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1.1.2 空间向量的数量积运算 8 题型分类
一、空间向量的夹角
→ →
1．定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O A＝a，O B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，
记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
π
特别地，当〈a，b〉＝ 时，a⊥b.
2
当〈a，b〉＝0 时，a 与 b 同向；当〈a，b〉＝π 时，a 与 b 反向．
二、空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做 a，b 的数量积，记作 a·b.
即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为 0.
性质：①a⊥b a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
注意：向量的数量积运算不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的．
k k
思考　对于向量 a，b，若 a·b＝k，能否写成 a＝ (或 b＝ )？b a
答案　不能，向量没有除法．
三、向量 a 的投影
1．如图(1)，在空间，向量 a 向向量 b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 α
b
内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，c＝|a|cos〈a，b〉 ，向量 c 称为向量 a 在向
|b|
量 b 上的投影向量．类似地，可以将向量 a 向直线 l 投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量 a 向平面 β 投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 β 的垂线，垂足分别为 A′，
uuuur uuuur uuuur
B′，得到 A B ，向量 A B 称为向量 a 在平面 β 上的投影向量．这时，向量 a， A B 的夹角就是向量 a 所在
直线与平面 β 所成的角．
（一）
数量积的计算
1、空间向量夹角定义的三个关注点
(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．
(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．
(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
2、空间向量数量积运算的两种方法
(1)利用定义：利用 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公
式进行运算．
3、求空间向量数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
4、在空间，向量 a 向向量 b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到
b
与向量 b 共线的向量 c，c＝|a|cos〈a，b〉 ，则向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量，同理向量 b 在
|b|
a
向量 a 上的投影向量是|b|cos〈a，b〉 .
|a|
题型 1：空间向量数量积概念辨析
uuur uuur
1-1．（2024 高二下·江苏·课后作业）在正四面体 ABCD 中，BC 与CD的夹角等于（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
r r r r r r r r r r r r r r r
1-2．（2024 高三下·广东广州·阶段练习）已知向量a ，b ， c满足 a ×b c = a ×c b ， b ×c a = b ×a c ，
r r r r r rc ×a b = c ×b a ，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有（ ）组.
A．3 B．2 C．1 D．0
1-3．（2024 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（ ）
r r r
A．若 ar ×b < 0 ，则 a,b 是钝角
uuur uuur r uuur uuur
B．若 AB + CD = 0，则 AB 与CD一定共线
uuur uuur
C．若 AB = CD，则 AB 与 CD 为同一线段
D ar
r r r r
．非零向量 、b 、 c
r r
满足 a 与b ，b 与 c
r cr ar r r， 与 都是共面向量，则 a 、b 、 c 必共面
r r r
1-4.．（2024 高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量a ，b ， c，下列说法正确的是（ ）
r r r r r r r r r r r r r
A．若 a / /b且b / /c，则 a / /c B． a × b + c = a ×b + a ×c
r r r r r r r r r r r r r rC．若 a ×b = a ×c ，且 a 0，则b = c D． a ×b c = a b ×c
题型 2：空间向量数量积的计算
r r r r p
2-1．（2024 r r高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量 a,b 满足 | a |= 2,b∣= 1，且a与b 的夹角为 ，则3
r ra ×b = ．
2-2．（2024 高二·全国·专题练习）正四面体 ABCD的棱长为1，点E 、F 分别是 AB 、 AD 的中点，则
uuur uuur
EF × DC = ．
2-3．（2024 高二上·福建福州·期末）如图所示，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱
uuuur uuur
长都为 1，且两两夹角为60°，求BD1 × AC 的值是（ ）
A．-1 B．1 C． 2 D． 3
题型 3：空间向量数量积的最值问题
3-1．（2024 高一下·浙江嘉兴·期末）如图，在三棱锥P - ABC 中， AB ^ BC ，PA ^平面 ABC， AE ^ PB 于
uuur uuuur
点 E，M 是 AC 的中点，PB =1，则EP × EM 的最小值为 ．
3-2．（2024 高二·全国·课后作业）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，E 为棱 B1C1 上的动点，则
uuur uuuv
向量 A E 在向量 AC 方向上的投影数量的取值范围为 ．
3-3．（2024 高二上·北京昌平·期末）已知正三棱锥P - ABC 的底面 ABC 的边长为 2，M 是空间中任意一点，
uuur uuur uuuur
则MA × (MB + MC)的最小值为（ ）
3 1
A．- B．-1 C 3．- D．-2 2 2
题型 4：利用空间向量数量积求投影向量
4-1．（2024 高二上·河南郑州·阶段练习）如图，已知PA ^ 平面 ABC ， ABC =120o ，PA = AB = BC = 6 ，
uuur uuur
则向量PC 在BC 上的投影向量等于 .
uuur uuuur
4-2．（2024 高二上·山东泰安·期中）在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，向量 AB 在向量 A1C1
方向上的投影向量的模是 ．
r r
4-3．（2024 高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量 a = 13， b = 5 ar
r 9 13
，且 与b 夹角的余弦值为- ，
65
r
则 a
r
在b 上的投影向量为（ ）
A 9 13
r r 9 r 9 r
．- b B 9 13． b C． b D．- b
13 13 25 25
（二）
利用数量积求角和模
1、求向量的夹角
a·b
(1)由两个向量的数量积的定义得 cos〈a，b〉＝ ，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两
|a||b|
个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小．
(2)利用向量的数量积求出两个向量的夹角，则这个夹角是两异面直线所成的角或其补角(注意异面直线所成
的角的范围)．
2、求向量的模
（1）求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝
a2，计算出|a|，即得所求长度(距离)．
（2）线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此
时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)．
（3）应牢记并能熟练地应用公式
|a＋b＋c|＝ (a＋b＋c)2＝ |a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·c＋2a·b＋2b·c.
题型 5：利用空间向量数量积求角
5-1．（2024 高二上·湖北黄冈·阶段练习）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = AD =1，AA1 = 2，
BAD = 60°， A1A与 AB、AD 的夹角都为 60°求：
（1） AC1的长；
（2）BD1与 AC 所成的角的余弦值．
p uuur uuur
5-2．（2024 高二·全国·课后作业）空间四边形OABC 中，OB = OC ， AOB = AOC = ，则 cos OA, BC
3
的值是（ ）
1 1
A． B 2． C．- D．0
2 2 2
5-3．（2024 高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，以顶点A 为端点的三条边的长
uuuur uuur
度都为 1，且两两夹角为 60°.求 BD1 与 AC 所成角的余弦值.
题型 6：利用空间向量数量积求模.
r r r
6-1．（2024 r高一下·浙江温州·期中）已知 a ，b 均为空间单位向量，它们的夹角为 60°，那么 a + 3b 等于
（ ）
A． 7 B． 10 C． 13 D．4
6-2．（2024 高二下·四川成都·期中）已知正四面体 A - BCD的棱长为 2，若M 、N 分别是 AB 、CD的中点，
则线段MN 的长为（ ）
A．2 B． 2
C． 3 D
6
．
2
6-3．（2024 高二上·山东青岛·期中）四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，侧棱长为 2，
且 C1CB = C1CD = BCD = 60°，则线段 A1C 的长度是（ ）
A． 6 B 34． C．3 D． 11
2
（三）
利用数量积证明垂直问题
1、利用数量积证明垂直问题:
(1)将所证明垂直的线段设为向量，
(2)用已知向量表示未知向量，
(3)利用数量积运算完成判定.
2、用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为 0 即可；
(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．
题型 7：利用数量积证明垂直问题
7-1．（2024 高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正四面体OABC 的棱长为 2，点G 是△OBC 的重心，点M 是
线段 AG 的中点.
uuur uuur uuur uuuur uuuur
(1)用OA,OB,OC 表示OM ，并求出 | OM |；
(2)求证：OM ^ BC .
7-2．（2024 高二上·河南周口·阶段练习）如图，正方体 ABCD- A B C D 的棱长为 a．
(1)求 A B和B C 的夹角；
(2)求证： A B ^ AC ．
7-3．（2024 高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 1
的菱形，CC1 = 2
o
， C1CB = BCD = C1CD = 60
(1)求线段CA1的长；
(2)求证：CA1 ^ B1D1．
题型 8：利用空间向量垂直求参数
8-1．（2024 高二上·湖南·阶段练习）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，DD1 = 2AB = 2BC = 2，动点 P 满足
D1P = l 0 < l <1 且在线段BDD B 1上，当 AP 与CP垂直时，l 的值为 .1
r r r r
8-2．（2024 高二上·天津武清·期中）已知空间向量 a = -3,2,5 ,b = 1,3, -1 ,且 lar - b 与b 相互垂直，则实数
λ 的值为 .
uuur
r r uuur8-3．（2024 高二上·广东湛江·阶段练习）已知点P -2,0,2 ，Q -1,1,2 ，R -3,0,4 ，设 a = PQ，b = PR ，
cr
uuur
= QR ．
r
(1) k r cr若实数 使 ka + b 与 垂直，求 k 值．
r
(2)求 ar 在b 上的投影向量．
一、单选题
r r r r
1．（2024 r r高二上·山东济宁·阶段练习）已知空间向量 a,b ,c 两两夹角均为60o，其模均为 1，则 a + b - 2c =
（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2．（2024 高二上·广东广州·期末）在空间四边形 ABCD中， ABgCD + ACgDB + ADgBC 等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．不确定
uuur uuur
3．（2024 高二上·陕西渭南·期末）在正四面体P - ABC 中，棱长为 1，且 D 为棱 AB 的中点，则PD × PC 的
值为（ ）.
1 1 1 1
A．- B．- C．- D．
4 8 2 2
4．（2024 高二上·浙江杭州·期中）平行六面体 ABCD- A B C D 中， AB = 4, AD = 3, AA = 5, BAD = 90°，
BAA = DAA = 60°，则 AC 的长为（ ）
A．10 B． 85 C． 61 D． 70
ur uur ur uur r ur uur
5．（2024 高二上·河南郑州·阶段练习）在空间，已知 e1 ， e2 为单位向量，且 e1 ^ e2 ，若 a = 2e1 + 3e2 ，
r ur uur r r
b = ke1 - 4e2 ， a ^ b，则实数 k 的值为（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
6．（2024 高二上·河南新乡·期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的
计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵 ABC - A1B1C1中， AB ^ AC, M , N 分别是
A1C1, BB
uuur uuuur
1的中点，G 是MN 的中点， AB = 2AC = 2AA1 = 4，则 AG × MN =（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
uuur uuuur
7．（2024 高二上·浙江绍兴·期末）已知正四面体 A - BCD的棱长为1, M 为棱CD的中点，则 AB × AM =（ ）
1
- 1
1 1
A． B． C．- D4 ．4 2 2
8．（2024 高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，三棱锥O - ABC 各棱的棱长是 1，点D是棱 AB 的中点，点E
uuur uuur
在棱OC 上，且OE = lOC ，则DE 的最小值为（ ）
1
A 2 3． B． C． D．1
2 2 2
9．（2024 高二上·浙江·期末）如图已知矩形 ABCD, AB = 1, BC = 3，沿对角线 AC 将VABC 折起，当二面角
1
B - AC - D的余弦值为- 时，则 B 与 D 之间距离为（ ）
3
A．1 B． 2 C． 3 D 10．
2
10．（2024 高三下·江西·阶段练习）已知点 P 在棱长为 2 的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条
uuur uuur
直径，则PA × PB 的最小值为（ ）
A．- 2 B．- 3 C．- 1 D．0
11．（2024 高二上·河南·阶段练习）已知EF 是棱长为 8 的正方体外接球的一条直径，点 M 在正方体的棱上
uuur uuur
运动，则ME × MF 的最小值为（ ）
A．-48 B． -32 C．-16 D．0
12．（2024 高二上·上海崇明·期末）已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面边长 AB =1，AA1 = 2 ，P 是长
uuur uuuur
方体表面上一点，则PA × PC1 的取值范围是（ ）
é 1 3 1- ,0ù é- ,0ù é- ,1ù é 3A． ê ú B． ê ú C． ê ú D． ê- ,1
ù
2 4 2 4 ú
r r r r r r r r r r r r
13．（2024 高二下·福建宁德·期中）已知单位向量a ，b ， c中， a ^ b， a,c = b,c = 60°，则 a - b + 2c =
（ ）
A． 5 B．5 C．6 D． 6
二、多选题
14．（2024 高二上·重庆开州·阶段练习）已知 ABCD - A1B1C1D1为正方体，则下列说法正确的有（ ）
uuur uuuur uuuur uuuur
A． (A1A + A 21D1 + A1B1) = 3(A1B1)2 ；
uuuv uuuuv uuuv
B． A1C· A1B1 - A1A = 0；
uuur uuuur
C． A1B 与 AD1 的夹角为60°；
D．在面对角线中与直线 A1D所成的角为60°的有 8 条
15．（2024 高二上·河北邢台·期末）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，M , N 分别是 A1B, B1C1上的点，且
uuur uuur r uuur
BM = 2A1M ,C1N = 2B1N .设 AB = a
r, AC = b, AA r1 = c ，若 BAC = 90
o , BAA o1 = CAA1 = 60 , AB = AC = AA1 =1，
则下列说法中正确的是（ ）
uuuur 1 r 1 rMN a b 2 cr
uuuur
A = + + B MN 5． ．3 3 3 ∣ ∣= 3
uuur uuuur uuur uuuur
C． A1B ^ A1C1 D． cosáAB1, BC
1
1 = 6
r r r r
16．（2024 高二上·辽宁大连·阶段练习）在三维空间中，定义向量的外积： a b叫做向量 a与b 的外积，它
r r r r r r r r r r
是一个向量，满足下列两个条件：① a ^ a b ，b ^ a b ，且 a，b 和 a b构成右手系（即三个向量的
r r r r r r r r r r
方向依次与右手的拇指 食指 中指的指向一致，如图所示）；② a b的模 a b = a b sin a,b （ a,b 表示
ar
r
向量 ，b 的夹角）.在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
uuur uuur uuuur uuuur
AB AC AD uuur uuur uuur uuurA． 1 = 1 D1B1 B． AB AD = AD AB
uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
C． A1C1 A1D 与BD1 共线 D． (BC AC) × A1A与正方体体积数值相等
三、填空题
r r r r r r r r r r r
17．（2024 高二下·福建宁德·期中）已知在标准正交基 i, j, k 下，向量 a = 4i + 3 j -8k ，b = 2i - 3 j + 7k ，
r r r r ur r r r r
c = -i + 2 j - 4k ，则向量m = a - b + c在 k 上的投影为 .
r r r r
18．（2024 高二上·全国·课后作业）已知 ar 2 r= 2 2, b = , a ×b = - 2 ，则 a,b = ．
2
p
19．（2024 高二上·广西·阶段练习）如图所示，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， A1AB = DAB = ，3
A1AD
p
= ， AB= AD= AA1 =2，E 为棱B4 1B 的中点，则 D1E = ．
20．（2024 高二上·湖南衡阳·期末）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，BB1 = 3，E 、F 分别为棱 AB 、A1C1
uuur uuur
的中点，则EF × BB1 = .
21．（2024 高二下·江苏常州·阶段练行六面体 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，且
CD
C1CB = C1CD = BCD = 60° .当 CC 的值为 时，能使
A1C ^平面C1BD
1
22．（2024·四川成都·三模）如图，AB 为圆柱下底面圆 O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知
π uuur uuur
AOC = ，OA = 2，圆柱的高为 5．若点 D 在圆柱表面上运动，且满足
3 BC ×CD = 0
，则点 D 的轨迹所围
成图形的面积为 ．
uuur uuur uuur
23．（2024 高二下·上海杨浦·期中）在空间中，O是一个定点，OA,OB,OC 给定的三个不共面的向量，且它
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
们两两之间的夹角都是锐角.若向量OP 满足 OA ×OP = OA ， OB ×OP = 2 OB ， OC ×OP = 3 OC ，则满足题
意的点 P 的个数为 .
24．（2024 高三上·江西萍乡·期末）已知球 O 是棱长为 1 的正四面体的内切球，AB 为球 O 的一条直径，点
uuur uuur
P 为正四面体表面上的一个动点，则PA × PB 的取值范围为 .
uuur uuuur
25．（2024·福建漳州·二模）已知长方体 ABCD - A1B1C1D1的底面是边长为 2 2 的正方形，若 cos AB, AC
3
1 = ，3
uuur uuur r
则该长方体的外接球的表面积为 ；记 e ,e 分别是1 2 AB, AD方向上的单位向量，且 | a |= 2 6 ，
r r r uur
a ×e1 = a ×e = 2 2 ，则 a - me1- ne2 （m，n 为常数）的最小值为 ．2
四、解答题
26．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知：如图，OB 是平面 α 的斜线，O 为斜足， AB ^ a ，A 为垂足，
CD a ，且CD ^ OA．求证：CD ^ OB ．
27．（2024 高二下·江苏·课后作业）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA
uuur uuur uuur
＝b.试确定PC 在直线 AB 上的投影向量，并求PC × AB .
28．（2024 高三·全国·专题练习）如图，正四面体 ABCD(所有棱长均相等)的棱长为 1，E，F，G，H 分别是
uuur r uuur r uuur r
正四面体 ABCD 中各棱的中点，设 AB = a ， AC = b ， AD = c ，试采用向量法解决下列问题：
uuur
(1)求EF 的模长；
uuur uuur
(2)求EF ，GH 的夹角.
29．（2024 高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^平面 ABC ，CB ^ AB， AB = BC = a ，
PA = b．
uuur uuur uuur
(1)确定PC 在平面 ABC 上的投影向量，并求PC × AB ；
uuur uuuv uuur uuur
(2)确定PC 在 AB 上的投影向量，并求PC × AB ．
uuur uuur
30．（2024 高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在空间四边形OABC 中，2BD = DC ，点E 为 AD 的中点，设
uuur uuur r uuur
OA ar= ,OB = b ,OC = cr .
r r r uuur
(1)试用向量 a,b,c表示向量OE ；
uuur uuur
(2)若OA = OC = 4,OB = 3, AOC = BOC = AOB = 60o ，求OE × AC 的值.
31．（2024 高二上·北京通州·期中）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4， AD = 2，
AA1 = 2 2 ， AD1 = 2 5， BAD = 60°， BAA1 = 45°， AC 与BD相交于点O .
uuur uuur
(1)求 AB × AD ；
(2)求 DAA1；
(3)求OA1的长.
32．（2024 高二上·北京顺义·期中）如图所示的平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，已知 AB = AA1 = AD，
DAB = A1AD = 60°
1
， BAA1 = 30°， N 为 A1D1上一点，且 A1N = l A1D1，点M 棱D1C1上，且D1M = D1C2 1
.
uuur uuur uuuur
(1)用 AA
uuuv
1 ， AD ， AB 表示BM ；
(2)若BD ^ AN ，求l ；
2
(3)若l = ，求证： BM // 平面 ANB1 .3
33．（2024 高二上·福建三明·开学考试）如图，正四面体V - ABC 的高VD 的中点为O，VC 的中点为M .
(1)求证： AO ，BO，CO两两垂直；
uuuur uuur
(2)求 DM , AO .
34．（天津市西青区杨柳青第一中学 2023-2024 学年高二上学期 9 月月考数学试题）如图，在平行六面体
ABCD - A1B1C1D1中， AB = AD =1， AA1 = 2， A1AD = A1AB = 60°， DAB = 90°，M 为 A1C1与 B1D1的交
uuur r uuur r uuur r
点．若 AB = a ， AD = b ， AA1 = c．
v
（1）用 av cv
uuuur
，b ， 表示BM ．
（2）求 BM 的长．
（3）求 BM 与 AC 所成角的余弦值．
35．（2024 高一下·全国·课后作业）如图，棱长为 a 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AB 和 BC
的中点，M 为棱B1B 的中点.求证：
(1) EF ^ 平面 BB1D1D；
(2)平面EFB1 ^平面C1D1M .1.1.2 空间向量的数量积运算 8 题型分类
一、空间向量的夹角
→ →
1．定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O A＝a，O B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，
记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
π
特别地，当〈a，b〉＝ 时，a⊥b.
2
当〈a，b〉＝0 时，a 与 b 同向；当〈a，b〉＝π 时，a 与 b 反向．
二、空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做 a，b 的数量积，记作 a·b.
即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为 0.
性质：①a⊥b a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
注意：向量的数量积运算不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的．
k k
思考　对于向量 a，b，若 a·b＝k，能否写成 a＝ (或 b＝ )？b a
答案　不能，向量没有除法．
三、向量 a 的投影
1．如图(1)，在空间，向量 a 向向量 b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 α
b
内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，c＝|a|cos〈a，b〉 ，向量 c 称为向量 a 在向
|b|
量 b 上的投影向量．类似地，可以将向量 a 向直线 l 投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量 a 向平面 β 投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 β 的垂线，垂足分别为 A′，
uuuur uuuur uuuur
B′，得到 A B ，向量 A B 称为向量 a 在平面 β 上的投影向量．这时，向量 a， A B 的夹角就是向量 a 所在
直线与平面 β 所成的角．
（一）
数量积的计算
1、空间向量夹角定义的三个关注点
(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．
(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．
(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
2、空间向量数量积运算的两种方法
(1)利用定义：利用 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公
式进行运算．
3、求空间向量数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
4、在空间，向量 a 向向量 b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到
b
与向量 b 共线的向量 c，c＝|a|cos〈a，b〉 ，则向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量，同理向量 b 在
|b|
a
向量 a 上的投影向量是|b|cos〈a，b〉 .
|a|
题型 1：空间向量数量积概念辨析
uuur uuur
1-1．（2024 高二下·江苏·课后作业）在正四面体 ABCD 中，BC 与CD的夹角等于（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
【答案】D
【分析】
根据正三角内角为60°求解.
【详解】
由正四面体每个面都是正三角形可知，
uuur uuur uuur uuur
< BC,CD >=180°- < CB,CD >=180° - 60° =120°
故选：D
r r r r r r r r r r r r r r r
1-2．（2024 高三下·广东广州·阶段练习）已知向量a ，b ， c满足 a ×b c = a ×c b ， b ×c a = b ×a c ，
r r r r r rc ×a b = c ×b a ，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有（ ）组.
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】根据已知条件进行分类讨论，列举出 A,B,D 三个选项的可能情况即可.
r r r r r r
【详解】若向量a ，b ，c均为非零向量，则向量a ，b ，c共线或两两互相垂直，此时三组向量中两两共线
的有 0 组或 3 组，故 A 和 D 错误；
若其中一个为零向量，则另外两个向量一定不共线，则
r r r r r r r r r r r r r r r r r r ra ×b c = a ×c b = b ×c a = b ×a c = c × a b = c ×b a = 0，零向量和另外两个向量组成两组共线向量，故 B
错误.
显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有 1 组.
故选：C
1-3．（2024 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（ ）
r r r
A r．若 a ×b < 0 ，则 a,b 是钝角
uuur uuur r uuur uuur
B．若 AB + CD = 0，则 AB 与CD一定共线
uuur uuur
C．若 AB = CD，则 AB 与 CD 为同一线段
r
D r r r
r r r r r r
．非零向量 a 、b 、 c 满足 a 与b ，b 与 c ， c 与 a 都是共面向量，则 a
r r
、b 、 c 必共面
【答案】B
r r
【分析】A，由 a,b = π 判断即可；BC，利用共线向量的定义判断即可；D，举例判断即可.
r r r r
【详解】A.当 a,b = π
r r
时，满足a ×b < 0，但 a,b 不是钝角，故 A 错误；
uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
B.当 AB + CD = 0时， AB = -CD，所以 AB 与CD一定共线，故 B 正确；
uuur uuur uuur uuur
C.当 AB = CD时，则 AB 与CD共线，但线段 AB 与CD可能只是平行关系，故 C 错误；
D.如图所示：
uuur r uuur r uuur r
设 AB = a, AD = b, AA1 = c，
r r r r r r r r r
显然满足a 与b ，b 与 c， c与a 都是共面向量，但a b c不共面，故 D 错误；
故选：B.
r r r
1-4.．（2024 高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量a ，b ， c，下列说法正确的是（ ）
r r r r r r r r r
A．若 a / /b且b / /c，则 a / /c B． a × b + c
r r r r
= a ×b + a ×c
r r r r r r r r r r r r r rC．若 a ×b = a ×c ，且 a 0，则b = c D． a ×b c = a b ×c
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律即可判断 BCD，根据向量共线的性质即可求解 A.
r r r r r r r r
【详解】对于 A，若b = 0，则 a / /b且b / /c，不能得到 a / /c ，故 A 错误，
r r r r r r r对于 B， a × b + c = a ×b + a ×c，B 正确，
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
对于 C，若 a ×b = a ×c ，且 a 0，则 a b cos a,b = a c cos a,c ，则 b cos a,b = c cos a,c ，无法得出
r r
b = c，所以 C 错误，
对于 D， r r r r r r r r r r r r r ra × b c 表示与 c共线的向量，而 a b ×c 表示与a 共线的向量，所以 a × b c 与 a b ×c 不一定相等，
故 D 错误，
故选：B
题型 2：空间向量数量积的计算
r r r r p
2-1．（2024 r r高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量 a,b 满足 | a |= 2,b∣= 1，且a与b 的夹角为 ，则3
r
ar ×b = ．
【答案】1
【分析】利用空间数量积的定义，直接求解即可.
r r r r r r
【详解】由空间向量数量积的定义， a × b=|a ×|b cos a,b =2×1×cos
p =1 .
3
故答案为：1
2-2．（2024 高二·全国·专题练习）正四面体 ABCD的棱长为1，点E 、F 分别是 AB 、 AD 的中点，则
uuur uuur
EF × DC = ．
1
【答案】- /-0.25
4
uuur 1 uuur
【分析】得到EF = BD，利用向量数量积公式求出答案.
2
【详解】如图所示，正四面体 ABCD的棱长为1，点E 、F 分别是 AB 、 AD 的中点，
uuur 1 uuur
所以EF = BD，
2
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur
故EF × DC = BD × DC
1 BD DC cos120 1 1 1= × ° = - = -
2 2 2 2 4
1
故答案为：-
4
2-3．（2024 高二上·福建福州·期末）如图所示，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱
uuuur uuur
长都为 1，且两两夹角为60°，求BD1 × AC 的值是（ ）
A．-1 B．1 C． 2 D． 3
【答案】B
uuuur uuur
【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出BD1, AC ，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得
答案.
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】由题意得BD1 = BA + AD + DD1 = AD - AB + AA1 ， AC = AB + AD ，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur
则BD1 × AC = (AD - AB + AA1) × (AB + AD) = AD - AB + AA1 × AB + AA1 × AD
=1-1+1 1 cos60o +1 1 cos60o =1 ,
故选：B
题型 3：空间向量数量积的最值问题
3-1．（2024 高一下·浙江嘉兴·期末）如图，在三棱锥P - ABC 中， AB ^ BC ，PA ^平面 ABC， AE ^ PB 于
uuur uuuur
点 E，M 是 AC 的中点，PB =1，则EP × EM 的最小值为 ．
1
【答案】- /-0.125
8
uuuur uuur uuur uuur
【分析】根据给定条件，证明BC ^平面 PAB，将EM 用EA, EB, BC 表示出，再结合空间向量数量积的运算
律求解作答.
【详解】连接 EC ，如图，
因PA ^平面 ABC，BC 平面 ABC，则PA ^ BC ，而 AB ^ BC ，PAI AB = A，PA, AB 平面 PAB，
则BC ^平面 PAB，又PB 平面 PAB，即有BC ^ PB ，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
因 M 是 AC 的中点，则EM
1
= (EA + EC) 1= EA 1+ (EB + BC)，又 AE ^ PB ，
2 2 2
uuur uuuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuurEP × EM = EP ×[ EA + (EB + BC)] = EP × EA + EP × EB + EP × BC
2 2 2 2 2
uuur uuur
1 uuur uuur uuur uuurEP EB 1 | EP || EB | 1 (| EP | + | EB |)2 1
uuur uuur
= × = - - = - ，当且仅当 | EP |
1
=| EB |= 取“=”，
2 2 2 2 8 2
uuur uuuur 1
所以EP × EM 的最小值为- .8
1
故答案为：-
8
3-2．（2024 高二·全国·课后作业）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，E 为棱 B1C1 上的动点，则
uuur uuuv
向量 A E 在向量 AC 方向上的投影数量的取值范围为 ．
é 2 ù
【答案】 ê , 2
2
ú

uuur uuuur uuur uuur uuur
【分析】设B1E = lB1C1(0 l 1)，利用向量数量积的定义及运算法则可得 AE × AC =1+ l ，知向量 A E 在向
uuuv 1+ l
量 AC 方向上投影数量为 ，进而求得其取值范围.2
uuur uuuur
【详解】由已知 E 为棱 B1C1 上的动点，设B1E = lB1C1(0 l 1)，
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
因为 AE = AB1 + B1E = AB1 + lB1C1 = AB + BB1 + lB1C1 ，
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
所以 AE × AC = (AB + BB1 + lB1C1) × AC = AB × AC + BB1 × AC + lB1C1 × AC
=1 2 cos 45° + l 1 2 cos 45° =1+ l ，
uuur uuuv 1+ l
所以向量 A E 在向量 AC 方向上投影数量为 ，2
又 0≤l ≤1，\1 1+ l 2，
2 1+ l
\ 2 ，
2 2
uuur uuuv é 2 ù
所以向量 A E 在向量 AC 方向上投影的数量的取值范围为 ê , 22 ú
.

é 2 ù
故答案为： ê , 2 ú .
2
3-3．（2024 高二上·北京昌平·期末）已知正三棱锥P - ABC 的底面 ABC 的边长为 2，M 是空间中任意一点，
uuur uuur uuuur
则MA × (MB + MC)的最小值为（ ）
3 1
A．- B．-1 C 3．- D．-2 2 2
【答案】A
【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可.
1 3
【详解】解：设BC 中点为O ,连接MO ,设 AO 中点为 H ,则 HA = 22 -12 =
2 2
uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuuv uuuuv uuuv uuuuv uuuvMA × MB + MC = MA × 2MO = 2 MH + HA · MH + HO
uuuuv uuuv uuuuv uuuv uuuuv2 uuuv2 uuuuv22 MH + HA · MH - HA = 2 MH - HA 3= 2 MH - ÷ ,
è 4
uuuur2 uuur uuur uuuur 3
当M 与 H 重合时，MH 取最小值 0.此时MA × (MB + MC)有最小值- ，2
故选：A
题型 4：利用空间向量数量积求投影向量
4-1．（2024 高二上·河南郑州·阶段练习）如图，已知PA ^ 平面 ABC ， ABC =120o ，PA = AB = BC = 6 ，
uuur uuur
则向量PC 在BC 上的投影向量等于 .
3 uuur
【答案】 BC
2
uuur uuur
【分析】先求出PC × BC ，再根据投影向量的公式计算即可.
【详解】QPA ^ 平面 ABC ，
则PA ^ BC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PC × BC = (PA + AB + BC) × BC = PA × BC + AB × BC + BC × BC = 0 6 6 1+ + 62 = 54
2
uuur uuur uuur
uuur uuur PCuu×urBC uBuCur 54
uuur uuur
向量PC 在BC 上的投影向量为 × = BC
3
= BC.
| BC | | BC | 36 2
3 uuur
故答案为： BC .
2
uuur uuuur
4-2．（2024 高二上·山东泰安·期中）在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，向量 AB 在向量 A1C1
方向上的投影向量的模是 ．
2
【答案】
2
uuur uuuur
uuur uuuur AB × A
【分析】由正方体的性质可得向量 AB 与向量 AC 夹角为 cos 45o ，先求出 uuuur
1C1
1 1 的值，进而可得答案.A1C1
uuuur
【详解】棱长为1的正方体 ABCD - A B C D
uuur
1 1 1 1中向量 AB 与向量 A1C o1 夹角为 cos 45 ，
uuur uuuur
AB × A1C1 uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur
所以 uuuur = AB ×cos A1C1, AB = AB cos A1C1, A1BA 1 =1 cos 45
o 2=
1C1 2
uuur uuuur
向量 AB 在向量 A1C1 方向上的投影向量是
uuur uuuur uuuur uuuur
ABuu×uAur1C1 AC 2 AC uu1uur1 = uu1uur1
AC AC 21 1 1 1 A1C1
uuuur
uuur uuuur 2 A
向量 在向量 AC 方向上的投影向量的模是 uu1
C
AB 1 1 uur
1 2= ，
2 A 21C1
2
故答案为：
2
r r
4-3．（2024 高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量 a = 13 b 5
r
， = ，且 a
r 9 13
与b 夹角的余弦值为- ，
65
r
则 a
r
在b 上的投影向量为（ ）
9 13 r 9 13 r 9 r 9 rA．- b B． b C． b D．- b
13 13 25 25
【答案】D
【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.
r r r
【详解】Q a = 13， b = 5
r 9 13
，a 与b 夹角的余弦值为- ，
65
r
\ ar 在b 上的投影向量为
r r r
a ×b b 13 5 (
9 13
- ) r r
65 b 9 b 9 rr × r = × = - × = - b .
b b 5 5 5 5 25
故选：D．
（二）
利用数量积求角和模
1、求向量的夹角
a·b
(1)由两个向量的数量积的定义得 cos〈a，b〉＝ ，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两
|a||b|
个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小．
(2)利用向量的数量积求出两个向量的夹角，则这个夹角是两异面直线所成的角或其补角(注意异面直线所成
的角的范围)．
2、求向量的模
（1）求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝
a2，计算出|a|，即得所求长度(距离)．
（2）线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此
时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)．
（3）应牢记并能熟练地应用公式
|a＋b＋c|＝ (a＋b＋c)2＝ |a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·c＋2a·b＋2b·c.
题型 5：利用空间向量数量积求角
5-1．（2024 高二上·湖北黄冈·阶段练习）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = AD =1，AA1 = 2，
BAD = 60°， A1A与 AB、AD 的夹角都为 60°求：
（1） AC1的长；
（2）BD1与 AC 所成的角的余弦值．
【答案】（1 2 2 15） 11 ；（ ） .
15
uuur r uuur r uuur r r r r r r r uuuur 2 uuuur 2 r r r 2
【分析】（1）设 AB = a ， AD = b ， AA1 = c，求得 a ×b ， a ×c，b ×c ，根据 AC1 = AC1 = a + b + c ，即
可求得对角线 AC1的长；；
uuur r r uuuur r r r uuur uuuur
uuur uuuur
cos AC, BD uAuuCr × BD1（2）由 AC = a + b ，BD = b + c - a ，分别计算模长，利用 1 = uuuur1 .AC BD 即可得解× 1
uuur r uuur r uuur r
【详解】（1）设 AB = a ， AD = b ， AA1 = c，
r r r r 1 r r r r r r r r
所以 a ×b = a × b cos 60° = ， a ×c = a × c cos 60° =1，b ×c = b × c cos 60° =1
2
uuur r r
因为 AC = a + b
uuuur uuur uuur r r r
所以平行四边形 AA1CC1中 AC1 = AC + AA1 = a + b + c
uuuur 2 uuuur 2 r r r 2AC1 = AC1 = a + b + c
r 2 r 2= a + b + r 2 r r r r r rc +2a ×b+2a ×c + 2b ×c
r 2 r 2 r 2 r r r r r r
= a + b + c +2 a × b cos 60° + 2 a × c cos 60° + 2 b × c cos 60°
=1+1+4+2 1 + 2 1+ 2 1
2
=11
uuuur
AC1 = 11
所以对角线 AC1的长为： 11 .
uuur r r uuur r r r r r r
（2）由 AC = a + b ，可得 |AC|2 = (a + b)2 2 2= a + b +2a ×b =1+1+1 = 3，
uuur
所以 |AC| = 3
uuuur uuuur uuur r
BD AD AB b cr ar由 1 = 1 - = + - ，
uuuur r
2 r r 2 r 2 r 2 r 2 r r r r r r可得 | BD1 | = (b + c - a) = a + b + c - 2a ×b - 2a ×c + 2b ×c
=1+1+ 4 -1- 2 + 2=5 .
uuuur
所以 | BD1 | = 5 ，
uuur uuuur uuur uuuur
r r r r r
cos AC, BD uAuuCr × BD
(a + b) × b + c - a
= uuuu1

1 r =
AC × BD1 3 × 5
r r
a ×c - r 2 ra + b 2 r r+ b ×c
=
15
1-1+1+1 2 15
= = .
15 15
【点睛】本题主要考查了空间向量数量积的应用，求模长和夹角，属于基础题.
p uuur uuur
5-2．（2024 高二·全国·课后作业）空间四边形OABC 中，OB = OC ， AOB = AOC = ，则 cos OA, BC
3
的值是（ ）
1 2 1A． B． C．- D．0
2 2 2
【答案】D
uuur uuur uuur uuur
【分析】利用OB = OC ，以及OA × BC 的数量积的定义化简 cos OA, BC 的值，
【详解】解：QOB = OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以OA × BC = OA × (OC - OB) = OA ×OC - OA ×OB
uuur uuur p uuur uuur p 1 uuur uuur uuur= OA × OC cos - OA × OB cos = OA OC - OB = 03 3 2
uuur uuur
所以 cos OA, BC = 0，
故选：D．
5-3．（2024 高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，以顶点A 为端点的三条边的长
uuuur uuur
度都为 1，且两两夹角为 60°.求 BD1 与 AC 所成角的余弦值.
6
【答案】
6
uuuur r r r uuur r r
【分析】设出基向量，然后根据图形，结合几何关系用基向量表示出BD1 = -a + b + c， A C = a + b .进而根据
uuuur uuur
数量积的运算律求出向量的模以及数量积，即可根据数量积的定义公式得出 BD1 以及 AC 夹角的余弦值.
uuur r uuur r uuur r
【详解】设 AB=a ， AD = b ， AA1 = c，
r r r r r r 1
由已知可得 a ×b = a ×c = b ×c =1 1 cos 60° = .
2
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r
因为BD1 = BA + BC + BB1 = -AB + AD + AA1 = -a + b + c，
uuur uuur uuur r r
AC = AB + AD = a + b ，
uuuur2 r r r 2 r 2 r2 r2 r r r r r r 1 1 1 2 1 2 1 1所以，BD1 = -a + b + c = a + b + c - 2a ×b + 2b ×c - 2a ×c = + + - + - 2 = 2，2 2 2
uuur2 r r 2 r 2 r2 r rAC = a + b = a + b + 2a ×b =1+1+ 2 1 = 3，2
uuuur uuur r r r r rBD × AC = -a + b + c × a + b r 2 r r r r r2 r r r r 1 1 1 11 = -a - a ×b + a ×b + b + a ×c + b ×c = -1- + +1+ + =1，2 2 2 2
uuuur uuur
所以 BD1 = 2 ， AC = 3 ，
uuuur uuur uuuur uuur
所以， cos BD1, AC
B
= uuDuur1 ×uAuCur 1 6= =
BD AC 2 3 6 ，1
uuuur uuur
故 BD 61 与 AC 所成角的余弦值为 .6
题型 6：利用空间向量数量积求模.
r r r
6-1 2024 r．（ 高一下·浙江温州·期中）已知 a ，b 均为空间单位向量，它们的夹角为 60°，那么 a + 3b 等于
（ ）
A． 7 B． 10 C． 13 D．4
【答案】C
r r
【分析】根据 ar r+ 3b = (a + 3b)2 ，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
r r r r
【详解】由题意可得 a ×b = a b cos 60° =1 1
1 1
= ，
2 2
r r r r
ar + 3b = (ar + 3b)2 ar2 9b 2 6ar= + + ×b = 1+ 9 + 3 = 13 .
故选：C
6-2．（2024 高二下·四川成都·期中）已知正四面体 A - BCD的棱长为 2，若M 、N 分别是 AB 、CD的中点，
则线段MN 的长为（ ）
A．2 B． 2
C 6． 3 D．
2
【答案】B
【分析】
uuur uuur uuur uuuur uuuur
以 AC 、 AB 、 AD 作为一组基底表示出MN ，再根据数量积的运算律求出 MN ，即可得解.
【详解】
uuuur uuur uuur uuur uuur
QMN MA AN 1 AB 1 AC 1
uuur
= + = - + + AD
2 2 2 ，
uuur uuur uuur π uuur uuur uuur
又Q AC 、 AB 、 AD 两两的夹角均为 ，且 AB = AC = AD = 2， 3
uuuur2 1 uuur 1 uuur 1 uuur 2\MN = - AB + AC + AD
è 2 2 2 ÷
1 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur= AB + AC + AD - 2AB × AC - 2AB × AD + 2AD × AC4
1 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur= AB + AC + AD - 2 AB × AC cos
π
- 2 AB × AD cos π + 2 AD × AC cos π
4 ÷
= 2，
è 3 3 3
uuuur 2
\ MN = MN = 2 .
故选：B．
6-3．（2024 高二上·山东青岛·期中）四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，侧棱长为 2，
且 C1CB = C1CD = BCD = 60°，则线段 A1C 的长度是（ ）
A． 6 B 34． C．3 D． 11
2
【答案】D
uuur uuur uuur uuuur
【分析】根据空间向量运算法则得到CA1 = CD + CB + CC1 ，再利用模长公式进行求解.
uuur uuur uuuur
C CB = C CD = BCD = 60o【详解】因为 1 1 ， CD = CB =1，CC1 = 2，
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
所以CD ×CB= CD CB cos 60° =
1
，CD ×CC1=1，CB ×CC2 1
=1，
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
因为CA1 = CA + AA1 = CA + CC1 = CD + CB + CC1 ，
uuur2 uuur uuur uuuur 2所以CA1 = CD + CB + CC1
uuur 2 uuur 2 uuuur 2 uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
= CD + CB + CC1 + 2CD ×CB+2CD ×CC1+2CB ×CC1
1 1 4 1= + + + 2 + 2 1+ 2 1 =11，
2
uuur
所以 CA1 = 11，即线段 A1C 的长度是 11 .
故选：D.
（三）
利用数量积证明垂直问题
1、利用数量积证明垂直问题:
(1)将所证明垂直的线段设为向量，
(2)用已知向量表示未知向量，
(3)利用数量积运算完成判定.
2、用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为 0 即可；
(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．
题型 7：利用数量积证明垂直问题
7-1．（2024 高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正四面体OABC 的棱长为 2，点G 是△OBC 的重心，点M 是
线段 AG 的中点.
uuur uuur uuur uuuur uuuur
(1)用OA,OB,OC 表示OM ，并求出 | OM |；
(2)求证：OM ^ BC .
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuuur
【答案】(1) OM = OA + OB + OC ， OM = 2
2 6 6
(2)证明见解析
uuuur uuuur
【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示OM ，再把OM 平方即可得到答案.
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
（2）用OA,OB,OC 表示BC ，然后证明OM × BC = 0 .
uuur 2 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
【详解】（1）因为点G 是△OBC 的重心，所以OG = OB + OC
3 2 2 ÷
= OB + OC
è 3 3
uuuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为点M 是线段 AG 的中点，所以OM = OA
1
+ OG 1= OA 1 1 1 1+ OB + OC ÷ = OA
1
+ OB 1+ OC .
2 2 2 2 è 3 3 2 6 6
因为正四面体OABC 的棱长为 2，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以OA ×OB = OB ×OC = OA ×OC = 2 2 cos60o = 2 ,
uuuur uuuur2 1 uuur2 1 uuur2 1 uuur2 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
所以 | OM |2 = OM = OA + OB + OC + OA ×OB + OA ×OC + OB ×OC
4 36 36 6 6 18
1
= 4 1+ 4 1 4 1 2 1 2 1+ + + + 2 = 2，
4 36 36 6 6 18
uuuur
所以 OM = 2 .
uuuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
（2）OM × BC = OA OB
1
+ + OC ÷ × OC - OB
è 2 6 6
1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur2 1 uuur2
= OA ×OC - OA ×OB - OB + OC
2 2 6 6
1 2 1 2 1 1= - - 4 + 4 = 0，
2 2 6 6
所以OM ^ BC .
7-2．（2024 高二上·河南周口·阶段练习）如图，正方体 ABCD- A B C D 的棱长为 a．
(1)求 A B和B C 的夹角；
(2)求证： A B ^ AC ．
【答案】(1)60°
(2)证明见解析
【分析】（1）选好基底后，根据空间向量数量积即可求解；
（2）利用向量垂直，数量积为 0 即可得解.
uuur r uuur r uuur
【详解】（1） AB=a ， AD = b ， AA cr= ．
由于正方体 ABCD- A B C D 的棱长为 a，
r r r r r r r r
\ a r= b = c = a ，且 a,b = 90°， a,c = 90°， b ,c = 90°．
uuur uuur uuur r r uuuur uuuur uuur uuur rQ A B = AB - AA = a r- c ，B C = A D = AD - AA = b - c ，
uuur uuuur
A B B C (ar r
r r r r
\ × = - c) × (b - c) = ar ×b ar cr b cr cr- × - × + 2 = 0 - 0 - 0 + a2 = a2 ．
uuur uuuur
又 A B = 2a ， B C = 2a，
uuur uuuur uuur uuuur
cos A B, B C uAuuBr × B
C a2 1
\ = uuuur = =
A B × B C∣ 2a × 2a 2 ．
uuur uuuur
又 A B, B C 0°,180° ，
uuur uuuur
\ A B, B C = 60° ，
\ A B 与B C 的夹角为 60°．
uuur r r uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur r
（2）证明：由（1）知 A B = a - c， AC = AB + BC + CC AB AD AA a
r r
= + + = + b + c ，
uuur uuuur r r r
\ A B r r r r× AC = (a - c) × (a + b + c) ar= 2 + ar ×b ar cr r r r r+ × - c ×a - c ×b - c 2 = a2 + 0 + 0 - 0 - 0 - a2 = 0 ，
uuur uuuur
\ A B ^ AC ，
\ A B ^ AC ．
7-3．（2024 高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 1
o
的菱形，CC1 = 2， C1CB = BCD = C1CD = 60
(1)求线段CA1的长；
(2)求证：CA1 ^ B1D1．
【答案】(1) 11
(2)证明见解析
【分析】
uuur uuur uuur uuuur
（1）CA1 = CD + CB + CC1 ，结合向量数量积运算，求模即可.
uuuur uuur uuur
（2）B1D1 = -CB + CD ，由向量数量积关于垂直的表示即可判断.
uuur r uuur r uuuur r r r r
【详解】（1）设CD = a, CB = b, CC1 = c ，则 a = b =1, c = 2，
r r r r r r
∵ C1CB = BCD = C1CD
1
= 60o，则 a×c = b×c = 2 1 cos 60°=1, a×b =1 1 cos 60°= .
2
uuur uuur uuur uuuur r r r
∵ CA1 = CD + CB + CC1 = a + b + c，∴
uuur r r r r r r 2 r 2 r2 r2 r r r r r rCA1 = a + b + c = a + b + c = a + b + c + 2 a ×b + a ×c + b ×c 1= 1+1+ 4 + 2 +1+1 ÷ = 11 .
è 2
故线段CA1的长为 11 .
uuuur uuur uuur uuur r r
（2）证明：∵ B1D1 = BD = -CB + CD = a - b，∴
uuur uuuur r r r r r r 2 r2 r r r rCA 1 11 × B1D1 = a + b + c × a - b = a - b - b ×c + a ×c =1-1- + = 0 .2 2
故CA1 ^ B1D1 .
题型 8：利用空间向量垂直求参数
8-1．（2024 高二上·湖南·阶段练习）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，DD1 = 2AB = 2BC = 2，动点 P 满足
D1P = l 0 < l <1
D B 且在线段
BD1上，当 AP 与CP垂直时，l 的值为 .
1
2
【答案】
3
uuuur uuuur
【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得D1B = 1,1, -2 ，得到D1P = l,l, -2l ，进而求得
uuur uuur
uuur uuurAP = l -1,l,-2l + 2 ，CP = l,l -1, -2l + 2 ，结合 AP ×CP = 0 ，即可求得l 的值.
uuur uuur uuuur
【详解】由题意，以D为坐标原点，以DA，DC ，DD1 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直
uuuur
角坐标系Dxyz，如图所示，则 A 1,0,0 ，B 1,1,0 ，C 0,1,0 ， D1 0,0,2 ，可得D1B = 1,1, -2 ，得
uuuur uuuur
D1P = lD1B = l,l,-2l ，
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
所以 AP = AD1 + D1P = l -1,l,-2l + 2 ，CP = CD1 + D1P = l,l -1,-2l + 2 ，
uuur uuur
由 AP ^ CP ，可得 AP ×CP = 0 ，即 2l l -1
2
+ 4 l -1 2 = 0，解得l = 或l =1，
3
2
所以实数l 的值为 .
3
2
故答案为： .
3
r r r r
8-2．（2024 高二上·天津武清·期中）已知空间向量 a = -3,2,5 ,b = 1,3, -1 ,且 lar - b 与b 相互垂直，则实数 λ
的值为 .
11
【答案】 - 2
【分析】根据空间向量数量积公式表示向量垂直关系计算即可得出 λ.
r r r
【详解】因为la - b 与b 相互垂直，
r r r r r r2
所以 la - b ×b=la ×b - b = l -3 1+ 2 3+ 5 -1 - 1+ 9 +1 = -2l -11 = 0 ,
11
所以l= - .2
11
故答案为: - 2
uuur r uuur
8-3 r．（2024 高二上·广东湛江·阶段练习）已知点P -2,0,2 ，Q -1,1,2 ，R -3,0,4 ，设 a = PQ，b = PR ，
r uuurc = QR ．
r r(1)若实数 k r使 ka + b 与 c 垂直，求 k 值．
r
(2) ar求 在b 上的投影向量．
【答案】(1) k = 2；
(1(2) ,0,
2
- ) .
5 5
【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得.
（2）利用投影向量的定义求解即得.
r r r r r
【详解】（1）依题意， a = (1,1,0),b = (-1,0,2),c = (-2,-1,2) ， ka + b = (k, k,0) + (-1,0,2) = (k -1,k, 2)，
kar
r
cr
r r r
由 + b 与 垂直，得 (ka + b) ×c = -2(k -1) - k + 2 2 = 0，解得 k = 2，
所以 k = 2 .
r r r
（2）由（1）知， a ×b = -1， | b |= 5，
r r
r r ar×b
r
b 1
r 1 2
所以 a 在b 上的投影向量为 = - b = ( ,0, - ) .
| b |2 5 5 5
一、单选题
r r r r
1．（2024 r r高二上·山东济宁·阶段练习）已知空间向量 a,b ,c 两两夹角均为60o，其模均为 1，则 a + b - 2c =
（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
【答案】B
【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果.
r
ar + b - 2cr = r r r 2 r r r r【详解】 (a + b - 2c) = a2 + b 2 + 4cr2 2ar b r r r+ × - 4a ×c - 4b ×c
= 1+1+ 4 2 1 1 1+ - 4 1 1 1 - 4 1 1 1
2 2 2
= 3 .
故选：B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2．（2024 高二上·广东广州·期末）在空间四边形 ABCD中， ABgCD + ACgDB + ADgBC 等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．不确定
【答案】B
uuur r uuur r uuur r
【分析】令 AB = a, AC = b, AD = c，利用空间向量的数量积运算律求解.
uuur r uuur r uuur r
【详解】令 AB = a, AC = b, AD = c，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 ABgCD + ACgDB + ADgBC ，
r r r r r r r r r= ag c - b + bg a - c + cg b - a ，
r r r r r r r r r r r r
= agc - agb + bga - bgc + cgb - cga = 0 .
故选：B
uuur uuur
3．（2024 高二上·陕西渭南·期末）在正四面体P - ABC 中，棱长为 1，且 D 为棱 AB 的中点，则PD × PC 的
值为（ ）.
1 1 1 1
A．- B．- C．- D．
4 8 2 2
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur
【分析】在正四面体 P - ABC
1
中，由中点性质可得 PD = PA + PB2 ，则 PD × PC 可代换为 PA + PB × PC ，2
由向量的数量积公式即可求解.
【详解】
uuur 1 uuur uuur
如图，因为 D 为棱 AB 的中点，所以 PD = 2 PA + PB ，
uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuurPD × PC = PA + PB ×PC = PA × PC + PB × PC ，2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由正四面体得性质，PA与PC 的夹角为 60°，同理PB与PC 的夹角为 60°， PA = PB = PC =1，
uuur uuur uuur uuur
PA × PC = PB × PC =1 1 cos 60 1° = ，
2
uuur uuur
故PC × PD
1 1 1 1
= + = ，
2 è 2 2 ÷ 2
故选：D.
4．（2024 高二上·浙江杭州·期中）平行六面体 ABCD- A B C D 中， AB = 4, AD = 3, AA = 5, BAD = 90°，
BAA = DAA = 60°，则 AC 的长为（ ）
A．10 B． 85 C． 61 D． 70
【答案】B
uuuur uuur uuur uuur
【分析】由 AC = AB + AD + AA ，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．
【详解】如图，
uuur2 uuur2 uuur2
由题知， AB =16, AD = 9, AA = 25 ,
uuur uuur uuur uuur
AB × AD = 4 3 cos90° = 0 ， AB × AA = 4 5 cos 60° =10，
uuur uuur
AD × AA 3 15= 5 cos 60° = .
2
uuuur uuur uuur uuur
Q AC = AB + AD + AA ，
uuuur2 uuur uuur uuur 2
\ AC = AB AD AA uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + = AB + AD + AA + 2AB × AD + 2AB × AA + 2AD × AA
= 16 + 9 + 25 15+ 2 0 + 2 10 + 2 = 85
2 ，
uuuur
\ AC = 85 即 AC 的长为 85 .
故选：B
ur uur ur uur r ur uur
5．（2024 高二上·河南郑州·阶段练习）在空间，已知 e1 ， e2 为单位向量，且 e1 ^ e2 ，若 a = 2e1 + 3e2 ，
r ur uur r r
b = ke1 - 4e2 ， a ^ b，则实数 k 的值为（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
【答案】B
r r
【分析】由a 和b 的数量积为 0，解出 k 的值.
r r ur uur ur uur
【详解】由题意可得 a ×b = 0 ， e1 ×e2 = 0， e1 = e2 =1，
ur uur ur uur
所以 (2e1 + 3e2 ) × (ke1 - 4e2 ) = 0，即 2k－12＝0，得 k＝6.
故选：B.
6．（2024 高二上·河南新乡·期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的
计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵 ABC - A1B1C1中， AB ^ AC, M , N 分别是
A1C1, BB
uuur uuuur
1的中点，G 是MN 的中点， AB = 2AC = 2AA1 = 4，则 AG × MN =（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】连接 AN , AM ，将待求表达式转化进行运算简化.
【详解】
连接 AN , AM ，由棱柱性质，侧棱 AA1 ^ 平面 A1B1C1， A1C1 平面 A1B1C1，则 AA1 ^ A1C1，
故 AM = AA21 + A M
2 = 4 +1 = 5 ，又 AN = AB2 + BN 2 = 42 21 +1 = 17 ，
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur 2 uuuur 2
AG × MN 1= AN + AM 1× AN - AM =2 2 AN - AM 1= (17 - 5) = 6 .2
故选：C
uuur uuuur
7．（2024 高二上·浙江绍兴·期末）已知正四面体 A - BCD的棱长为1, M 为棱CD的中点，则 AB × AM =（ ）
1 1 1
A．-
1
B． C．- D．
4 4 2 2
【答案】D
uuuur
【分析】利用基底表示出 AM ，利用数量积的定义可求答案.
uuuur 1 uuur uuur
【详解】因为 M 是棱 CD 的中点，所以 AM =
2 AC + AD
uuur uuuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur所以 AB × AM = AB × AC + AD ÷ = AB × AC + AB × AD = AB AC cos 60o + AB AD cos 60o
è 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1= + = .
2 2 2 ֏ 2
故选：D.
8．（2024 高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，三棱锥O - ABC 各棱的棱长是 1，点D是棱 AB 的中点，点E
uuur uuur
在棱OC 上，且OE = lOC ，则DE 的最小值为（ ）
1
A B 2 3． ． C． D．1
2 2 2
【答案】B
【分析】首先在△DOC 中利用余弦定理求出 cos DOE，然后由空间向量的运算法则可得
uuur 2 uuur uuur 2 uuur 2 3
DE = OE - OD 2，变形可得 DE = l - l + ，由二次函数的知识可得答案.
4
3
【详解】根据题意，在△DOC 中， OD = CD = ,OC =1，
2
1 3 3+ -
cos DOE 4 4 3所以 = = 3
2 3 1
2
uuur 2 uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
DE = OE - OD = OE - 2OE ×OD + OD 2 = l 2 2 l 3 3 3 (l
1 )2 1所以 - + = - +
2 3 4 2 2
1 uuur 2 1
则l= 时， DE 取得最小值 ，
2 2
uuur
则 DE 2的最小值为 .
2
故选：B
9．（2024 高二上·浙江·期末）如图已知矩形 ABCD, AB = 1, BC = 3，沿对角线 AC 将VABC 折起，当二面角
1
B - AC - D的余弦值为- 时，则 B 与 D 之间距离为（ ）
3
A．1 B． 2 C
10
． 3 D．
2
【答案】C
【分析】过 B 和D分别作BE ^ AC ，DF ^ AC ，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．
【详解】解：过 B 和D分别作BE ^ AC ，DF ^ AC ，
Q在矩形 ABCD, AB = 1, BC = 3，\ AC = 2，
Q S = S 1 1△ABC △ADC ，\ AB × BC = AC × BE2 2
\BE = DF 3= ，
2
1
则 AE = CF = ，即EF = 2 -1 =1，
2
Q 1平面 ABC 与平面 ACD所成角的余弦值为- ，
3
uuur uuur 1
\cos < EB , FD >= - ，3
Q uuur uuur uuur uuurBD = BE + EF + FD，
\
uuur2 uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BD = (BE + EF + FD)2 = BE + EF + FD + 2BE × EF + 2FD × BE + 2EF × FD 3= +1 3+ - 2 EB × FD cos < EB ，
4 4
uuur
FD 5 3 3 1 5 1>= - 2 (- ) = + = 3，
2 2 2 3 2 2
uuur
则 | BD |= 3 ，
即 B 与D之间距离为 3，
故选：C．
10．（2024 高三下·江西·阶段练习）已知点 P 在棱长为 2 的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条
uuur uuur
直径，则PA × PB 的最小值为（ ）
A．- 2 B．- 3 C．- 1 D．0
【答案】A
uuur uuur uuur uuur2
【分析】平面向量的线性运算结合平面向量数量积的运算可得，PA × PB = OP - 3，由 OP 的范围求解即可.
【详解】由题意可得正方体外接球的直径 AB = 2 3 ，设点 O 为正方体外接球的球心，则 O 为 AB 的中点，
uuur uuur uuur uuur
OA = -OB 且 OA = OB = 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2
PA × PB = (OA - OP) × (OB - OP) = OA ×OB - (OA + OB) ×OP + OP = OP - 3 3 = OP - 3，
2 uuur uuur
由 OP =1 ，PA × PB 的最小值为122 - 3 = -2
.
故选︰A．
11．（2024 高二上·河南·阶段练习）已知EF 是棱长为 8 的正方体外接球的一条直径，点 M 在正方体的棱上
uuur uuur
运动，则ME × MF 的最小值为（ ）
A．-48 B． -32 C．-16 D．0
【答案】C
uuur uuur uuuur
【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得ME × MF 的表达式 | OM |2 -48，确定
uuuur
| OM |的最小值，即得答案.
【详解】如图，EF 是棱长为 8 的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线，
82 + 82 + 82
由正方体的特征可得其外接球半径为 = 4 3 ,
2
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
设外接球球心为 O，则ME × MF = (MO + OE) × (MO + OF ) = (MO + OE) × (MO - OE)
uuuur uuur uuuur uuuur
=| MO |2 - | OE |2 =| MO |2 -(4 3)2 =| OM |2 -48 ,
uuuur
由于点 M 在正方体的棱上运动,故 | OM |2 的最小值为球心 O 和棱的中点连线的长，
8 2
即为正方体面对角线的一半，为 = 4 2 ，
2
uuur uuur
所以 ME × MF 的最小值为 (4 2)2 - 48 = -16，
故选：C
12．（2024 高二上·上海崇明·期末）已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面边长 AB =1，AA1 = 2 ，P 是长
uuur uuuur
方体表面上一点，则PA × PC1 的取值范围是（ ）
é 1 ù é 3A． ê- ,0ú B． ê- ,0
ù é 1
ú C． ê- ,1
ù é 3 ù
2 4 2 ú
D． ê- ,1 4 ú
【答案】B
uuur uuur uuur2 2
【分析】取 AC1中点O，将所求数量积转化为PO - OA ，根据 PO 的取值范围可求得结果.
【详解】取 AC1中点O，
uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2
则PA × PC1 = PO + OA × PO + OC1 = PO + OA × PO - OA = PO - OA ，
uuur
Q当 P 为侧面 ABB A
1
1 1中点时， PO = ；PO的最大值为体对角线的一半1，min 2
uuur uuuur uuur2 uuur2 3
又 OA
1 1
= AC1 = 1+1+ 2 =1，\ PO - OA
é- ,0ù ，
2 2 ê 4 ú
uuur uuuur 3
即PA × PC é1 的取值范围为 ê- ,0
ù .
4 ú
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化
为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围.
r r r r r r r r r r r r
13．（2024 高二下·福建宁德·期中）已知单位向量a ，b ， c中， a ^ b， a,c = b,c = 60°，则 a - b + 2c =
（ ）
A． 5 B．5 C．6 D． 6
【答案】D
【分析】
根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
r r r r r r r r r
【详解】因为 a ^ b， a,c = b,c = 60°，且a ，b ， c为单位向量，
r r r r r r 2 r 2 r 2 r 2 r r r r r r则 a - b + 2c = a - b + 2c = a + b + 4 c - 2a ×b + 4a ×c - 4b ×c
= 1+1+ 4 - 0 4 1 1 1+ 1 - 4 1 1 = 6 .
2 2
故选：D
二、多选题
14．（2024 高二上·重庆开州·阶段练习）已知 ABCD - A1B1C1D1为正方体，则下列说法正确的有（ ）
uuur uuuur uuuur uuuur
A． (A1A + A 21D1 + A1B1) = 3(A1B )21 ；
uuuv uuuuv uuuv
B． A1C· A1B1 - A1A = 0；
uuur uuuur
C． A1B 与 AD1 的夹角为60°；
D．在面对角线中与直线 A1D所成的角为60°的有 8 条
【答案】ABD
【分析】画出图形，利用向量的运算结合正方体的性质逐项判断.
【详解】如图所示：
uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur
A. 由向量的加法运算得 A1A + A1D1 + A1B1 = A1C ，因为 A1C = 3 A1B1 ，所以 (A1A + A 2 21D1 + A1B1) = 3(A1B1) ，故正
确；
uuur uuuur uuur uuur uuur
B. 正方体的性质易知 A1C ^ AB1，所以 A1C (A1B1 - A1A) = A1C × AB1 = 0，故正确；
uuur uuuur
C. 因为VA1BC1 是等边三角形，且 AD1 / /BC1，所以 A1BC
o
1 = 60 ，则 A1B 与 AD1 的夹角为120°，故错误；
D. 由正方体的性质得过 A1, D的面对角线与直线 A1D所成的角都为60°，这样有 4 条，然后相对侧面与之平
行的对角线还有 4 条，共 8 条，故正确；
故选：ABD
15．（2024 高二上·河北邢台·期末）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，M , N 分别是 A1B, B1C1上的点，且
uuur uuur r uuur
BM = 2A1M ,C1N = 2B1N . AB
r
= a, AC = b, AA cr= BAC = 90o设 1 ，若 , BAA1 = CAA = 60
o
1 , AB = AC = AA1 =1，
则下列说法中正确的是（ ）
uuuur 1 r 1 r 2 r uuuur
A．MN = a + b + c B．
3 3 3 ∣MN
5
∣=
3
uuur uuuur uuur uuuur 1
C． A1B ^ A1C1 D． cosáAB1, BC1 = 6
【答案】BD
【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可.
【详解】因为BM = 2A1M ，C1N = 2B1N ，
uuuur 1 uuur 1 uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur所以 A1M = A1B = AB - AA1 ， A1N = A1B1 + B1N 1= AB + B1C1 = AB 1 AC AB 2 AB 1+ - = + AC ，3 3 3 3 3 3
uuuur uuuur uuuur
MN A N A M 2
uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur r r r所以 = 1 - 1 = AB + AC 1 1- AB - AA1 = AB + AC + AA 1 1 11 = a + b + c, 故 A 错误；3 3 3 3 3 3 3 3 3
r r r r r r r r r
因为 a = b = c =1， a ×b = 0 ， a ×c = b c
1
× = ，
2
uuuur2 1 r r r 2 r 2 r2 r2 r r r r r r
2
所以MN = a + b c 1 a b c 1 5+ = + + + 2a ×b + 2a ×c + 2b ×c = 3+ 2 = ，9 9 9 9
uuuur 5
所以 MN = ，故 B 正确；
3
uuur uuur uuur r r uuuur r
因为 A1B = AB - AA1 = a - c, A1C1 = b，
uuur uuuur r r r r r r r 1 1所以 A1B × A1C1 = a - c ×b = a ×b - b ×c = 0 -1 1 = - 0，故 C 错误；2 2
uuur uuur uuur r r uuuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r
因为 AB1 = AB + AA1 = a + c ，BC1 = BC + BB1 = AC - AB + AA1 = b + c - a ，
uuur uuuur r r r r r r r r r r 2 r2
所以 A
1
1B × BC1 = a - c × b + c - a = a ×b + b ×c - a + c = 2
uuur2 r r 2 r 2 r2 r r 2因为 A1B = a + c = a + c + 2a ×c = 3，
uuur uuuur2 2
所以 A1B = 3 ，BC1 =
r r r 2 r 2 r2 r2 r r r r r r-a + b + c = a + b + c - 2a ×b - 2a ×c + 2b ×c = 3，
uuuur
所以 BC1 = 3 ，
1
所以 uuur uuuurcos A B, BC = 2 1= ，故 D 正确.1 1 3 3 6
故选：BD.
r r
ar
r
16．（2024 高二上·辽宁大连·阶段练习）在三维空间中，定义向量的外积： a b叫做向量 与b 的外积，它
r r r r r r r r r r
是一个向量，满足下列两个条件：① a ^ a b ，b ^ a b ，且 a，b 和 a b构成右手系（即三个向量的
r r r r r r r r r r
方向依次与右手的拇指 食指 中指的指向一致，如图所示）；② a b的模 a b = a b sin a,b （ a,b 表示
r
向量 ar，b 的夹角）.在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，有以下四个结论，正确的有（ ）
uuur uuur uuuur uuuur
AB AC AD D B uuur uuur uuur uuurA． 1 = 1 1 1 B． AB AD = AD AB
uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
C． A1C1 A1D 与BD1 共线 D． (BC AC) × A1A与正方体体积数值相等
【答案】ACD
【分析】运用新定义及空间向量基本概念分别判断即可．
【详解】设正方体棱长为 1，
uuur uuur uuur uuur p 2 3 uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur 2p
对于A ， AB AC = AB × AC sin = 2 = 3 ， AD DB = AD D B = AD × D B sin = 31 1 ，3 2 1 1 1 1 1 1 1 3
uuur uuur uuuur uuuur
所以 AB1 AC = AD1 D1B1 ，所以A 对；
r r r r r r
对于B，由a，b 和 a b 构成右手系知， ar b 与b ar方向相反，
r r r r
即 a b = -b a ，所以B错；
对于C ， A1C1 ^ B1D1， A1C1 ^ BB1 A1C1 ^ 平面BB1D1D ，
BD1 平面 BB1D1D BD1 ^ A1C1， BD1 ^ A1D ，
uuuur uuuur uuuur
再由右手系知， A1C1 A1D 与BD1 共线，所以C 对；
uuur uuur uuur uuur 2
对于D ， | BC AC |=| BC || AC | ×sin 45° = 1 2 = 1，
2
正方体体积为 1，所以D 对．
故选：ACD．
三、填空题
r r r r r r r r r r r
17．（2024 高二下·福建宁德·期中）已知在标准正交基 i, j, k 下，向量 a = 4i + 3 j -8k ，b = 2i - 3 j + 7k ，
r r r r ur r r r r
c = -i + 2 j - 4k ，则向量m = a - b + c在 k 上的投影为 .
【答案】 -19
ur ur r
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算用基底表示m，再求出m在 k 上的投影作答.
r r r r r r r r r r r r
【详解】因为向量 a = 4i + 3 j -8k ，b = 2i - 3 j + 7k ， c = -i + 2 j - 4k ，
ur r r r r r r r r r r r r
因此m = (4i + 3 j -8k) - (2i - 3 j + 7k) + (-i + 2 j - 4k) = i + 8 j -19k ，
ur r r r r r r r r r r 2
m ×k = (i + 8 j -19k) × k = i ×k + 8 j ×k -19k = -19，
ur r
ur r m × k
所以向量m在 k 上的投影为 r = -19 .| k |
故答案为： -19
r r r r
18．（2024 高二上· · r全国 课后作业）已知 a = 2 2, b 2= , ar ×b = - 2 ，则 a,b = ．
2
3π
【答案】
4
【分析】直接根据向量的夹角公式求解.
r r r r
cos a,b ar ×b - 2 2= r = = -
【详解】根据向量的夹角公式， a b 2 2 ，由于向量夹角的范围是[0, π]，故2 2
2
r r
a,b 3π=
4
3π
故答案为：
4
p
19．（2024 高二上·广西·阶段练习）如图所示，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， A1AB = DAB = ，3
A1AD
p
= ， AB= AD= AA1 =2，E 为棱B4 1B 的中点，则 D1E = ．
【答案】1+ 2 / 2 +1
【分析】结合向量的加法法则和减法法则，以及向量的数量积的运算法则，即可求解.
【详解】
uuuur uuur uuuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur
向量的拆分，D1E = AE - AD1 = AA1 + AB - AA1 + AD = AB - AA1 - AD，2 2
uuur uuur uuur uuur p uuur uuur
又 AB × AA AB
p
1 = × AD = 2 2 cos = 2 ， AD × AA3 1
= 2 2 cos = 2 2 ，由此可得，
4
uuuur2 uuur2
D E AB 1
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
1 = + AA1 + AD - AB × AA1 - 2AB × AD + AA1 × AD = 4 +1+ 4 - 2 - 4 + 2 2 = 3 + 2 24
∴ D1E =1+ 2 ．
故答案为：1+ 2
20．（2024 高二上·湖南衡阳·期末）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，BB1 = 3，E 、F 分别为棱 AB 、A1C1
uuur uuur
的中点，则EF × BB1 = .
【答案】9
uuur uuur
【分析】分析可知BB1 ^ AB，BB1 ^ A1C1，利用空间向量数量积的运算性质可求得EF × BB1 的值.
【详解】因为BB1 ^ 平面 ABC ， AB 平面 ABC ，则BB1 ^ AB，同理可知BB1 ^ A1C1，
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuurEF BB EA AA 1 1 uuuur uuur所以， × 1 = + 1 + A F × BB = 1 1 BA + BB1 + AC × BB
è 2 2 1 1 ÷ 1
1 uuur uuur uuur2 1 uuuur uuur uuur2
= BA × BB + BB
2 1 1
+ A1C1 × BB = BB = 9 .2 1 1
故答案为：9 .
21．（2024 高二下·江苏常州·阶段练行六面体 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，且
CD
C1CB = C1CD = BCD = 60° .当 的值为 时，能使 A1C ^平面C1BDCC1
【答案】1
CD
【分析】设 = x, x > 0，CC1 = 1，则CD = x ，由 A1C ^平面C1BD ，可得 A1C ^ C1B, A1C ^ CCC 1
D，所以
1
uuur uuuur uuuur2 uuur2 uuuur uuur uuur uuurA1C ×C1D = 0，即C1C - CD + C1C × AD + CD × AD = 0，根据向量的数量积得3x
2 - x - 2 = 0，求解即可.
【详解】解：如图所示：
CD
设 = x, x > 0，CCCC 1
= 1，则CD = x ，
1
因为 A1C ^平面C1BD ，
C1B,C1D 平面C1BD ，所以 A1C ^ C1B, A1C ^ C1D，
uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur
C1D = C1C + CD ， A1C = A1D1 + D1C1 + C1C = AD + DC + C1C ，
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur
由 A1C ×C1D = 0，得 (AD + DC + C1C) × (C1C + CD) = 0，
uuuur2 uuur2 uuuur uuur uuur uuur
即C1C - CD + C1C × AD + CD × AD = 0，
uuuur uuur uuur uuur 2
又因为C1C × AD + CD × AD =1× x ×cos 60° + x × x ×cos(180
x x
° - 60°) = - ，
2 2
2
则有1- x2 x - x+ = 0，即3x2 - x - 2 = 0，
2
2
解得 x =1或 x = - (舍去)，
3
CD
因此当 =1时，能使 A1C ^平面C1BDCC .1
故答案为：1
22．（2024·四川成都·三模）如图，AB 为圆柱下底面圆 O 的直径，C 是下底面圆周上一点，已知
π uuur uuur
AOC = ，OA = 2，圆柱的高为 5．若点 D 在圆柱表面上运动，且满足BC ×CD = 0 ，则点 D 的轨迹所围3
成图形的面积为 ．
【答案】10
uuur uuur
【分析】作出过 AC 且与BC 垂直的圆柱的截面，它是一个矩形，而由BC ×CD = 0 得CD ^ BC ，所以CD
平面 ACEF ，从而可得D点轨迹，求出所围图形面积．
【详解】作母线CE， AF ，连接EF ，
因为 AF / /CE ，所以 AF ,CE 共面， ACEF 是圆柱的一个截面，
EC ^平面 ABC ，BC 平面 ABC ，所以EC ^ BC ，
又由已知得 AC ^ BC ，而 AC ICE = C ， AC,CE 平面 ACEF ，
所以BC ^平面 ACEF ，
uuur uuur
由BC ×CD = 0 得CD ^ BC ，所以CD 平面 ACEF ，
矩形 ACEF 即为D点轨迹，
AOC π = ，则 AC = OA = 2，又CE = 5，
3
所以矩形 ACEF 的面积为 2 5 =10．
故答案为：10.
uuur uuur uuur
23．（2024 高二下·上海杨浦·期中）在空间中，O是一个定点，OA,OB,OC 给定的三个不共面的向量，且它
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
们两两之间的夹角都是锐角.若向量OP 满足 OA ×OP = OA ， OB ×OP = 2 OB ， OC ×OP = 3 OC ，则满足题
意的点 P 的个数为 .
【答案】8
【分析】确定点 P 在与OA垂直，且到O的距离为1的平面上，在与OB 垂直，且到O的距离为 2的平面上，
在与OC 垂直，且到O的距离为3的平面上，计算得到答案.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur OA ×OP OA ×OP uuur uuur uuur
【详解】 OA ×OP = OA ，故 uuur =1， uuur = ±1OA ，
OP cos OA,OP = ±1，
OA
故点 P 在与OA垂直，且到O的距离为1的平面上，共两个平面；
同理得到：
故点 P 在与OB 垂直，且到O的距离为 2的平面上，共两个平面；
故点 P 在与OC 垂直，且到O的距离为3的平面上，共两个平面.
6 个两两平行的平面共有8个交点，故满足条件的 P 共有8个.
故答案为：8
24．（2024 高三上·江西萍乡·期末）已知球 O 是棱长为 1 的正四面体的内切球，AB 为球 O 的一条直径，点
uuur uuur
P 为正四面体表面上的一个动点，则PA × PB 的取值范围为 .
é 1ù
【答案】 0,
ê 3ú
【分析】利用等体积法求出内切球的半径，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得
6 6 uuur uuur uuur uuur uuur uuur PO ，再根据PA × PB = PO + OA × PO + OB 即可求解.
12 4
【详解】
如图所示，在边长为 1 的正四面体CDEF 中，设四面体内切球球心为O，
内切球半径为 r ，取EF 中点为G ，
DG 1 3= 1- = , DO 2 3
1 6
则 1 = DG = ,所以CO1 = 1- = ，4 2 3 3 3 3
因为VC-DEF = VO-CDE +VO-CDF +V0-CEF +VO-DEF ，
1 S 1 6所以
3 △DEF
CO1 = 4 S△DEF OO1 ，所以3 OO1 = r =
，
12
因为点 P 为正四面体表面上的一个动点，
所以 r PO CO 6，即 PO 3 CO 61 = ，12 4 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为PA × PB = PO + OA × PO + OB = PO + PO ×OA + PO ×OB + OA ×OB ,
uuur uuur
因为 AB 为球 O 的一条直径，所以OA = -OB ,
uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur2
PO PO OA PO 1所以 + × - ×OA - OA = PO2 - ，
24
6 1 3
因为 PO 6 PO2，所以 ，
12 4 24 8
所以0 PO2
1 1
- ，
24 3
é
故答案为: ê0,
1ù
3ú
.

uuur uuuur
25（．2024·福建漳州·二模）已知长方体 ABCD - A1B1C1D1的底面是边长为 2 2 的正方形，若 cos AB, AC
3
1 = ，3
uuur uuur r
则该长方体的外接球的表面积为 ；记 e ,e 分别是 AB, AD方向上的单位向量，且 | a |= 2 6 ，1 2
r r r uur
a ×e1 = a ×e2 = 2 2 ，则 a - me1- ne2 （m，n 为常数）的最小值为 ．
【答案】 24π 2 2

【分析】根据长方体外接球直径为长方体体对角线即可求出球半径，得出球的面积，由所给条件可取 a 与 AC1

的方向相同或与 AC 的方向相同，问题可转化为求平面 ABCD上一点E 与C1的距离的最小值，即求C1到平1
面 ABCD的距离得解.
uuur uuuur AC 2 23 = = 2 6 uuur uuuur 3
【详解】在RtVABC1 中， AB = 2 2,cos AB, AC 11 = ，所以 3 ， cos AD, AC
3 1
= ，
3
3
1
所以该长方体的外接球的半径为 AC1 = 6 ，所以该长方体的外接球的表面积为 4π( 6)2 = 24π.由2 | a |= 2 6
2 2 3
及 a×e1 = a×e = 2 2 可得 cosáa,e1 = cosáa,e2 = = ，2 2 6 3

所以 a 与 AC 的方向相同或与 的方向相同，1 A1C

不妨取 a 与 AC 的方向相同，1
ur uur ur uur
由平面向量基本定理可得me1 + ne2 必与 e1,e2 共面，
ur uur uuur
在平面 ABCD上取一点E ，故可设me1 + ne2 = AE ，
r ur uur uuuur uuur uuuur
则 a - me1 - ne2 =| AC1 - AE |=| EC1 |，所以其最小值为点C1到平面 ABCD的最小值，即最小值为
uuuur
| CC |= (2 6)2 - 421 = 2 2 .
故答案为： 24π； 2 2
四、解答题
26．（2024 高二下·江苏·课后作业）已知：如图，OB 是平面 α 的斜线，O 为斜足， AB ^ a ，A 为垂足，
CD a ，且CD ^ OA．求证：CD ^ OB ．
【答案】证明见解析
uuur uuur uuur uuur
【分析】要证CD ^ OB ，只要证CD ^ OB ，即证CD ×OB = 0，结合空间向量分析运算．
uuur uuur
【详解】因为CD ^ OA，所以CD ×OA = 0，
uuur uuur
因为 AB ^ a ，CD a ，所以 AB ^ CD ，CD × AB = 0．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur又OA + AB = OB ，所以CD ×OB = CD × OA + AB = CD ×OA + CD × AB = 0 ，
故CD ^ OB ．
27．（2024 高二下·江苏·课后作业）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA
uuur uuur uuur
＝b.试确定PC 在直线 AB 上的投影向量，并求PC × AB .
uuur
【答案】 AB ， a2
uuur uuur uuur uuur
【分析】由图形特征，用PA， AB ，BC 为基底表示PC ，计算数量积和投影向量.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur【详解】因为PC × AB = PA + AB + BC × AB = PA × AB + AB × AB + BC × AB = 0 + a2 + 0 = a2 ．
uuur
又 | AB |= a，
uuur uuur
所以PC 在 AB 上的投影向量为：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur
PC ×cos PC, AB uAuB× ur = PC uP× uuCr × AuuBur uAuBur PCuu×urAB uAuBur a AB× = × = × = AB .
AB PC × AB AB AB AB a a
28．（2024 高三·全国·专题练习）如图，正四面体 ABCD(所有棱长均相等)的棱长为 1，E，F，G，H 分别是
uuur r uuur r uuur r
正四面体 ABCD 中各棱的中点，设 AB = a ， AC = b ， AD = c ，试采用向量法解决下列问题：
uuur
(1)求EF 的模长；
uuur uuur
(2)求EF ，GH 的夹角.
【答案】(1) 2 ；
2
(2)90°.
【分析】（1）根据空间向量线性的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可；
（2）根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为 E，F，G 是中点，所以
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r
EF = EB + BA + AF 1 1= CB + BA + AD 1 1= (AB + CA) + BA + AD 1= (c - b - a)，
2 2 2 2 2
uuur 2 1 r r r 1 r2 r2 r 2 r r r r r r
因此 EF = (c - b - a)2 = (c + b + a - 2c ×b + 2b × a - 2c ×a)，
4 4
因为正四面体所有棱长为 1，
uuur 2
EF 1 (1 1 1 2 1 1 1 1 1所以 = + + - 1 + 2 1 1 - 2 1 1 ) = ，
4 2 2 2 2
uuur
所以 EF 2= ；
2
uuur 1 r r r uuur
（2）由（1）可知：EF = (c - b - a) 2，
2 EF = 2
uuur
GH 1
r r r uuur
同理 = (b + c - a) ， GH 2= ，2 2
1 r r r2 2
uuur uuur uuur uuurE [(c - a) - b ] r2 r 2 r r r2 uuurcosáEF ,GH = uuuFr ×GuuHur 4 1 (c a 2a c b ) 1 (1 1 2 1 1 1 1) 0, uuur= 1 = + - × - = + - - = 所以 ，EF × GH 2 2 2
EF GH
2
的夹角为 90°.
29．（2024 高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^平面 ABC ，CB ^ AB， AB = BC = a ，
PA = b．
uuur uuur uuur
(1)确定PC 在平面 ABC 上的投影向量，并求PC × AB ；
uuur uuuv uuur uuur
(2)确定PC 在 AB 上的投影向量，并求PC × AB ．
uuur uuuv uuur uuur
【答案】(1) PC 在平面 ABC 上的投影向量为 AC ，PC × AB = a2；
uuur uuuv uuuv uuur uuur
(2) PC 在 AB 上的投影向量为 AB ，PC × AB = a2 .
uuur
【分析】（1）根据PA ^平面 ABC 可得PC 在平面 ABC 上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的
uuur uuur
定义计算PC × AB = uuur uuur uuur uuurPA + AB + BC × AB的值即可求解；
uuur uuuv uuur uuur
（2）由投影向量的定义可得PC 在 AB 上的投影向量，由数量积的几何意义可得PC × AB 的值.
uuur uuuv
【详解】（1）因为PA ^平面 ABC ，所以PC 在平面 ABC 上的投影向量为 AC ，
uuur uuur
因为PA ^平面 ABC ， AB 面 ABC ，可得PA ^ AB ，所以PA × AB = 0，
uuur uuur
因为CB ^ AB，所以BC × AB = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以PC × AB = PA + AB + BC × AB = PA × AB + AB × AB + BC × AB
= 0 + a2 + 0 = a2 .
uuur uuur uuur
（2）由（1）知：PC × AB = a2， AB = a ，
uuur uuuv
所以PC 在 AB 上的投影向量为：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur
PC ×cos PC, AB uAuB× ur = PC × uPuuCr × AuuBur uAuBur PC × AB AB a AB× = uuur × uuur = × = AB
AB PC × AB AB AB AB a a ，
uuur uuur uuur uuur
由数量积的几何意义可得：PC × AB = AB × AB = a2 .
uuur uuur
30．（2024 高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在空间四边形OABC 中，2BD = DC ，点E 为 AD 的中点，设
uuur r uuur r uuurOA = a,OB r= b ,OC = c .
r r r uuur
(1)试用向量 a,b,c表示向量OE ；
o uuur uuur(2)若OA = OC = 4,OB = 3, AOC = BOC = AOB = 60 ，求OE × AC 的值.
uuur 1 rOE a 1
r 1 r
【答案】(1) = + b + c；
2 3 6
8
(2) - .
3
uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
【分析】（1）由点E 为 AD 的中点，可得OE = (OA + OD)，而OD = OB + BC = OB + (OC - OB) ，代入
2 3 3
前面的式子化简可得结果；
uuur 1 r 1 r 1 r uuur uuur uuur r r
（2）由（1）可知OE = a + b + c，由于 AC = OC - OA = c - a ，再利用数量积的运算律结合已知条件可2 3 6
求得结果.
uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur
【详解】（1）因为点E 为 AD 的中点，所以OE = (OA + OD) = OA + OD，
2 2 2
uuur uuur uuur 1 uuur
因为 2BD = DC ，所以BD = BC ，3
uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuurOD OB BC OB (OC OB) 2 OB 1
uuur
所以 = + = + - = + OC ，
3 3 3 3
uuur 1 uuurOE OA 1 2
uuur uuur uuur uuur uuur
OB 1 OC 1 OA 1 OB 1 OC 1
r r r
所以 = + + ÷ = + + = a
1 b 1+ + c ；
2 2 è 3 3 2 3 6 2 3 6
uuur 1 r 1 r 1 r
（2）由（1）得OE = a + b + c，
2 3 6
因为OA = OC = 4,OB = 3, AOC = BOC = AOB = 60o
uuur uuur uuur r r
， AC = OC - OA = c - a ，
uuur uuur r r r
OE × AC 1 1 1= a + b + c
r r
所以 × c - a
è 2 3 6 ÷


1 r r 1 r 2 1 r r 1 r r r2a c a b c a b 1 1
r r
= × - + × - × + c - a ×c
2 2 3 3 6 6
1 r r r 2 r r r r r2
= a c 1 a 1 b 1 1× - + ×c - a ×b + c
3 2 3 3 6
1
= 4 4cos 60 1° - 42 1 1 1+ 3 4cos 60° - 3 4cos 60° + 42
3 2 3 3 6
1 4 4 1 8 1= - + 16
3 2 6
8
= - .
3
31．（2024 高二上·北京通州·期中）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4， AD = 2，
AA1 = 2 2 ， AD1 = 2 5， BAD = 60°， BAA1 = 45°， AC 与BD相交于点O .
uuur uuur
(1)求 AB × AD ；
(2)求 DAA1；
(3)求OA1的长.
【答案】(1)4；
p
(2) ；
4
(3) 3 .
【分析】（1）利用数量积的公式求数量积即可；
（2）利用余弦定理求出 D1A1A，即可得到 DAA1；
uuur
OA 1
uuur 1 uuur uuur
（3）通过线性运算得到 1 = - AB - AD + AA ，然后利用数量积求模长即可.2 2 1
uuur uuur uuur uuur
【详解】（1） AB × AD = AB AD cos BAD = 4 2 cos 60° = 4 .
（2）因为 ABCD - A1B1C1D1为平行六面体，所以四边形 AA1DD1为平行四边形， A1D1 ∥ AD ， A1D1 = AD = 2，
8 + 4 - 20 2 3p
在三角形 AA1D1中，AA1 = 2 2 ，A1D1 =2，AD1 = 2 5，所以 cos D1A1A = = - ，所以 D1A1A = ，2 2 2 2 2 4
A D p又 1 1 ∥ AD ，所以 DAA1 = .4
uuur 1 uuur uuur uuur
（3）由题意知， OA1 = - AB
1
- AD + AA ，则
2 2 1
uuur 2 1 uuur 2 1 uuur 2 uuur 2 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuurOA1 = AB + AD + AA1 + AB × AD - AB AA AD AA 4 1 8
1
× 1 - × 1 = + + + 4
1
2
4 4 2 2 2
4 2 2 2 2- - 2 2 2
2 2
= 3，
uuur
所以 OA1 = 3 .
32．（2024 高二上·北京顺义·期中）如图所示的平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，已知 AB = AA1 = AD，
DAB = A 11AD = 60°， BAA1 = 30°， N 为 A1D1上一点，且 A1N = l A1D1，点M 棱D1C1上，且D1M = D1C1 .2
uuur uuur uuuv uuuur
(1)用 AA1 ， AD ， AB 表示BM ；
(2)若BD ^ AN ，求l ；
l 2(3)若 = ，求证： BM // 平面 ANB1 .3
1 uuur uuur uuur
【答案】(1) - AB + AD + AA
2 1
(2) 3 -1
(3)证明见解析
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
（2）不妨取 AB = AA1 = AD = 1，根据 BD × AN = (AD - AB) × (AA1 + l A1D1) = 0 及空间向量数量积的运算律得到方程，
解得即可；
（3）过点 N 作 NG//A1B1 ，交 B1C1 于点G ，连接BG, MG，即可得到BG//AN 、MG//B1N ，即可得到平面BMG//
平面 ANB1，从而得证；
uuuur uuur uuur uuuur uuuuur
【详解】（1）解：BM = BA + AD + DD1 + D1M
uuur uuur uuur uuur
= -AB + AD 1+ AA1 + AB2
1 uuur uuur uuur
= - AB + AD + AA
2 1
uuuur 1 uuur uuur uuur
即BM = - AB + AD + AA
2 1
uuur uuur
（2）解：因为 BD ^ AN ，不妨取 AB = AA1 = AD = 1，
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
\ BD × AN = (AD - AB) × (AA1 + l A1D1)
uuur uuur uuur uuur
= (AD - AB) × (AA1 + l AD)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AD × AA1 + l AD × AD - AB × AA1 - l AD × AB = cos60° + l - cos30° - l cos60
1 3 1
° = - + l = 0．
2 2 2
\l = 3 -1．
（3）解：过点 N 作 NG//A1B1 ，交 B1C1 于点G ，连接BG, MG，则BG//AN ，
BG 平面 ANB1， AN 平面 ANB1，所以BG//平面 ANB1，
A N 2
A N GC
因为 1 = A1D1，令 A1D1 = 3，则 A1N = 2，MC
3
1 = ，GC1 =1
1 1
，所以 = ，所以VA1NB1 ∽ VC1GM ，3 2 A1B1 MC1
所以 C1MG = A1B1N ，又 C1MG = MGN ， B1NG = A1B1N ，所以 B1NG = MGN ，所以 MG//B1N ，
MG 平面 ANB1， NB1 平面 ANB1，所以MG// 平面 ANB1，
因为BG I MG = G，BG, MG 平面BMG ，所以平面BMG// 平面 ANB1，BM 平面BMG ，所以 BM // 平面
ANB1；
33．（2024 高二上·福建三明·开学考试）如图，正四面体V - ABC 的高VD 的中点为O，VC 的中点为M .
(1)求证： AO ，BO，CO两两垂直；
uuuur uuur
(2)求 DM , AO .
【答案】(1)证明见解析
π
(2)
4
uur uur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】（1）首先以VA,VB,VC 为基底表示向量VD ，再表示向量 AO, BO,CO ，再利用数量积公式证明垂直
关系；
uuuur uuur
（2）首先利用基底表示向量DM , AO，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.
uur r uur r uuur r
【详解】（1）设VA = a，VB = b，VC = c，正四面体的棱长为 1，
uuur uur uuur uur 2 1 uuur uuur uur 1 uur uur uuur uur因为VD = VB + BD = VB + BA + BC = VB + VA -VB +VC -VB3 2 3
1 uur uur uuur r r r= VA +VB +VC 1= a + b + c ，3 3
uuur uuur uur uuur uur r r r r r r r
AO = VO -VA 1= VD -VA 1= a + b + c2 6
1
- a = b + c - 5a6 ，
uuur uuur uur 1 uuur uur r r r r r r rBO = VO -VB = VD -VB 1= a + b c b 1+ - = a + c - 5b ，2 6 6
uuur uuur uuur uuur uuur
CO VO VC 1VD VC 1 r r r r 1 r r r= - = - = a + b + c - c = a + b - 5c2 6 6 ，
uuur uuur 1 r r r r r r r r r 2
所以 AO × BO = b + c - 5a a 1× + c - 5b = 18a ×b - 9 a36 36
1 uuur uuur= 18 1 1 cos π - 9 = 0，所以 ，即 AO ^ BO .
36 è 3 ÷
AO ^ BO

同理， AO ^ CO ，BO ^ CO，所以 AO ，BO，CO两两垂直.
uuuur uuur uuur r r r r r r r
（2）DM = DV +VM
1
= - a + b 1 1+ c + c = -2a - 2b + c ，3 2 6
uuuur é1 r r r
2 r 2 r r r r r r
所以 DM = ê -2a - 2b + c ù 1 9a 1 1ú = + 8a ×b - 4a ×c - 4b ×c6 36 = 9 = ， 36 2
uuur
AO é1 rb cr r
2 1 r r r 1 2
又 = ê + - 5a ù 2ú = 27a -18a ×b = 27 - 9 = ， 6 36 36 2
uuuur uuur 1 r r r r r r r 2DM × AO = -2a 1- 2b + c × b + c - 5a6 6
1 9a 1 9 1= = = ，
36 36 4
uuuur uuur uuuur uuur
1
DM × AO 4 2
所以 cos DM , AO = uuuur uuur = = 2 ，DM × AO 1 2
2 2
uuuur uuur uuuur uuur
又 DM , AO [0, π] DM , AO
π
，所以 = .
4
34．（天津市西青区杨柳青第一中学 2023-2024 学年高二上学期 9 月月考数学试题）如图，在平行六面体
ABCD - A1B1C1D1中， AB = AD =1， AA1 = 2， A1AD = A1AB = 60°， DAB = 90°，M 为 A1C1与 B1D1的交
uuur r uuur r uuur r
点．若 AB = a ， AD = b ， AA1 = c．
v
1 av cv
uuuur
（ ）用 ，b ， 表示BM ．
（2）求 BM 的长．
（3）求 BM 与 AC 所成角的余弦值．
uuuur r 1 r r 2
【答案】（1）BM = c + (b - a) 3 2；（2） ；（3）
2 2 3
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，即可得答案.
（2）见模平方，结合数量积公式，整理计算，即可得答案.
（3）根据求夹角公式，代入计算，即可得答案.
uuuur uuur uuuur uuur 1 uuuur uuur 1 uuuur uuuur r 1 r r
【详解】（1）由题意得BM = BB1 + B1M = AA1 + B1D1 = AA1 + (A2 2 1
D1 - A1B1) = c + (b - a)2
v v
（2）因为 DAB = 90°，所以 a ×b = 0，
r r r r r r 1 r r r r r ra ×c = a c cos < a,c >=1 2 1 =1，b ×c = b c cos < b,c >=1 2 =1
2 2
uuuur r 1 r 1 r r 2 1 r 2 1 r 2 r r r r 1 r r
所以 BM = c + b - a = c + b + a + c ×b - c ×a - b × a
2 2 4 4 2
4 1 1 3 2= + + +1-1 =
4 4 2
uuur r r uuur r r r 2 r 2 r r
（3） AC = a + b ，所以 AC = a + b = a + b + 2a ×b = 2 ，
r 1 r 1 r r r
uuuur uuur uuuur uuur c + b - a ÷ × (a + b)
cos < BM , AC B> = uuMuur ×uAuCur = è 2 2 所以
BM AC 3 2 2
2
r r r r 1 r r r 2 r 2 r rc ×a + c ×b + b 1×a + b 1 1- a - b ×a
2 2 2 2 2= = ，
3 3
2
所以 BM 与 AC 所成角的余弦值为
3
35．（2024 高一下·全国·课后作业）如图，棱长为 a 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AB 和 BC
的中点，M 为棱B1B 的中点.求证：
(1) EF ^ 平面 BB1D1D；
(2)平面EFB1 ^平面C1D1M .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得 AC ^ BD ，B1B ^ AC ，得 AC ^平面 BB1D1D，又EF //AC ，即可证得结论；
uuuur uuuur
（2）利用空间向量得B1F ×C1M = 0，即 B1F ^ C1M ，又D1C1 ^ B1F ，所以B1F ^ 平面C1D1M ，进而证得结论.
【详解】（1）正方体 ABCD - A1B1C1D1中，四边形 ABCD 是正方形，所以 AC ^ BD .
又B1B ^ 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以，B1B ^ AC .
又因为B1B BD = B，B1B ，BD 平面 BB1D1D，所以， AC ^平面 BB1D1D .
VABC 中，E，F 分别为 AB，BC 中点，
所以，EF //AC ，所以，EF ^ 平面 BB1D1D .
（2）正方体 ABCD - A1B1C1D1中，四边形BB1C1C 是正方形，
又 F、M 分别为BC 、BB1中点，
uuuur uuur 1 uuur uuuur uuuur 1 uuur uuur 1 uuur
所以，B1F = B1B + BC

，C
2 1
M = C1B1 + B1B ÷ = -BC + B B ，
è 2 è 2 1 ÷
uuuur uuuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
所以，B1F ×C1M = B1B + BC ÷ × -BC + B1B ÷
è 2 è 2
uuur uuur 1 uuur2 1 uuur2 uuur uuur
= -B1B × BC - BC + B
1 1 2 1 2
2 2 1
B + BC × B1B = -0 - a + a + 0 = 0，4 2 2
即 B1F ^ C1M .①
正方体 ABCD - A1B1C1D1中，D1C1 ^平面BB1C1C ，B1F 平面BB1C1C ，所以D1C1 ^ B1F .②
由①②及C1M D1C1 = C1，且C1M ， D1C1 平面C1D1M ，所以，B1F ^ 平面C1D1M ，
又B1F 平面EFB1，所以，平面EFB1 ^平面C1D1M .

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