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5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 4 题型分类
一、正弦函数的图象
1．正弦曲线
正弦函数 y＝sinx，x∈R 的图象叫做正弦曲线.
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法
①利用单位圆画出 y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；
②将图象不断向左、向右平移(每次移动 2π 个单位长度)．
(2)“五点法”
π 3π
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，( ，1)，(π，0)，( ，－1 ，(2π，0)，2 2 )
用光滑的曲线连接；
②将所得图象不断向左、向右平移(每次移动 2π 个单位长度)．
二、余弦函数的图象
(1)余弦曲线
余弦函数 y＝cosx，x∈R 的图象叫做余弦曲线.
(2)余弦函数图象的画法
π
①要得到 y＝cosx 的图象，只需把 y＝sinx 的图象向左平移 个单位长度即可，这是由于
2
( πcosx＝sin x＋ ).2
②用“五点法”画余弦曲线 y＝cosx 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，
(π ) 3π，0 ，(π，－1)，( ，0)，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每2 2
次移动 2π 个单位长度)．
（一）
用“五点法”作三角函数的图象
用“五点法”画函数 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表
π 3π
x 0 π 2π
2 2
sinx －1
0(或 1) 1(或 0) 0(或－1) 0(或 1)
(或 cosx) (或 0)
b A＋b b(或 －A＋b b
y
(或 A＋b) (或 b) －A＋b) (或 b) (或 A＋b)
π 3π
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，( ，y )，(π，y)，( ，y)，(2π，y)，2 2
这里的 y 是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
题型 1：用“五点法”作三角函数的图象
1-1．（2024 高一·全国·课堂例题）（1）作出函数 y = 2sin x(0 x 2π)的简图；
（2）作出函数 y =1- cos x(0 x 2π)的简图．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】根据列表描点连线作图即可.
【详解】（1）列表：
x π0 π
3π
2π
2 2
sin x 0 1 0 -1 0
2sin x 0 2 0 -2 0
描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数 y = 2sin x(0 x 2π)的图象，如图所示：
（2）列表：
x π π 3π0 2π
2 2
cos x 0 1 -1 0 1
1- cos x 0 1 2 1 0
描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数 y =1- cos x(0 x 2π)的图象，如图所示：
1-2．（2024 高一上·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图.
(1) y = 2sin x， x 0,2π ；
y sin x π x é π , 5π ù(2) = + ÷， ê- .è 3 3 3 ú
1 π
(3) y = 3sin x - ÷在一个周期（T = 4π）内的图像．
è 2 3
(4) y = 2 - sin x， x 0,2π ;
y π π 11(5) = cos x +

÷， x
é- , πù．
è 6 ê 6 6 ú
(6) y cos
π π
= x +
é
÷， x ê- ,
5π ù
è 3 3 3 ú
【答案】(1)图象见解析
(2)图象见解析
(3)图象见解析
(4)图象见解析
(5)图象见解析
(6)图象见解析
【分析】根据五点画图法的原则：描点、连线、绘图，找到函数中对应的五个点，操作画图即可.
【详解】（1）列表：
x 0 π π 3π 2π
2 2
2sin x 0 2 0 -2 0
描点、连线、绘图，如图所示.
（2）列表：
π 3π
x π+ 0 π 2π
3 2 2
x π π 2π 7π 5π-
3 6 3 6 3
sin π x + ÷ 0 1 0 －1 0
è 3
描点连线如图.
（3）
列表:
x 2π 5π 8π 11π 14π
3 3 3 3 3
1 x π π π 3π- 0 2π
2 3 2 2
y 0 1 0 -1 0
图像如图所示：
（4）
解:由题知 y = 2 - sin x， x 0,2p ，
列表如下:
x 0 π π 3π 2π
2 2
y 2 1 2 3 2
根据表格画出图象如下:
y = cos x π+ é π 11（5）解:由题知 ÷， x - , π
ù
，
è 6 ê 6 6 ú
列表如下:
x π π 5π 4π 11π-
6 3 6 3 6
x π π 3π+ 0 π 2π
6 2 2
y 1 0 -1 0 1
根据表格画出图象如下:
é π
（6）Q x ê- ,
5π ù x πú\ + 0,2π 3 3 3
根据五点法作图列表得：
x π+ 0 π π 3π 2π
3 2 2
x π π 2π 7π 5π-
3 6 3 6 3
y 1 0 -1 0 1
画图像得：
1-3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = 2sin π 2x - ÷， x R ．在用“五点法”作函数 f x 的图象
è 4
时，列表如下：
2x π-
4
x
f x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数 y = f x 在区间 0, π 上的图象；
【答案】填表见解析；作图见解析
【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线连接）.
【详解】由题意列出以下表格：
2x π π π 3π 7π- - 0 π
4 4 2 2 4
π 3π 5π 7πx 0 π8 8 8 8
f x - 2 0 2 0 -2 - 2
函数图象如图所示：
（二）
用图象变换法作函数图象
用图象变换法作函数图象
对于某些函数的图象，如 y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对
称变换等作图．
(1)把 y＝sinx 的图象在 x 轴上方的保留，在 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方，就可得 y＝
|sinx|的图象．
(2)把 y＝sinx 的图象在 y 轴右侧的保留，去掉 y 轴左侧的图象，再把 y 轴右侧的图象沿 y 轴翻
折到 y 轴左侧，就可得 y＝sin|x|的图象．
题型 2：用图象变换法作函数图象
2-1．（24-25 高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出 y = sin x ， x [0, 4π]的简图，并说明该图象如何
由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到.
【答案】答案见解析
【分析】先作出 y = sinx， x 0,4π 的图象，然后将 x 轴下方的部分翻转到 x 轴上方去可得答案.
【详解】解：作 y = sinx， x 0,4π 的图象，并将 x 轴下方的部分翻转到 x 轴上方（原 x 轴上方的部分不
变），
得 y = sinx ， x 0,4π 的图象，如图所示.
2-2．（2024 高一下·上海·课后作业）当 x -2p , 2p 时，作出下列函数的图象，把这些图象与 y = sin x 的图
象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1） y = -sin x；
（2） y = sin x ；
（3） y = sin x .
【答案】答案见解析
【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出；
（2）作出图象，根据图象观察即可解出；
（3）作出图象，根据图象观察即可解出．
【详解】（1）该图象与 y = sin x 的图象关于 x 轴对称，故将 y = sin x 的图象作关于 x 轴对称的图象即可得到
y = -sin x的图象.
sin x,-2p x -p ,0 x p ,
（2）y = sin x
ì
= í y = sin x xsin x, x 0, x 2 ,将 的图象在 轴上方部分保持不变，下半部分作关于
x
- -p p p
轴对称的图形，即可得到 y = sin x 的图象.
ìsin x, x 0,
（3） y = sin x = í y = sin xsin x, x 0,将 的图象在
y 轴右边部分保持不变，并将其作关于 y 轴对称的图形，
- <
即可得到 y = sin x 的图象.
（三）
正弦函数、余弦函数图象的应用
1、三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
π
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
4
(4)用诱导公式进行化简时，若遇到 kπ±α 的形式，需对 k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式
进行化简．
2、三角函数式的化简注意:
(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;
(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数;
(3)注意“1”的变形应用.
题型 3：利用图象解三角不等式
3-1．（2024 2高一下·全国·课后作业）不等式 sin x… , x (0, 2p )的解集为（ ）
2
ép , p ù ép , 3p ù ép 3p ù ép p ùA． ê 6 2 ú
B．
ê
C．
4 4 ú ê
, ú D． , 2 4 ê 6 4 ú
【答案】B
【分析】根据 y = sin x 的图象与性质可得 sin x 2 的解集．
2
Q sin x 2【详解】解： , x (0, 2p )
2
y = sin x 函数图象如下所示：
\ p x 3p ，
4 4
ép 3p\ ù不等式的解集为： ê , ú ． 4 4
故选： B ．
3-2．（2024 高一·全国·课堂例题）不等式 sin 2x
π 1+
3 ÷

2 的解集为 ．è
ì π
【答案】 íx | - + kπ x
π
+ kπ, k Zü
12 4
【分析】可先求出 sina
1 a 0,2π 2x π a x sin 2x π 1 ， 的解集，在将 + 代替 解出 ，则不等式 + ÷ 的解集2 3 è 3 2
可求.
【详解】画出 x [0, 2p ]时， y = sin x 的图象．
令 sina
1
= ，a 0,2π π 5π，解得a = 或a =
2 6 6
又 y = sin x
1 ì π 5π2π ü的周期为 ，所以 sina 的解集为 ía | + 2kπ a + 2kπ,k Z2 6 6
．

用 2x
π a x π kπ x π+ 代替 解出 ．可得- + + kπ, k Z
3 12 4
sin 2x π+ 1 ì π π则 ÷ 的解集为 íx | - + kπ x + kπ, k Z
ü
3 2 .è 12 4
ì π π
故答案为： íx | - + kπ x + kπ, k Z
ü
.
12 4
1
3-3．（2024 高一下·陕西西安·阶段练习）不等式si n x < - , x [0, 2p ]的解集是（ ）
2
7p 11p 4p 5p
A é ù．（ , ） B． ,
6 6 ê 3 3 ú
5p , 7p 2p 5pC．（ ） D．（ , ）
6 6 3 3
【答案】A
【分析】在平面直角坐标系中作出 y = sin x 在 0,2p 上的图象，运用数形结合的思想方法即可求解
【详解】
7p 11p
如图所示，不等式 sin x
1
< - ， x 0,2p 的解集为 ,
2 ֏ 6 6
故选：A
3-4．（2024 高一下·上海嘉定·期中）不等式 cos x
1
x -π, π 的解集为 .
2
é π
【答案】 ê- ,
π ù
3 3ú
【分析】画出 y = cos x x -π, π 的图象，由图象即可求解.
【详解】
画出 y = cos x x -π, π 的图象，如图所示，
1 π π
由图可知，不等式 cos x x -π, π é的解集为 - , ù .
2 ê 3 3ú
é π π ù
故答案为： ê- , 3 3ú
3-5．（2024 高一·全国·课后作业）在(0，2π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是（ ）
π π π 5π 3π, 3π , ù , ùA．
è 4 4 ÷
B．
4 2 ú è è 4 2 ú
C
π , π 5π 7π ． ÷ D． , ÷
è 4 2 è 4 2
【答案】A
【分析】根据正弦函数在各象限的符号并结合正弦、余弦函数图像即可求解.
【详解】因为 sinx>|cosx|且 x∈(0，2π)，
所以 sinx>0，
所以 x∈(0，π)，
在同一平面直角坐标系中画出 y=sinx，x∈(0，π)与 y=|cosx|，x∈(0，π)的图象，
π 3π
观察图象易得 x∈ ， ．
4 4
故选：A.
题型 4：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
1
4-1．（2024 高一下·全国·单元测试）方程 sin πx = x 的解的个数是 ．
4
【答案】7
1
【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出 y = sin πx和 y = x的图象，找出两函数图象交点个数即
4
可.
【详解】由正弦函数值域可得 sin πx -1,1 ，
1
又因为当 x = 4时， y = x =1；
4
所以，分别画出 y = sin πx y
1
和 = x在 x -4,4 上的图象如下图所示：
4
根据图像并根据其对称性可知，在 x -4,4 上两函数图象共有 7 个交点；
1
由函数与方程可知，方程 sin πx = x 有 7 个解.
4
故答案为：7
x
4-2．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）函数 f x = sinx - 的零点个数为 ．
10
【答案】7
【分析】数形结合，求函数 f x sinx x x= - 的零点个数转化为求函数 y = sinx与 y = 的交点个数.
10 10
f x sinx x x【详解】依题意求函数 = - 的零点个数，可以转化为求函数 y = sinx与 y = 的交点个数，
10 10
y = sinx -1,1 ，
y x 10如图，对于函数 = ，当 x = 0时， y = 0 ；当 x =10 时， y = =1；当 x >10 时， y > 1；当 x = 8时，
10 10
y 4= <1；
5
所以在 x 轴非负半轴上两个函数图像有 4 个交点，
10 4
当 x = -10时， y = - = -1；当 x = -8时， y = - > -1；所以在 x 轴负半轴上两个函数图像有 3 个交点，
10 5
f x sinx x综上，函数 = - 的零点个数为 7.
10
故答案为：7.
π
4-3．（2024 高一上·河南新乡·期末）已知函数 f (x) = 5cos(wx + )(w > 0) 在 -2,2 上恰有 2 个零点，则w 的
6
取值范围为 ．
π 2π
【答案】[ , )
3 3
【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再按余弦函数零点分布情况分类求解作答.
【详解】由 x -2,2 π π π且w > 0，得wx + [-2w + , 2w + ]，
6 6 6
ì 3π 2w π 5π + <
若 f x 在 -2,0 f x 0,2 2 2 6 2上无零点，则 在 上恰有 个零点，则 í π ，无解； - < -2w π π+ <
2 6 6
ì π 2w π 3π + <
f x -2,0 2 6 2若 在 上恰有 1 个零点，则 f x 在 0,2 上恰有 1 个零点，则 í
3π π π
，解得
- < -2w + -
2 6 2
π
w 2π< ；
3 3
ì π
< 2w
π π
+ <
f x -2,0 2 f x 0,2 6 6 2若 在 上恰有 个零点，则 在 上无零点，则 í
5π π 3π
，无解，
- < -2w + -
2 6 2
所以w
π 2π
的取值范围为[ , ) .
3 3
故答案为：[
π , 2π)
3 3
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的零点问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的
范围，再利用正(余)函数值为 0 列式求解即得.
4-4．（2024 高一下·全国·课后作业）函数 f x = 3sin x - x的零点个数为 .
【答案】3
x
【分析】在同一坐标系中画出函数 y = si n x, y = 的图像，则函数 f x 零点个数为两函数图象交点个数
3
【详解】由 f x = 0 sin x x= ，则函数 f x x零点个数为 y = si n x, y = 图象交点个数，在同一坐标系
3 3
中画出两函数图象如下，则交点有 3 个，即 f x 有 3 个零点.
故答案为：3
4
π π
-5．（2024 高一下·四川广安·阶段练习）已知关于 x 的方程 2sin 2x + ÷ - m = 0在 , π6 2 ÷上有两个不同的实è è
数根，则 m 的取值范围是 ．
【答案】 -2, -1
π m π
【分析】将问题化为 y = sin 2x + ÷ 与 y =6 在
, π
2 ÷上有两个交点，数形结合即可求参数范围
.
è 2 è
sin 2x π m+ π 【详解】由题设 ÷ = 在 , π ÷上有两个不同的实数根，
è 6 2 è 2
2x π 7π 13π
π π
又 + ( , )，故 y = sin 2x +
, π
6 6 6 è 6 ÷
在 ÷的图象如下，
è 2
y = sin 2x π+ y m只需 6 ÷ 与
= 在给定区间内有两个交点即可，
è 2
m 1
如图，-1 < < - ，则-2 < m < -1.
2 2
故答案为： -2, -1
一、单选题
1．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y = cos(-x), x [0,2p ]的简图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 cos（﹣x）＝cosx 及余弦函数的图象即可得解．
【详解】由 y = cos(-x) = cos x 知，其图象和 y = cos x的图象相同，
故选 B．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．
2．（2024 高一下·上海·课后作业）函数 y = sin x, x [0, 2p ] y
1
与 = 图像交点的个数为（ ）
2
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
1
【分析】作出直线 y = 与函数 y = sin x 在[0, 2p ]上的图象，观察图形即可得解.
2
【详解】作出函数 y = sin x 在[0, 2p ]
1
上的图象，并作出直线 y = ，如图：
2
观察图形知：函数 y = sin x 在[0, 2p ]
1
上的图象与直线 y = 有两个公共点，
2
所以函数 y = sin x, x [0, 2p ] y
1
与 = 图像交点的个数为 2.
2
故选：C
3．（2024 高一下·全国·课后作业）从函数 y = cos x, x 0,2p 3的图象来看，当 x 0,2p 时，对于 cos x = -
2
的 x 有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】C
【分析】画出 y = cos x, x 0,2p y 3和 = - 的图象，看它们有几个交点即可.
2
【详解】先画出 f x = cos x ， x 0,2p 的图象，即 A 与 D 之间的部分，
再画出 g x 3= - 的图象，如下图：
2
由图象可知它们有 2 个交点 B、C，
所以当 x 0,2p 3时， cos x = - 的 x 的值有 2 个.
2
故选：C
4．（2024 高一·全国·专题练习）三角函数 y = 2sin x在区间 -p ,p 上的图像为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合三角函数的奇偶性，以及函数的最值点，即可求解.
【详解】解：∵ y = 2sin x为奇函数，
∴ y = 2sin x的图像关于原点对称，故排除 A、D 选项，
三角函数 y = 2sin x
p
在区间 -p ,p 上的最大值为 y = 2sin = 2，故排除 B 选项.
2
故选：C.
5．（2024 高三·全国·专题练习）用“五点法”作 y = 2cos 2x 的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
0, π , π, 3π ,2π 0, π π 3πA． B． , , , π
2 2 4 2 4
C．0, π,2π,3π,4π 0,
π , π , π , 2πD．
6 3 2 3
【答案】B
【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解.
π 3
【详解】由“五点法”作图知：令 2x = 0， ， π， π ， 2π，
2 2
π π 3π
解得 x = 0, , , , π，即为五个关键点的横坐标.
4 2 4
故选：B.
6．（2024 高三·全国·专题练习）函数 y = -cos x x 0 的图象中与 y 轴最近的最高点的坐标为（ ）
π
A． ,1÷ B． π,1
è 2
C． 0,1 D． 2π,1
【答案】B
【分析】五点法作图，根据图象分析即可.
【详解】用五点法画出函数 y = -cos x x 0 的部分图象如图所示，由图易知与 y 轴最近的最高点的坐标为
π,1 .
故选：B
7．（2024 高一下·辽宁·阶段练习）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离
分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数 f x = sin x + cos 2x的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据图象的区别，取 x = π验证即可排除错误选项.
【详解】因为 f p = sinp + cos 2π =1 > 0，所以 ACD 错误.
故选：B
8．（2024 高一上·安徽合肥·期末）函数 f x = sin x， g x = cos x 的图象在区间 -2π, π 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】作出正、余弦函数图象，利用图象直接判断两者交点个数.
【详解】分别作出 f x = sin x， g x = cos x 在区间 -2π, π 上的图象，如图所示，
由图象可知： f x = sin x， g x = cos x 的图象在区间 -2π, π 的交点个数为 3.
故选：A.
9．（2024·全国·模拟预测）若 f x π= sin wx +

÷ (w > 0 )在 0, π 上有且只有两个零点，则w 的取值范围为
è 3
（ ）
5 , 8ù 5 8 é5 8 é5 8ùA． ú B． , ÷ C． ê ,3 3 3 3 3 3 ÷
D． ê ,è è 3 3ú
【答案】A
π π π π
【分析】根据w > 0， x 0, π ，得wx + ( ,wπ + ) ，结合正弦函数性质，确定wx + 的位置范围即可
3 3 3 3
求出 ω 的范围﹒
【详解】∵w > 0， x 0, π ，∴wx π (π+ ,wπ π+ ) ，
3 3 3
函数 f (x) sin wx
π
= +

÷ (w > 0)在区间 0, π 上有且只有两个零点，
è 3
则 2π < πw
π
+ 3π 5﹒解得 < w
8
.
3 3 3
故选：A
10．（2024 高一下·江苏扬州·期中）设函数 f x 的定义域为 R， f -x = f x ， f x = f 2 - x ，当 x 0,1
f x = x3时， ，则函数 g x =| cos πx | - f x [ 1, 3在区间 - ]上零点的个数为（
2 ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】分析函数 f (x)
3
的性质，结合幂函数的图象，作出 f (x) 在[-1,2]上的图象，再作出 y =| cos πx |在[-1, ]
2
上的图象，求出两图象的交点个数作答.
【详解】由 f (-x) = f (x) ，得 f (x) 的图象关于 y 轴对称，由 f (x) = f (2 - x)，得 f (x) 的图象关于直线 x =1
对称，
令 g(x) =| cos πx | - f (x) = 0，得 | cos πx |= f (x)，函数 y = cos πx 是周期为 1 的偶函数，当 x 0,1 时，
f x ＝x3，
在同一坐标系内作出函数 y = f (x) 在 -1,2 上的图象，函数 y = cos πx 3在[-1, ]上的图象，如图，
2
观察图象知，函数 y = f (x) 与 y =| cos πx |的图象在[-1,
3]上的交点有 7 个，
2
所以函数 g x =| cos πx | - f x 在区间[-1, 3]上零点的个数为 7.
2
故选：D
二、多选题
π 4π
11．（2024 高一下·江西抚州·期中）函数 y = cos x ， x ,3 3 ÷的图像与直线
y = t （t 为常数，t R ）的交
è
点可能有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】ABC
【分析】作出函数图像，通过观察判断结果.
【详解】作出 y = cos x ， x
π 4π
, 3 3 ÷的图像观察可知，è
当 t < 0或 t >1时， y = cos x 的图像与直线 y = t 的交点个数为 0；
1
当 t = 0或 t =1或 t = 时， y = cos x 的图像与直线 y = t 的交点个数为 l；
2
当0 < t
1 1
< 或 < t <1时， y = cos x 的图像与直线 y = t 的交点个数为 2.
2 2
故选：ABC.
12．（2024 高一上·全国·课后作业）（多选）函数 y=sinx -1, x [0, 2π]与 y = a 有一个交点，则 a的值为（ ）
A．-1 B．0
C．1 D．-2
【答案】BD
【分析】根据函数图象的交点个数，即可结合图象求解.
【详解】画出 y=sinx -1, x [0, 2π]的图象.
如图：直线 y = 0 和 y=- 2 与 y=sinx -1, x [0, 2π]的图象只有一个交点，
故 a = 0或 a = -2 .
故选：BD.
三、填空题
2p ép ù
13．（2024 高三上·湖南株洲·开学考试）若函数 f x = 2sin wx + ÷ +1 w > 0 在 ,p
è 3 ê 6 ú
上有且仅有 3 个零

点，则w 的最小值为 .
5
【答案】
2
ì2π π w 2π 7π
2π 2π 1
< +
【分析】首先令 2sin wx + 3 6 3 6 ÷ +1 = 0 ，得 sin wx + ÷ = - ，再结合题意得到3 3 2 í ，è è 3π π+ πw 2π π+ < 4π -
6 3 6
解不等式即可.
2π 2π 1
【详解】令 2sin wx +

÷ +1 = 0 ，得 sin
wx + ÷ = - ，
è 3 è 3 2
π x π π w 2π wx 2π πw 2π由 得 + + + ，
6 6 3 3 3
ì2π π w 2π 7π < +
依题意， f x é π在 ê , π
ù
3 3 6 3 6
6 上有且仅有 个零点，则 í ， ú 3π π 2π π+ πw + < 4π -
6 3 6
5
解得 w 3，
2
所以w
5
的最小值为 .
2
5
故答案为： .
2
14．（2024 高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数 f x 2sin 2x π= +

÷ ，令 g x = f x
3 0, π- 在区间 上
è 6 2 è 2 ÷
恰有 2 个零点 x1, x2 x1 < x2 ，则 x1 + x2 = ， cos x1 - x2 = .
p 1 3
【答案】 / p /0.75
3 3 4
sin 2x π 3 0, π π+ = π π【分析】转化为 ÷ 在 ÷上恰有 2 个零点，当 x 0, ÷ 时，z = 2x + ,
7π
÷，画出 y = sin z
è 6 4 è 2 è 2 6 è 6 6
π
在 z ,
7π π
÷时的解析式，得到 z1 + z2 = π，求出 x1 + x2 = ，所以è 6 6 3
cos x π π 31 - x2 = cos - 2x3 2 ÷ = sin 2x2 + ÷ = .è è 6 4
【详解】由题意得 2sin
2x π+ 3 ÷ =

在 0,
π
6 2 ÷
上恰有 2 个零点，
è è 2
sin π 3 π即 2x +
= ÷ 在6 4
0, ÷上恰有 2 个零点 x1, x2 x < x ，
è è 2 1 2
x 0, π z 2x π π 7π 当 2 ÷
时， = + ,
6 6 6 ÷
，
è è
y sin z z π , 7π画出 = 在 时的函数图象，
è 6 6 ÷
z π1, z2关于 x = 2 对称，故 z1 + z2 = π，
2x π 2x π π即 1 + + 2 + = π ，解得 x + x6 6 1 2
= ，
3
且 sin
2x π 3 π+ 3 1 6 ÷
= ， sin 2x4 2
+ ÷ = ，
è è 6 4
π
因为 x1 = - x2，所以 cos x
π
1 - x = cos

2 - 2x2 ÷ = sin
é π π
- - 2x ù = sin 2x π+ 3ê 2 ÷ 2 ÷ =3 è 3 2 è 3 ú è 6 4
π 3
故答案为： ，
3 4
ì sin πx, x 0,2f (x) 15．（2024 高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数 = í
log2 (x - 2) , x
，若存在实数 k 满足
(2, + )
f a = f b = f c = f d = k(a,b, c, d 互不相等 ) ，则 a + b + c + d 的取值范围是 .
15
【答案】 (7, ) 6
2
【分析】作出分段函数的图象，利用 f a = f b = f c = f d = k 和对称性，分类讨论求解.
ì sin πx, x 0,2
【详解】函数 f (x)
= í
log2 (x
的图象如下图所示：
- 2) , x (2, + )
存在实数 k 0,1)满足 f a = f b = f c = f d = k(a,b, c, d 互不相等 ) ，不妨设 a < b < c < d ，则由图可知
a,b x 1关于 = 对称，所以a + b = 1；
2
当 k = 0时， c = 2， d = 3，则 c + d = 5，此时 a + b + c + d = 6 ；
5 5
当0 < k <1时，因为 log2 (x - 2) =1解得 x = 或 x = 4，故而 < c < 3，3 < d < 4，且由图可得2 2
- log2 (c - 2) = log2 (d - 2)
1
，即 = d - 2，可得 d
1
= + 2 ，
c - 2 c - 2
c d c 1 1所以 + = + + 2 = c - 2 + + 4
c - 2 c - 2
1 1 1 13 15
设 t = c - 2，则 t ,1÷，c + d = t + + 4在 t ,1÷上单调递减，所以 c + d (6, )，所以 a + b + c + d (7, )，
è 2 t è 2 2 2
综上所述 a + b + c + d (7,
15) 6 ；
2
15
故答案为： a + b + c + d (7, ) 6 .
2
π
16．（2024 高一下·湖北武汉·期中）已知函数 f x = sin wx + ÷ (w > 0) ），若方程[ f x ]2 =1在 0,3π 上恰
è 6
有 5 个实数解，则实数w 的取值范围为 ．
13 ,16 ù【答案】
è 9 9 ú
π π π
【分析】由[ f (x)]2 = 1可得 f (x) = ±1

，运用换元法令wx + = t < t < 3wπ + ÷，将问题转化为 y = sint在6 è 6 6
π
,3wp
π
+ ÷上恰有 5 条对称轴，画 y = sint图象运用数形结合列式即可求得结果.
è 6 6
π π π
【详解】当0 < x < 3π时， < wx + < 3wπ + ，
6 6 6
π
因为函数 f x = sin wx + ÷在区间 (0,3π)上恰好有 5 个 x，使得 f x = ±1，
è 6
故 f (x) 在 (0,3π) wx
π t π π上恰有 5 条对称轴．令 + =

6
< t < 3wπ +
6 6 ÷
，
è
y sint π则 = 在 ,3wp
π
+ ÷上恰有 5 条对称轴，如图：
è 6 6
9π π 11π w 13 ,16所以 < 3wπ + ，解得
ù
．
2 6 2 è 9 9 ú
13 16 ù
故答案为： , ú .è 9 9
17．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f (x) = 4cos

2x
π
+ ÷ - 3，则 f (x)
π 5π
在 - ,

÷上的零点个数
è 6 è 12 6
为 ．
【答案】2
y = cos 2x π+ y 3=
π , 5π- 【分析】根据题意分析可得原题意等价于求 6 ÷与 在4 12 6 ÷
上的交点个数，结合余弦
è è
函数分析运算.
f (x) 4cos 2x π 【详解】令 = + ÷ - 3 = 0 ，可得 cos

2x
π 3+ ÷ = ，
è 6 è 6 4
π 3 π 5π
原题意等价于求 y = cos 2x + ÷与 y = 在 - , 上的交点个数，
è 6 4 è 12 6 ÷
x π 5π π 11π∵ - ,

÷ ，则 2x + 0, ÷，
è 12 6 6 è 6
且 cos 0 =1 3> , cos11π 3 3= > ，
4 6 2 4
有余弦函数可知 y = cos x
3 0,11π与 y =

在 ÷ 上有 2 个交点4 è 6
所以 y = cos
π 3 π 5π
2x + ÷与 y =6 在4
- , ÷上有 2 个交点.
è è 12 6
故答案为：2.
18．（2024 高一下·贵州遵义·期中）已知函数 f (x) = cos
2wx π +

3 ÷
w > 0 在区间 (0,2π)上有且仅有 10 个零点，
è
则 ω 的取值范围是 .
55 , 61ù【答案】
è 24 24ú
π
【分析】将 2wx + 看成一个整体，找出其范围，再根据余弦函数的性质列出不等式求解.
3
π π π
【详解】由 x (0, 2π)，则 2wx +
3
, 4πw + ÷，
è 3 3
因为函数 f (x) = cos
2wx π+ ÷ w > 0 在区间 (0,2π)上有且仅有 10 个零点，
è 3
19π 4wπ π 21π w
55 , 61ù所以由余弦函数的性质可知： < + ,解得
2 3 2 ú
，
è 24 24
55 61ù
故答案为： , .
è 24 24ú
四、解答题
19．（2024 高三·全国·专题练习）作出函数 y = cos x , x R 的图象
【答案】见解析
【分析】去绝对值后，结合函数 y = cos x的图象，即可画出函数的图象.
ì
cos x, x
é π π ù
ê- + 2kπ, + 2kπ2 2 ú
【详解】 y = cos x =

í ， k Z，

-cos x, x
é π ê + 2kπ,
3π
+ 2kπù
2 2 ú
作出函数 y = cos x图象后，将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，即为函数 y = cos x 的图象，如图
20．（2024 高一·全国·课后作业）用五点法作出函数 y = 2 + sinx 的大致图象．
【答案】图象见解析
【分析】根据“五点法”列表、描点、连线即可得到函数图象.
【详解】解：因为 y = 2 + sinx ，
列表：
0 π π 3πx 2π
2 2
y 2 3 2 1 2
描点、连线，函数图象如下图所示：
ìcos x,-p x < 0,
21．（2024 高一下·上海·课后作业）已知函数 f x = í
sin x,0 x p .
（1）作出该函数的图象；
（2）若 f x 1= ，求 x 的值；
2
（3）若 a R ，讨论方程 f x = a的解的个数．
p p 5p
【答案】（1）图见解析；（2）x = - 或 或 ；（3）当 a >1或 a < -1时，解的个数为 0；当-1 a < 06 或 a =13 6
时，解的个数为 1；当0 a < 1时，解的个数为 3．
【分析】（1）根据正余弦函数的图象即可画出；
（2）讨论 x 的范围根据解析式即可求解；
（3）方程 f x = a的解的个数等价于 y = f x 与 y = a 的图象的交点个数，结合图象即可得出.
【详解】（1） f x 的函数图象如下：
（2）当-p x < 0时， f x cos x 1 p= = ，解得 x = - ，
2 3
0 x 1p f x = sin x = x p= 5p当 时， ，解得 或 ，
2 6 6
x p p综上， = -
5p
或 或
3 6 6
；
（3）方程 f x = a的解的个数等价于 y = f x 与 y = a 的图象的交点个数，
则由（1）中函数图象可得，
当 a >1或 a < -1时，解的个数为 0；
当-1 a < 0或 a =1时，解的个数为 1；
当0 a <1时，解的个数为 3．
3p
22．（2024 高一上·全国·课前预习）作函数 y = sin x + ÷ 的图象.
è 2
【答案】图象见解析.
【分析】根据诱导公式化简可得函数解析式，根据余弦函数图象性质，可画出函数图象.
ì cosx p - + 2kp x
p
+ 2kp , k Z
3p è 2 2 ÷
【详解】 y = sin x + = cosx =
è 2 ÷
í
-cosx p 3p + 2kp < x < + 2kp ,k Z

÷
è 2 2
故 y =| cos x |的图象实际就是 y = cos x的图象在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方后得到的图象，如图
23．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x = sin x + 2 sin x ，用五点作图法画出函数 f x 在 0,2π 上的图象；
（先列表，再画图）
【答案】答案见解析
【分析】先写出分段函数，列出表格，从而画出函数图象.
ì3sin x,0 x π
【详解】 f x = í
-sin x, π
，
< x 2π
按五个关键点列表：
π 3π
x 0 π 2π
2 2
sin x 0 1 0 -1 0
f x = sin x + 2 sin x 0 3 0 1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：
24．（2024 高一·全国·课后作业）用五点法分别画下列函数在[-p,p]上的图象:
(1) y = -sin x ;
(2) y = 2 - cos x .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可.
【详解】解:
p p
x -p - 0 p
2 2
y = -sin x 0 1 0 -1 0
y = 2 - cos x 3 2 1 2 3
【点睛】本题主要考查了五点作图法的运用,属于基础题.
1 π
25．（2024 高一下·北京·阶段练习）用五点法画出函数 y = 2sin x +2 3 ÷
一个周期的图象.
è
【答案】答案见解析
1 π π 3π
【分析】分别令 x + 的取值分别为0 、 、 π、 、2π，计算出对应的 x 和 y 值，经过列表、描点、连
2 3 2 2
1 π
线可得出函数 y = 2sin x + ÷一个周期的图象.
è 2 3
1 π
【详解】令 z = x + ，则 x 2 z
π
= -
2 3 ÷
.
è 3
列表：
0 π π 3πz 2π2 2
2π π 4π 7π 10πx -
3 3 3 3 3
y 0 2 0 -2 0
函数 y = 2sin
1
x
π
+
2 3 ÷
在一个周期内的图象如下图所示：
è
π
26．（2024 高三·全国·专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数 f x = 2sin 2x + ÷ 在 0, π 上的
è 6
大致图像.
【答案】答案见解析
【分析】根据函数解析式按照“五点法”的步骤，列表、描点、连线即可作出 f x 的图象.
【详解】列表：
π 5π 2π 11π
x 0 π
6 12 3 12
2x π π π+ π 3π 13π2π
6 6 2 2 6
y 1 2 0 -2 0 1
描点，连线，画出 f x 在 0, π 上的大致图像如图：
27．（2024 高三·福建厦门·阶段练习）函数 f x = sin x + 2 sin x , x 0,2p 的图象与直线 y = k 有且仅有两个
不同的交点，求实数 k 的取值范围．
【答案】 1,3 ．
【分析】将函数 f x = sin x + 2 sin x , x 0,2p 写为分段函数的形式，作出其图象，根据图象即可得实数 k
的取值范围.
f x = sin x + 2 sin x =
ì3sin x, x 0,p
【详解】 í sin x, x p , 2p ， -
其图象如图所示．
若使 f x 的图象与直线 y = k 有且仅有两个不同的交点，
根据图象，可得实数 k 的取值范围是 1,3 ．
【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的图象，将函数写为分段函数的形式是解题的关键，属于中档题.5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 4 题型分类
一、正弦函数的图象
1．正弦曲线
正弦函数 y＝sinx，x∈R 的图象叫做正弦曲线.
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法
①利用单位圆画出 y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；
②将图象不断向左、向右平移(每次移动 2π 个单位长度)．
(2)“五点法”
π 3π
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，( ，1)，(π，0)，( ，－1 ，(2π，0)，2 2 )
用光滑的曲线连接；
②将所得图象不断向左、向右平移(每次移动 2π 个单位长度)．
二、余弦函数的图象
(1)余弦曲线
余弦函数 y＝cosx，x∈R 的图象叫做余弦曲线.
(2)余弦函数图象的画法
π
①要得到 y＝cosx 的图象，只需把 y＝sinx 的图象向左平移 个单位长度即可，这是由于
2
( πcosx＝sin x＋ ).2
②用“五点法”画余弦曲线 y＝cosx 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，
(π ) 3π，0 ，(π，－1)，( ，0)，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每2 2
次移动 2π 个单位长度)．
（一）
用“五点法”作三角函数的图象
用“五点法”画函数 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表
π 3π
x 0 π 2π
2 2
sinx －1
0(或 1) 1(或 0) 0(或－1) 0(或 1)
(或 cosx) (或 0)
b A＋b b(或 －A＋b b
y
(或 A＋b) (或 b) －A＋b) (或 b) (或 A＋b)
π 3π
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，( ，y )，(π，y)，( ，y)，(2π，y)，2 2
这里的 y 是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
题型 1：用“五点法”作三角函数的图象
1-1．（2024 高一·全国·课堂例题）（1）作出函数 y = 2sin x(0 x 2π)的简图；
（2）作出函数 y =1- cos x(0 x 2π)的简图．
1-2．（2024 高一上·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图.
(1) y = 2sin x， x 0,2π ；
π π 5π
(2) y = sin x +

÷， x
é- , ù
è 3 ê 3 3 ú
.

1 π
(3) y = 3sin x -

÷在一个周期（T = 4π）内的图像．
è 2 3
(4) y = 2 - sin x， x 0,2π ;
(5) y = cos x
π
+ ÷， x
π 11
é ù
è 6 ê
- , π
6 6 ú
．

(6) y = cos x
π x é π + ÷， ê- ,
5π ù
è 3 3 3 ú
1-3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = 2sin 2x π- ÷， x R ．在用“五点法”作函数 f x 的图象
è 4
时，列表如下：
2x π-
4
x
f x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数 y = f x 在区间 0, π 上的图象；
（二）
用图象变换法作函数图象
用图象变换法作函数图象
对于某些函数的图象，如 y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对
称变换等作图．
(1)把 y＝sinx 的图象在 x 轴上方的保留，在 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方，就可得 y＝
|sinx|的图象．
(2)把 y＝sinx 的图象在 y 轴右侧的保留，去掉 y 轴左侧的图象，再把 y 轴右侧的图象沿 y 轴翻
折到 y 轴左侧，就可得 y＝sin|x|的图象．
题型 2：用图象变换法作函数图象
2-1．（24-25 高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出 y = sin x ， x [0, 4π]的简图，并说明该图象如何
由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到.
2-2．（2024 高一下·上海·课后作业）当 x -2p , 2p 时，作出下列函数的图象，把这些图象与 y = sin x 的图
象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1） y = -sin x；
（2） y = sin x ；
（3） y = sin x .
（三）
正弦函数、余弦函数图象的应用
1、三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
π
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
4
(4)用诱导公式进行化简时，若遇到 kπ±α 的形式，需对 k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式
进行化简．
2、三角函数式的化简注意:
(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;
(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数;
(3)注意“1”的变形应用.
题型 3：利用图象解三角不等式
3-1 2．（2024 高一下·全国·课后作业）不等式 sin x… , x (0, 2p )的解集为（ ）
2
ép , p ù ép , 3p ù ép 3pA B ù
ép p ù
． ê ． 6 2 ú ê
C． , D． ,
4 4 ú ê 2 4 ú ê 6 4 ú
3-2．（2024 高一·全国·课堂例题）不等式 sin 2x
π 1
+ ÷ 3 2 的解集为 ．è
1
3-3．（2024 高一下·陕西西安·阶段练习）不等式si n x < - , x [0, 2p ]的解集是（ ）
2
7p 11p é4p 5pA ù．（ , ） B．
6 6 ê
,
3 3 ú
5p , 7p 2p 5pC．（ ） D．（ , ）
6 6 3 3
3-4．（2024 高一下·上海嘉定·期中）不等式 cos x
1
x -π, π 的解集为 .
2
3-5．（2024 高一·全国·课后作业）在(0，2π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是（ ）
π 3π π , π ù 5π , 3πA． ,
ù
è 4 4 ÷
B．
4 2 ú è è 4 2 ú
π , π 5π , 7π C． D4 2 ÷ ． ÷è è 4 2
题型 4：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
1
4-1．（2024 高一下·全国·单元测试）方程 sin πx = x 的解的个数是 ．
4
x
4-2．（2024 高一下·新疆塔城·阶段练习）函数 f x = sinx - 的零点个数为 ．
10
4-3．（2024 高一上·河南新乡·期末）已知函数 f (x) = 5cos(wx
π
+ )(w > 0) 在 -2,2 上恰有 2 个零点，则w 的
6
取值范围为 ．
4-4．（2024 高一下·全国·课后作业）函数 f x = 3sin x - x的零点个数为 .
π π
4-5．（2024 高一下·四川广安·

阶段练习）已知关于 x 的方程 2sin 2x + ÷ - m = 0

在 , π

6 2 ÷上有两个不同的实è è
数根，则 m 的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y = cos(-x), x [0,2p ]的简图是（ ）
A． B．
C． D．
1
2．（2024 高一下·上海·课后作业）函数 y = sin x, x [0, 2p ]与 y = 图像交点的个数为（ ）
2
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024 高一下·全国·课后作业）从函数 y = cos x, x 0,2p 3的图象来看，当 x 0,2p 时，对于 cos x = -
2
的 x 有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
4．（2024 高一·全国·专题练习）三角函数 y = 2sin x在区间 -p ,p 上的图像为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024 高三·全国·专题练习）用“五点法”作 y = 2cos 2x 的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0,
π , π, 3π ,2π B．0,
π , π , 3π , π
2 2 4 2 4
C．0, π,2π,3π,4π 0,
π , π , πD． ,
2π
6 3 2 3
6．（2024 高三·全国·专题练习）函数 y = -cos x x 0 的图象中与 y 轴最近的最高点的坐标为（ ）
π
A． ,1÷ B． π,1
è 2
C． 0,1 D． 2π,1
7．（2024 高一下·辽宁·阶段练习）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离
分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数 f x = sin x + cos 2x的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024 高一上·安徽合肥·期末）函数 f x = sin x， g x = cos x 的图象在区间 -2π, π 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
π
9．（2024·全国·模拟预测）若 f x = sin wx + ÷ (w > 0 )在 0, π 上有且只有两个零点，则w 的取值范围为
è 3
（ ）
5 , 8ù 5 , 8 é5 , 8 é5 , 8ùA． B C D
è 3 3ú
． ．3 3 ÷ ê ÷
．
è 3 3 ê 3 3ú
10．（2024 高一下·江苏扬州·期中）设函数 f x 的定义域为 R， f -x = f x ， f x = f 2 - x ，当 x 0,1
3
时， f x = x ，则函数 g x =| cos πx | - f x [ 1, 3在区间 - ]上零点的个数为（
2 ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题
π 4π
11．（2024 高一下·江西抚州·期中）函数 y = cos x x

， ,

÷的图像与直线 y = t （t 为常数，t R3 3 ）的交è
点可能有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
12．（2024 高一上·全国·课后作业）（多选）函数 y=sinx -1, x [0, 2π]与 y = a 有一个交点，则 a的值为（ ）
A．-1 B．0
C．1 D．-2
三、填空题
2p
13．（2024 高三上·湖南株洲·开学考试）若函数 f x = 2sin wx + ÷ +1 w > 0
ép ù
在 ê ,p6 ú 上有且仅有
3 个零
è 3
点，则w 的最小值为 .
π
14．（2024 高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数 f x = 2sin 2x + ÷ ，令 g x
π
= f x 3- 在区间 0, ÷上
è 6 2 è 2
恰有 2 个零点 x1, x2 x1 < x2 ，则 x1 + x2 = ， cos x1 - x2 = .
ì sin πx, x 0,2
15．（2024 高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数 f (x) = í log ，若存在实数 k 满足 2 (x - 2) , x (2, + )
f a = f b = f c = f d = k(a,b, c, d 互不相等 ) ，则 a + b + c + d 的取值范围是 .
π
16．（2024 2高一下·湖北武汉·期中）已知函数 f x = sin wx + ÷ (w > 0) ），若方程[ f x ] =1在 0,3π 上恰
è 6
有 5 个实数解，则实数w 的取值范围为 ．
π π 5π
17．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f (x) = 4cos 2x + ÷ - 3，则 f (x) 在 - , 上的零点个数
è 6 è 12 6 ÷
为 ．
18．（2024 高一下·贵州遵义·期中）已知函数 f (x) = cos

2wx
π
+ ÷ w > 0 在区间 (0,2π)上有且仅有 10 个零点，
è 3
则 ω 的取值范围是 .
四、解答题
19．（2024 高三·全国·专题练习）作出函数 y = cos x , x R 的图象
20．（2024 高一·全国·课后作业）用五点法作出函数 y = 2 + sinx 的大致图象．
ìcos x,-p x < 0,
21．（2024 高一下·上海·课后作业）已知函数 f x = í
sin x,0 x p .
（1）作出该函数的图象；
（2）若 f x 1= ，求 x 的值；
2
（3）若 a R ，讨论方程 f x = a的解的个数．
3p
22．（2024 高一上·全国·课前预习）作函数 y = sin x + ÷ 的图象.
è 2
23．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x = sin x + 2 sin x ，用五点作图法画出函数 f x 在 0,2π 上的图象；
（先列表，再画图）
24．（2024 高一·全国·课后作业）用五点法分别画下列函数在[-p,p]上的图象:
(1) y = -sin x ;
(2) y = 2 - cos x .
1 π
25．（2024 高一下·北京·阶段练习）用五点法画出函数 y = 2sin x + ÷一个周期的图象.
è 2 3
π
26．（2024 高三·全国·专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数 f x = 2sin 2x + ÷ 在 0, π 上的
è 6
大致图像.
27．（2024 高三·福建厦门·阶段练习）函数 f x = sin x + 2 sin x , x 0,2p 的图象与直线 y = k 有且仅有两个
不同的交点，求实数 k 的取值范围．

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