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5.7 三角函数的应用 4 题型分类
一、函数 y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0 中参数的物理意义
若函数 y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中 A>0，ω>0)表示简谐振动，则
二、三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画
周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
三、建立函数模型的一般步骤
（一）
三角函数在物理中的应用
1、在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移 y 随
2π
时间 x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝ 为周期，表示物体
ω
1
往复振动一次所需的时间，f＝ 为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
T
2、处理物理学问题的策略:
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与
对应的三角函数知识结合解题.
题型 1：三角函数在物理中的应用
1-1．（2024 高一下·全国·单元测试）已知质点从 P0 ( 3,-1) 开始，沿以原点为圆心，2 为半径的圆作匀速圆周
运动，质点运动的角速度为 ω 弧度/秒( 0 < w < 2 )，经过 x 秒，质点运动到点 P，设点 P 的纵坐标为 y，令
y = f (x) ，将 f (x) 的图象向左平移 2 个单位长度后图象关于 y 轴对称．
(1)求函数 f (x) 的解析式；
(2)求函数 f (x) 的单调递减区间及 0,3 上的最值．
【答案】(1) f (x)
π π
= 2sin x - 3 6 ֏
(2)[6k + 2，6k + 5](k Z). f (x)min = -1; f (x)max = 2 ．
π
【分析】（1）设 f (x) = Asin(wx + j) A > 0,0 < w < 2,|j |< 2 ÷，根据正弦型三角函数的图象性质分别确定参数
A,w,f
è
的值，从而得函数 f (x) 的解析式；
（2）由正弦型三角函数的单调性得单调区间，从而可得在区间 0,3 上的单调性即可得最值.
π
【详解】（1）设 f (x) = Asin(wx + j) A > 0,0 < w < 2,|j |< 2 ÷，è
由 P0 ( 3,
3
-1) 知， tanj = - ．
3
|j | π j π f (x) 2sin wx π因为 < ，所以 = - ．又 A = 2，所以 = -
2 6 è 6 ÷
．

将 f (x) 的图象向左平移 2 个单位长度后所得函数 g(x) = 2sin wx
π
+ 2w -
6 ÷．è
因为 y = g x 的图象关于 y 轴对称，所以 2w π π- = kπ + (k Z)6 2 ，
w kπ π
π π π
解得 = + (k Z) 0 < w < 2 2 3 ．又 ，所以当 k = 0时，w = ，所以
f (x) = 2sin
3
x - ÷．
è 3 6
（2）由（1）得 f (x) = 2sin
π x π- 2kπ π π x π 2kπ 3π + - +
è 3 6 ÷
，令 ，
2 3 6 2
解得 6k + 2 x 6k + 5(k Z)，所以函数 f x 的单调递减区间为[6k + 2,6k + 5](k Z) ．
0 x 3 π π x π 5当 时， - - π ，当 x = 0时， f (x)min = f (0) = -1；当 x = 2时， f (x)max = f (2) = 26 3 6 6 ．
1-2．（2024·重庆·模拟预测）已知某弹簧振子的位移 y （单位：cm）与时间 t（单位：s）满足
y = Asin wt +j w > 0 ，初始时将弹簧振子下压至-4cm后松开，经过测量发现弹簧振子每 10s 往复振动 5
次，则在第 45s 时，弹簧振子的位移是 cm.
【答案】 4
2π
【分析】根据已知可得 A = 4、 = 2且 4sinj = -4求解析式，将 t = 45代入求值即可.
w
10 2π
【详解】由题意， A = 4且最小正周期T = = 2，即 = 2，故w = π ，
5 w
所以 y = 4sin(πt +j) ，且 4sinj = -4
π
，即j = - + 2kπ,k Z，
2
π
不妨令j = - ，故 y = 4sin(πt
π
- ) = -4cos πt，
2 2
当 t = 45，则 y = -4cos 45π = 4 .
故答案为： 4
1-3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变 质量可忽略不计的线，一端固定，另一端
悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏
摆动时离开平衡位置的位移 f t （单位： cm）与时间 t（单位：s）满足函数关系 f t = 3sin(wt +j)
(w > 0,0 < j < π) ，若函数 f t 在区间 a, a +1 上的最大值为M ，最小值为 N ，则M - N 的最小值
为 .
3
【答案】3- 2
2
【分析】根据题意求得 f t π= -3cos t 1，由区间 a, a +1 的区间长度 4 个周期，分区间 a, a +1 在同一个单2
调区间和不同一个单调区间，两种情况讨论，结合三角函数的性质，即可求解.
5 2π π
【详解】由函数 f t 的图象，可得 T = 5，解得T = 4，所以w = = ，
4 T 2
又由 f 0 = -3，可得 sinj = -1 π，解得j = - + 2kπ,k Z
2
π π π π
因为0 < j < π ，所以j = - ，所以 f t = 3sin( t - ) = -3cos t，
2 2 2 2
由区间 a, a +1 1的区间长度为1，即区间长度为 4 个周期，
当区间 a, a +1 在同一个单调区间时，不妨设 a, a +1 [0, 2]，可得0 a 1
则M - N = M - N = f a - f a +1 = 3 cos aπ - cos (a +1)π 3 cos aπ= + sin aπ = 3 2 sin(aπ π+ ) ，
2 2 2 2 2 4
0 a 1 π aπ π 3π
aπ π π 3π
因为 ，可得 + ，当 + = 或 时，M - N 取最小值3；
4 2 4 4 2 4 4 4
当区间 a, a +1 在不同一个单调区间时，不妨设 a, a +1 (1,3)，可得1< a < 2，
此时函数 f x 在 a, a +1 上先增后减，此时M = f x = 3max ，
不妨设 f (a) f (a +1)
3
，则 a < 2
2
M N 3 3cos p- = + (a +1) = 3 - 3sin p a ，
2 2

\ M - N = 3 2 3min 1- ÷÷ = 3- 2 .
è 2 2
3 3综上可得，M - N 最小值为 - 2 .
2
3 3故答案为： - 2 .
2
1-4．（2024 高一下·北京·期中）如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 A 3 3, -3 出发，沿圆周按逆时
针方向匀速旋转，且旋转一周用时60 秒，经过 t秒后，水斗旋转到点 P ，设 P 的坐标为P x，y ，其纵坐标
满足 y = f t = R sin wt +j t
π
> 0，w > 0 ，j < ÷，则下列叙述错误的是（2 ）è
π π
A．R = 6 、w= 、j= -
30 6
B．当 t 35,55 时，点 P 到 x 轴距离的最大值是6
C．当 t 10,25 时，函数 y = f t 单调递减
D．当 t = 20时， PA = 6 3
【答案】C
π π
【分析】A 选项可由已知条件得到；BC 选择根据函数 f t = 6sin t - ÷的性质得到，D 选项，先由函数
è 30 6
得到 P 点坐标，进而可得 PA .
【详解】A 选项：
有题意R = 2 2π π3 3 + -3 2 = 6，T = 60，w= = ，T 30
因从点 A 3 3, -3 出发，所以 f 0 = -3，
代入得 f 0 = 6sin π +j = -3，
è 30 ÷
得 sinj
1 π π
= - ，因 |j |< ，所以j= - ，故 A 正确，
2 2 6
选项 B：
由 A 得， f t = 6sin π t π -

，
è 30 6 ÷
当 t 35,55 π t π- é时， êπ,
5 πù
30 6 3 ú
，

所以 f t -6,0 ，
故点 P 到 x 轴距离的最大值是6 ，B 正确；
选项 C：
因 f t π π= 6sin t -

÷，
è 30 6
π
令 + 2kπ
π π 3π
t - + 2kπ ， k Z，
2 30 6 2
得 20 + 60k t 50 + 60k ， k Z，
故当 t 10,25 时，函数 y = f t 不是单调递减的，C 错误；
选项 D：
f 20 6sin 20π π当 t = 20 ， = - ÷ = 6，
è 30 6
故P 0,6 ， PA = 20 - 3 3 + 6 + 3 2 = 6 3 ，故 D 正确，
故选：C
1-5．（2024 高三上·江苏南京·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高
楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图 1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可
近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 y m 和时间 t s 的函数关系为 y = sin wt +j w > 0, j < π ，如图
2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为 t1 ， t2 ， t3 0 < t1 < t2 < t3 ，且 t1 + t2 = 2，
t2 + t3 = 5，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 0.5m 的总时间为（ ）
1 s 2A． B． s
4
C．1s D． s
3 3 3
【答案】C
2π 2π
【分析】先根据周期求出w = ，再解不等式 sin t +j

÷ > 0.5，得到 t的范围即得解.3 è 3
2π 2π
【详解】因为 t1 + t2 = 2， t2 + t3 = 5， t3 - t1 = T ，所以T = 3，又T = ，所以w = ，w 3
则 y = sin
2π
t
2π
+j ÷，由 y > 0.5 sin

可得 t +j

3 3 ÷
> 0.5，
è è
2kπ π 2π t j 5π所以 + < + < + 2kπ ， k Z，
6 3 6
1 3 5 3 5 3 1 3
所以3k + - j < t < - j + 3k ， k Z，故 3k + - j -
4 2π 4 2π 4 2π ÷
3k + - j ÷ =1，
è è 4 2π
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 0.5m 的总时间为 1s.
故选：C.
（二）
三角函数在生活中的应用
1、解三角函数应用问题的基本步骤
2、利用图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的解析式的基本步骤:
f x - f x
(1) 求 A,b : A = max min ，
2
f x + fmax x b = min ；
2
2p
(2)求 ω:根据图象得出最小正周期 T,可得出w =
T
(3)求初相 φ:将对称中心点、最高点或最低点的坐标代入函数解析式可求出 φ 的值，
题型 2：三角函数在生活中的应用
2-1．（2024 高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花
开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为 20℃，气温上升到约 30℃开始闭合，
在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区 6 时～16 时的气温 y （℃）随时间 x （时）的
y 10sin π 5π 变化趋势近似满足函数 = x - ÷ + 25，则在 6 时～16 时中，赏花的最佳时段大致为（8 4 ）è
A．7.3 时～11.3 时 B．8.7 时～11.3 时
C．7.3 时～12.7 时 D．8.7 时～12.7 时
【答案】B
【分析】由三角函数的性质结合条件即得.
【详解】当 x 6,16 π x 5π é π , 3π时， - - ù
8 4 ê 2 4 ú
，

y π 5π π 5π 1由 =10sin

x -

÷ + 25 = 20 ，得 sin x - ÷ = - ，
è 8 4 è 8 4 2
π x 5π π , x 26所以 - = - = 8.7 (时)；
8 4 6 3
由 y =10sin
π x 5π- π 5π 1 8 4 ÷
+ 25 = 30，得 sin x - ÷ = ，
è è 8 4 2
π 5π π 34
所以 x - = , x = 11.3 (时).
8 4 6 3
故在 6 时~16 时中，观花的最佳时段约为8.7时~11.3时.
故选：B
2-2．（2024·海南·模拟预测）如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与
普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为5cm，此表挂在墙上，最高点
距离地面的高度为 2.35m，最低点距离地面的高度为1.95m，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看
到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿），若 4 个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的
π
高度约为（ ） cos 0.9712 ÷è
A． 220.45cm B．198.03cm C． 200.45cm D． 229.55cm
【答案】C
π
【分析】画出图形，分别求得外圆的半径和内圆的半径， COD = ，利用三角函数求解.
12
【详解】解：如图所示：
R 235 -195由题意得：外圆的半径为 = = 20 cm，内圆的半径为 r = R - 5 =15 cm，
2
OC π=15, COD = ，
12
所以OD =15cos
π
15 0.97 =14.55，
12
则此时指针尖到地面的高度约为：
235 - AD = 235 - AO - OD = 235 - 20 -14.55 = 200.45 cm，
故选：C
2-3．【多选】（2024 高三上·湖南株洲·开学考试）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立
平面直角坐标系如图（2），h（单位：m）表示在时间 t（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.
轨道最高点 P 距离地平面 50m.最低点Q距离地平面 10m.入口处M 距离地平面 20m.当 t = 4s时，过山车到达
π
最高点 P ， t =10s

时，过山车到达最低点Q .设 h t = Asin wt +j + B A > 0,w > 0, j < ÷ ，下列结论正确
è 2
的是（ ）
A．函数 h t 的最小正周期为 12
j πB． =
6
C． t =14s 时，过山车距离地平面 40m
D．一个周期内过山车距离地平面低于 20m 的时间是 4s
【答案】ACD
【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求 A, B，根据周期求w ，最后根据 h 0 = 20求j ，再根据函数
的解析式判断 CD.
T
【详解】由题意可知，周期T 满足 =10 - 4 = 6，得T = 12 ，
2
2π p ìA + B = 50
所以 =12 ，得w = ，又
6 í
，解得 A = 20，B = 30 .
w -A + B =10
h t = 20sin π t +j + 30 h 0 = 20 20sinj + 30 = 20 sinj 1 π所以 ÷ ，又 ，即 ，得 = - ，因为 j < ，所以
è 6 2 2
π π
j π= - ，所以 h t = 20sin t - + 30 .6 è 6 6 ÷
π
对于 A，T = 12 ，A 正确；对于 B，j = - ，B 错误；
6
π π π
对于 C， h 14 = 20sin 14 - ÷ + 30 = 20sin + 30 = 40，C 正确；
è 6 6 6
h t 20 20sin π t π 30 20 sin π π 1< - + < t - < - 7π对于 D，由 ，得 ÷ ，即 ÷ ， + 2kπ
π t π 11π< - < + 2kπ ，
è 6 6 è 6 6 2 6 6 6 6
k Z，解得8 +12k < t <12 +12k ， k Z，
所以一个周期内过山车距离底面低于 20m 的时间是 12 +12k - 8 +12k = 4s，D 正确.
故选：ACD.
2-4．（2024 高一·全国·课堂例题）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫
潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口
在某天几个时刻的水深.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4m，安全条例规定至少要有 1.5m 的安全间隙（船底与海
底的距离），该船何时能进入港口？
(3)若船的吃水深度为 4m，安全间隙为 1.5m，该船在 2:00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3m 的速度减少，
那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
【答案】(1) f (x) = 2.5sin
π
x

÷ + 5，答案见解析
è 6
(2)该船在 0:24 至 5:36 和 12:24 至 17:36 期间可以进港
(3)6:42 时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域.
【分析】（1）考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；
（2）在涉及三角不等式时，可利用图象求解；
（3）表示出 x 时刻的吃水深度 h(x) = 4 - 0.3(x - 2)
π
，结合题意得 sin x 0.44 - 0.12x ，利用图像，数形结合，
6
即可求得答案.
【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点，
根据图象可考虑用函数 f (x) = Asinwx + k 近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，
则由已知数据结合图象可得 A = 2.5， k = 5，T = 12 ，w
2π π
= = ，
T 6
f (x) = 2.5sin π x 故 ÷ + 5 .
è 6
由表中数据可知在 0:00,6:00,9:00,12:00,15:00,18:00,21:00,24:00 等时刻的水深分别是
5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m；
在整点时的水深近似为；1:00，5:00，13:00，17:00 为 6.3m；
2:00，4:00，14:00，16:00 为 7.2m；
7:00，11:00，19:00，23:00 为 3.7m；8:00，10:00，20:00，22:00 为 2.8m.
π
（2）由 2.5sin x ÷ + 5 5.5，得 sin
π x 0.2，
è 6 6
y sin π= 画出 x6 ÷
的图象（如图），
è
由图象可得0.4 x 5.6或12.4 x 17.6 .
故该船在 0:24 至 5:36 和 12:24 至 17:36 期间可以进港.
（3）若 2 x 24 ，x 时刻的吃水深度为 h(x) = 4 - 0.3(x - 2) ，
由 f (x) h(x) +1.5，得 sin
π x 0.44 - 0.12x .
6
画出 y = sin
π x 和 y = 0.44 - 0.12x的图象（如上图），
6
由图象可知当 x = 6.7时，即 6:42 时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域.
题型 3：三角函数模型在圆周运动问题中的应用
3-1．（2024 高一下·浙江温州·期中）如图，某公园摩天轮的半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮
做匀速转动，每6min 转一圈，摩天轮上的点 p 的起始位置在最低点处．
(1)已知在时刻 t（单位：min ）时点 P 距离地面的高度 f t = Asin wt +j + h （其中 A > 0 ，w > 0，
j < π），求函数 f t 解析式及8min时点 P 距离地面的高度；
(2)当点 P 距离地面 60 + 25 3 m 及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩18min，则游客
在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
【答案】(1) f t = -50cos π t + 60，85
3
(2)3
π
【分析】（1）由已知可得，函数 f (t) 的振幅A 等于圆形的半径即 A = r = 50，周期T = 6，即w = ，h = 60，
3
π
零时刻处，摩天轮上在最低点，可知初相j = - ，这样便可求得的解析式，进而求得8min时距离地面的高
2
度；
（2）从最低处开始到达高度为 60 + 25 3 m 刚好能看着全貌，经过最高点再下降至 60 + 25 3 m 时又能看
着全貌，求得两次的时间差再乘以 3 即得能看着全貌的时间．
【详解】（1）由题意可知： A = 50, h = 60,T = 6，
2π
= 6 π π 所以 w ，又w > 0，得到w = ，即 f t = 50sin3
t +j
3 ÷
+ 60，
è
又摩天轮上的点 p 的起始位置在最低点处，即 f (0) = 10，所以50sinj + 60 =10 ，
即 sinj = -1
π
，又 j < π，所以j = - ，
2
f t 50sin π t π 60 50cos π故 = - ÷ + = - t + 60，
è 3 2 3
当 t = 8时， f (8) = 50sin(
8π π
- ) + 60 = 85，所以8min时点 P 距离地面的高度为 85.
3 2
（2）因为从最低处开始到达高度为 60 + 25 3 m 刚好能看着全貌，经过最高点再下降至 60 + 25 3 m 时又
能看着全貌，每个游客可游玩三个周期，
由（1）知 f t π= -50cos t + 60 60 + 25 3 cos π t 3，得到3 - ，即 cos
π t 3 - ，得到
3 2 3 2
5π 2kπ πt 7π+ + 2kπ,k Z，
6 3 6
5 7 7 5
所以在每个周期内， + 6k t + 6k,k Z ， 又 + 6k - ( + 6k) =1，
2 2 2 2
所以，游客在游玩过程中共有3min可以看到公园的全貌.
3-2．【多选】（2024 高三上·江苏南京·阶段练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是
一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史，是
人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点
A 3, -3 3 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 120 秒.经过 t秒后，水斗旋转到点 P ，设
点 P 的坐标为 x, y ，其纵坐标满足 y = f (t) = R sin(wt +j) （ t 0 π，w > 0， j < ），则下列叙述正确的是
2
（ ）
π
A．j = -
3
B．当 t 0,60 时，函数 y = f (t)单调递增
C．当 t 0,60 时， f (t) 的最大值为3 3
D．当 t =100时， PA = 6
【答案】AD
【分析】根据题意，结合条件可得w,j 的值，从而求得函数 f t 的解析式，然后根据正弦型函数的性质，
对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意，R = 32 + 2 2π π-3 3 = 6 ，T = 120 ，所以w = = ，T 60
则 f t = 6sin π t +j60 ÷，è
又点 A 3, -3 3 ，此时 t = 0代入 f t 3可得 -3 3 = 6sinj ，解得 sin j = - ，
2
j π π又 < ，所以j = - ，故 A 正确；
2 3
因为 f t = 6sin π t π- π π π 2π ù ÷，当 t 0,60 时， t - - , ，
è 60 3 60 3 è 3 3 ú
所以函数 f t 先增后减，故 B 错误；
t 0,60 π t π π 2π - ù π π
3 ù
当 时
60 3
- , ，所以 sin t - - ,1 ，
è 3 3 ú 60 3 ÷
ú
è è 2
则 f t -3 3,6ù ，则 f t = 6，故 Cmax 错误；
π t π 4π当 t =100时， - = ， P 的纵坐标为 y = -3 3，横坐标为 x = -3，
60 3 3
所以 PA = -3 - 3 = 6，故 D 正确；
故选：AD
3-3．【多选】（2024 高二上·湖北武汉·开学考试）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东
湖之眼”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度 55 米，转盘直径为 50 米，设置若干个座舱，游客
从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转 t分钟，当 t =10时，游客随舱旋转至距离地面最
远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为 5 米
π
B．若旋转 t分钟后，游客距离地面的高度为 h米，则 h = -25cos t ÷ + 30
è10
C．存在 t1 ， t2 [0,15]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为 20 米
D．若在 t1 ， t2 时刻游客距离地面的高度相等，则 t1 + t2 的最小值为 20
【答案】ABD
【分析】摩天轮离地面最远距离减去转盘直径，从而可判断 A；由时间 t 与游客距离地面的高度，求出 h关
于 t 的表达式，即可判断 B；求出 h在 t 0,15 上的单调性，结合当 t =15时， h = 30 > 20 ，即可判断 C；由
余弦型函数的性质可求出 t1 + t2 的最小值即可判断 D；
【详解】对于 A，由题意知，摩天轮离地面最近的距离为55 - 50 = 5米，故 A 正确；
对于 B，设 h = Asin wt +j + b ，当 t = 0时，游客从离地面最近的位置进舱，当 t =10时，游客随舱旋转至
T 2π π 55 + 5 55 - 5距离地面最远处.所以 = 20 = ，w = ，b = = 30， A = = 25，又当 t = 0时， h = 5，所以
w 10 2 2
π
j π= - ，所以 h = -25cos

t

÷ + 30，故 B 正确；2 è10
π
对于 C，因为 t1 ， t2 [0,15]，又高度相等，函数 h = -25cos t ÷ + 30的对称轴为 t =10，则 t1, t10 2 关于 t =10è
t + t
对称，则 1 2 =10，则 t1 +t2 =20；2
令0
π t π π ，解得0 t 10 ，令 π t 2π，解得10 t 20，
10 10
则 h在 t 0,10 上单调递增，在 t 10,15 上单调递减，当 t =10时， hmax = 55，
3π
当 t = 0时，h = 5；当 t =15时，h = -25cos ÷ + 30 = 30 > 20，所以 h = 20在 t 0,15 只有一个解，故 C 错
è 2
误；
对于 D， h = -25cos
π
t

÷ + 30
π
周期T = 20，由余弦型函数的性质可知，令 t = kπ，
è10 10
则 t =10k ， k N* ，函数关于 t =10k 对称，若在 t1 ， t2 时刻游客距离地面的高度相等，
t + t
则当 k =1时， 1 2 的最小值为 10， t1 + t2 的最小值为 20.故 D 正确.2
故选：ABD.
3-4．【多选】（2024 高二上·四川绵阳·开学考试）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因
其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛
水筒 P 到水面的距离为 d (单位：m)( P 在水下则 d 为负数)、 d 与时间 t (单位：s)之间的关系是
d = 3sin π t
p
-
3
÷ + ，则下列说法正确的是（30 6 2 ）è
A．筒车的半径为 3m，旋转一周用时 60s
B．筒车的轴心O距离水面的高度为1m
C．盛水筒 P 出水后至少经过 20s 才可以达到最高点
D． t 40,50 时，盛水筒 P 处于向上运动状态
【答案】AC
【分析】根据振幅和最小正周期可确定 A 正确；利用 dmax - r
9
可知 B 错误；根据正弦型函数，令 d = ，由
2
正弦型函数的值可构造方程求得 t，进而得到 tmin ，知 C 正确；再利用三角函数单调性的判断方法可知 D 错
误.
π π 3
【详解】对于 A，Q d = 3sin t - ÷ + 的振幅为筒车的半径，\筒车的半径为3m ；
è 30 6 2
2π
Qd = 3sin π t π- 3+ T = π = 60 的最小正周期 ，\旋转一周用时60s，A 正确；
è 30 6 ÷ 2 30
对于 B，Qdmax = 3
3 9 3
+ = ，筒车的半径 r = 3，\筒车的轴心O距离水面的高度为 dmax - r = m ，B 错误；2 2 2
π π 3 3 π π
对于 C，令3sin t - ÷ + = 3+ ，\sin

t -
=1，
è 30 6 2 2 è 30 6 ÷
π π π
\ t - = + 2kπ k Z ，解得： t = 20 + 60k k Z ，
30 6 2
又 t 0，\当 k = 0时， tmin = 20s，即盛水筒 P 出水后至少经过 20s才可以达到最高点，C 正确.
t 40,50 π t π 7π , 3π 对于 D，当 时， - ÷，此时 d 单调递减，30 6 è 6 2
\盛水筒 P 处于处于向下运动的状态，D 错误.
故选：AC.
（三）
数据拟合问题
1、三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域
具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学
生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力．
2、处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤:
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
题型 4：数据拟合问题
4-1．（2024 高一上·江苏·课后作业）已知某海滨浴场海浪的高度 y （米）是时间 t（0 t 24，单位：时）
的函数，记作： y = f (t)，下表是某日各时的浪高数据：
t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观察， y = f (t)的曲线可近似地看成是函数 y = Acoswt + b的图象.
(1)根据以上数据，求函数 y = Acoswt + b的最小正周期T ，振幅A 及函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的 10：00
至 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
1
【答案】(1)T = 12 ， A = 0.5， y = cos
π t +1
2 6
(2)5 个小时
【分析】（1）由表中数据知T = 12 ，然后利用周期公式可求出w ，再由 t = 0， y = 1.5和 t = 3， y =1.0，可求
出 A,b，从而可求出解析式，
1 cos π（2）利用余弦函数的性质解 t +1 > 1即可得答案.2 6
2π 2π π
【详解】（1）由表中数据知T = 12 ，所以w = = = .
T 12 6
由 t = 0， y = 1.5，得 A + b = 1.5 .
由 t = 3， y =1.0，得b =1.0，故 A = 0.5，b =1，
1 π
所以函数解析式为： y = cos t +1 .
2 6
（2）由题意知，当 y > 1
1 π
时才可对冲浪者开放，所以 cos t +1 > 12 6 ，
所以 cos
π t π π π> 0 ，所以 2kπ - < t < 2kπ + ， k Z6 2 6 2 ，
即12k - 3 < t <12k + 3， k Z .
又因为0 t 24，故可令 k = 0,1,2,
得0 t < 3，或9 < t <15，或 21 < t 24 .
所以在规定时间 10：00 至 20：00 之间，有 5 个小时可供冲浪者活动，即上午 10：00 至下午 3：00.
4-2．（2024 高一·全国·课后作业）某港口水深 y （米 ) 是时间 t（0 t 24，单位：小时）的函数，下表是水
深数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （米 ) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数 y = Asinwt + b 的图象.
(1)试根据数据表和曲线，求出 y = Asinwt + b A > 0,w > 0,b > 0 的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距
离）为 7 米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不
能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
π
【答案】(1) y = 3sin t +10 0 t 24
6
(2)16 小时.
【分析】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出 A,b，由两个最高点的之间的距离可以求出w ，从而可求
函数的表达式；
（2）在当0 t 24的前提下，解不等式 y 11.5即可.
ìA + b =13
【详解】（1）根据数据， í A b ， - + = 7
\ A = 3，b =10，T = 15 - 3 = 12，
w 2π π\ = = ，
T 6
\函数的表达式为 y = 3sin
π t +10 0 t 24 ；
6
（2）由题意，水深 y 4.5 + 7，
π
即3sin t +10 11.5 0 t 24 ，
6
\sin π t 1 ，
6 2
π
\ t é2kπ π ê + , 2kπ
5π
+ ù ， k = 0，1，
6 6 6 ú
\t [1,5]或 t [13,17]；
所以，该船在1: 00至5 : 00或13: 00至17 : 00 能安全进港，
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过 16 小时.
4-3．（2024 高一下·上海宝山·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮
汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整
点时刻的水深 y（单位：米）与时间 x（单位：时）的大致关系：
假设 4 月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
π π
(1)请运用函数模型 y = Asin(wx +j) + h A > 0,w > 0, - < j < ,h R ÷ ，根据以上数据写出水深 y 与时间 x
è 2 2
的函数的近似表达式；
(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于 3.5 米，否则该船必须立即离港．一艘船满载
货物，吃水（即船底到水面的距离）6 米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天 0 点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时 0.3
米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水 3 米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前
提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
π π
【答案】(1) y = 3sin( x + ) + 8, x [0, 24]；
6 6
(2)①0 点到 4 点以及 12 点到 16 点进入港口；②该船在 0 点进港开始卸货，5 点暂时驶离港口，11 点返回
港口继续卸货，16 点完成卸货任务.
【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答.
（2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答.
11+ 5 2π
【详解】（1）观察图形知， 2A =11- 5，解得 A = 3， h = = 8， =14 - 2 π，解得w = 6 ，2 w
y 3sin( π x j) 8 (2,11) sin(π j) 1 π π显然函数 = + + 的图象过点 ，即 + = ，又- < j < ，因此j
π
= ，
6 3 2 2 6
所以函数表达式为 y = 3sin(
π x π+ ) + 8, x [0, 24] .
6 6
ì
3sin(
π x π+ ) + 8 6 + 3.5 ìsin( π x π+ ) 1
（2）①依题意， í 6 6

，整理得 í 6 6 2 ，
0 x 24 0 x 24
ì π π π 5π
+ 2kπ x + + 2kπ(k Z) ì12k x 4 +12k(k Z)
即有 í 6 6 6 6 ，即 í ，
0 x 24
0 x 24
解得0 x 4或12 x 16，
所以该船可以在 0 点到 4 点以及 12 点到 16 点进入港口.
②由①的结论知，该船明日 0 点即可进港开始卸货，
设自 0 点起卸货 x 小时后，该船符合安全条例的最小水深为 y = -0.3x + 6 + 3.5，
如图，函数 y = -0.3x + 6 + 3.5与 y = 3sin(
π x π+ ) + 8的图像交于点 (5,8) ，
6 6
即卸货 5 小时后，在 5 点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为 4.5 米，
令3sin(
π x π) π π π π+ + 8 4.5 + 3.5，即 sin( x + ) 0， 2kπ x + 2kπ + π(k Z)，
6 6 6 6 6 6
解得12k -1 x 12k + 5(k Z)，显然11 x 17，
该船在 11 点可返回港口继续卸货，5 小时后完成卸货，此时为 16 点，
综上所述，方案如下：该船在 0 点进港开始卸货，5 点暂时驶离港口，11 点返回港口继续卸货，16 点完成
卸货任务.
【点睛】思路点睛：给定 f (x) = Asin(wx＋j)(A > 0,w > 0)的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最
高（低）点定 A，求出周期定w ，由图象上特殊点求j .
4-4．（2024 高一下·四川绵阳·阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早
潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面
是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 1: 00 4 : 00 7 : 00 10 : 00 13: 00 16 : 00 19 : 00 22 : 00
水深(米) 6 8.5 6 3.5 6 8.5 6 3.5
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 f t = Asin wt +j + b A
π
> 0,w > 0, j < 来描
è 2 ÷
述．
(1)根据以上数据，求出函数 f t = Asin wt +j + b的表达式；
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为5.25米，安全条例规定至少要有 2米的安全间隙(船底与洋底的
距离)，该船在一天内 0 : 00 : 24 : 00 何时能进入港口？
5 π π
【答案】(1) f t = sin t - ÷ + 62 è 6 6
(2)该船可以在 2 : 00 : 6 : 00或14 : 00 :18 : 00 进入港口
【分析】（1）根据最大值和最小值可求得 A,b；由最小正周期可得w ；利用 f 4 = 8.5可求得j ，从而得到 f t
解析式；
（2）令 f t 7.25，根据正弦型函数值域可求得 t的范围，结合 t 0,24 可得结果.
f t - f
1 Q f t = 8.5 f t = 3.5 max t f tmin 5 + fmax t 【详解】（ ） ， minmax min ，\ A = = ，b = = 6；2 2 2
Q f t 2π π的最小正周期T = 12 ，\w = = ；
T 6
Q f 4 5 sin 2π= +j + 6 = 8.5 2π j π ÷ ，\ + = + 2kπ k Z j
π
，解得： = - + 2kπ k Z2 3 ，è 3 2 6
π π 5 π π
又 j < ，\j = - 6 ，
\ f t = sin t - ÷ + 6 .2 2 è 6 6
5 π π
（2）由题意知： f t 7.25，即 sin t - ÷ + 6 7.25，2 è 6 6
π π 1
\sin t - π π π 5π ÷ ，\ + 2kπ t - + 2kπ k Z ，解得： 2 +12k t 6 +12k k Z ，
è 6 6 2 6 6 6 6
Qt 0,24 ，\2 t 6或14 t 18，
\该船可以在 2 : 00 : 6 : 00或14 : 00 :18 : 00 进入港口.
一、单选题
1．（2024 高三上·河南郑州·阶段练习）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈
f x Asin wx j b A 0,w 0, j p= + + > > <

÷ 的模型波动（x 为月份），已知 3 月份达到最高价 9 千元，7 月
è 2
份价格最低为 5 千元，根据以上条件可确定 f x 的解析式为
A． f x ＝2sin p p x - ÷ + 7 1 x 12, x N*4 4 è
B． f x 9sin p x p- ＝ * 4 4 ÷ 1 x 12, x N è
p
C． f x ＝2 2sin x + 7 1 x 12, x N*4
f x 2sin p p D． ＝ x - ÷ + 7 1 x 12, x N*
è 4 4


【答案】A
p
【分析】利用最高点和最低点可得周期及 A,c 的大小，再利用最高点的坐标可得j = - ， 从而得到 f x
4
的解析式.
T
【详解】因为 3 月份达到最高价 9 千元，7 月份价格最低为 5 千元，所以半周期 = 4，
2
p
故T = 8，所以w = ，
4
ìA + c = 9 ìA = 2
又 í A ，所以
- + c = 5
í
c 7
，
=
所以 f x = 2sin p x + j

÷ + 7，
è 4
3p
当 x = 3时，sin

+ j
=1 Q j p j p÷ ， < ，\ = - .
è 4 2 4
\ f x = 2sin p x p- ÷ + 7 1 x 12, x N* ，故选 A.
è 4 4


【点睛】已知 y = Asin wx +f + B的图像，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从题设中得到振幅和
周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算f .
2．（2024 高一上·江西抚州·学业考试）在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间
的变化规律分别为： y1 = 4sin(100p t), y2 = 4cos(100p t)，则这两个声波合成后即 y = y1 + y2 的振幅为（ ）
A．4 2 B．8 C．4 D．8 2
【答案】A
【分析】由两角和的正弦函数公式先求得函数解析式，直接利用函数的性质，求出函数的振幅即可.
【详解】Q y = y1 + y2
= 4sin 100p t + 4cos 100p t
= 4 2 sin 100p t p+ ÷
è 4
\利用函数的性质可得函数的振幅为：4 2
故选：A
【点睛】本题考查 y = Asin(wx + j)型函数的化简与振幅问题，属于基础题.
3．（2024 高一上·江西）如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA 为始边、OB 为终边的角 θ(-π<θ<π)与时间
1 p
t(s)满足函数关系式 θ= sin 2t + ÷ ，则当 t=0 时，角 θ 的大小及单摆的频率是（2 ）2 è
1 1 1 1
A． ， B． 2， C． ，π D． 2，π
2 p p 2
【答案】A
【解析】根据单摆所摆动角所满足的关系式和频率的定义可得选项.
1 p 1 2p 1
【详解】当 t=0 时，θ= sin = ，由函数解析式易知单摆的周期为 =π，故单摆的频率为 .
2 2 2 2 p
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，关键在于理解三角函数所表达的实际意义，属于基础题.
4．（2024 高一上·福建·期末）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受
航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中 6 时到 18
时的水深变化曲线近似满足函数 y = 3sin(wx +j) + k ，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为
（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】从图象中的最小值入手，求出 k = 5，进而求出函数的最大值，即为答案.
【详解】从图象可以看出，函数 y = 3sin(wx +j) + k 最小值为-2，即当 sin(wx + j) = -1时，函数取得最小值，
即-3 + k = 2，解得： k = 5，所以 y = 3sin(wx +j) + 5，当 sin(wx + j) = 1时，函数取得最大值，
ymax = 3+ 5 = 8，这段时间水深（单位：m）的最大值为 8m.
故选：C
5．（2024 高三下·河南·阶段练习）如图为函数 f (x) = sin(wx + j)(w > 0
π
， |j |< ) 的图象，则函数 f (x) 的图象与
2
3 [0, 10π直线 y = 在区间 ]3 上交点的个数为（ ）2
A．9 个 B．8 个 C．7 个 D．5 个
【答案】C
π
【分析】根据图象得到最小周期，从而得到w = 2，代入特殊点坐标，得到j = - ，得到函数解析式，解方
3
程，求出解的个数.
T 4 5π π 【详解】由题图得 = - = π，所以w = 2，
è 12 6 ÷
f 5π = sin 5π 因为 12 ÷
+j ÷ =1，
è è 6
5π π π
所以 + j = 2kπ + , k Z,j = 2kπ - , k Z ，
6 2 3
因为 j
π j π< ，所以 = - ，
2 3
f x = sin 2x π , x é0,10π- ù π é π 19π ù所以
è 3 ÷ ê 3 ú
, 2x - - ,
3 ê 3 3 ú
π 3 2x π π 2π 7π 8π 13πsin 2x 14π
19π
令 - ÷ = ，故 - = 或 或 或 或 或 或 ，
è 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3
解得 x 有 7 个值，
故 f x 3的图象与直线 y = 在此区间上有 7 个交点．
2
故选：C
6．（2024 高二下·贵州遵义·阶段练习）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过
程中的事件 t 与位移 s 之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
s 20sin πt t 0, + s 20cos πtA． = ， B． =
6 6
C． s = -20cos
πt
D． s = 20sin
πt π- ÷ ， t 0, + 6 è 6 2
【答案】D
【分析】根据简谐振动的解析式结合三角函数性质运算求解.
【详解】设简谐振动的解析式为 s = Asin wt +j , t 0, + ，其中 A > 0,w > 0
由表格可知：振幅 A = 20，周期T = 12 ，过点 0, -20 ，
T 2π由周期 = =12w ，且w
π
> 0，可得w = 6 ，
由过点 0, -20 ，可得 20sinj = -20，即 sinj = -1，则j = 2kπ π- ,k Z ，
2
可得 s = 20sin
πt
+ 2kπ
π
- = 20sin πt π- , t 0, + ,k Z ，
è 6 2 ÷ ÷ è 6 2
πt π
所以简谐振动的解析式为 s = 20sin - ÷ , t 0,+ .
è 6 2
故选：D.
7．（2024 高三·全国·专题练习）如图，某港口某天从6h到18h 的水深 y （单位：m）与时间 x （单位：h）
之间的关系可用函数 f x = Asin wx +j + 5 A
π
> 0,w > 0, j < ÷近似刻画，据此可估计当天12h 的水深为
è 2
（ ）
7
A． m B．4m
2

C 3 2
3 3
． 5 -
è 2 ÷
m D．

5 - 2 ÷mè
【答案】A
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入 x =12 计算可得.
2π p
【详解】由题图可得，T = w =18 - 6 =12，则w = ，6
当 sin(wx + j) = -1时， y 取得最小值 2，即-A + 5 = 2，解得 A = 3，
∵ π 13函数 f x = 3sin 6 x +j + 5的图象过点 6, 2 ，
sin π 6 +j = 1 |j | p p j π 3p j π 5p π∴ 6 2 ，又 < ，则 < + < ，所以 + = ，∴j = - ，2 2 2 6 6
∴ f x = 3sin π x - π6 6 + 5．
当 x =12 时， f 12 = 3sin 2π - π6 + 5 = - 3 7 72 + 5 = 2 ，即估计当天12h 的水深为 m ．2
故选：A.
8．（2024 高一·全国·课后作业）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，
然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知噪音的声波曲线 y = Asin ωx + φ （其
π
中 A > 0 ，w > 0，0 j < 2π ）的振幅为1，周期为 2π，初相为 ，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反
2
向波曲线为（ ）
A． y = sin x B． y = cos x C． y = -sin x D． y = -cos x
【答案】D
【分析】根据振幅、周期和初相可求得噪音的声波曲线，由此可得反向波曲线.
【详解】Q噪音的声波曲线振幅为1，\ A =1；
Q 2π噪音的声波曲线周期T = 2π，\ = 2π ，解得：w =1；
w
Q π π噪音的声波曲线初相为 ，\j = ，
2 2
\噪音的声波曲线为 y = sin x
π
+ ÷ = cos x2 ，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为
y = -cos x .
è
故选：D.
9．（2024 高一上·广东·期末）如图，一个质点在半径为 2 的圆 O 上以点 P 为起始点，沿逆时针方向运动，
每3s转一圈．则该质点到 x 轴的距离 y 关于时间 t 的函数解析式是（ ）
A． y = 2sin
2π
t
π
- ÷ B． y = 2cos
2π t π-
3 4 3 4 ÷è è
C． y = 2sin
2π t π + ÷ D． y = 2cos
π t π+
3 4 3 4 ÷è è
【答案】A
【分析】设点 P 的纵坐标为 f t = Asin wt +j ，根据题意可求w ，j 与A ，从而可求解.
【详解】设点 P 的纵坐标为 f t = Asin wt +j ，
T 2π 2π由题意可得 = = 3，得w = .
w 3
π
因为起始点 P 在第四象限，所以初相j = - ，
4
由图可知 A = 2，
2π π
所以 f t = 2sin t - .
è 3 4 ÷
2π π
所以该质点到 x 轴的距离 y 关于时间 t 的函数解析式是 y = 2sin t -3 4 ÷
.
è
故选:A.
10．（2024 高一下·浙江宁波·期末）据长期观察，某学校周边早上 6 时到晚上 18 时之间的车流量 y（单位：
π 13
量）与时间 t（单位：h）满足如下函数关系式： y = Asin t - π ÷ + 300（A 为常数，6 t 18）.已知早
è 4 8
上 8：30（即 t = 8.5h）时的车流量为 500 量，则下午 15：30（即 t =15.5h ）时的车流量约为（ ）（参考数
据： 2 1.41， 3 1.73）
A．441 量 B．159 量 C．473 量 D．127 量
【答案】A
【分析】根据 t = 8.5h时的车流量为 500 求出A ，再求 t =15.5h 时的车流量可得答案.
500 Asin π 8.5 13【详解】由题意可得 = - π

÷ + 300 ，可得 200 = Asin
π
，
è 4 8 2
y 200sin π 13解得 A = 200，所以 = t - π

÷ + 300，
è 4 8
当 t =15.5h 时，
y = 200sin π 15.5
13
- π + 300 = 200sin 9 π + 300 =100 2 + 300
è 4 8 ÷ 4
100 1.41+ 300 = 441（量）.
故选：A.
11．（2024 高一下·北京海淀·阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角
1 3
坐标系，设秒针针尖位置为点P x, y ．若初始位置为点P0 ,2 2 ÷，秒针从P0 （规定此时 t = 0）开始沿顺è
时针方向转动，点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式可能为（ ）
A． y = 2sin
π π π π
- t +

÷ B． y = -sin t -
è 30 3 è 60 3 ÷
C． y = sin
π π π π
- t +

÷ D． y = cos30 6
t +
è è 30 6 ÷
【答案】D
【分析】首先确定函数的周期，再利用待定系数法可求得函数的解析式
w 2π 2π π【详解】因为函数的周期为T = 60，所以 = = = ，
T 60 30
π
由于秒针顺时针旋转，所以可设函数解析式为 y = sin - t +j30 ÷
，
è
1
因为初始位置为点P0 ,
3 3
2 2 ÷，所以当
t = 0时， y = ，
è 2
3 π
所以 sinj = ，所以j 可能取 ，
2 3
y sin π π 所以 = - t + ÷ = cos
é π π π ù π
ê - - t + ÷ú = cos t
π
+ ，
è 30 3 ÷ 2 è 30 3 è 30 6
故选：D
12．（2024 高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，
另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆
动．若线长为 l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移 s（单位：cm）与时间 t（单位：s）的函数关系是

s 3cos g t π

= + ÷， t 0, + 取 g = 10 m / s2 ÷ ，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用 0.5s，
è l 3
则线长约为（ ）cm．（精确到 0.1cm）
A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7
【答案】B
【分析】根据题意得到函数 s t 的最小正周期为T =1，结合余弦型函数的性质，列出方程，即可求解.
【详解】因为线长为 l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移 s（单位：cm）与时间 t（单位：s）的函数关系

s 3cos g π

是 = t + ÷÷， t 0, + ，且取 g = 10 m / s
2 ，
è l 3
又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s ，
2π
s = 1t l g 1000所以函数 的最小正周期为T =1，即 g ，解得 = = 25.3，
l 4π
2 4 3.142
即线长约为 25.3 cm.
故选：B.
13．（2024 高一上·浙江金华·期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的
噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波
曲线 y = Acos wx +j π（其中 A > 0 ，w > 0，0 j < 2π ）的振幅为 1，周期为 2π，初相位为 ，则通过主
2
动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． y = sin x B． y = cos x C． y = -sin x D． y = -cos x
【答案】A
【分析】由振幅可得A 的值，由周期可得w 的值，由初相位可得j 的值，即可得出声波曲线的解析式，进而
可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.
【详解】解：因为噪音的声波曲线 y = Acos wx +j （其中 A > 0 ，w > 0，0 j < 2π ）的振幅为 1，则
A =1，
w 2π 2π 1 π2π π周期为 ，则 = = = ，初相位为 ，j = ，
T 2π 2 2
π
所以噪声的声波曲线的解析式为 y = cos x + ÷ = -sin x，
è 2
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为 y = sin x ．
故选：A.
14．（2024 高一下·吉林长春·阶段练习）如图，圆O的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的
始边为射线OA，终边为射线OP ，过点 P 作直线OA的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成 x
的函数 f x ，则 y = f x 在 0, π 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
1
【分析】过M 作MD ^ OP于D，由题意得到PM = sin x ，OM = cos x ，由 SVOMP = MD ×OP = OM × PM 求2
出MD ，即可得出函数解析式，从而可判断结果.
【详解】
如图：过M 作MD ^ OP于D，则由题意可得：PM = sin x ，OM = cos x ，
1
在RtVOMP中， SVOMP = MD ×OP = OM × PM ，2
OM gPM cos x g sin x
所以MD = = = cos x sin x 1= sin 2x ，
OP 1 2
所以 f (x)
1
= sin 2x (0 x π)，其图象即为选项 B.
2
故选：B.
15．（2024 高一下·陕西西安·期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地
图学提供了数学基础，现根据刘徽的《重差》测景一个球体建筑物的高度，已知点 A 是球体建筑物与水平
地面的接触点（切点），地面上 B，C 两点与点 A 在一条直线上，且在点 A 的同侧，若在 B，C 处分别测得
球体建筑物的最大仰角为 60°和 30°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（　　）
A．100m B．50 2 + 3 m C．50 2 - 3 m D．50 3m
【答案】A
【分析】由圆的切线的性质可得 AC，AB 的大小，由题意可得 OA 的大小，进而求出球的高度.
【详解】解：设球的截面圆心为 O，连接 OB，OC，设球的截面圆的半径为 R，
由圆的切线的性质可得： OCA =15°， OBA = 30°，
AC OA AB OA则 = ， = ，
tan15° tan30°
1 1
BC = 100 AC AB OA OA= - = - OA - 所以 ，可得 = 100 ，
tan15° tan30° è tan15° tan30° ÷
OA 100=
即 1 1- ，
tan15° tan30°
3
又因为 tan 30° = ，
3
3
tan15 tan 45 30 tan 45° - tan30°
1- 3- 3
° = ° - ° = = 3 = ，
1+ tan 45° tan30°
1 3 3+ 3+
3
1 1 3+ 3
所以 - = - 3 = 2，
tan15° tan30° 3- 3
OA 100所以 = = 50，
2
所以球的直径2OA = 100 .
故选：A.
16．（2024 高一上·全国·专题练习）如图，某港口某天从6h到18h 的水深 y （单位：m）与时间 x （单位：
h）之间的关系可用函数 f x = Asin wx +j + 5 A > 0,w > 0, j
π
< ÷近似刻画，据此可估计当天12h 的水深
è 2
为（ ）
7
A． m B．4m
2
5 - 3 2 C． 2 ÷m D． 5 -
3 3 m
è ÷è 2
【答案】A
【分析】根据图象确定w, A,j 的值，即可得函数解析式，将 x =12 代入解析式中，即可求得答案.
2π
【详解】由题图可得，T = w =18
p
- 6 =12，则w = ，
6
当 sin(wx + j) = -1时， y 取得最小值 2，即-A + 5 = 2，解得 A = 3，
∵函数 f x = 3sin π6 x +j + 5 13的图象过点 6, 2 ，
∴ 3sin π 6 +j + 5 = 136 2 ，故 sinj 1 p π= - ，又 |j |< ，∴j = - ，2 2 6
∴ f x = 3sin π6 x - π6 + 5 .
x =12 f 12 = 3sin 2π - π + 5 = - 3 + 5 = 7当 时， 6 2 2 ，
7
即估计当天12h 的水深为 m .
2
故选：A.
二、多选题
17．（2024 高一下·全国·课后作业）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为 0.7 s
B．该质点的振幅为 5 cm
C．该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度为零
D．该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时运动速度为零
【答案】BC
【分析】利用三角函数图像性质求得质点的运动周期和振幅判断选项 AB；利用简谐运动的特点判断该质点
在 0.1 s、0.3 s、0.5 s 和 0.7 s 时运动速度是否为零判断选项 CD.
【详解】由题图可知，运动周期为 2 (0.7 - 0.3) = 0.8 s，故 A 错误；
该质点的振幅为 5 cm，B 正确；
由简谐运动的特点知，在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度为零，
质点在 0.3 s 和 0.7 s 时运动速度最大，故 C 正确，D 错误．
故选：BC．
18．（2024 高一下·四川成都·期中）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为 0.7s B．该质点在 0.3s 和 0.7s 时运动速度为零
C．该质点在 0.1s 和 0.5s 时运动速度为零D．该质点的运动周期为 0.8s
【答案】CD
【分析】由题图求得质点的振动周期可判定 A 错，D 正确；由简谐运动的特点，可判定 B 错，C 正确．
【详解】对于 A，D，由题图可知，质点的运动周期为2 (0.7 - 0.3) = 0.8s，所以 A 错，D 正确；
对于 B，C，由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在 0.3 s 和 0.7 s 时运动速度最大，
在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度为零，故 B 错，C 正确．
综上，CD 正确．
故选：CD.
19．（2024 高三下·云南·阶段练习）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为
y = Asin ωx + φ ， A > 0 ，w > 0 w，j < p ，其中 x 表示时间（s），y 表示位移（cm），A 表示振幅， 表示
2π
频率，φ 表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图
2
乙表示该小球在 0,3 秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当 x = 时，小球第一次到平衡位
3
7
置；当 x = 时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（
6 ）
1
A．频率为
2
π 2π
B．初相位j = 或
3 3
C．振幅 A = 10
x 8D．当 = 时，小球第三次回到平衡位置
3
【答案】ACD
2
【分析】A 选项，根据图象性质得到函数的最小正周期，进而求出频率；B 选项，根据 ，03 ÷ ，求出è
sin 2π π + j

÷ = 0 j =3 3 ；C 选项，结合图象，代入 (3，- 5 3) 求出 A = 10；D 选项，根据题意及最小正周期得è
到 x
2 8
= + 2 = 时，第三次回到平衡位置.
3 3
T 7 2 1 w 1
【详解】A 选项，设最小正周期为T ，据题意 = - = T = 2 w = π，频率为 = ，故 A 正确；
4 6 3 2 2π 2
x 2B =
2
选项，当 时，小球第一次到平衡位置，即 ，03 ÷ 是正弦函数减区间上的零点，且
|j|<π，所以
3 è
sin 2π π + j

÷ = 0 j =3 3 ，故 B 错误；è
π
C 选项，根据图中的信息知 (3，- 5 3) 在图象上，所以 Asin 3π + ÷ = -5 3 A = 10 ，故 C 正确；
è 3
2 2 8
D 选项，当 x = 时，小球第一次到达平衡位置，当 x = + 2 = 时，小球第三次到达平衡位置，故 D 正确.
3 3 3
故选：ACD．
20．（2024 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间 t（s）时离开平衡位置
s s = 2sin
π
的位移 （cm）满足函数关系式 t + ÷．给出的下列说法中正确的是（4 ）．è
A．小球开始时在平衡位置上方 2cm 处
B．小球下降到最低点时在平衡位置下方 2cm 处
C．经过2π s 小球重复振动一次
1
D．小球振动的频率为
2π
【答案】BCD
【分析】A 选项，即判断 t = 0时，s 的值是否为 2；
B 选项，即判断 s 的最小值是否为-2；
CD 选项，由周期，频率计算公式可判断选项正误.
π
【详解】A 选项， t = 0时， s = 2sin ÷ = 2 ，即小球开始时在平衡位置上方 2 cm 处，故 A 错误；
è 4
B 选项，由题可知 s 的最小值为-2，即小球下降到最低点时在平衡位置下方 2cm 处，故 B 正确；
C 选项，由题可知，最小正周期为 2π ，即经过2π s 小球重复振动一次，故 C 正确；
1
D 选项，由 C 选项分析可知周期为 2π ，则振动的频率为 ，故 D 正确.
2π
故选：BCD
21．（2024 高一下·四川自贡·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢
慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为 120m，转盘直径为 110m，设置有
48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 30
min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 t min 后距离地面的高度为H t m .游客乙所在座舱与甲所在座舱间
隔 7 个座舱.在运行一周的过程中，甲、乙俩人距离地面的高度差 hm .下述结论正确的是（ ）
A．H t = 55sin π t π - ÷ + 65 B．H 5 = 38.5
è15 2
C．在运行一周的过程中，H t > 90的时间超过 10 min D． hmax = 55
【答案】ACD
【分析】根据题意建立三角函数模型，先得出 H t 解析式，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可.
【详解】
由题意可得 H t 是关于 t的三角函数，如图所示，以摩天轮轴心为原点，以与地面平行的直线为横轴建立平
面直角坐标系，设摩天轮距地面最近点为 P，
π
则当 t = 0时，游客甲位于P 0, -55 ，以 OP 为终边的角为- ，而转一圈需要大约 30min，可知角速度大约
2
π
为 rad / min，由题意可得：H t = 55sin π π
15
t - ÷ + 65，即 A 正确；
è15 2
π π
当 t = 5时，H 5 = 55sin 5 - ÷ + 65 = 37.5，即 B 错误；
è15 2
H t = 55sin π t π- π π 1 ÷ + 65 90 + 2.5 sin t - ÷ ，
è15 2 è15 2 2
1 é π 5π ù
由正弦函数的性质可得： sin x x ê , ú ，2 6 6
π π 5π
故 t
π
- é ùê , ú t 10,20 ，即高度超过 90+2.5 米时时间长 20-10=10min，显然高度超过 90 米的时间15 2 6 6
长超过 10min，故 C 正确；
2π π
甲乙所在位置分别设为 A、B 两点，甲乙座舱差 7 个，则 AOB = 8 = ，故 t 分钟后甲乙的高度分别为：
48 3
H 55sin π t π 65 H 55sin π t π π1 = - +

÷ ， 2 = - - ÷ + 65，
è15 2 è15 2 3
H - H = 55 sin π t π- - sin π t π π- - = 55 sin π t π- 其高度差为： 1 2 15 2 ÷ 15 2 3 ÷ 15 6 ÷
55，即 D 正确.
è è è
故选：ACD.
22．（2024 高一上·吉林·期末）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至
今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒 P 到水面的距
d d d t d = 3sin
p p 3
离为 （单位：m）（ P 在水下则 为负数）、 与时间 （单位：s）之间的关系是 t - + ，
è 30 6 ÷ 2
则下列说法正确的是（ ）
A．筒车的半径为 3m，旋转一周用时 30s
3
B．筒车的轴心O距离水面的高度为 m
2
C． t 40,50 时，盛水筒 P 处于向上运动状态
D．盛水筒 P 出水后至少经过 20s 才可以达到最高点
【答案】BD
【分析】
根据振幅和最小正周期可确定 A 错误；利用 dmax - r 可知 B 正确；根据正弦型函数单调性的判断方法可知 C
d 9错误；令 = ，由正弦型函数的值可构造方程求得 t，进而得到 tmin ，知 D 正确.2
【详解】对于 A，Q d = 3sin
π t π- 3 ÷ + 的振幅为筒车的半径，\筒车的半径为3m ；
è 30 6 2
2π
Qd = 3sin π t π- 3 ÷ +
T = = 60
的最小正周期 π ，\旋转一周用时60s，A 错误；
è 30 6 2 30
3 9 3
对于 B，Qdmax = 3+ = ，筒车的半径 r = 3，\筒车的轴心O距离水面的高度为 dmax - r = m ，B 正确；2 2 2
t 40,50 π t π 7π , 3π对于 C，当 - 时， ，此时 d 单调递减，
30 6 è 6 2 ÷
\盛水筒 P 处于处于向下运动的状态，C 错误；
3sin π t π 3 3 3 π π 对于 D，令 -30 6 ÷
+ = + ，\sin t -
2 2 30 6 ÷
=1，
è è
π
\ t π π- = + 2kπ k Z ，解得： t = 20 + 60k k Z ，
30 6 2
又 t 0，\当 k = 0时， tmin = 20s，即盛水筒 P 出水后至少经过 20s才可以达到最高点，D 正确.
故选：BD.
三、填空题
23．（2024 高一上·浙江·期末）如图所示，摩天轮的直径为110m，最高点距离地面的高度为120m，摩天轮
按逆时针方向作匀速转动，且每30min 转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动5min 后
距离地面的高度为 m．
【答案】37.5
75
/
2
【分析】由题意可知，距离地面的高度 h与时间 t所满足的关系式为 h = Asin wt +j + k ，然后根据条件求
出解析式可得答案.
【详解】由题意可知，距离地面的高度 h与时间 t所满足的关系式为 h = Asin wt +j + k ，
因为摩天轮的直径为110m，最高点距离地面的高度为120m，
ìA + k =120
所以 í ，解得 A = 55,k = 65
-A + k 10
，
=
2π
因为每30min 转一圈，所以T = = 30 w
π
， = ，
w 15
当 t = 0时， h =10 ，所以 sinj = -1
π
，所以可取j = - ，
2
所以 h = 55sin
π t π -

÷ + 65，
è15 2
π
所以当 t = 5时， h = 55sin - ÷ + 65 = 37.5
è 6
故答案为：37.5
24．（2024 高一上·江苏宿迁·期末）如图点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的
正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移
x cm 和时间 t s 之间的函数关系式为 x = ．
2π
【答案】 x = -3sin t3
【分析】依题意设 x = Asinwt w > 0 ，再根据题意和函数的周期求出 A,w ，即可得到函数解析式；
2p
【详解】依题意设 x = Asinwt w > 0 ，则 A 3 2π= - ，周期T = = 3w ，又w > 0，解得w = 3 ，所以
x 2π= -3sin t .
3
故答案为： x = -3sin
2π t .
3
25．（2024 高一下·四川绵阳·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱
里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，
均匀设置了依次标号为1 : 48号的 48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离
地面最近的位置进舱，开始转动 t min 后距离地面的高度为H m，转一周需要30min .若甲、乙两人分别坐在
1号和9号座舱里且 t=0 时，1 号座舱位于距离地面最近的位置，当0 t 15时，两人距离地面的高度差 h
（单位：m）取最大值时，时间 t的值是 .
【答案】10
【分析】设座舱距离地面最近的位置为点 P ，以轴心为原点，与地面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系，座
π
舱转动的角速度约为 rad / min ，计算H1 = 45sin
π π π 5π
t - ÷ + 55，H2 = 45sin t - ÷ + 55，相减得到15 è15 2 è15 6
h 45 sin p p= t - ÷ ，计算最值得到答案.
è15 6
【详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点 P ，以轴心为原点，与地面平行的直线为 x 轴建立直角坐标
系，
π
设 t = 0min 时，游客甲位于点P 0, -45 ，以OP 为终边的角为- ；
2
π
根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约为 rad / min ，
15
由题意可得H = 45sin
π t π- ÷ + 55，0 t 15 .
è15 2
如图，甲、乙两人的位置分别用点 A、B表示，
2π π
则 AOB = 8 = ，
48 3
π π
经过 t min

后甲距离地面的高度为H1 = 45sin t - + 55，
è15 2 ÷
π
点 B 相对于点A 始终落后 rad，
3
此时乙距离地面的高度为H2 = 45sin
π t 5π -

÷ + 55 .
è15 6
则甲、乙距离地面的高度差
h = H1 - H2 = 45 sin
π t π π 5π - ÷ - sin
t - ，
è15 2 ÷ è15 6
= 45 -cos π π π t ÷ + cos t -15 15 3 ÷è è
= 45 sin π t
π
-
è15 6 ÷
因为 t 0,15 π t π π 5π，所以 - éê- ,
ù
，
15 6 6 6 ú
π t π π所以 - = 得 t =10，即开始转动10分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为 45m .
15 6 2
故答案为：10 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是设座舱距离地面最近的位置为点 P ，以轴心为原点，与地面平行的直
线为 x 轴建立直角坐标系.
π
26．（2024 高三·全国·对口高考）已知函数 y = Asin wt +j （其中 A > 0 ，w > 0， j < ）的图象如图1所
2
示，它刻画了质点 P 做匀速圆周运动（如图 2）时，质点相对水平直线 l的位置值 y （ y 是质点与直线 l的
距离（米），质点在直线 l上方时， y 为正，反之 y 为负）随时间 t（秒）的变化过程．则
①质点 P 运动的圆形轨道的半径为 米；
②质点 P 旋转一圈所需的时间T = 秒；
③函数 f t 的解析式为： ；
④图 2中，质点 P 首次出现在直线 l上的时刻 t = 秒．
π 1
【答案】 2 2 f t = 2sin πt - ÷
è 6 6
【分析】根据图象可以解出函数解析式，通过匀速圆周运动（即简谐运动）与函数的关系可以求出半径和
运动一周的时间，由图 2质点 P 首次出现在直线 l上的时刻就是函数在 (0, + )上最左侧的零点，可以解出第 4
个空的答案.
【详解】
y = Asin wt +j j π已知函数 （其中 A > 0 ，w > 0， < ）的图象如图1所示，
2
结合解析式与图象得到 A = 2，
f (0) 1 sinj 1 j π π因为 = - ，所以 = - ，因为 < ，所以j = - ，
2 2 6
x 2 2 π π因为在 = 处取到最大值，所以 w - = + 2kπ，（ k Z），
3 3 6 2
因为w > 0，解得w = π ，
π
所以解析式为 f t = 2sin πt - ÷ .
è 6
因为图象刻画了质点 P 做匀速圆周运动（如图 2）时，质点相对水平直线 l的位置值 y （ y 是质点与直线 l
的距离（米），质点在直线 l上方时， y 为正，反之 y 为负）随时间 t（秒）的变化过程，
所以振幅A 就是圆的半径，得到半径为 2米，
2π
质点 P 旋转一圈所需的时间就是一个周期，因为w = π ，所以周期为 = 2，所以T = 2秒，
π
因为图 2中，质点 P 首次出现在直线 l上的时刻就是函数在 (0, + )上最左侧的零点，
所以 2sin
πt π- ÷ = 0
1
，解得 t = 秒.
è 6 6
故答案为： 2； 2； f t = 2sin π 1 πt - ÷； ．
è 6 6
27．（2024 高一上·江苏淮安·期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，
因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电
的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120o，现有一座
风车，塔高 90 米，叶片长 40 米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每 6 秒旋转一圈，风车开始旋转时
某叶片的一个端点 P 在风车的最低点（此时 P 离地面 50 米）．设点 P 转动 t（秒）后离地面的距离为 S
（米），则 S 关于 t 的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点 P 离地面的高度不低于 70 米的时长为
秒．
【答案】 S = 90
π
- 40cos t(t 0) 4
3
【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得 S = Rsin wt +j + h ，待定系数即可；
（2）解不等式90 - 40cos
π t 70即得.
3
【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度 h = 90 ，风车半径R = 40，
2π π
风车转动一圈为6 秒，则角速度w = = ，
6 3
如图，以风车中心O为坐标原点，以与地面平行的直线为 x 轴，建立直角坐标系，
设 t = 0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点 P 在风车的最低点，设P0 ，
以Ox OP j
π
为始边， 0 为终边的角不妨取 = - ，2
那么经过 t（秒）后，运动到点 P(x, y) ，
π π
于是，以Ox 为始边，OP 为终边的角为j +wt = - + t ，
2 3
π π
由三角函数定义知 y = R sin(wt +j) = 40sin( t - )，
3 2
则 S = y
π p π
+ h = 40sin t -3 2 ÷
+ 90 = 90 - 40cos t ，
è 3
所以 S = 90 - 40cos
π t t 0 .
3
π π 1
（2）令90 - 40cos t 70，\cos t ，
3 3 2
2kπ π π所以 + t 2kπ
5π
+ , k Z ,
3 3 3
所以6k +1 t 6k + 5,k Z .
当 k = 0时，1 t 5，
所以叶片旋转一圈内点 P 离地面的高度不低于 70 米的时长为 4 秒.
故答案为： S = 90 - 40cos
π t t 0 ； 4 .
3
四、解答题
28．（2024 高一下·湖北襄阳·期中）建设生态文明是关系人民福祉 关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业
的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0°C时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图
是该市冬季某一天的气温（单位：0°C）随时间 t（0 t 24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近
似满足 f (t) = Asin(wt
3π
- ) + b(A > 0,w > 0)关系.
4
(1)求 y = f t 的表达式；
(2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
【答案】(1) f t = 8sin π 3π t - ÷ + 4 0 t 24
è12 4
(2)8 小时
【分析】（1）直接利用函数图像，求出 A,w,b，进而求出 f (t) 的表达式；
（2）利用条件和由（1）中所求结果建立不等式 sin
π t 3π- 1 ÷ < - ，再借助 y = sin x 的图像与性质即可求
è12 4 2
出结果.
【详解】（1）如图，
因为 f t = Asin wt
3π
- ÷ + b(A > 0,w > 0)图像上最低点坐标为 3, -4 ，与之相邻的最高点坐标为 15,12 ，
è 4
12 - -4 T
所以 A = = 8, =15 - 3 =12,b = -4 + A = -4 + 8 = 4 ，
2 2
2π π
所以T = = 24w ，又w > 0，所以w = ，12
所以 f t = 8sin π 3π t - ÷ + 4 0 t 24 .
è12 4
π 3π
（2）根据题设，由（1）得8sin t - ÷ + 4 < 0，即 sin
π 3π 1
12 4
t - ÷ < - ，
è è12 4 2
y = sin x 7π 2kπ π t 3π 11π由 的图像得 + < - < + 2kπ,k Z，
6 12 4 6
解得 23+ 24k < t < 31+ 24k,k Z ，
又因为0 t 24，
当 k = -1时，0 t < 7，当 k = 0时， 23 < t 24，
所以0 t < 7或 23 < t 24 ,
所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为 8 小时.
29．（2024 高一·江苏·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 ts 时相对于平衡位置的高度 h（单
π
位：cm）由关系式 h = 2sin(t + )确定．以 t 为横坐标，h 为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上
4
的图象，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动（即 t = 0）时的位置在哪里？
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
(3)经过多少时间小球往复运动一次？
(4)每秒钟小球能往复振动多少次？
【答案】(1)平衡位置上方 2cm 处
(2) 2cm ； 2cm
(3) 2π秒
1
(4) 次.
2π
【分析】（1）根据函数的解析式，即可作出其一个周期上的图象，令 t = 0，即可求得小球在开始振动（即
t = 0）时的位置在哪里.
（2）根据函数的最大值和最小值，即可求得答案；
（3）求出函数的周期，即得答案；
（4）根据函数的频率为周期的倒数，即得答案.
π
【详解】（1）作出函数 h = 2sin(t + )在一个周期的闭区间上的图象如图，
4
当 t = 0时，即小球在开始振动（即 t = 0）时的位置在 (0, 2)处，即平衡位置上方 2cm 处；
（2） h = 2sin(t
π
+ )的最大值为 2，最小值为-2，
4
则小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是 2cm ；
2π
（3）由于T = = 2π ，故经过 2π(s)小球往复运动一次；
1
1
（4）每秒钟小球能往复振动 次.
2π
30．（2024 高一下·广东佛山·期中）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，
设地球表面某地正午太阳高度角为q ，d 为此时太阳直射点的纬度（太阳直射北半球时正值，太阳直射南半
球时取负值），j 为当地的纬度值.
(1)若j = 45°，d = 20°，求q 的值，并直接写出用j ，d 表示q 的关系式；
(2)某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续 400
天太阳直射点的纬度平均值.下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第 45 天测得的当地太阳高度角
数据：
观测站 A B C
观测站所在纬度j /度 40.0000 23.4393 0.0000
观测站正午太阳高度角q /度 66.3870 82.9464 73.6141
太阳直射点的纬度d /度 16.3857 16.3859
太阳直射点的纬度平均值 y /度
请根据数据补充完成上面的表格（计算结果精确到 0.0001）；
(3)设第 x 天时太阳直射点的纬度平均值为 y .该科技小组通过对数据的整理和分析，推断 y 与 x 近似满足函数
y = 23.392911sin 0.01720279x T 2p，经计算 = 365.2422 ，已知 2023 年春分是 3 月 21 日，问 2023 年夏至
w
大概是几月几日
(4)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，估计每 400 年中，应设定多少个闰年，可使这
400 年与 400 个回归年所含的天数最为接近（精确到 1）.
【答案】(1) 65°，q = 90° - j -d ；
(2)表格见解析；
(3)6 月 21 日；
(4)97.
【分析】（1）根据题意可知q = 90° - j -d = 65°，即可求解；
（2）根据q = 90° - j -d 计算即可‘
T
（3）根据夏至与春分相距 计算即可；
4
（4）由 400 T - 365 求解即可.
【详解】（1）由题意得q = 90° - j -d = 65°，
j ，d ，q 间的关系式为q = 90° - j -d .
（2）根据q = 90° - j -d 可得：
观测站 A B C
观测站所在纬度j /度 40.0000 23.4393 0.0000
观测站正午太阳高度角q /度 66.3870 82.9464 73.6141
太阳直射点的纬度d / 度 16.3870 16.3857 16.3859
太阳直射点的纬度平均值 y / 度 16.3862
365.2422
（3）因为周期T 365.2422，所以春分到夏至需要 91.3105天，
4
3 月、5 月有 31 天，4 月、6 月有 30 天，所以夏至大概是 6 月 21 日.
（4）因为 400 T - 365 96.88，故应在 400 年中设定 97 个闰年.
31．（2024 高一下·浙江宁波·期末）今年 9 月，象山将承办第 19 届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届
时大量的游客来象打卡“北纬 30 度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从
事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地
用函数 f x = 40 é Acosw x + 4 + k ù 来刻画.其中正整数 x 表示月份且 x 1,12 ，例如 x =1时表示 1 月份，A
和 k 是正整数，w > 0 .统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；
②从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差约 160 人；
③2 月份从事旅游服务工作的人数约为 40 人，随后逐月递增直到 8 月份达到最多.
(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的 y = f x 的表达式；
(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过 160 人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一
年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.
é
【答案】(1) f x = 40 ê2cos
π x + 4 + 3ùú， x 1,12 6
(2)第7,8,9月是该地区的旅游旺季，理由见解析
【分析】（1）根据题意首先求出A ，再根据周期求出w ，最后根据 f 2 = 40求出 k ，即可得到函数解析式；
（2）令 f x >160 ，结合余弦函数的性质计算可得，注意 x 为正整数.
【详解】（1）因为A 和 k 是正整数，由②可知 40 A + k - 40 -A + k =160，解得 A = 2；
T 2π π
由③可得： = 8 - 2 = 6 ，则T = =12 w =
2 w
，且w > 0，解得 6 ；
é
所以 f x = 40 ê2cos
π x + 4 + k ùú，又 f 2 = 40
é π ù
6 ê
2cos 2 + 4 + k ú = 40， 6
即 40 k - 2 = 40，解得 k = 3；
所以 f x π= 40 éê2cos x + 4 + 3
ù
6 ú
， x 1,12 .

（2）令 f x = 40 éê2cos
π x + 4 + 3ùú >160，则 cos
π x 1+ 4 > ，
6 6 2
因为 x 1,12 π，则 x + 4 é5π , 8π ù ，
6 ê 6 3 ú
5π π x 4 7π可得 < + < ，解得6 < x <10，
3 6 3
且 x N*，则 x = 7,8,9，
所以第7,8,9月是该地区的旅游旺季.
32．（2024 高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，一个半径为 4m 的筒车按逆时针方向每分转 2 圈，筒车的轴
心 O 距离水面的高度为 2m.设筒车上的某个盛水筒 P 到水面的距离为 d（单位：m）（在水面下则 d 为负
数），若以盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间.
(1)求 d 与时间 t（单位：s）之间函数关系 d = Asin(wt +j)
π π
+ K A > 0,w > 0, - < j < ÷
è 2 2
(2)在（1）的条件下令 f (x) = Asin wx-j ， f (x) π 1的横坐标缩小为原来的 30 ，纵坐标变缩小为原来的 4 得
到函数 g(x)，画出 g(x)在 0, π 上的图象
【答案】(1) d = 4sin(
π t π- ) + 2 ；
15 6
(2)图象见解析
【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出 A, K ,w 的值，再利用特殊点求出j ，即可得函数的关系式；
（2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大
致图象.
【详解】（1）由题意 dmax = 4 + 2,dmin = 2 - 4 = -2，
A dmax - dmin 6 - (-2) d所以 = = = 4 ，K = max
+ dmin 6 - 2= = 2 ，
2 2 2 2
2 2π π
因为逆时针方向每分转 2 圈，所以w = = ,
60 15
1
因为 t = 0时， d = 0 ，所以0 = 4sinj + 2，即 sinj = - ，
2
π j π又- < < ，所以
2 2
j= π π- ，所以 d = 4sin( t
π
- ) + 2 ；
6 15 6
π π π 1
（2）由（1）知 f (x) = 4sin x - ÷，所以 f (x) 的横坐标缩小为原来的 30 ，纵坐标变缩小为原来的 4 得è15 6
到函数 g(x) sin
π= 2x +

，
è 6 ÷
列表如下
2x π π π 3π 13π+ π 2π
6 6 2 2 6
x 0 π 5π 2π 11π π
6 12 3 12
f (x) 1 1 0 -1 0 1
2 2
描点连线，图象如图.
33．（2024 高一下·四川广安·阶段练习）某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量 y（单
位：千辆）是时间 t（0 t 24，单位：h）的函数，记为 y = f t ，下表是某日桥上的车流量的数据：
t h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （千辆） 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1
经长期观察，函数 y = f t 的图象可以近似地看做函数 f t = Asin wt +j + b（其中 A > 0 ，w > 0，b > 0，
-π j 0）的图象．
(1)根据以上数据，画出散点图，并求函数 y = f t 的近似解析式；
(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过 4 千辆时，核定载质量 10 吨及以上的大货车将禁
止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？
π
【答案】(1)图见解析， f t = 2sin t - π ÷ + 3
è 6
(2)一天中有 8 小时不允许这种货车通行
【分析】（1）根据给定的数表，画出散点图，再求出 f t 中的参数作答.
（2）由（1）中解析式，列出不等式并求解作答.
【详解】（1）散点图，如图：
y - y 5 -1 y + y 5 +1
依题意， A = max min = = 2 ，b = max min = = 3，
2 2 2 2
p p π
T 2π= 12 = ，解得：w = ，当 t = 9时，y 取最大值，则9 +j = 2np + ,n Z，
w 6 6 2
而-π j 0，于是 n = 0,j = -π ，
π
所以函数 y = f t 的近似解析式为 f t = 2sin t - π 6 ÷ + 3 .è
（2）若车流量超过 4 千辆时，即 y = 2sin
π
t - π
3 π÷ + 4

，则 sin t - π
1
6 ÷ ，è è 6 2
2kπ π π解得 + t - π 2kπ
5π
+ ， k Z，即12k + 7 t 12k +11， k Z，而0 t 24，
6 6 6
因此7 t 11和19 t 23满足条件，共有 (11- 7) + (23 -19) = 8，
所以一天中有 8 小时不允许这种货车通行.
34．（2024 高一下·四川眉山·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮
叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是
某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
p
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 f (t) = Asin(wt +j) + b A > 0,w > 0,|j |< ÷来描
è 2
述．
(1)根据以上数据，求出函数 f (t) = Asin(wt + j) + b 的表达式；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4.25 米，安全条例规定至少要有 2 米的安全间隙（船底与
洋底的距离），该货船在一天内 (0 : 00 - 24 : 00) 什么时间段能安全进出港口？
【答案】(1) f (t)
5 sin(π t π= + ) + 5；
2 6 6
(2)在 0 时至 4 时或 12 时至 16 时进出港.
【分析】（1）根据给定的数表，依次求出 A,b,w,j ，写出解析式作答.
（2）由（1）的结论，解不等式 f (t) 6.25即可作答.
f t = 7.5, f t = 2.5 A f (t)max - f (t) 5 f (t)【详解】（1）由表格知， ，则 = min = ，b = max + f (t)minmax min = 5，2 2 2
函数 f (x)
2π π 5 π
的周期T = 12 ，则w = = ，即有 f (t) = sin( t +j) + 5，又 f (2) = 7.5，
T 6 2 6
π 2 j π即 + = + 2nπ, n Z，而 |j |
p π
< ，则 n = 0,j = ，
6 2 2 6
f (t) 5所以 = sin(
π t π+ ) + 5．
2 6 6
（2）货船需要的安全水深为 4.25 + 2 = 6.25米，则当 f (t) 6.25时就可以进港，
5
由 sin(
π t π π π π 5π+ ) + 5 6.25，得 sin(
π t π+ ) 1 + 2kπ t + + 2kπ,k Z
2 6 6 6 6 2
，解得 ，
6 6 6 6
即12k t 4 +12k,k Z，而 t [0,24) ，因此当 k = 0时， t [0, 4]；当 k =1时， t [12,16]，
所以货船应在 0 时至 4 时或 12 时至 16 时进出港.
35．（2024 高一·全国·课堂例题）一半径为 3m 的水轮如图所示，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟
逆时针转动 4 圈，且当水轮上点 P 从水中浮现时（图中点P0 ）开始计算时间.
(1)将点 P 距离水面的高度 z（单位：m）表示为时间 t（单位：s）的函数；
2
(2)点 P 第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据： sin -0.73 = - ， π 3.14，第二问精确到0.1）
3
z 3sin 2π【答案】(1) = t - 0.73
+ 2
è 15 ÷
(2)5.5s
π
【分析】设角j （- < j < 0 ）是以Ox 为始边，OP0 为终边的角，可知以 Ox 为始边，OP 为终边的角为2
2π t +j ，结合进而 t = 0时求得j 的值，则函数的表达式可得；
15
2π
（2）令最大值为 5，即 z = 3sin t - 0.73÷ + 2 = 5可求得时间；
è 15
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，
设角j
π
（- < j < 0 ）是以Ox 为始边，OP0 为终边的角，2
4 2π 2π
由OP

在 ts 内所转过的角为 t = t ，
è 60 ÷ 15
2π
可知以Ox 为始边，OP 为终边的角为 t +j ，
15
2π 2π
故 P 点纵坐标为3sin t +j ÷，则 z = 3sin t +j ÷ + 2，
è 15 è 15
2
当 t = 0时， z = 0，可得 sinj = - ，
3
π 2
因为- < j < 0 且 sin -0.73 = - ，所以j = -0.73，
2 3
2π
故所求函数关系式为 z = 3sin t - 0.73÷ + 2；
è 15
z 3sin 2π t 0.73 2π（2）令 = - ÷ + 2 = 5，得 sin

t - 0.73

÷ =1，
è 15 è 15
2π t 0.73 π取 - = ，解得 t 5.5，
15 2
故点 P 第一次到达最高点大约需要 5.5s.
36．（2024 高一·全国·随堂练习）已知某海滨浴场的浪高 y m 是时间 t（时）（0 t 24）的函数，记作
y = f t ．下表是某日各时刻的浪高数据.经长期观测， y = f t 可近似地看成是函数 y = Acoswt + b．
t /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y / m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)根据以上数据，求出该函数的周期T 、振幅A 及函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于 1m 时才对冲浪爱好者开放，试依据（1）的结论，判断一天内 8：00 至 20：
00 之间有多长时间可供冲浪者进行运动．
【答案】(1) f (t)
1 π
= cos t +1；
2 6
(2)6 个小时.
【分析】（1）根据表中数据可知T = 12 ，再根据最大值和最小值求出A 和b ，从而得解析式；
1 π
（2）解 cos t +1 >1，得12k - 3 < t <12k+3, k Z ，再结合8 t 20，可得 t的范围，从而得答案.
2 6
【详解】（1）解：由表中数据可知T = 12 ， f (t) 的最大值为 1.5，最小值为 0.5，
w 2π 2π π 1.5 - 0.5 1所以 = = = ， A = = b
1.5 + 0.5
， = = 1，
T 12 6 2 2 2
f (t) 1所以 = cos
π t +1；
2 6
1
（2）解：由（1）可知 f (t) = cos
π t +1，
2 6
1
由 cos
π t 1 π+ >1，得 cos t > 0 ，
2 6 6
所以 2kπ
π π
- < t < 2kπ+ π 5.7 三角函数的应用 4 题型分类
一、函数 y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0 中参数的物理意义
若函数 y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中 A>0，ω>0)表示简谐振动，则
二、三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画
周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
三、建立函数模型的一般步骤
（一）
三角函数在物理中的应用
1、在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移 y 随
2π
时间 x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝ 为周期，表示物体
ω
1
往复振动一次所需的时间，f＝ 为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
T
2、处理物理学问题的策略:
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与
对应的三角函数知识结合解题.
题型 1：三角函数在物理中的应用
1-1．（2024 高一下·全国·单元测试）已知质点从 P0 ( 3,-1) 开始，沿以原点为圆心，2 为半径的圆作匀速圆周
运动，质点运动的角速度为 ω 弧度/秒( 0 < w < 2 )，经过 x 秒，质点运动到点 P，设点 P 的纵坐标为 y，令
y = f (x) ，将 f (x) 的图象向左平移 2 个单位长度后图象关于 y 轴对称．
(1)求函数 f (x) 的解析式；
(2)求函数 f (x) 的单调递减区间及 0,3 上的最值．
1-2．（2024·重庆·模拟预测）已知某弹簧振子的位移 y （单位：cm）与时间 t（单位：s）满足
y = Asin wt +j w > 0 ，初始时将弹簧振子下压至-4cm后松开，经过测量发现弹簧振子每 10s 往复振动 5
次，则在第 45s 时，弹簧振子的位移是 cm.
1-3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变 质量可忽略不计的线，一端固定，另一端
悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏
摆动时离开平衡位置的位移 f t （单位： cm）与时间 t（单位：s）满足函数关系 f t = 3sin(wt +j)
(w > 0,0 < j < π) ，若函数 f t 在区间 a, a +1 上的最大值为M ，最小值为 N ，则M - N 的最小值
为 .
1-4．（2024 高一下·北京·期中）如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 A 3 3, -3 出发，沿圆周按逆时
针方向匀速旋转，且旋转一周用时60 秒，经过 t秒后，水斗旋转到点 P ，设 P 的坐标为P x，y ，其纵坐标
满足 y = f t = R sin wt +j t > 0，w > 0，j
π
< ÷，则下列叙述错误的是（2 ）è
π π
A．R = 6 、w= 、j= -
30 6
B．当 t 35,55 时，点 P 到 x 轴距离的最大值是6
C．当 t 10,25 时，函数 y = f t 单调递减
D．当 t = 20时， PA = 6 3
1-5．（2024 高三上·江苏南京·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高
楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图 1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可
近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 y m 和时间 t s 的函数关系为 y = sin wt +j w > 0, j < π ，如图
2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为 t1 ， t2 ， t3 0 < t1 < t2 < t3 ，且 t1 + t2 = 2，
t2 + t3 = 5，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 0.5m 的总时间为（ ）
1 s 2 4A． B． s C．1s D． s
3 3 3
（二）
三角函数在生活中的应用
1、解三角函数应用问题的基本步骤
2、利用图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的解析式的基本步骤:
f x - f x
(1) 求 A,b : A = max min ，
2
f x + fmax x b = min ；
2
2p
(2)求 ω:根据图象得出最小正周期 T,可得出w =
T
(3)求初相 φ:将对称中心点、最高点或最低点的坐标代入函数解析式可求出 φ 的值，
题型 2：三角函数在生活中的应用
2-1．（2024 高一下·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花
开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为 20℃，气温上升到约 30℃开始闭合，
在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区 6 时～16 时的气温 y （℃）随时间 x （时）的
y 10sin π x 5π变化趋势近似满足函数 = -

÷ + 25，则在 6 时～16 时中，赏花的最佳时段大致为（8 4 ）è
A．7.3 时～11.3 时 B．8.7 时～11.3 时
C．7.3 时～12.7 时 D．8.7 时～12.7 时
2-2．（2024·海南·模拟预测）如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与
普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为5cm，此表挂在墙上，最高点
距离地面的高度为 2.35m，最低点距离地面的高度为1.95m，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看
到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿），若 4 个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的
cos π高度约为（ ） 0.97

12 ֏
A． 220.45cm B．198.03cm C． 200.45cm D． 229.55cm
2-3．【多选】（2024 高三上·湖南株洲·开学考试）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立
平面直角坐标系如图（2），h（单位：m）表示在时间 t（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.
轨道最高点 P 距离地平面 50m.最低点Q距离地平面 10m.入口处M 距离地平面 20m.当 t = 4s时，过山车到达
最高点 P ， t =10s

时，过山车到达最低点Q .设 h t = Asin wt +j + B A > 0,w
π
> 0, j < ÷ ，下列结论正确
è 2
的是（ ）
A．函数 h t 的最小正周期为 12
j πB． =
6
C． t =14s 时，过山车距离地平面 40m
D．一个周期内过山车距离地平面低于 20m 的时间是 4s
2-4．（2024 高一·全国·课堂例题）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫
潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口
在某天几个时刻的水深.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4m，安全条例规定至少要有 1.5m 的安全间隙（船底与海
底的距离），该船何时能进入港口？
(3)若船的吃水深度为 4m，安全间隙为 1.5m，该船在 2:00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3m 的速度减少，
那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
题型 3：三角函数模型在圆周运动问题中的应用
3-1．（2024 高一下·浙江温州·期中）如图，某公园摩天轮的半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮
做匀速转动，每6min 转一圈，摩天轮上的点 p 的起始位置在最低点处．
(1)已知在时刻 t（单位：min ）时点 P 距离地面的高度 f t = Asin wt +j + h （其中 A > 0 ，w > 0，
j < π），求函数 f t 解析式及8min时点 P 距离地面的高度；
(2)当点 P 距离地面 60 + 25 3 m 及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩18min，则游客
在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
3-2．【多选】（2024 高三上·江苏南京·阶段练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是
一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史，是
人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点
A 3, -3 3 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 120 秒.经过 t秒后，水斗旋转到点 P ，设
点 P 的坐标为 x, y π，其纵坐标满足 y = f (t) = R sin(wt +j) （ t 0，w > 0， j < ），则下列叙述正确的是
2
（ ）
π
A．j = -
3
B．当 t 0,60 时，函数 y = f (t)单调递增
C．当 t 0,60 时， f (t) 的最大值为3 3
D．当 t =100时， PA = 6
3-3．【多选】（2024 高二上·湖北武汉·开学考试）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东
湖之眼”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度 55 米，转盘直径为 50 米，设置若干个座舱，游客
从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转 t分钟，当 t =10时，游客随舱旋转至距离地面最
远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为 5 米
π
B．若旋转 t分钟后，游客距离地面的高度为 h米，则 h = -25cos t ÷ + 30
è10
C．存在 t1 ， t2 [0,15]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为 20 米
D．若在 t1 ， t2 时刻游客距离地面的高度相等，则 t1 + t2 的最小值为 20
3-4．【多选】（2024 高二上·四川绵阳·开学考试）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因
其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛
水筒 P 到水面的距离为 d (单位：m)( P 在水下则 d 为负数)、 d 与时间 t (单位：s)之间的关系是
d 3sin π t p 3= -

÷ + ，则下列说法正确的是（30 6 2 ）è
A．筒车的半径为 3m，旋转一周用时 60s
B．筒车的轴心O距离水面的高度为1m
C．盛水筒 P 出水后至少经过 20s 才可以达到最高点
D． t 40,50 时，盛水筒 P 处于向上运动状态
（三）
数据拟合问题
1、三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域
具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学
生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力．
2、处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤:
(1)根据原始数据绘出散点图.
(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
题型 4：数据拟合问题
4-1．（2024 高一上·江苏·课后作业）已知某海滨浴场海浪的高度 y （米）是时间 t（0 t 24，单位：时）
的函数，记作： y = f (t)，下表是某日各时的浪高数据：
t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观察， y = f (t)的曲线可近似地看成是函数 y = Acoswt + b的图象.
(1)根据以上数据，求函数 y = Acoswt + b的最小正周期T ，振幅A 及函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的 10：00
至 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
4-2．（2024 高一·全国·课后作业）某港口水深 y （米 ) 是时间 t（0 t 24，单位：小时）的函数，下表是水
深数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （米 ) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数 y = Asinwt + b 的图象.
(1)试根据数据表和曲线，求出 y = Asinwt + b A > 0,w > 0,b > 0 的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距
离）为 7 米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不
能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
4-3．（2024 高一下·上海宝山·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮
汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整
点时刻的水深 y（单位：米）与时间 x（单位：时）的大致关系：
假设 4 月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
(1)请运用函数模型 y = Asin(wx +j) + h
A > 0,w > 0, π π- < j < ,h R ÷ ，根据以上数据写出水深 y 与时间 x
è 2 2
的函数的近似表达式；
(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于 3.5 米，否则该船必须立即离港．一艘船满载
货物，吃水（即船底到水面的距离）6 米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天 0 点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时 0.3
米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水 3 米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前
提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
4-4．（2024 高一下·四川绵阳·阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早
潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面
是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 1: 00 4 : 00 7 : 00 10 : 00 13: 00 16 : 00 19 : 00 22 : 00
水深(米) 6 8.5 6 3.5 6 8.5 6 3.5
π
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 f t = Asin wt +j + b A > 0,w > 0, j < ÷ 来描
è 2
述．
(1)根据以上数据，求出函数 f t = Asin wt +j + b的表达式；
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为5.25米，安全条例规定至少要有 2米的安全间隙(船底与洋底的
距离)，该船在一天内 0 : 00 : 24 : 00 何时能进入港口？
一、单选题
1．（2024 高三上·河南郑州·阶段练习）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈
f x p= Asin wx +j + b A > 0,w > 0, j <

÷ 的模型波动（x 为月份），已知 3 月份达到最高价 9 千元，7 月
è 2
份价格最低为 5 千元，根据以上条件可确定 f x 的解析式为
A． f x 2sin p p ＝ * x - ÷ + 7 1 x 12, x N
è 4 4


p p
B． f x ＝9sin x - ÷ 1 x 12, x N*4 4 è
C． f x ＝2 2sin p x + 7 1 x 12, x N*4
D． f x ＝2sin p x p- + 7 1 x 12, x N*
è 4 4 ÷


2．（2024 高一上·江西抚州·学业考试）在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间
的变化规律分别为： y1 = 4sin(100p t), y2 = 4cos(100p t)，则这两个声波合成后即 y = y1 + y2 的振幅为（ ）
A．4 2 B．8 C．4 D．8 2
3．（2024 高一上·江西）如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA 为始边、OB 为终边的角 θ(-π<θ<π)与时间
1 p
t(s)满足函数关系式 θ= sin 2t +
2 ÷
，则当 t=0 时，角 θ 的大小及单摆的频率是（ ）
è 2
1 1 1 1
A． ， B． 2， C． ，π D． 2，π
2 p p 2
4．（2024 高一上·福建·期末）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受
航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中 6 时到 18
时的水深变化曲线近似满足函数 y = 3sin(wx +j) + k ，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为
（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
5 π．（2024 高三下·河南·阶段练习）如图为函数 f (x) = sin(wx + j)(w > 0， |j |< ) 的图象，则函数 f (x) 的图象与
2
y 3直线 = 在区间[0,
10π ]
3 上交点的个数为（ ）2
A．9 个 B．8 个 C．7 个 D．5 个
6．（2024 高二下·贵州遵义·阶段练习）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过
程中的事件 t 与位移 s 之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
πt
A． s = 20sin ， t 0, + B． s = 20cos πt
6 6
πt πt π
C． s = -20cos D． s = 20sin
6
-
6 2 ÷ ，
t 0, +
è
7．（2024 高三·全国·专题练习）如图，某港口某天从6h到18h 的水深 y （单位：m）与时间 x （单位：h）
之间的关系可用函数 f x π= Asin wx +j + 5 A > 0,w > 0, j < ÷近似刻画，据此可估计当天12h 的水深为
è 2
（ ）
7
A． m B．4m
2

C 3 2． 5 - ÷m

D 3 3． 5 - m
è 2 2 ÷è
8．（2024 高一·全国·课后作业）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，
然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知噪音的声波曲线 y = Asin ωx + φ （其
中 A > 0 ，w > 0，0 j < 2π
π
）的振幅为1，周期为 2π，初相为 ，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反
2
向波曲线为（ ）
A． y = sin x B． y = cos x C． y = -sin x D． y = -cos x
9．（2024 高一上·广东·期末）如图，一个质点在半径为 2 的圆 O 上以点 P 为起始点，沿逆时针方向运动，
每3s转一圈．则该质点到 x 轴的距离 y 关于时间 t 的函数解析式是（ ）
y 2sin 2πA． = t
π 2π
- ÷ B． y = 2cos t
π
-
è 3 4 ÷ è 3 4
2π
C． y = 2sin t
π
+ y = 2cos π π
3 4 ÷
D． t +3 4 ÷è è
10．（2024 高一下·浙江宁波·期末）据长期观察，某学校周边早上 6 时到晚上 18 时之间的车流量 y（单位：
π 13
量）与时间 t（单位：h）满足如下函数关系式： y = Asin t - π ÷ + 300（A 为常数，6 t 18）.已知早
è 4 8
上 8：30（即 t = 8.5h）时的车流量为 500 量，则下午 15：30（即 t =15.5h ）时的车流量约为（ ）（参考数
据： 2 1.41， 3 1.73）
A．441 量 B．159 量 C．473 量 D．127 量
11．（2024 高一下·北京海淀·阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角

P x, y P 1 , 3 坐标系，设秒针针尖位置为点 ．若初始位置为点 0 2 2 ÷，秒针从P0 （规定此时 t = 0）开始沿顺è
时针方向转动，点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式可能为（ ）
y 2sin π t π y sin π t πA． = - + B． = - -

è 30 3 ÷ ÷ è 60 3
y sin π t π π πC． = - +

30 6 ÷
D． y = cos t + ÷
è è 30 6
12．（2024 高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，
另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆
动．若线长为 l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移 s（单位：cm）与时间 t（单位：s）的函数关系是

s = 3cos g t π + ÷÷， t 0, + 取 g = 10 m / s
2 ，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用 0.5s，
è l 3
则线长约为（ ）cm．（精确到 0.1cm）
A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7
13．（2024 高一上·浙江金华·期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的
噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波
π
曲线 y = Acos wx +j （其中 A > 0 ，w > 0，0 j < 2π ）的振幅为 1，周期为 2π，初相位为 ，则通过主
2
动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． y = sin x B． y = cos x C． y = -sin x D． y = -cos x
14．（2024 高一下·吉林长春·阶段练习）如图，圆O的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的
始边为射线OA，终边为射线OP ，过点 P 作直线OA的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成 x
的函数 f x ，则 y = f x 在 0, π 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024 高一下·陕西西安·期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地
图学提供了数学基础，现根据刘徽的《重差》测景一个球体建筑物的高度，已知点 A 是球体建筑物与水平
地面的接触点（切点），地面上 B，C 两点与点 A 在一条直线上，且在点 A 的同侧，若在 B，C 处分别测得
球体建筑物的最大仰角为 60°和 30°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（　　）
A．100m B．50 2 + 3 m C．50 2 - 3 m D．50 3m
16．（2024 高一上·全国·专题练习）如图，某港口某天从6h到18h 的水深 y （单位：m）与时间 x （单位：
π
h）之间的关系可用函数 f x = Asin wx +j + 5 A > 0,w > 0, j < ÷近似刻画，据此可估计当天2 12h 的水深è
为（ ）
7
A． m B．4m
2
5 - 3 2 C． 2 ÷m D． 5 -
3 3 m
è 2 ÷è
二、多选题
17．（2024 高一下·全国·课后作业）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为 0.7 s
B．该质点的振幅为 5 cm
C．该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度为零
D．该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时运动速度为零
18．（2024 高一下·四川成都·期中）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为 0.7s B．该质点在 0.3s 和 0.7s 时运动速度为零
C．该质点在 0.1s 和 0.5s 时运动速度为零D．该质点的运动周期为 0.8s
19．（2024 高三下·云南·阶段练习）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为
y = Asin ωx + φ ， A > 0 ，w > 0，j < p w，其中 x 表示时间（s），y 表示位移（cm），A 表示振幅， 表示
2π
频率，φ 表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图
2
乙表示该小球在 0,3 秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当 x = 时，小球第一次到平衡位
3
7
置；当 x = 时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（ ）6
1
A．频率为
2
π 2π
B．初相位j = 或
3 3
C．振幅 A = 10
D．当 x
8
= 时，小球第三次回到平衡位置
3
20．（2024 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间 t（s）时离开平衡位置
π
的位移 s

（cm）满足函数关系式 s = 2sin t + ÷．给出的下列说法中正确的是（ ）．
è 4
A．小球开始时在平衡位置上方 2cm 处
B．小球下降到最低点时在平衡位置下方 2cm 处
C．经过2π s 小球重复振动一次
1
D．小球振动的频率为
2π
21．（2024 高一下·四川自贡·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢
慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为 120m，转盘直径为 110m，设置有
48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 30
min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 t min 后距离地面的高度为H t m .游客乙所在座舱与甲所在座舱间
隔 7 个座舱.在运行一周的过程中，甲、乙俩人距离地面的高度差 hm .下述结论正确的是（ ）
A．H t = 55sin π t
π
-
15 2 ÷
+ 65 B．H 5 = 38.5
è
C．在运行一周的过程中，H t > 90的时间超过 10 min D． hmax = 55
22．（2024 高一上·吉林·期末）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至
今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒 P 到水面的距
p p 3
离为 d

（单位：m）（ P 在水下则 d 为负数）、 d 与时间 t（单位：s）之间的关系是 d = 3sin t -30 6 ÷
+ ，
è 2
则下列说法正确的是（ ）
A．筒车的半径为 3m，旋转一周用时 30s
3
B．筒车的轴心O距离水面的高度为 m
2
C． t 40,50 时，盛水筒 P 处于向上运动状态
D．盛水筒 P 出水后至少经过 20s 才可以达到最高点
三、填空题
23．（2024 高一上·浙江·期末）如图所示，摩天轮的直径为110m，最高点距离地面的高度为120m，摩天轮
按逆时针方向作匀速转动，且每30min 转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动5min 后
距离地面的高度为 m．
24．（2024 高一上·江苏宿迁·期末）如图点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的
正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移
x cm 和时间 t s 之间的函数关系式为 x = ．
25．（2024 高一下·四川绵阳·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱
里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，
均匀设置了依次标号为1 : 48号的 48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离
地面最近的位置进舱，开始转动 t min 后距离地面的高度为H m，转一周需要30min .若甲、乙两人分别坐在
1号和9号座舱里且 t=0 时，1 号座舱位于距离地面最近的位置，当0 t 15时，两人距离地面的高度差 h
（单位：m）取最大值时，时间 t的值是 .
π
26．（2024 高三·全国·对口高考）已知函数 y = Asin wt +j （其中 A > 0 ，w > 0， j < ）的图象如图1所
2
示，它刻画了质点 P 做匀速圆周运动（如图 2）时，质点相对水平直线 l的位置值 y （ y 是质点与直线 l的
距离（米），质点在直线 l上方时， y 为正，反之 y 为负）随时间 t（秒）的变化过程．则
①质点 P 运动的圆形轨道的半径为 米；
②质点 P 旋转一圈所需的时间T = 秒；
③函数 f t 的解析式为： ；
④图 2中，质点 P 首次出现在直线 l上的时刻 t = 秒．
27．（2024 高一上·江苏淮安·期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，
因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电
的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120o，现有一座
风车，塔高 90 米，叶片长 40 米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每 6 秒旋转一圈，风车开始旋转时
某叶片的一个端点 P 在风车的最低点（此时 P 离地面 50 米）．设点 P 转动 t（秒）后离地面的距离为 S
（米），则 S 关于 t 的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点 P 离地面的高度不低于 70 米的时长为
秒．
四、解答题
28．（2024 高一下·湖北襄阳·期中）建设生态文明是关系人民福祉 关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业
的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0°C时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图
是该市冬季某一天的气温（单位：0°C）随时间 t（0 t 24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近
似满足 f (t) = Asin(wt
3π
- ) + b(A > 0,w > 0)关系.
4
(1)求 y = f t 的表达式；
(2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
29．（2024 高一·江苏·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 ts 时相对于平衡位置的高度 h（单
位：cm）由关系式 h = 2sin(t
π
+ )确定．以 t 为横坐标，h 为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上
4
的图象，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动（即 t = 0）时的位置在哪里？
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
(3)经过多少时间小球往复运动一次？
(4)每秒钟小球能往复振动多少次？
30．（2024 高一下·广东佛山·期中）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，
设地球表面某地正午太阳高度角为q ，d 为此时太阳直射点的纬度（太阳直射北半球时正值，太阳直射南半
球时取负值），j 为当地的纬度值.
(1)若j = 45°，d = 20°，求q 的值，并直接写出用j ，d 表示q 的关系式；
(2)某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续 400
天太阳直射点的纬度平均值.下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第 45 天测得的当地太阳高度角
数据：
观测站 A B C
观测站所在纬度j /度 40.0000 23.4393 0.0000
观测站正午太阳高度角q /度 66.3870 82.9464 73.6141
太阳直射点的纬度d /度 16.3857 16.3859
太阳直射点的纬度平均值 y /度
请根据数据补充完成上面的表格（计算结果精确到 0.0001）；
(3)设第 x 天时太阳直射点的纬度平均值为 y .该科技小组通过对数据的整理和分析，推断 y 与 x 近似满足函数
y = 23.392911sin 0.01720279x 2p，经计算T = 365.2422 ，已知 2023 年春分是 3 月 21 日，问 2023 年夏至
w
大概是几月几日
(4)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，估计每 400 年中，应设定多少个闰年，可使这
400 年与 400 个回归年所含的天数最为接近（精确到 1）.
31．（2024 高一下·浙江宁波·期末）今年 9 月，象山将承办第 19 届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届
时大量的游客来象打卡“北纬 30 度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从
事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地
用函数 f x = 40 éAcosw x + 4 + k ù 来刻画.其中正整数 x 表示月份且 x 1,12 ，例如 x =1时表示 1 月份，A
和 k 是正整数，w > 0 .统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；
②从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差约 160 人；
③2 月份从事旅游服务工作的人数约为 40 人，随后逐月递增直到 8 月份达到最多.
(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的 y = f x 的表达式；
(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过 160 人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一
年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.
32．（2024 高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，一个半径为 4m 的筒车按逆时针方向每分转 2 圈，筒车的轴
心 O 距离水面的高度为 2m.设筒车上的某个盛水筒 P 到水面的距离为 d（单位：m）（在水面下则 d 为负
数），若以盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间.

(1)求 d 与时间 t（单位：s）之间函数关系 d = Asin(wt +j) + K A > 0,w
π π
> 0, - < j < ÷
è 2 2
(2)在（1）的条件下令 f (x) = Asin wx-j ， f (x) π 1的横坐标缩小为原来的 30 ，纵坐标变缩小为原来的 4 得
到函数 g(x)，画出 g(x)在 0, π 上的图象
33．（2024 高一下·四川广安·阶段练习）某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量 y（单
位：千辆）是时间 t（0 t 24，单位：h）的函数，记为 y = f t ，下表是某日桥上的车流量的数据：
t h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （千辆） 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1
经长期观察，函数 y = f t 的图象可以近似地看做函数 f t = Asin wt +j + b（其中 A > 0 ，w > 0，b > 0，
-π j 0）的图象．
(1)根据以上数据，画出散点图，并求函数 y = f t 的近似解析式；
(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过 4 千辆时，核定载质量 10 吨及以上的大货车将禁
止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？
34．（2024 高一下·四川眉山·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮
叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是
某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0

经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 f (t) = Asin(wt +j) + b A > 0,w > 0,|j |
p
< ÷来描
è 2
述．
(1)根据以上数据，求出函数 f (t) = Asin(wt + j) + b 的表达式；
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4.25 米，安全条例规定至少要有 2 米的安全间隙（船底与
洋底的距离），该货船在一天内 (0 : 00 - 24 : 00) 什么时间段能安全进出港口？
35．（2024 高一·全国·课堂例题）一半径为 3m 的水轮如图所示，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟
逆时针转动 4 圈，且当水轮上点 P 从水中浮现时（图中点P0 ）开始计算时间.
(1)将点 P 距离水面的高度 z（单位：m）表示为时间 t（单位：s）的函数；
2
(2)点 P 第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据： sin -0.73 = - ， π 3.14，第二问精确到0.1）
3
36．（2024 高一·全国·随堂练习）已知某海滨浴场的浪高 y m 是时间 t（时）（0 t 24）的函数，记作
y = f t ．下表是某日各时刻的浪高数据.经长期观测， y = f t 可近似地看成是函数 y = Acoswt + b．
t /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y / m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)根据以上数据，求出该函数的周期T 、振幅A 及函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于 1m 时才对冲浪爱好者开放，试依据（1）的结论，判断一天内 8：00 至 20：
00 之间有多长时间可供冲浪者进行运动．
37．（2024 高一下·陕西渭南·阶段练习）已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间 t（单位：s）时相
对于平衡位置（即静止时的位置）的距离 h（单位：cm）由函数解析式
h t = Asin wt +j（ A > 0，w 0 0 j π> ，< < ）决定，其部分图像如图所示
2
(1)求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相；
(2)若 t [0,t0]时，小球至少有 101 次速度为 0cm/s，则 t0 的最小值是多少？

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