7p
é p p ù
【分析】将cos10利用诱导公式转变为 sina a
è ê
- , ú 的形式，然后根据函数解析式直接计算 f sina 2 2 ÷
的值即为 f cos10 的值.
10 7p- é p p ù 7p 【详解】因为 ÷ ê- , ú 且 cos10 = sin 10 - ，è 2 2 2 ÷ è 2
所以 f (cos10) = f [sin(10
7 7
- p )] = 2(10 - p ) +1 = 21- 7p .
2 2
故答案为： 21- 7p .
【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的应用，着重考查了分析与转化的能力，难度较难.
ì
x2 + sin

x
p
+ , x > 0
45．（2024· ÷上海崇明·模拟预测）已知函数 f (x) = í è 3 ,a [0, 2p )是奇函数，则a = ．
-x
2 + cos(x +a ), x < 0
7p
【答案】
6
p p
【分析】设 x < 0 2，则 -x > 0，计算 f x = -x - sin(-x + )，故 cos(x +a ) = sin(x - )，得到
3 3
x p x p- = +a + + 2kp ，计算得到答案.
3 2
ìx2 + sin x p+ , x > 0
【详解】函数 f (x) =
3 ÷í è ,a [0, 2p ) 是奇函数
2
-x + cos(x +a ), x < 0
p
设 x < 0 ，则 -x > 0 f -x = x2， + sin(-x + )\ f x p= - f -x = -x2 - sin(-x + )
3 3
-x2 cos(x p p p即 + +a ) = -x2 - sin(-x + )\cos(x +a ) = sin(x - ) = sin(x +a + )
3 3 2
p p 5p
故 x - = x +a + + 2kp \a = - - 2kp , k Z
7p
，当 k = -1时满足a =
3 2 6 6
7p
故答案为：
6
【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，意在考查学生对于函数奇偶性的应用.
1 3
46 2．（2024 高三下·海南·阶段练习）已知函数 f x = loga x +1 + x + x + a > 0,a 1 ，若a -1 2
f sin p a 1 p f - ÷÷ = （a kp + , k Z），则 cos

a
2p - ÷ = ．
è è 6 3 6 è è 3
÷

5
【答案】
3
【分析】构造 g(x) = f (x) -1
2p p
并判断奇偶性，根据 cos(a - ) = -sin( -a )及 g(x)的奇偶性即可求
3 6
f [cos(a 2p- )] .
3
【详解】令 g(x) = f (x) -1 = loga ( x
2 +1 1 1+ x) + x + ，a -1 2
x
则 g(-x) = loga ( (-x)
2 +1 - x) 1 1 2 a 1+
a- x
+ = - log ( x +1 + x) - +
-1 2 a a x -1 2
= - log ( x2 1 1 1a + + x) - x - = -g(x)且定义域为{x | x 0}，a -1 2
所以 g(x)
p
为奇函数，且 g[sin( -a )] = f [sin(
p
-a )] 1 2- = - ，
6 6 3
又 cos(a
2p
- ) = cos(2p -a ) = cos[p + (p -a )] = -sin(p -a )，
3 3 2 6 6
所以 g[cos(a
2p
- )] = g[-sin(p a )] p 2 2p 2- = -g[sin( -a )] = ，即 f [cos(a - )]-1 = ，
3 6 6 3 3 3
所以 f [cos(a
2p
- )] 5= ．
3 3
5
故答案为：
3
四、解答题
tan(kπ -a ) tan(kπ +a ) sina
47．（2024 高一·全国·课后作业）求证：当 k = 2或 3 时， =cos(2kπ -a )sin[(2k +1)π .+a ] cos3 a
【答案】证明见解析
【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.
tan(2π -a ) tan(2π +a ) - tana × tana tan2 a sina
【详解】当 k = 2时，左边= = = = ；
cos(4π -a )sin(5π +a ) cosa × (-sina ) cosa sina cos3 a
tan(3π -a ) tan(3π +a ) - tana × tana tan2 a sina
当 k = 3时，左边= = = = ；
cos(6π -a )sin(7π +a ) cosa × (-sina ) cosa sina cos3 a
综上， k = 2或 k = 3有原等式恒成立.
48．（2024 高一上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 以 Ox 为始边，它的终边与单位圆交于
第二象限内的点P m,n .
2sin π +a + cosa
12
(1)若 n = ，求 tana13 及 cos π +a 的值； ÷ + 2cosa
è 2
1
(2)若 sina + cosa = ，求点 P 的坐标.
5
12 29
【答案】(1) - ，
5 22
3 4
(2) - ,5 5 ֏
【分析】（1）根据三角函数定义以及三角函数诱导公式直接计算求解即可；
（2）根据同角三角函数关系的转化求得 sina - cosa 进而求解即可.
【详解】（1）若角a 以 Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点P m,n ，
n 12= 12
2
若 ，则m = - 1- 5
n 12
13 ÷ = - ，则
tana = = - ，
è 13 13 m 5
24
2sin π +a + cosa -2sina + cosa 1- 2tana 1+ 5 29
可得 = = = =
cos π +a + 2cosa -sina + 2cosa 2 - tana 2
12
+ 22 2 ֏ 5
（2）由题意知， sina > 0，cosa < 0，
又 sina + cosa
1
= ，①
5
1 24
两边平方，可得1+ 2sina cosa = ，可得 2sina cosa = - ，
25 25
可得 sina - cosa = sina - cosa 2 = 1- 2sinacosa 1 24 7= - - ÷ = ，②
è 25 5
联立①②，可得 sina
4 3
= ，cosa = - ，
5 5
3 4
所以点 P 的坐标为 - ,5 5 ÷è
49．（2024 高一·全国·课堂例题）计算：
(1) sin2 120° + cos180° + tan 45° - cos2 -330° + sin -210° ；
1+ cos100°sin170°
(2) ；
cos370° + 1- sin2 170°
cos π cos 2π cos 3π cos 4π 5π 6π(3) + + + + cos + cos ．
7 7 7 7 7 7
1
【答案】(1)
2
1
(2)
2
(3)0
【分析】（1）根据诱导公式、特殊角的三角函数值求得正确答案；
（2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案；
（3）根据诱导公式求得正确答案.
2
【详解】（1）原式= é sin 180° - 60° ù + cos 180° - 0° + tan 45° - écos -360° + 30°
2
ù + sin -180° - 30°
= sin2 60° - cos 0° + tan 45° - cos2 30 sin 30 3 1 1 3 1 1° + ° = - + - + = ．
4 4 2 2
1+ cos 180° -80° sin 90° + 80°
（2）原式=
cos 360° +10° + 1- sin2 180° -10°
1+ -cos80° cos80° 1- cos2 80° sin80° cos10° 1
= = = = = ．
cos10° + 1- sin2 10° 2cos10° 2cos10° 2cos10° 2
π 6π 2π 5π
（3）原式= cos + cos ÷ + cos + cos ÷ + cos
3π
+ cos 4π ÷
è 7 7 è 7 7 è 7 7
écos π cos π π ù écos 2π cos π 2π ù é 3π 3π= + - ùê 7 7 ÷ú
+ ê + - ÷ú + è 7 è 7 ê
cos + cos
7
π - ÷
è 7
ú

cos π cos π cos 2π= - + - cos
2π + cos 3π - cos 3π = 0
è 7 7 ÷ è 7 7 ÷ è 7 7 ÷
．

sin 2π +a cos π a cos π a cos 7π- - ÷ -a 2 2 ÷
50 è è ．（2024 高一·全国·专题练习）（1）化简： .
cos π -a sin 3π 5π-a sin -π+a sin +a 2 ÷è
cos(a - π) sin a π π（2）化简 × -

sin(π -a ) 2 ÷
cos +a ÷；
è è 2
tan(2π -a )sin(-2π -a )sin 3π +a
è 2 ÷
（3）化简 ．
sin(a - π)cos 3π -a

÷
è 2
-sin 180° + a + sin -a
（4）化简1+ cos -a + cos 180° -a ；
cos π a -
è 2 ÷5 （ ）化简 ×sin5π π -a ×cos 2π +a ；sin +a 2 ÷è
sin π -a + 5cos 2π -a
（6）已知 sin a - 3π = 2cos a - 4π ，求 2sin 3π . -a ÷ - sin -a
的值
è 2
【答案】（1） tana
3
；（2）-cos2 a ；（3）-1；（4）0；（5） sin2 a ；（6）- 4
【分析】利用诱导公式计算即可.
sina × (-cosa ) ×sina × (-sina ) sina
【详解】（1）原式＝ = = tana(-cosa ) ×sina × ( ；-sina ) ×cosa cosa
cos[-(π -a )] é π ù
（2）原式= × sin ê- -a ÷ú (-sina )sina è 2
cos(π -a ) é π
= × ê-sin

-a
ù
÷ú × ( sina )
-cosa
- = × (-cosa )(-sina ) = -cos2 a
sin 2 sin ；a è a
tan(-a )sin(-a )sin éπ + π +a ù - tana (-sina ) éê ÷ -sin
π
+a
ù
÷
3 = è
2 ú ê è 2 ú
（ ）原式 =
sin[ π π-(π -a )]cos éêπ +
-a ù ÷ú -sin(π -a )
é ù
2 ê
-cos -a2 ÷ è è ú
tana sina (-cosa )
= tana sina cosa= - = - tana cosa = sina cosa× - ×
-sina (-sina ) = -1；sina sina sina cosa sina
-sin 180° +a + sin(-a ) sina - sina
（4）原式= = = 01+ cos(-a ) + cos 180 ；° -a 1+ cosa - cosa
cos a
π
-
2 ֏ sina
（5）原式= ×sin(π -a ) ×cos(2π +a ) = ×sina ×cosa = sin2 a ；
sin 5π +a cosa ÷
è 2
（6）由 sin a - 3π = 2cos a - 4π 可得 sina = -2cosa ，
sin(π -a ) + 5cos(2π -a ) sina + 5cosa -2cosa + 5cosa 3
= = = -
2sin 3π -a - sin(-a ) -2cosa + sina -2cosa - 2cosa 4 .
è 2 ÷
51 2024 · · cos(π 3 cos(
7π a ) sin2 (a 13π．（ 高一上 全国 课后作业）已知 -a ) = ，求 - - - )的值.
6 3 6 6
3 + 2
【答案】-
3
cos(7π a ) sin2 (a 13π) cos(π π【分析】化简 - - - = - -a ) - sin2 (a - ) ，结合诱导公式，代入即可求解.
6 6 6 6
π 3 2 π 2 π 1 2
【详解】因为 cos( -a ) = ，所以 sin (a - ) =1- cos (a - ) =1- = ，
6 3 6 6 3 3
可得 cos(
7π 13π
-a ) - sin2 (a - ) = cos[π + (π -a )]- sin2[(a π- ) - 2π]
6 6 6 6
π
= -cos( -a ) - sin2 (a π) 3 2 3 + 2- = - - = - .
6 6 3 3 3
sin(kπ -a ) cos(kπ +a )
52．（2024 高一·全国·课后作业）若 k Z ，求证： = -1sin[(k +1)π .+a ]cos[(k +1)π -a ]
【答案】证明见解析
【解析】分 k 为偶数和 k 为奇数讨论，利用诱导公式化简即可证明；
【详解】证明：若 k 为偶数，则
sin(-a ) cosa
左边= sin(π +a ) cos(π -a )
-sina cosa
=
(-sina )(-cosa )
= -1；
若 k 为奇数，则
sin(π -a ) cos(π +a )
左边= sina cos(-a )
sina (-cosa )
=
sina cosa
= -1；
左边=右边，所以原式成立.
【点睛】本题考查利用诱导公式化简证明，注意对 k 的奇偶的讨论，是中档题.
sin 2p -a cos p +a cos p +a cos
11p
-a
è 2 ÷ ÷53 2024 · · è 2 ．（ 高一 全国 专题练习）求证： = - tana ．
cos p -a sin 3p -a sin -p -a sin 9p +a2 ֏
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
-sina × -cosa -sina -sina
【详解】左边= -cos sin sin cos =–tanα=a a a a 右边，× × ×
∴等式成立．
sin π -a + 5cos 2π -a
54．（2024 高一下·四川眉山·期中）（1）已知方程 sin a - 3π = 2cos a - 4π ，求 2sin 3π -a ÷ - sin -a
的
è 2
值．
π
（2）已知 - < x < 0,sin x + cos x
1
= ，求 sin x - cos x2 5 的值；
3 7
【答案】（1）- ；（2）-
4 5
【分析】
（1）利用诱导公式得到-sina = 2cosa ，再由诱导公式将式子化简，最后代入计算可得；
sin x cos x 1（2）将 + = 两边平方求出 2sin x cos x，最后根据
5 sin x - cos x = - sin x - cos x
2
计算可得.
【详解】（1）∵ sin a - 3π = 2cos a - 4π ，
∴-sina = 2cosa ，
可知 cosa 0，
sin π -a + 5cos 2π -a sina + 5cosa -2cosa + 5cosa 3
= = = -
所以 2sin 3π -a - sin -a -2cosa + sina -2cosa - 2cosa 4 . 2 ÷è
（2）由 sin x + cos x
1
= sin2 x + cos2可得， x + 2sin x cos x
1
= ，
5 25
所 2sin x cos x
24
= - ，
25
π
因为- < x < 0，所以sin < 0，cos x > 0，
2
则 sin x - cos x = - sin x - cos x 2 = - 1- 2sin x cos x 1 24 7= - + = - .
25 5
sin 5π +a
π 2 ÷
55．（2024 高三上· · 2 5 è 北京 开学考试）已知 sina = ，a , π2 ÷，求
tan a + π + 的值.
5 è cos 5π -a
è 2 ÷
5
【答案】- / -2.5
2
5
【分析】根据三角函数的基本关系式，求得 cosa = - ，得到 tana = -2，结合诱导公式，即可求解.
5
π
【详解】因为 sina 2 5= > 0且a , π2 ÷，且
a 为第二象限角，
5 è
2 5 tana sina所以 cosa = - 1- sin a = - ，可得 = = -2 ，
5 cosa
sin 5π +a

tan a + π + è 2
÷

又由 = tana
cosa 1 5
+ = -2 - = - .
cos 5π sina 2 2 -a ÷
è 2
56．（2024 高一·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，钝角a 的始边与 x 轴的非负半轴重合，
2
终边与半径为1的圆相交于点A ，过点A 作 x 轴的垂线，垂足为点 B ， OB = ．
3
(1)求 sina 的值；
2sin π -a + sin π +a
(2)求 cos 2π a 的值．-
【答案】(1) 5
3
(2) 5-
2
【分析】（1）根据三角函数定义，结合同角三角函数平方关系可求得结果；
（2）利用诱导公式化简所求式子，代入 sina , cosa 即可.
【详解】（1）由三角函数定义知： cosa
2
= - OB = - ，又a 为第二象限角，
3
\sina = 1- cos2 a 5= .
3
5
2sin
2 π -a + sin π +a 2sina - sina sina 5（ ） = = = 3 = - .
cos 2π -a cosa cosa 2- 2
3
tan(2p -a )sin(-2p -a )cos(6p -a )
3 = - tana57．（2024 高一上·全国·课后作业）（1）求证： sin(a p+ )cos(a 3p+ ) ；
2 2
sin(15p8p + a ) + 3cos(a
13p
- )
（2）设 tan(a + ) = m，求证 7 7
m + 3
= .
7 sin(20p -a ) - cos(a 22p+ ) m +1
7 7
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
tan(-a )sin(-a )cos(-a )
【详解】（1）左边= sin[2p (p p- -a )]cos[2p - ( -a )]
2 2
(- tana )(-sina )cosa sin2 a sin2 a
= = = sina
p p p p = - = - tanasin[ ( = .- -a )]cos[-( -a )] -sin( -a )cos( -a ) -cosa sina 右边，所以原等式成立
2 2 2 2 cosa
sin[p (8p 8p+ + a )] + 3cos[(a + ) 3p ] sin(8p- - + a ) - 3cos(a 8p+ ) tan(a 8p+ ) + 3
（2）方法 1：左边= 7 7 = 7 7 = 7 m + 3
sin[4p (a 8p
= =
- + )] - cos[2p (a 8p+ + )] -sin(a 8p+ ) - cos(a 8p+ ) tan(a 8p+ ) +1 m +1
7 7 7 7 7
右边，所以原等式成立.
2 tan(a 8p p方法 ：由 + ) = m，得 tan(a + ) = m，
7 7
sin[2p (p+ + a )] + 3cos[(a p+ ) - 2p ] sin(p + a ) + 3cos(a p p+ ) tan(a + ) + 3 m + 3
所以，等式左边= 7 7 = 7 7 = 7 = =右
sin[2p + p p p p p p- (a + )] - cos[2p + p + (a + )] sin(a + ) + cos(a + ) tan(a + ) +1 m +1
7 7 7 7 7
边，等式成立.
58．（2024 高一·全国·课堂例题）求值：
sin 7π(1) ；
6
cos11π(2) ；
4
(3) tan -1560° .
1
【答案】(1) -
2
(2) 2-
2
(3) 3
【分析】根据诱导公式化简计算即可得出结果.
sin 7π = sin π π 1【详解】（1） π + ÷ = -sin = - .6 è 6 6 2
11π 3π 3π
（2） cos = cos 2π + ÷ = cos = cos π
π
-
4 4 ÷è 4 è 4
= -cos π 2= - .
4 2
（3） tan -1560° = - tan1560° = - tan 4 360° +120°
= - tan120° = - tan 180° - 60° = tan 60° = 3 .
59．（2024 高一·全国·课堂例题）求下列各三角函数值：
(1) sin
π
- ；
è 6 ÷
(2) cos
2π
；
3
tan 5p(3) ；
4
(4) cos
35π
．
6
1
【答案】(1) -
2
1
(2) -
2
(3)1
(4) 3
2
【分析】利用诱导公式和特殊角三角函数值即可得到答案.
sin π π 1【详解】（1） - 6 ÷
= -sin = - ；
è 6 2
cos 2π cos π π= - （2） ÷ = -cos
π 1
= - ；
3 è 3 3 2
（3） tan
5π
= tan π π+ = tan π =1；
4 4 ֏ 4
cos 35π4 = cos π π 3（ ）
6
6π -
6 ÷
= cos = ．
è 6 2
15
60．（2024 高一上·全国·课后作业）已知a 的终边与单位圆交于点P m, ÷÷，且a 为第二象限角，试求
è 4
sin π a -

2 ֏
的值．
sin π 3π+a - sin -a ÷ +1
è 2
3+ 15
【答案】-
6
15 1
【分析】根据题意，利用三角函数的定义，求得 sina = , cosa = - ，再结合诱导公式，准确计算，即
4 4
可求解.
15 1
【详解】由题意得m2 + ( )2 =1，解得m2 = ，
4 16
1 15 1
因为a 为第二象限角，可得m < 0，所以m = - ，所以
4 sina = , cosa = -
，
4 4
sin a π -
1
2 ÷è -cosa 4 3 + 15所以 = = = -
sin π a sin 3π
.
+ - -a +1 -sina + cosa +1 15 1 6 2 ÷ - - +1è 4 4
1 1
61．（2024 高一下·河南驻马店·阶段练习）（1）已知 = - asin sina 且 lg cosaa 有意义，若角 的终边与单位
3
圆相交于点M ,m

÷，求m 的值及 sina 的值；
è 5
ì π
a π π
sin 3π -a = 2 cos
, , b 0, π
- b ÷
（2）是否存在角 - ÷ ，使等式 è 2 同时成立.若存在，求出a , b
è 2 2
í

3 cos -a = - 2 cos π + b
的值；若不存在，说明理由.（注：对任意角 x ，有 sin2x + cos2x =1成立）
m 4 ,sina 4 p p【答案】（1） = - = - ；（2）存在，a= ， b =
5 5 4 6
3
【分析】（1）先根据题意条件分析出角a 所在象限，再根据角a 的终边与单位圆相交于点M ,m÷，求出m
è 5
的值，进而求出 sina ；
ì sina = 2 sin b
（2）先利用诱导公式对题意中的等式进行化简，化简后得到 í ，平方相加得到新的等式
3 cosa = 2 cos b
sin2 a + 3cos2 a = 2，结合 sin2 a + cos2 a =1，从而求解出 sina ，cosa ，根据a , b 所在的范围，进而求解出
结果.
1 1
【详解】（1）因为 = -sina sina ，所以 sina < 0，
所以a 是第三或第四象限角或 y 轴的非正半轴上的角，
因为 lg cosa 有意义，所以 cosa > 0，
所以a 是第一或第四象限或 x 轴的非负半轴上的角，
综上可知，角a 是第四象限角，
M 3,m
2
3 4
因为点 ÷在单位圆上，所以 ÷ + m
2 =1，解得m = ± ，
è 5 è 5 5
a 4又 是第四象限角，故m < 0，从而m = - ，
5
4
根据正弦函数的定义，可知 sina = - ；
5
ì
sin 3π -a = 2 cos
π
- b
（2）因为等式 í è 2
÷
同时成立，

3 cos -a = - 2 cos π + b
ì sina = 2 sin b
利用诱导公式化简得 í ，两式平方后相加得 sin2 a + 3cos2 a = 2，
3 cosa = 2 cos b
sin2 a + cos2 a =1 cos2 a
1
= cosa 2因为 ，所以可得 ，即 = ± ，2 2
a π π因为
- , a π= a π ÷ ，所以 或 = - .
è 2 2 4 4
π 3
当a = 时，代入 3 cosa = 2 cos b 得 cos b = ，4 2
又 b 0, π π，所以 b = ，此时也符合等式 sina = 2 sin b ；
6
π 3
当a = - 4 时，代入 3 cosa = 2 cos b 得 cos b = ，2
又 b 0, π π，所以 b = ，显然此时不符合等式 sina = 2 sin b ，
6
π π
综上所述，存在a = ， b = 满足条件.
4 6
sin 2π - a cos π - a2 ÷
62 è ．（2024 高一下·广东佛山·阶段练习）已知 f a = ．
cos 3π a - ÷ tan π + a
è 2
(1)若 f a 1= - ，且 a 0, π ，求 a 的值；
2
f a π 1 2π (2) 2若 + ÷ = ，求 sin - a ÷ + sin
π - a ÷ 的值．
è 3 4 è 3 è 6
2π
【答案】(1) a =
3
19
(2)
16
【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后解三角方程可得；
（2）依题意可得 cos
π 1
a +

÷ = ，然后利用诱导公式和平方关系可得.
è 3 4
sin 2π - a cos π - a 2 ÷è -sin a ×sin a
【详解】（1） f a = = sin a = cos a，
cos a 3π -

÷ tan π + a -sin a ×
è 2 cos a
因为 f a 1 1= - ，所以 cos a = - ，
2 2
又 a 0, π 2π，所以 a = ．
3
f a π+ π （2）由（1）知 ÷ = cos a + ÷，
è 3 è 3
f π 1 π 1因为 a + ÷ = ，所以 cos3 4
a + = ，
è è 3 ÷ 4
x a π 1 π令 = + ，则cos x = ， a = x - ，
3 4 3
sin2 2π所以 - a

÷ + sin
π
- a

3 6 ÷è è
= sin2 π - x + sin π - x ÷
è 2
= sin2 x + cos x =1- cos2 x 19+ cos x =
16
sin π +a
cos 3π -a tan π-a
63．（2024 高一上· ÷ ÷安徽合肥·期末）已知函数 f a = è 2 è 2 .
tan π+a sin 2π-a
(1)化简 f a
f a × f a 3π- 3 3π π 3π(2)若 ÷ = - ，且- < a < - ，求 f a + f
a - 的值.
è 2 8 4 2 è 2 ÷
【答案】(1) -cosa
1
(2) -
2
【分析】（1）根据诱导公式化简即可．
3π
（2）由题意得 f a + f a - ÷ = -cosa + sina ，又由题意得到 cosasina
3
= ，根据 sina - cosa 与 cosa ×sina
è 2 8
的关系求解．
cosa -sina -tana
【详解】（1）由题意得 f a = = -cosatana sina .-
（2）由（1）知 f
a 3π- = -cos a 3π π- = -cos a + 2 ÷ 2 ÷ ÷
= sina ．
è è è 2
∵ f a × f a 3π 3 -

2 ÷
= - ，
è 8
∴ cosasina
3
= ，
8
∴ sina - cosa 2 =1- 2cosasina 1= .
4
3π
又- < a
π
< - ，
4 2
∴ cosa > sina ，
∴ sina cosa
1
- = - .
2
f a f a 3π+ ∴ - ÷ = -cosa + sina
1
= - .
è 2 2
29 12
64．（2024 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）求 sin - π ÷ + cos π × tan4π的值.
è 6 5
1- tan2q
（2）求证： 2 = cos
2q - sin2q .
1+ tan q
1
【答案】（1）- ；
2
（2）证明见解析.
【分析】（1）根据诱导公式化简条件，结合特殊角三角函数值求解；
（2）根据同角关系证明等式的左侧与右侧相等.
【详解】（1） sin
29
- π

÷ + cos
12 π × tan4π
è 6 5
=sin -6π+
7π
÷ + cos

2π
2
+ π ÷ × tan4π
è 6 è 5
=sin π+
π + 0 cos 2 π
è 6 ÷ 5
= - sin π
6
= 1- ；
2
1 sin
2 q
1- tan2q - cos2 q cos
2 q - sin2 q
（2）因为 2 = 2 = = cos
2 q - sin2 q
sin ，1+ tan q 1 q+ cos
2 q + sin2 q
cos2 q
1- tan2q
所以 = cos2q - sin2q .
1+ tan2q
65．（2024 高一下·江西赣州·期中）已知角a 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过函数
f x = -2 - a x-4 （ a > 0且 a 1）的定点 M.
(1)求 sina - 2cosa 的值；
sin π a π+ + cos +a (2)求 è 2 ÷ - tan 5π +a 的值.
cos 2π +a + sin -a
11
【答案】(1)-
5
45
(2)
28
【分析】（1）求得定点 M 的坐标，利用三角函数的定义可求出 sina ， cosa ，从而求出答案；
（2）利用诱导公式化简，再将 sina ， cosa ， tana 代入，即可得出答案.
【详解】（1）∵函数 f x = -2 - a x-4 （ a > 0且 a 1）的定点 M 的坐标为 4,-3 ，
∴角a 的终边经过点M 4, -3 ，
∴ OM = 42 + -3 2 = 5（O 为坐标原点），
根据三角函数的定义可知 sina
3
= - ， cosa
4
= ，
5 5
sina 2cosa 3 4 11∴ - = - - 2 = - .
5 5 5
3
（2） sina = - ， cosa
4
= ， tana
3
= - ，
5 5 4
sin π π+a + cos +a 2 ÷è tan 5π a -sina - sina- + = - tana -2sina= - tana
cos 2π +a + sin -a cosa - sina cosa - sina
-2 3 -

5 ֏ 3 6 3 45= + = + =
4 3
.
- - 4 7 4 28
5 5 ֏
1
66．（2024 高一下·四川广安·阶段练习）已知角 A 为锐角， sin Acos A tan A = ，
2
(1)求角 A 的大小；
sin π A cos 2023π(2)求 + - A

2 ÷的值．è
π
【答案】(1) A = 4
1
(2)
2
【分析】（1）根据同角三角函数之间的基本关系分析运算；
2 1
（2）根据诱导公式化简整理，并代入 sin A = ，计算即可得出结果.
2
【详解】（1）由 sin Acos A tan A = sin Acos A
sin A
= sin2 A 1= ，可得 sin2 A
1
= ，
cos A 2 2
由角 A 为锐角，则 sin A > 0，
sin A 2
π
所以 = ，故 A = ．
2 4
2023π 3π 3π
（2）∵ sin π + A cos - A÷ = -sin Acos 1010π + - A÷ = -sin Acos - A = sin2 ÷ A，
è 2 è 2 è 2
2
由（1）可得 sin A
1
= ，
2
即 sin π + A cos 2023π - A
1
÷ =2 2 ．è
sin a + 15p + 3cos a - 13p
67 2024 · · tan
8p 7 ÷ ÷è è 7 m + 3
．（ 高一 全国 课后作业）设 a + 7 ÷
= m .求证： =20p .è sin -a +

÷ - cos

a +
22p m +1
7 7 ÷è è
【答案】证明见解析
8p
【解析】由题意从所求式子的左边出发，把 tan a + = m7 ÷ 作为一个整体代入，再利用同角三角函数间基è
本关系进行化简即可证得右边.
sin ép + 8p ùê a + ÷ú + 3cos
é 8p ù 8p 8p
a + ÷ - 3p -sin a + - 3cos a +
= è
7 ê è 7 ú 7 ÷ 7 ÷ è è
【详解】证明：左边 =
é 8p ù é 8p ù -sin a + 8psin
8p
ê4p - a + ÷ú - cos ê2p + a + ÷ ÷ - cos a + ÷ è 7 è 7 ú è 7 è 7
tan a + 8p + 3
= è 7
÷

tan a + 8p ÷ +1
è 7
把 tan a
8p
+ m + 3 7 ÷
= m代入，得原式= =右边，故原等式成立.
è m +1
【点睛】本题考查同角三角函数间基本关系、诱导公式的应用和整体代入思想.，属于基础题
sin(a p- ) cos(3p +a ) tan(2p -a )
68．（2024 高一下·辽宁·期中）已知函数 f (a ) = 2 2 .
tan(a +p )sin(a +p )
（1）化简 f (a)；
（2）若 f (a ) f (a
p 1
× + ) = - 5p a 3p，且 ，求 f (a ) + f (a
p
+ )
2 8 4 2 2
的值；
（3）若 f (a
p
+ ) = 2 f (a )，求 f (a )
p
× f (a + ) 的值.
2 2
3 2
【答案】（1）-cosa （2）- （3）
2 5
【详解】试题分析：
（1）利用诱导公式可化简；
p 1
（2）代入已知 f (a ) f (a + ) = -sina cosa ，从而得 sina cosa = ，结合平方关系 sin2 a + cos2 a =1可求得
2 8
sina - cosa 值；
（3）同样由诱导公式化已知为 sina = -2cosa ，代入平方关系 sin2 a + cos2 a =1可求得 cos2 a ，也即得
f (a ) f (a p+ ) = -sina cosa 的值．
2
试题解析：
（1） f
-cosasina ) -tana
a = = -cosa
tana .-sina
p p
(2) f a + ÷ = -cos a + ÷ = sina
p 1 1
，因为 f a × f a + ÷ = - ，所以 cosa ×sina = ，可得
è 2 è 2 è 2 8 8
sina cosa 2 3 5p a 3p- = ，结合 ， cosa > sina p 3，所以 f a + f a + ÷ = sina - cosa = - .4 4 2 è 2 2
f a p+ 1（3）由（2）得 ÷ = 2 f a 即为 sina = -2cosa ，联立2 sin
2a + cos2a =1 2，解得 cos a = ，所以
è 5
f a p× f 2 2 a + ÷ = -sinacosa = 2cos a = .
è 2 5
p
点睛：诱导公式：公式一：2kp +a ，公式二：p +a ，公式三：-a ，公式四：p -a ，公式五： -a ，公
2
p
式六： +a
p
，这六公式可统一写成： k × ±a ， k Z，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．
2 2

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